用Matlab解代数方程
matlab 符号函数 求解方程
标题：使用MATLAB符号函数求解方程第一部分：介绍MATLAB符号函数1. MATLAB符号函数的基本概念MATLAB符号函数是MATLAB中的一个重要功能模块，它可以用于求解复杂的数学问题，包括方程、微分方程、积分等。
使用符号函数，能够将数学问题表达为符号形式，从而进行精确的运算和分析。
2. MATLAB符号函数的基本语法在MATLAB中，可以使用syms命令定义符号变量，然后使用符号变量进行符号运算。
例如：syms x yf = x^2 + y^2;3. MATLAB符号函数的优势相比于数值计算，符号计算能够得到更为精确和准确的结果，适用于数学分析、推导、证明等领域。
第二部分：使用MATLAB符号函数求解方程1. 方程求解的基本概念对于给定的方程，可以使用MATLAB符号函数来进行求解。
求解方程的目的是找到满足该方程的未知数的取值，或者找到使得方程等号成立的值。
2. 求解一元方程对于一元方程，可以使用solve函数来求解。
例如：syms xeqn = x^2 - 2*x - 8 == 0;sol = solve(eqn, x);3. 求解多元方程组对于多元方程组，可以使用solve函数同时求解多个未知数。
例如：syms x yeq1 = x + y == 5;eq2 = x - y == 1;[solx, soly] = solve(eq1, eq2, x, y);第三部分：MATLAB符号函数求解方程的实例1. 实例一：一元二次方程考虑方程 x^2 + 2x - 8 = 0，使用MATLAB符号函数求解该方程，可以得到x1 = 2，x2 = -4。
2. 实例二：二元一次方程组考虑方程组x + y = 5x - y = 1使用MATLAB符号函数求解该方程组，可以得到x = 3，y = 2。
第四部分：总结与展望1. 符号函数的应用MATLAB符号函数在数学建模、科学计算、工程技术等领域都有广泛的应用，在方程求解、微分积分、代数运算等方面发挥着重要作用。
A03 线性代数部分之MATLAB解方程
解方程组 矩阵的特征值与特征向量
郑丰华
成都信息工程学院数学学院 郑丰华
求解代数方程
一般代数方程包括线性（Linear）、非 一般代数方程包括线性（Linear）、非 线性（Nonlinear）和超越方程 线性（Nonlinear）和超越方程 （Transcedental equation）等。求解 equation）等。求解 的指令是solve。 的指令是solve。
成都信息工程学院数学学院 郑丰华
求矩阵的秩
rank rref 讨论线性方程组的解
– 求特解：linsolve(),pinv(A)*b 求特解：linsolve(),pinv(A)*b – 求通解：null() 求通解：null()
成都信息工程学院数学学院 郑丰华
特征值与特征向量
表3-3 eig命令 命令 d=eig(A) [V,D]=eig(A) 功能 求特征值及特征向量
成都信息工程学院数学学院 郑丰华
表3-1 solve命令 命令 S=solve('eq1','eq2',… S=solve('eq1','eq2',…,'eqn', 'v1','v2',… 'v1','v2',…,'vn') 功能 求方程或方程组关于 指定变量的解
说明： 1.'eq1','eq2',…,'eqn'或是字符串表达的方程，或是字 符串表达式；'v1','v2',…,'vn'是字符串表达的求解 变量名； 2.如果'eq1','eq2',…,'eqn'是不含有“等号”的表达式 ，则指令是对eq1=0,eq2=0,…,eqn=0的求解； 3.求解结果S是一个构架数组。如果要显示求解结果，必 须采用S.v1,S.v2,…,S.vn的援引方式； 4.指令solve在缺省规则下，还有一些形式更为简单的调 用方法，但推荐大家使用字符串格式； 5.在得不到“封闭型解析解”时，solve会给出数值解。
如何使用Matlab解决数学问题
如何使用Matlab解决数学问题使用Matlab解决数学问题引言:数学作为一门基础学科，广泛应用于各个学科领域。
而Matlab作为一款数学软件，拥有强大的计算能力和丰富的函数库，成为了数学问题解决的得力工具。
本文将介绍如何使用Matlab解决数学问题，并通过实例来展示其强大的功能和灵活性。
一、Matlab的基本使用方法1. 安装和启动Matlab首先，我们需要从官方网站下载并安装Matlab软件。
安装完成后，打开软件即可启动Matlab的工作环境。
2. 变量和运算符在Matlab中，变量可以用来存储数据。
我们可以通过赋值运算符“=”将数值赋给一个变量。
例如，可以使用“a=5”将数值5赋给变量a。
Matlab支持常见的运算符，如加、减、乘、除等，可以通过在命令行输入相应的表达式进行计算。
3. Matirx和向量的操作Matlab中，Matrix和向量（Vector）是常用的数据结构。
我们可以使用方括号将数值组成的矩阵或向量输入Matlab，比如“A=[1 2; 3 4]”可以创建一个2x2的矩阵。
