分布函数
分布函数
如 P { X ∈ ( a, b]} = P { X ∈ ( −∞ , b]} − P { X ∈ ( −∞ , a]}
= P { X ≤ b} − P { X ≤ a} = F (b) − F (a)
xk ≤ x
∑p ,
k
1 , − 1 ≤ x < 2, 4 即 F ( x) = 3 , 2 ≤ x < 3, 4 1, x ≥ 3.
x < −1, 0, P { X = −1}, − 1 ≤ x < 2, 得 F ( x) = P { X = −1} + P{ X = 2}, 2 ≤ x < 3, 1, x ≥ 3. 0, x < −1, F ( x)
a b
3. 例题Байду номын сангаас解
例1
设随机变量 X 的分布律为
X −1 2 3
pk
1 4
1 2
1 4
1 3 5 求 X 的分布函数 , 并求 P{ X ≤ }, P{ < X ≤ }, 2 2 2 P{ 2 ≤ X ≤ 3}. 解 由于 X 仅在 x = −1, 2, 3 处概率不为 0, 且
F ( x ) = P { X ≤ x } =
4. 小结
1.离散型随机变量分布律与分布函数的关系 离散型随机变量分布律与分布函数的关系 pk = P{ X = xk } 分布律 分布函数
F( x) = P{X ≤ x} =
∑ pk x ≤x
k
2. 连续型随机变量
F ( x ) = P{ X ≤ x } = ∫
x
分布函数及其基本性质ppt课件
0, x 1
F
(x)
0.2,1
0.7,2
x2 x4
，
1, x 4
(1)
求 P(X
3)
,
P(
1 2
X
3) 及 P(X
2)
;
(2) 求 X 的分布律.
解 (1) P (X3 )F (3 )0 .7
P(1 X 3) F(3)F(1)0.70.20.5
2
2
.
P (X 2 ) 1 P (X 2 ) 1 P (X 2 ) P (X 2 )
1 F ( 2 ) F ( 2 0 ) F ( 2 0 )
1 0 .7 0 .5 0 .8
(2) 由于 P(X X 0 ) F(x0 0) F(x0 0) ,可得
P (X 1 ) 0 .2 0 0 .2 ,
P (X 2 ) 0 .7 0 .2 0 .5 ,
P (X 4 ) 1 0 .7 0 .3
或者
F()limF(x)0 x
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是随机变量的 分布函数.
.
例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标. 设这个质点落在 [0, a]中任意小区间内的概率与这个小区间的 长度成正比，试求 X 的分布函数.
解：设 F(x) 为 X 的分布函数， 0
F(x)
1
1 2
12
16
O
13
O
16
O
0
1
2
x
.
已知 X 的分布律为
X 1 0 1 2 求X的分布函数，
1 1 1 1 并画出它的图形。
P 2 3 12 12
0
(x 1)
第二章-1分布函数
P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a − 0) P(a < X < b) = F(b − 0) − F(a) P(a ≤ X < b) = F(b − 0) − F(a − 0)
概率论
二、分布函数的性质 (1) F( x) 在(− ∞,+∞) 上是一个不减函数 ,
即对 ∀ x1 , x2 ∈(− ∞,+∞) 且 x1 < x2 , 都有 F( x1 ) ≤ F( x2 ) ;
概率论
F(x)的分布函数图
y
1பைடு நூலகம்
22 35 34 35
0
1
2
x
例4 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 ， 上任意投掷一个质点， X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意 中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比， 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数 的分布函数. 的分布函数， 解 设 F(x) 为 X 的分布函数， 当 x < 0 时，F(x) = P(X
x→x0
如果一个函数具有上述性质，则一定是某个 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数 也就是说，性质 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函 是鉴别一个函 的分布函数的充分必要条件. 数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件
概率论
例1 设有函数 F(x)
0 = lim F( x) = lim ( A+ Barctgx) = A− B x→−∞ x→−∞ 2
π
π
概率论
解方程组
π A− 2 B = 0 π A+ B = 1 2
2.3分布函数的定义及性质
(
x)
1 13
, ,
0 x1 1 x 2
2 1, x 2
下面我们从图形上来看一下. 1y
12
16
13
O
O
0
1
注意右连续
归纳题型方法， 及要注意的地 方，图形特征。
1 2
O
x
2
一般地
设离散型 r .v X 的分布律是
P{ X=xk } = pk ,
则其分布函数
k =1,2,3,…
pk
得 P{X 1} F(1) 1 ,
2
24
F
1
1 (x4)
0134,,,212
x 31,
1 1x 2, 4
2 x 3,
4
1, x 3.
