分布函数

Y的概率密度为
fY(y)=F(g-1(y))=－fX(g-1(y)) d g-1(y)
dy
例2
求 Y=2X+8 的概率密度.
x / 8, 0 x 4 设 X ~ fX ( x) 0, 其它
解：设Y的分布函数为 FY(y)，
FY(y)=P{ Yy } = P (2X+8 y ) =P{ X
例 某地区18岁女青年的血压(收缩压)服从N(110,122). 在该地区任选一位18岁女青年,测量她的血压,
(1)求P{X<105},P{100<X<120}; (2)确定最小的x,使P{X>x}<0.05
105 110 解：（） 1 P{ X 105} 0.42 1 0.6628 0.3371 12
第二章 阶段小结.
随机变量 随机变量函数的分布
离散型——分布律 归一性 分布函数与分布律的互变 概率计算
分布函数 归一性 概率计算 单调性
连续型——概率密度 归一性 概率计算 分布函数与概率密度的互变
0-1分布 二项分布 B（ n,p) 泊松分布 P( )
正态分布的概率计算
均匀分布 U(a,b) 2 正态分布 N(a, ) ) 指数分布 E（
1 0.1
则 Y=X2 的概率函数为：
1 0 Y ～ 0.6 0.4
二、连续型随机变量函数的密度函数
1、一般方法
若Xf(x), -< x< +, Y=g(X)为随机变量X 的函数，则可先求Y的分布函数
FY (y) ＝P{Yy}＝P {g(X) y}＝
然后再求Y的密度函数

g ( x ) y
f ( x )dx
dF Y ( y) fY ( y ) dy 此法也叫“ 分布函数法 ”
例1.设X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导且 是x的严格单减函数，求Y=g(X)的概率密度。 解：Y的分布函数为 FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y} =P{X≥g-1(y)}=1-FX(g-1(y))
120 110 100 110 P{100 X 120} 12 12 0.83 0.83 2 0.7967 1 0.5934
x / 8, 0 x 4 fX ( x) 0, 其它 dFY ( y) y 8 1 fY ( y) fX ( ) Y=2X+8 dy 2 2
故
y8 y8 , 0 4 fY ( y ) 32 2 0, 其它 y8 , 8 y 16 fY ( y ) 32 0, 其它
y8 2
} = FX(
y8 ) 2
于是Y 的密度函数 dFY ( y ) d [ fY ( y ) dy

y8 2 0
f X ( x )dx ] dy
y8 1 fX ( ) 2 2
变上限函数求导:
d[

u( x )
0
f ( t )dt ]
dx
f [u( x )] u( x )
2、公式法一般地 若X～fX(x), y=g(wenku.baidu.com)是单调可导函数，则
Y g( X ) ~ fY ( y ) f X [h( y )] | h( y ) |
其中h(y)为y＝g(x)的反函数. 注：1 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以 上公式推求Y的密度函数。 2 注意定义域的选择
一般，若X是离散型 r.v ，X的概率函数为
x1 X ～ p1 x2 xn p2 pn g ( x2 ) g ( xn ) p2 pn
g ( x1 ) 则 Y=g(X) ～ p1
如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.
1 0 如： X ～ 0.3 0.6