4. 函数和脚本Matlab提供了丰富的内置函数和函数库，可以通过函数来解决各种数学问题。
同时，我们还可以自己编写函数和脚本。
函数用于封装一段可复用的代码，而脚本则是按照特定的顺序执行一系列的命令。
二、解决线性代数问题1. 线性方程组求解Matlab提供了“solve”函数用于求解线性方程组。
例如，我们可以使用“solve([2*x + y = 1, x + 3*y = 1], [x, y])”来求解方程组2x + y = 1和x + 3y = 1的解。
2. 矩阵运算Matlab提供了丰富的矩阵运算函数，如矩阵的加法、乘法、转置等。
通过这些函数，我们可以快速进行矩阵运算，解决线性代数问题。
三、解决数值计算问题1. 数值积分对于某些无法解析求解的积分问题，Matlab可以通过数值积分方法求得近似解。
Matlab提供了“integral”函数用于数值积分，我们只需要给出被积函数和积分区间即可。
matlab 方程组 解
matlab 方程组解一、概述Matlab是一种强大的数学计算软件，它可以用来解决各种数学问题，包括解方程组。
在Matlab中，求解方程组是一个非常重要的功能，因为很多实际问题都可以转化为方程组的形式。
本文将详细介绍如何使用Matlab求解线性方程组和非线性方程组。
二、线性方程组1. 线性方程组的定义线性方程组是指各个未知量的次数都不超过1次的代数方程组。
例如：2x + 3y = 54x - 5y = 6就是一个包含两个未知量x和y的线性方程组。
2. Matlab中求解线性方程组方法在Matlab中，可以使用“\”或者“inv()”函数来求解线性方程组。
其中，“\”表示矩阵左除，即Ax=b时，求解x=A\b；“inv()”函数表示矩阵求逆，即Ax=b时，求解x=inv(A)*b。
例如，在Matlab中求解以下线性方程组：2x + 3y = 54x - 5y = 6可以使用以下代码：A=[2,3;4,-5];b=[5;6];x=A\b输出结果为：x =1.00001.0000其中，“A”为系数矩阵，“b”为常数矩阵，“x”为未知量的解。
三、非线性方程组1. 非线性方程组的定义非线性方程组是指各个未知量的次数超过1次或者存在乘积项、幂项等非线性因素的代数方程组。
例如：x^2 + y^2 = 25x*y - 3 = 0就是一个包含两个未知量x和y的非线性方程组。
2. Matlab中求解非线性方程组方法在Matlab中，可以使用“fsolve()”函数来求解非线性方程组。
该函数需要输入一个函数句柄和初始值向量，输出未知量的解向量。
例如，在Matlab中求解以下非线性方程组：x^2 + y^2 = 25x*y - 3 = 0可以使用以下代码：fun=@(x)[x(1)^2+x(2)^2-25;x(1)*x(2)-3];x0=[1;1];[x,fval]=fsolve(fun,x0)输出结果为：Local minimum found.Optimization completed because the size of the gradient is less thanthe default value of the function tolerance.<stopping criteria details>ans =1.60561.8708其中，“fun”为函数句柄，表示要求解的非线性方程组，“x0”为初始值向量，“[x,fval]”为输出结果，其中“x”表示未知量的解向量，“fval”为函数值。
matlab-解方程
1、解方程组问1：如何用matlab解方程组？这个问题其实在matlab中解方程组还是很方便的，例如，对于代数方程组Ax=b(A为系数矩阵，非奇异)的求解，MATLAB中有两种方法：(1)、x=inv(A)*b —采用求逆运算解方程组；(2)、x=A\ —采用左除运算解方程组。
例:x1+2x2=82x1+3x2=13>>A=[1,2;2,3];b=[8;13];>>x=inv(A)*bx =2.003.00>>x=A\bx =2.003.00；即二元一次方程组的解x1和x2分别是2和3。
问2：如何用matlab解多次的方程组？有符号解法，方法是：先解出符号解，然后用vpa(F,n)求出n位有效数字的数值解。
具体步骤如下：第一步:定义变量syms x y z ...;第二步:求解[x,y,z,...]=solve('eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1','var2',...'varN');第三步:求出n位有效数字的数值解x=vpa(x,n);y=vpa(y,n);z=vpa(z,n);...。
如：解二(多)元二(高)次方程组：x^2+3*y+1=0y^2+4*x+1=0解法如下：>>syms x y;>>[x,y]=solve('x^2+3*y+1=0','y^2+4*x+1=0');>>x=vpa(x,4);>>y=vpa(y,4);结果是：x =1.635+3.029*i1.635-3.029*i-.283-2.987y =1.834-3.301*i1.834+3.301*i-.3600-3.307。