P{3 X 5} F(5) F(3) 3 1 1 ,
2
2 2 2 44 2
例2 设r.v X的分布函数为
F(x ) A B arctan x,x R
求A=?, B=?
解 F(-∞) = A + B(- π) = 0,
2 F(+∞) = A + B(+ π) = 1,
2
A=1/2, B=1/π.
例3 已知随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F(x)
对任意实数 x， P( X x) ?
一、分布函数的定义
设 X 是一个随机变量(离散型或非离散型)，称
P( X x) ( x ) 为 X 的分布函数 , 记作 F (x)= P( X x)
注:
o X Xx
x
(1)如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分
概率论-分布函数
r.v的分布函数必满足性质
满足性质
的必F (是x ) 某r.v的分布函数
概率论与数理统计
设随机变量X的分布函数为
F (x ) A B arx ( c t x a n ) ,
试求 (1)系数A,B；(2)X取值落在（-1，1]中的概率。
（1）由
F () li(A m B arx ) c A t aB n 0 ,
若xr，{X x}为必然事件，F(x) = P{X x} =1；
若0 x < r，由几何概型知
F(x)P{Xx}x r2 2rx2
概率论与数理统计
0,
从而X的分布函数为
F(
x)
x r
2
,
1,
且
x0 0 xr xr
P{X 2r} 1 P{X 2r}
1 8
;
当 1x2时 ,
F (x ) P {X x }P{X0}P{X1}
1 3 1; 88 2
概率论与数理统计
当 2x3时 ,
o
1
2
3
x
F (x ) P {X x }
P {X0}P{X1}P{X2}
1337; 888 8
当x3时,
1 2141 21(4)
1 2
.
概率论与数理统计
例 将一枚硬币连, X掷表三示次“三次中正 出现的次 ” ,求 数X的分布律及分,并 布求 函下 数 列概率P{值 1X3},P{X5.5},P{1X3}.
解 设 H 正,T 面 反, 面 则
2
当x0时 ,
0
怎样理解分布函数
怎样理解分布函数概率论中一个非常重要的函数就是分布函数，知道了随机变量的分布函数，就知道了它的概率分布，也就可以计算概率了一、理解好分布函数的定义：F(x)=P(X < x),所以分布函数在任意一点x的值，表示随机变量落在x点左边(XVx)的概率它的定义域是(-8, +8),值域是[0,1].二、掌握好分布函数的性质：(1) 0< F(x) < 1 ;(2) F(+8)=1,F( - 8)=0；可以利用这条性质确定分布函数中的参数，例如：设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,求常数A与B.就应利用本性质计算出A=1/2,B=1/兀.(3) 单调不减；(4) 右连续性。
三、会利用分布函数求概率在利用分布函数求概率时，以下公式经常利用。