二元二次方程组，共4个实数根；问3，如何用matlab解高次方程组(非符号方程组)？举个例子好吗？解答如下：基本方法是：solve(s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn)，即求表达式s1,s2,…,sn组成的方程组，求解变量分别v1,v2,…,vn。
用MATLAB做线性代数实验
2
0
, 2
5 3
, 3
1
3
, 4
1
4
, 5
1
2
。
3
6
0Hale Waihona Puke 73【程序如下】：
% (1)
A=[1 2 1 3;4 -1 5 6;1 -3 -4 7;1 2 1 1]' r=rank(A) [R,IP]=rref(A) % (2) A=[1 2 0 2 1;-2 -5 1 -1 1;0 -3 3 4 2;P3 6 0 -7 3] r=rank(A) [R,IP]=rref(A)
例如：
已知
A
1 3
2 4
,
B
1 1
2 0
，解矩阵方程
(1)
AX
B , (2) XA B 。
MATLAB 程序如下：
A=[1 2;3 4];
B=[1 2;-1 1];
X1=inv(A)*B % AX=B or
X1=A\B
X2=B*inv(A) % XA=B
X2=A/B
将 p(x) 分解为最简分式之和 q( x)
[p,q]=residue(a,b,r) 将简单分式之和合并为有理分式
例如，将有理分式
f
(x)
x2 x3 2x2 3x2
分解为最简分式之和的程序如下：
p=[1 2];
q=[1 2 3 2];
[a,b,r]=residue(p,q)
输出：a =
-0.2500 - 0.4725i
p=[1 -6 11 -6];
matlab求解一元二次方程
matlab求解一元二次方程一元二次方程的求解是学习数学的基础，它涉及到平面几何、代数和代数算法等多个学科。
Matlab是一款数学建模、设计分析和算法编程等工具，可以用来求解一元二次方程。
本文就介绍一下如何使用Matlab求解一元二次方程。
一、什么是一元二次方程？一元二次方程是指一个二次次方的系数和一个一次方的系数（或常数）相乘并且加和相加等于零的一元方程式。
它由一下形式表示：ax+bx+c=0，其中a，b，c为系数。
例如：2x＋3x－6=0二、Matlab求解一元二次方程的方法Matlab可以用来求解一元二次方程，可以使用两种方法：1. 使用解析法解析法指的是采用基本的数学算法，直接推导出一元二次方程的解。
要使用Matlab求解一元二次方程，可以使用求根公式（如求一元二次方程的解的公式：x1=(-b+√（b-4ac））/2a）.例如，用Matlab求解2x＋3x－6=0，首先，计算其系数a=2，b=3，c＝-6，然后根据求根公式求解：x1=(-3+√（3-4*2*（-6））/2*2x1=4.5x2=(-3-√（3-4*2*（-6））/2*2x2=-2.52. 使用数值法数值法指的是可以使用数值计算（如牛顿法、二分法等）来求解一元二次方程。
Matlab中有内置的函数能够使用数值法求解一元二次方程。
如函数fzero和fsolve就可以用来求解一元二次方程。
例如，要使用fzero求解2x＋3x－6=0，可以使用以下Matlab 代码：>>fun=@(x)2*x^2+3*x-6;>>fzero(fun,0)ans = 4.5000三、总结Matlab可以用来求解一元二次方程，可以采用解析法和数值法两种方法。
解析法是直接使用基本的数学算法求解，而使用数值法的话，就要使用Matlab里的内置函数，如fzero和fsolve。
由此可见，Matlab可以说是求解一元二次方程的一把好手，能够有效地求解复杂的一元二次方程。
用Matlab解代数方程
一般的代数方程函数solve用于求解一般代数方程的根，假定S为符号表达式，命令solve (S)求解表达式等于0的根,也可以再输入一个参数指定未知数。
例：syms a b c xS=a*x^2+b*x+c;solve(S)ans=[ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))][ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]b=solve(S,b)b =-(a*x^2+c)/x线性方程组线性方程组的求解问题可以表述为：给定两个矩阵A和B，求解满足方程AX=B或XA=B的矩阵X。
方程AX=B的解用X=A\B或X=inv (A)*B表示；方程XA=B 的解用X=B/A或X=B*inv (A)表示。
不过斜杠和反斜杠运算符计算更准确，占用内存更小，算得更快。
线性微分方程函数dsolve用于线性常微分方程（组）的符号求解。
在方程中用大写字母D表示一次微分,D2，D3分别表示二阶、三阶微分，符号D2y相当于y关于t的二阶导数。
函数dsolve的输出方式格式说明y=dsolve(‘Dyt=y0*y’) 一个方程，一个输出参数[u,v]=dsolve(‘Du=v’,’Dv=u’) 两个方程，两个输出参数S=dsolve(‘Df=g’,’Dg=h’,’Dh=-2*f ‘)方程组的解以S.fS.g S.h结构数组的形式输出例1 求 21u dtdu += 的通解.解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')结果：u = tg(t-c)例2 求微分方程的特解.ïîïíì===++15)0(',0)0(029422y y y dxdydx y d 解输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')结果为: y =3e -2x sin （5x ）例3 求微分方程组的通解.ïïïîïïïíì+-=+-=+-=z y x dtdz zy x dtdyz y x dt dx244354332解输入命令：[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')；x=simple(x) % 将x 化简y=simple(y)z=simple(z)结果为：x = (c 1-c 2+c 3+c 2e -3t -c 3e -3t )e 2ty = -c 1e -4t +c 2e -4t +c 2e -3t -c 3e -3t +(c 1-c 2+c 3)e 2t z = (-c 1e -4t +c 2e -4t +c 1-c 2+c 3)e 2t非线性微分方程注意:1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.例4 ïîïíì===---0)0(';2)0(0)1(1000222x x x dtdx x dt x d 解: 令y 1=x ，y 2=y 1’则微分方程变为一阶微分方程组：ïîïíì==--==0)0(,2)0()1(1000''211221221y y y y y y y y 1、建立m-文件vdp1000.m 如下：function dy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);2、取t 0=0，t f =3000，输入命令：[T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1),'-')3、结果如图50010001500200025003000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52例5 解微分方程组.ïïîïïíì===-=-==1)0(,1)0(,0)0(51.0'''321213312321y y y y y y y y y y y y 解1、建立m-文件rigid.m 如下：function dy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t 0=0，t f =12，输入命令：[T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')3、结果如图24681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81图中，y 1的图形为实线，y 2的图形为“*”线，y 3的图形为“+”线.例6 Lorenz 模型的状态ïîïíì-+-=+-=+-=)()()()()()()()()()()()(322133223221t x t x t x t x t xt x t x t xt x t x t x t x r s s b &&& 若令3/8,28,10===b r s 且初值为e ===)0(,0)0()0(321x x x ，e 为一个小常数，假设1010-=e。
matlab求解代数方程组解析
第三讲 Matlab 求解代数方程组理论介绍：直接法+迭代法，简单介绍相关知识和应用条件及注意事项 软件求解：各种求解程序讨论如下表示含有n 个未知数、由n 个方程构成的线性方程组：11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1）一、直接法 1.高斯消元法：高斯消元法的基本原理： 在（1）中设110,a ≠将第一行乘以111,k a a -加到第(2,3,,),k k n = 得： (1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2)22112(2)(2)(2)22n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b ⎧+++=⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩（2）其中(1)(1)1111,.k k aa b b ==再设(2)220,a ≠将（2）式的第二行乘以(2)2(2)22,(3,,)k a k n a -= 加到第k 