(1) P( a<Xw b)=F( b)-F( a);(2) P( a< Xw b)=F( b)-F (a-0);(3) P( a< X<b)=F( b-0)-F( a-0);(4) P( a<X<b)=F( b-0)-F( a);(5) P( X=a)=F( a)-F( a-0).以上公式的规律是:对丁左端点a,不包括它时，用函数值F(a),包括它时，用右极限F(a-0)；对丁右端点b,不包括它时，用右极限F(b-0),包括它时，用函数值F(b).四、会利用分布列或密度函数求分布函数根据分布列求分布函数时，先将RVX的取值从小到大排好，X1<X2<... X n, 则分布函数是一个n+1段的分段函数：当X i <X<x(i+1)时,F(X)=P I+P2+...+ p i,( i =1,2,..., n)当X<X1时，F(X)=0.根据分布密度求分布函数时，先考虑密度函数是几段的，如果它被X1<X2<... X n分成n+1 段的，贝u F(X)也被X1<X2<...< X n分成n+1 段的。
分布函数
F () lim F ( x) 1, F () lim F ( x) 0
x
x
(3) 右连续性：F(x)是右连续函数，即对任意的x0，有
lim
x
x
0F(x)F来自(x0)
➢这三个基本性质是判别分布函数的充要条件。
2
§ 2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的分布函数
➢
例1
证明F ( x) 1 [arctan x ], x
2
➢是一个分布函数。
证 显然F(x)在整个数轴上是连续、单调严增函数，且
F () lim F ( x) 1, F () lim F ( x) 0
x
x
因此它满足分布函数的三条基本性质，故F(x)是一个分布 函数。
该函数称为柯西分布函数。
3
§2.1 随机变量及其分布函数
例2 设随机变量的分布函数为：
A Bex x 0 F(x)
0 x0
其中 0 是常数。 求 A, B。
解 因为分布函数右连续，故
又由F () 1得A 1, 从而B 1
§2.1 随机变量及其分布函数
二、用分布函数求事件的概率
随机变量X 的分布函数F(x)=P{Xx}本身就是事件的概率。
容易得到 P{X a} F (a) F (a 0) 前面已得到 P{a X b} F (b) F (a)
P{a X b}
F(b) F(a)
1
二、随机变量的分布函数
2、分布函数的性质
F(x) P{X x}
容易证明分布函数F(x)具有以下三条基本性质：
(1) 单调性：F(x)是定义在整个实数轴(–，+)上的单调 非减函数，即对任意的x1 < x2，有 F(x1) F(x2)；
分布函数
5 2 5 F P X 2 3 2
5 1 5 1 21 1 P X F F 2 2 2 2 3 6 2
12
X为离散型随机变量分布函数 F x 与概率函数
pk 的关系。
设离散型X 的分布列是
X pk
x1 p1
x 2 xk xn p2 pk pn
k 1, 2, 3,
xk x k
F x
P X xk pk
xk x k
p P X x
由于 F x 是X 取 x 的诸值 k x 的概率之和，故又称
F x 为累积概率函数.
F x 的定义域：
,
10
X pk
1 1 6
2 1 2
3 1 3
x 1 0 1 / 6 1 x 2 F ( x) 2/3 2 x 3 1 x3
13
O
分布函数图形
F (x )
1
1 2
O
16
1
O
12 13 16
0
1
2
3
x
F 不难看出， x 的图形是阶梯状的图形，在 x 1, 2, 3
且右连续。 处有跳跃，
11
分布函数
x 1 0 1 / 6 1 x 2 F x P X x 2/3 2 x 3 1 x3
对应规律： 函数值 F(x) 取落在 , x 上的概率值。
由此例可见：
1 1 1 F P X 2 6 2
13
F x 为累积概率函数.
F x 1
pk p3
分布函数怎么求
分布函数怎么求
分布函数（cumulative distribution function，简称CDF）用来描述一个随机变量X小于或等于某个给定的值x的概率。
求分布函数的方法有以下两种：
1. 离散随机变量的分布函数：
对于离散随机变量X，它的分布函数可以通过求得每个可能取值小于或等于x的概率之和来计算。
即：
F(x) = P(X ≤x) = ΣP(X = xi) (其中i取遍所有使得xi≤x的取值)
2. 连续随机变量的分布函数：
对于连续随机变量X，它的分布函数可以通过求得其概率密度函数f(x)在[-∞, x]上的积分来计算。
即：
F(x) = P(X ≤x) = ∫f(t) dt (其中t的积分范围为[-∞, x])
需要注意的是，对于离散随机变量，分布函数是一个阶梯函数；而对于连续随机变量，分布函数是一个连续函数。
在实际计算中，可以利用数学软件或统计表格来求解分布函数。
分布函数
分布函数分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用的方法来研究随机变量。
1.伯努利分布伯努利分布(Bernoulli distribution)又叫做两点分布或者0-1分布，是一个离散型概率分布，若伯努利实验成功，则伯努利随机变量取值为1，如果失败，则伯努利随机变量取值为0。
并记成功的概率为p，那么失败的概率就是1p-，概率p p-，则数学期望为p，方差为(1)密度函数为2.二项分布二项分布即重复n次独立的。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
假设每次试验的成功概率为p，则二项分布的密度函数为：二项分布函数的数学期望为np，方差为(1)X B n p。
概率密度分布图如下所np p-，记为~(,)示。
3.正态分布正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），若X服从一个为μ、为σ2的高斯分布，记为：X~N(μ,σ2),则其为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
分布曲线特征：图形特征集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。
即频率的总和为100%。
关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
2.分布函数
一、分布函数的性质:
1. 0 ≤ F ( x ) ≤ 1
即 P (a < X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a ≤ X ≤ b)
例 1 设随机变量 X 的密度函数为
⎧ke f ( x) = ⎨ ⎩0
解 由 ∫−∞ 即 ∫0
+∞ +∞
−3 x
x≥0 x<0
> 0.1)
（2）求 P ( X （1）求常数 k ；
例3
设电阻 R 是随机变量，均匀分布在 900 Ω ~1100 Ω ，
求 R 的密度函数及 R 落在 960 Ω ~1060 Ω 的概率。
R的密度函数为：
1 1 ⎧ = 900 ≤ x ≤ 1100 ⎪ f ( x ) = ⎨ 1100 − 900 200 ⎪0 其他 ⎩
从而有：
P (960 ≤ R ≤ 1060) 1060 1 = ∫960 dx = 0.5 200
2. F ( x )是单调不减的；
3. F ( −∞ ) = lim F ( x ) = 0
F ( +∞) = lim F ( x ) = 1
x → +∞
x → −∞
即对 ∀ x1 < x2 , 有 F ( x1 ) ≤ F ( x2 )
4. F ( x ) 是右连续的，即 F ( x + 0) = F ( x )
概率论分布函数
概率论分布函数概率论中的分布函数是一个非常重要的概念，它能够帮助我们理解随机事件的发生规律，并为我们进行概率计算提供了有力的工具。
本文将对分布函数进行全面而生动的介绍，希望能够为读者提供一些指导意义。
首先，我们来了解一下什么是分布函数。
简单来说，分布函数是在数学和统计学中用来描述随机变量取值概率的函数。
它可以以图形或数学表达的方式展示出随机变量取值的规律性，帮助我们预测和分析随机事件的发生概率。
分布函数可以分为离散型和连续型两种。
离散型分布函数适用于描述离散型随机变量的取值规律。
离散型随机变量的取值只能是一些个别的数值，如抛掷骰子的点数或扑克牌的花色等。
常见的离散型分布函数有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
伯努利分布描述的是只有两种可能取值的随机试验，如硬币的正反面。
二项分布是当一个试验重复进行固定次数时，成功和失败的次数服从的分布。
泊松分布则用于描述单位时间内某个事件发生的次数。
连续型分布函数适用于描述连续型随机变量的取值规律。
连续型随机变量的取值可以是一个区间内的任意数值，比如表示一个人的身高或温度的测量值等。
常见的连续型分布函数有均匀分布、正态分布、指数分布等。