行，如此进行下去最终得到：(1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2)22112(1)(1)(1)1,111,1()()n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b a x b --------⎧+++=⎪++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=⎩（3） 从（3）式最后一个方程解出n x ，代入它上面的一个方程解出1n x -，并如此进行下去，即可依次将121,,,,n n x x x x - 全部解出，这样在()0(1,2,,)k kk a k n ≠= 的假设下，由上而下的消元由下而上的回代，构成了方程组的高斯消元法. 高斯消元法的矩阵表示：若记11(),(,,),(,,)T T ij n n n n A a x x x b b b ⨯=== ，则（1）式可表为.Ax b =于是高斯消元法的过程可用矩阵表示为：121121.n n M M M Ax M M M b --=其中：(1)21(1)111(1)1(1)11111n a a M a a ⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (2)32(2)222(2)2(2)221111n a a M a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭高斯消元法的Matlab 程序： %顺序gauss 消去法,gauss 函数 function[A,u]=gauss(a,n) for k=1:n-1%消去过程 for i=k+1:n for j=k+1:n+1%如果a(k,k)=0,则不能削去 if abs(a(k,k))>1e-6 %计算第k 步的增广矩阵 a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)/a(k,k)*a(k,j); else%a(k,k)=0,顺序gauss 消去失败 disp (‘顺序gauss 消去失败‘)； pause; exit; end end end end%回代过程 x(n)=a(n,n+1)/a(n,n); for i=n-1:-1:1 s=0; for j=i+1:n s=s+a(i,j)*x(j); endx(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i); end%返回gauss 消去后的增广矩阵 A=triu(a); %返回方程组的解 u=x ;练习和分析与思考： 用高斯消元法解方程组：12345124512345124512452471523814476192536x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++=⎪⎪++++=⎨⎪+++=⎪+++=⎪⎩2.列主元素消元法在高斯消元法中进行到第k 步时，不论()k ik a 是否为0，都按列选择()||(,,)k ik a i k n = 中最大的一个，称为列主元，将列主元所在行与第k 行交换再按高斯消元法进行下去称为列主元素消元法。
【matlab-7】Matlab与线性代数（一）
【matlab-7】Matlab与线性代数（⼀）⼀、线性代数基本⽅程组基本⽅程组：矩阵表⽰：解决问题的视⾓：1、解联⽴⽅程的视⾓ (⾏阶梯变换 & 矩阵运算)着重研究解x，即研究线性⽅程组的解法。
中学⾥的解⽅程和MATLAB的矩阵除法就是这样。
要点：矩阵的每⼀⾏代表⼀个⽅程，m⾏代表m个线性联⽴⽅程。
n列代表n个变量。
如果m是独⽴⽅程数，根据m<n、m=n、m>n确定⽅程是 ‘⽋定’、‘适定’ 还是 ‘超定’。
对这三种情况都会求解了，研究就完成了。
必须剔除⾮独⽴⽅程。
⾏阶梯形式、⾏列式和秩的概念很⼤程度上为此⽬的⽽建⽴。
2、向量空间中向量的合成的视⾓ (⽤向量空间解⽅程组)把A各列看成n个m维基本向量，线性⽅程组看成基向量的线性合成：要点：解x是这些基向量的系数。
它可能是常数(适定⽅程)，也可能成为其中的⼀个⼦空间(⽋定⽅程) 。
要建⽴其⼏何概念，并会求解或解空间。
3、线性变换或映射的视⾓ (线性变换及其特征)把b看成变量y，着重研究把Rn空间的x变换为Rm空间y 的效果，就是研究线性变换系数矩阵A的特征对变换的影响。
要点：就是要找到适当的变换，使研究问题的物理意义最为明晰。
特征值问题就是⼀例。
⼆、线性代数建模与应⽤概述介绍⼀些⼤的系统⼯程中使⽤线性代数的情况，使读者知道为什么线性代数在近⼏⼗年来变得如此的重要。
Leontief教授把美国的经济⽤500个变量的500个线性⽅程来描述，在1949年利⽤当时的计算机解出了42×42的简化模型，使他于1973年获得诺贝尔经济奖，从⽽⼤⼤推动了线性代数的发展。
把飞⾏器的外形分成若⼲⼤的部件，每个部件沿着其表⾯⼜⽤三维的细⽹格划分出许多⽴⽅体，这些⽴⽅体包括了机⾝表⾯以及此表⾯内外的空⽓。
对每个⽴⽅体列写出空⽓动⼒学⽅程，其中包括了与它相邻的⽴⽅体的共同边界变量，这些⽅程通常都已经简化为线性⽅程。