均匀分布是最简单的连续型分布函数，它假设随机变量在某个范围内取值的概率是等概率的。
正态分布则是自然界中最常见的分布函数，它的特点是钟形曲线对称分布，可以描述许多现实世界的现象。
指数分布用于描述独立随机事件发生的时间间隔。
除了离散型和连续型分布函数之外，还有一些特殊的分布函数值得我们关注。
例如，几何分布描述的是在一系列独立的随机试验中，首次成功需要进行的试验次数。
负二项分布则描述的是在一系列独立的随机试验中，成功需要进行的总次数。
这些分布函数在实际应用中也具有重要的作用。
在使用分布函数进行概率计算时，我们常常需要计算随机变量落在某个区间内的概率。
对于连续型分布函数，我们可以通过求解概率密度函数在该区间内的面积来得到。
对于离散型分布函数，则是求解随机变量取值在该区间内的概率和。
常见的分布函数
常见的分布函数常见的分布函数包括：1. 正态分布函数（Normal Distribution Function）：也称为高斯分布函数，是最常见的概率分布函数之一，用于描述一组数据在平均值附近的分布情况。
其概率密度函数为：$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$。
2. 均匀分布函数（Uniform Distribution Function）：是一种简单的概率分布函数，表示在一个区间内随机抽取数据的均匀分布情况。
其概率密度函数为：$$f(x)=\begin{cases}。
\frac{1}{b-a} & a\leq x \leq b \\。
0 & \text{其他}。
\end{cases}$$。
3. 伽马分布函数（Gamma Distribution Function）：适用于描述正值的数据分布情况，常用于计算无线电信号的强度、生物统计学等领域。
其概率密度函数为：$$f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}}$$。
4. 指数分布函数（Exponential Distribution Function）：是一种描述随机事件发生时间间隔的概率分布函数，常用于生物学、金融等领域。
其概率密度函数为：$$f(x)=\begin{cases}。
\lambda e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\。
0&x<0。
\end{cases}$$。
5. 泊松分布函数（Poisson Distribution Function）：用于描述事件的随机发生次数，常用于工业、生物学等领域。
其概率密度函数为：$$f(x)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}$$。
2.3随机变量的分布函数
2 3 5 5 F (0) F ( ) 0 2 6 6 P{0 X 1} P{X 1} P{X 0} P{X 0} 5 1 2 F (1) F (0) P{ X 0} 1 6 2 3
2
用分布函数表示概率
P(a X b) P( X b) P( X a) F (b) F (a)
0, x 1, 1 3 例 求 1 P{ X }; 2 P{ X 0}; 1 2 2 , 1 x 0, 3 3 P{0 X 1}. F ( x) 5 解:(2) , 0 x 1, 6 1 , x 1. 3 3 P{ X 0} P{x 0} P{x }
(3) P{ X b} F(b) P{X b} (4) P{a X b} F(b) F(a) P{ X b}
(5) P{a X b} F (b) F (a) P{X a}
例
设随机变量X分布函数为 F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞), 确定A,B的值，并计算P{-1<X≤1}
xi x
即
F ( x ) pk ,
xk x
这里和式是对所有满足 xk x 的k 求和的. 分布函 数F ( x )在x xk (k 1,2,)处有跳跃, 其跳跃值为
pk P{ X xk }.
例 设离散型随机变量 X 的分布列为
X
1
1 3
0
1 2
1
1 6
求 X 的分布函数 F x
P(0 X 1 / 3) P( X 0) P(0 X 1 / 3)
分布函数、均匀分布、指数分布函数.
记作： X ～ U [a, b]
分布函数为: F ( x)
x
0, xa f (t )dt , b a 1,
x a，
a x b， x b.
均匀分布的概率背景
因为 P{c X c l}
例1 已知 F x A arctan x B ，求 A、 B。 解
F
2
A B 0
A
F
2
1
A B 1
1 B 2
1 所以 F x arctan x 2
1
例2. 已知随机变量X 的分布律为 求分布函数 F ( x)
c l
c
f ( x)dx
P{ X xk } F ( xk ) F ( xk 0)
例3 已知离散型随机变量 X 的分布函数为
0 1 10 F x 2 5 1
求 X 的分布律。
x3 3 x 4 4 x5 x5
解 X 的可能取值为 3，4，5。
1 P X 3 F 3 F 3 0 10
f ( x)可积 F ( x)连续
2.