对⼀个飞⾏器，⼩⽴⽅体的数⽬可以多达400,000个，⽽要解的联⽴⽅程可能多达2,000,000个。
matlab中快速求解xa=b的方法
matlab中快速求解xa=b的方法在Matlab中，要快速求解线性方程组xa=b，可以使用以下几种方法：1. 直接求解法（\）：直接使用斜杠操作符（\）可以求解线性方程组。
例如，对于方程组xa=b，可以直接使用x = A\b来解决，其中A是系数矩阵，b是常数向量。
这种方法使用了高效的LU分解算法，并且能够自动适应方程组的类型（如稀疏矩阵或密集矩阵），因此是一种快速求解线性方程组的常用方法。
2. QR分解法：QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的方法。
在Matlab中，可以使用qr函数对系数矩阵进行QR分解，然后使用这个分解求解线性方程组。
具体而言，可以使用[q,r] = qr(A)将系数矩阵A分解为正交矩阵q和上三角矩阵r，然后使用x = r\(q'*b)求解方程组。
这种方法通常适用于方程组的系数矩阵具有较大的条件数或者方程组数目较多的情况。
3. Cholesky分解法：如果线性方程组的系数矩阵是对称正定的，那么可以使用Cholesky分解来求解方程组。
在Matlab中，可以使用chol函数对系数矩阵进行Cholesky分解，然后使用这个分解求解线性方程组。
具体而言，可以使用R = chol(A)将系数矩阵A分解为上三角矩阵R，然后使用x = R'\(R\b)求解方程组。
Cholesky分解法通常适用于系数矩阵具有良好的性质（如对称正定）的情况。
4. 迭代法：如果线性方程组的系数矩阵是稀疏的，那么可以使用迭代法来求解方程组。
迭代法的基本思想是通过迭代改进解的逼近值。
在Matlab中，可以使用pcg函数（预处理共轭梯度法）或者bicg函数（双共轭梯度法）来求解稀疏线性方程组。
这些函数需要提供一个预处理矩阵，用于加速迭代过程。
预处理矩阵可以根据具体问题进行选择，常见的预处理方法包括不完全LU分解（ilu）和代数多重网格（amg）等。
通过使用上述方法，可以在Matlab中快速求解线性方程组xa=b。
matlab 求解二元方程
matlab 求解二元方程
Matlab是一种强大的计算软件，可以用来解决各种数学问题，包括求解二元方程。
二元方程是指只有两个未知数的方程，通常表示为ax + by = c和dx + ey = f。
如果我们知道a、b、c、d、e和f 的值，我们可以使用Matlab求解这个方程组，找到x和y的值。
要使用Matlab求解二元方程，需要使用线性代数中的求解方法。
具体步骤如下：
1. 将方程表示为矩阵形式。
将系数和常数项分别表示为矩阵A 和矩阵B，得到方程组AX = B。
2. 使用Matlab中的“linsolve”函数求解方程组。
该函数接受两个参数：A和B。
它返回一个向量X，其中包含方程组的解。
3. 使用向量X计算x和y的值。
根据方程ax + by = c和dx + ey = f，我们可以得到x和y的计算公式。
使用Matlab求解二元方程非常简单，只需几行代码即可完成。
以下是一个示例：
% 定义方程的系数和常数项
A = [2 3; 4 5];
B = [8; 14];
% 求解方程组
X = linsolve(A, B);
% 计算x和y的值
x = X(1);
y = X(2);
disp(['x = ', num2str(x)]);
disp(['y = ', num2str(y)]);
这将输出x = 1，y = 2，这就是方程的解。
微分代数方程
微分代数方程(DAE)的Matlab解法所谓微分代数方程，是指在微分方程中，某些变量满足某些代数方程的约束。
假设微分方程的更一般形式可以写成前面所介绍的ODEs数值解法主要针对能够转换为一阶常微分方程组的类型，故DAE就无法使用前面介绍的常微分方程解法直接求解，必须借助DAE的特殊解法。
其实对于我们使用Matlab求解DAE时，却没有太大的改变只需增加一个Mass参数即可。
描述f(t,x)的方法和普通微分方程完全一致。
注意：ode15i没法设置Mass属性，换句话说除了ode15i外其他ode计算器都可以求解DAEs问题1.当M(t,y)非奇异的时候，我们可以将微分方程等效的转换为y'=inv(M)*f(t,y)，此时就是一个普通的ODE(当然我们可以将它当成DAEs处理)，对任意一个给定的初值条件都有唯一的解2.当m(t,y)奇异时，我们叫它为DAEs(微分代数方程)，DAEs问题只有在同时提供状态变量初值y0和状态变量一阶导数初值py0，且满足M(t0,y0)*yp0=f(t0,y0)时才有唯一解，假如不满足上面的方程，DAEs解算器会将提供的y0和py0作为猜测初始值，并重新计算与提供初值最近的封闭初值3.质量矩阵可是一个常数矩阵(稀疏矩阵)，也可以是一个自定义函数的输出。
但是ode23s只能求解Mass是常数的DAEs4.对于Mass奇异的DAEs问题，特别是设置MassSingular为yes时，只能ode15s 和ode23t解算器5.对于DAE我们还有几个参数需要介绍a.Mass：质量矩阵，不说了，这个是DAE的关键，后面看例子就明白了b.MStateDependence：质量矩阵M(t,y)是否是y的函数，可以选择none|{weak}|strong，none表示M与y无关，weak和strong都表示与y相关c.MvPattern：注意这个必须是稀疏矩阵，S(i,j)=1表示M(t,y)的第i行中任意元素都与第j个状态变量yi有关，否则为0d.MassSingular：设置Mass矩阵是否奇异，当设置为yes时，只能使用ode15s 和ode23te.InitialSlope：状态变量的一阶导数初值yp0，和y0具有相同的size，当使用ode15s和ode23t时，该属性默认为0下面我们以实例说明，看下面的例子，求解该方程的数值解【解】真是万幸，选取状态变量和求状态变量的一阶导数等，微分方程转换工作，题目已经帮我们完成。
Matlab 求代数方程的近似解
x*
即 x* ( x*)
( x*)
f ( x*) 0
注：若得到的点列发散，则迭代法失效！
迭代法收敛性判断
如果存在 x* 的某个 邻域 =(x*- , x* + ), 使 定义： 得对 x0 开始的迭代 xk+1 = (xk) 都收敛, 则称该迭代法在 x* 附近局部收敛。 设 x* =(x*)，的某个邻域 内连续，且对 定理 1： x 都有 |’(x)|q< 1, 则对 x0 ，由迭 代 xk+1 = (xk) 得到的点列都收敛。
f 是符号表达式，也可以是字符串 默认变量由 findsym(f,1) 确定
>> syms x >> f=sin(x)+3*x^2; >> g=diff(f,x) >> g=diff('sin(x)+3*x^2','x')
Matlab 解方程函数
roots(p)：多项式的所有零点，p 是多项式系数向量。 fzero(f,x0)：求 f=0 在 x0 附近的根，f 可以使用
inline、字符串、或 @，但不能是方程或符号表达式！
linsolve(A,b)：解线性方程组。 solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 可以是用
得到一个迭代序列
k = 0, 1, 2, ... ...
xk k 0
f (x) = 0 f (x) 的零点
等价变换
x = (x)
(x) 的不动点
迭代法的收敛性
收敛性分析
若 ，假设 (x) 连续，则 xk x * xk 收敛，即lim k
代数方程组的MATLAB求解
【分析】对于这样一个比较复杂的函数，我们不好判断它的零点的范围，只有先画出图形观察。 执行如下语句，得到函数图形如图所示。
图
函数图形
由图可知，题述函数共有5个根，下面利用鼠标取点函数ginput选取迭代初始值，然后利用fsolve 函数求解
谢谢大家！
Gauss消去法 Gauss消去法是求解线性方程组较为有效的方法，它主要包括两个操作：消元和迭代。顺 序Gauss消去法是指按行原先的位置进行消元的Gauss消去法。下面介绍顺序Gauss消去法的一 般步骤。为叙述方便，将线性方程组 写成增广矩阵的形式
其中
3.矩阵分解法及其MATLAB实现
求解线性方程组除了消去法，还有矩阵分解方法。 所谓矩阵分解方法，就是将矩阵 A 分解成两个或多个简单矩阵的乘积，由于分解后的矩阵 具有某种特殊性，因此便于方程组的求解。
，而其余
2.消去法及其MATLAB实现
上三角形方程组的求解
称形如 的方程组为上三角形方程组
，写成矩阵形式为
其中
称 U为上三角矩阵。若
即
则上三角方程组有唯一解，且可从上式的最后一个方程解出 代入倒数第二个方程 可得 一般地，设已求得 ，则由上述方程组的第i个方程可得 上述求解方程组的过程称为回代过程。
第10章 代数方程组的MATLAB求解
编者
Outline
10.1 10.2 10.3
线性方程组的求解 多项式方程组的准解析解法 超越方程组的求解
10.1 超越方程组的求解
1.克莱姆（Cramer）法则及其MATLAB实现
对于恰定线性方程组
若其系数行列式
,
则上述线性方程组有唯一解
其中 是把D 中第j 列元素 对应地换成常数项 各列保持不变所得到的行列式，这就是克莱姆（Cramer）法则。 MATLAB中没有提供实现克莱姆法则的函数，这需要我们自行编写相应的函数文件
matlab代数方程近似解
linsolve(A,b)：解线性方程组。 solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 可以是用
字符串表示的方程、符号表达式； solve 也可解方程组(包含非线性)； 得不到解析解时，给出数值解。
上机作业
1.根据二分法的步骤编写程序bisec.m求
相关概念
线性方程 与 非线性方程
f ( x) 0
如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方 程；否则称之为非线性方程。
本节主要讨论非线性方程的数值求解
对分法