概率密度的性质
⑴ 非负性 ⑵
f ( x) 0
f ( x)dx＝1
由于
F ()
f ( x)dx＝1
f ( x) F ( x)
(3) f (x)在点x 处连续，则
3、连续性随机变量的特点
(1)
(2)
(3) F(x)连续。
第四节 随机变量的分布函数
怎样理解分布函数
怎样理解分布函数概率论中一个非常重要的函数就是分布函数，知道了随机变量的分布函数，就知道了它的概率分布，也就可以计算概率了。
一、理解好分布函数的定义：F(x)=P(X≤x),所以分布函数在任意一点x的值，表示随机变量落在x点左边（X≤x)的概率。
它的定义域是(-∞，+∞),值域是[0,1].二、掌握好分布函数的性质：（1）0≤F(x)≤１;（2）F(+∞)=1,F(-∞)=0;可以利用这条性质确定分布函数中的参数,例如：设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,求常数A与B.就应利用本性质计算出A=1/2,B=1/π.（3）单调不减；（4）右连续性。
三、会利用分布函数求概率在利用分布函数求概率时，以下公式经常利用。
(1)P(a<X≤b)=F(b)-F(a);(2)P(a≤X≤b)=F(b)-F(a-0);(3)P(a≤X<b)=F(b-0)-F(a-0);(4)P(a<X<b)=F(b-0)-F(a);(5)P(X=a)=F(a)-F(a-0).以上公式的规律是：对于左端点a，不包括它时，用函数值F(a),包括它时，用右极限F(a-0);对于右端点b，不包括它时，用右极限F(b-0），包括它时，用函数值F(b).四、会利用分布列或密度函数求分布函数根据分布列求分布函数时，先将RV X的取值从小到大排好，x1<x2<...x n,则分布函数是一个n+1段的分段函数：当x i≤x<x(i+1)时，F(x)=p1+p2+...+p i,(i=1,2,...,n)当x<x1时，F(x)=0.根据分布密度求分布函数时，先考虑密度函数是几段的，如果它被x1<x2<...x n分成n+1段的，则F(x)也被x1<x2<...<x n分成n+1段的。
当x i≤x<x(i+1)时，F(x)=∫［-∞，x1]f1(x)dx+∫［x1,x2]f2(x)dx+...+∫［x i,x]f(i+1)(x)dx;当x<x1时，F(x)=∫［-∞，x]f1(x)d x.五、会利用分布函数求分布列或密度函数如果分布函数是分段常数的，则它是离散型随机变量的分布函数，应求分布列。
分布函数形式
分布函数形式分布函数是一个用于描述随机变量的概率分布的数学工具。
在概率论和统计学中，分布函数通常用于描述一个随机变量X小于或等于给定值x的概率。
在概率论中，随机变量X是指具有随机性质的变量，从而可以在一定范围内取值。
它的分布函数就是指这个随机变量X在各个取值点时的概率。
具体来说，分布函数F(x)是指随机变量X小于或等于给定值x的概率，即：F(x) = P(X ≤ x)其中P是概率，X是随机变量。
分布函数的取值范围通常是[0,1]。
也就是说，F(x)是指X的实现值小于或等于x时的概率。
分布函数的形式可以分为离散型和连续型两种：1.离散型分布函数（离散分布函数）其中P(X = xi)表示随机变量X取值为xi的概率。
对于离散型分布函数，它的取值范围就是随机变量取值的集合。
常见的离散型分布函数有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
其中f(x)是X的概率密度函数。
对于连续型分布函数，它的取值范围是从0到1之间的实数。
F(x) = P(X ≤ x) = ∑ P(X = xi) +∫f(x)dx其中P(X = xi)表示离散型变量的概率，f(x)表示连续型变量的概率密度函数。
在实际应用中，混合型分布函数比较常见。
分布函数的形式不同，对应的随机变量也会有不同的特点和应用范围。
在实际研究中，需要根据具体问题选择相应的分布函数来描述随机变量的概率分布。
随机变量的分布函数在概率论和统计学中都有广泛的应用。
在概率论中，它可作为随机变量在不同取值点的概率描述方法，可以较好地描述随机事件发生的概率；在统计学中，它则是描述样本分布的一种方法，可以用来判断数据是否符合某种特定分布规律，从而推断出总体的特性。
下面以常见的正态分布为例，简要介绍分布函数的应用。
正态分布是概率论和统计学中最为常见的一种连续型分布函数，它是许多自然现象和社会现象的概率模型。
正态分布函数的形式为：f(x) = 1/（σ√ (2π)）exp[-(x-μ)^2/2σ^2]μ表示正态分布的均值，σ^2表示正态分布的方差。
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例 某地区18岁女青年的血压(收缩压)服从N(110,122). 在该地区任选一位18岁女青年,测量她的血压,
(1)求P{X<105},P{100<X<120}; (2)确定最小的x,使P{X>x}<0.05
105 110 解：（） 1 P{ X 105} 0.42 1 0.6628 0.3371 12
x / 8, 0 x 4 fX ( x) 0, 其它 dFY ( y) y 8 1 fY ( y) fX ( ) Y=2X+8 dy 2 2
故
y8 y8 , 0 4 fY ( y ) 32 2 0, 其它 y8 , 8 y 16 fY ( y ) 32 0, 其它
一般，若X是离散型 r.v ，X的概率函数为
x1 X ～ p1 x2 xn p2 pn g ( x2 ) g ( xn ) p2 pn
g ( x1 ) 则 Y=g(X) ～ p1
如果g(xk)中有一些是0.3 0.6
Y的概率密度为
fY(y)=F(g-1(y))=－fX(g-1(y)) d g-1(y)
dy
例2
求 Y=2X+8 的概率密度.
x / 8, 0 x 4 设 X ~ fX ( x) 0, 其它
解：设Y的分布函数为 FY(y)，
FY(y)=P{ Yy } = P (2X+8 y ) =P{ X
2、公式法一般地 若X～fX(x), y=g(x)是单调可导函数，则
Y g( X ) ~ fY ( y ) f X [h( y )] | h( y ) |
其中h(y)为y＝g(x)的反函数. 注：1 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以 上公式推求Y的密度函数。 2 注意定义域的选择
1 0.1
则 Y=X2 的概率函数为：
1 0 Y ～ 0.6 0.4
二、连续型随机变量函数的密度函数
1、一般方法
若Xf(x), -< x< +, Y=g(X)为随机变量X 的函数，则可先求Y的分布函数
FY (y) ＝P{Yy}＝P {g(X) y}＝
然后再求Y的密度函数
y8 2
} = FX(
y8 ) 2
于是Y 的密度函数 dFY ( y ) d [ fY ( y ) dy
y8 2 0
f X ( x )dx ] dy
y8 1 fX ( ) 2 2
变上限函数求导:
d[
u( x )
0
f ( t )dt ]
dx
f [u( x )] u( x )
g ( x ) y
f ( x )dx
dF Y ( y) fY ( y ) dy 此法也叫“ 分布函数法 ”
例1.设X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导且 是x的严格单减函数，求Y=g(X)的概率密度。 解：Y的分布函数为 FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y} =P{X≥g-1(y)}=1-FX(g-1(y))
第二章 阶段小结.
随机变量 随机变量函数的分布
离散型——分布律 归一性 分布函数与分布律的互变 概率计算
分布函数 归一性 概率计算 单调性
连续型——概率密度 归一性 概率计算 分布函数与概率密度的互变
0-1分布 二项分布 B（ n,p) 泊松分布 P( )
正态分布的概率计算
均匀分布 U(a,b) 2 正态分布 N(a, ) ) 指数分布 E（
120 110 100 110 P{100 X 120} 12 12 0.83 0.83 2 0.7967 1 0.5934