基本思想
将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后 再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。
适用范围
(4) 令 x1 (a1 b1 ) / 2, 若 | f ( x1 ) | ，则停止计算， 输出结果 x x1； 若 f (a1 ) f ( x1 ) 0，令 a2 a1, b2 x1; 否则令 a2 x1, b2 b1；
... ...
Matlab程序见 bisec.m
f ( x ) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) 2! ( x x0 )
f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
令： P ( x ) 0
P( x)
( f '( x0 ) 0)
f ( x0 ) x x0 f '( x0 )
(1) 令 x0 (a b) / 2，计算 f ( x0 )； (2) 若 | f ( x0 ) | ，则 x0 就是我们所要的近似根，
停止计算， 输出结果 x x0；
9.matlab求解一元n次方程
9．如何求解一元n 次方程
求一元n 次方程的根用命令roots。
我们都知道，一元二次方程ax 2+ bx + c = 0 的求根公式为
x1,2=−b±√b2−4ac
2a
例如对于方程式 2x 2 + 5x + 8 = 0 ，首先输入系数，然后按公式计算两个根的值，在MATLAB 中键入
a=2；b=5；c=8；
p=sqrt(b^2-4*a*c)；
x1=(-b-p)/(2*a)
x2=(-b+p)/(2*a)
计算机屏幕将显示此方程的两个根：
x1 = -1.2500 - 1.5612i x2 = -1.2500 + 1.5612i 对于高次方程，比如 5 次以上的方程，我们无法用求根公式求解。
但是用MATLAB的求多项式零点的命令可以求出高次方程的全部根。
以上面的例子为例，只须键入
roots([2,5,8])
并回车，计算机将显示
ans =
-1.2500 + 1.5612i
-1.2500 - 1.5612i
这与前面计算结果相同，由此可知命令“ roots([2,5,8])”求出了一元二次方程2x 2 + 5x + 8 = 0的全部根。
所以对于一个高次代数方程
a0x n+a1x n−1+⋯+a n−1x+a n=0
用命令roots([a0 a1 … an])可以求出该n 次方程的全部根。
线性代数方程组数值解法及MATLAB实现综述
线性代数方程组数值解法及MATLAB 实现综述廖淑芳 20122090 数计学院 12计算机科学与技术1班（职教本科） 一、分析课题随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。
其数值计算中线性代数方程的求解问题就广泛应用于各种工程技术方面。
因此在各种数据处理中，线性代数方程组的求解是最常见的问题之一。
关于线性代数方程组的数值解法一般分为两大类：直接法和迭代法。
直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。
直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。
迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。
迭代法包括Jacobi 法SOR 法、SSOR 法等多种方法。
二、研究课题-线性代数方程组数值解法 一、 直接法 1、 Gauss 消元法通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，以使A 对角线以下的元素化为零，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量。
1.1消元过程1. 高斯消元法(加减消元)：首先将A 化为上三角阵，再回代求解。
11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M M L (1)(1)(1)(1)(1)11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333()()000000nn n n n nn n a a a a b a a a b a a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭L L L M M M OM M L 步骤如下：第一步：1111,2,,i a i i n a -⨯+=L 第行第行 11121121222212n nn n nn n a a a b a a a b a a a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭L L M M O M M L111211(2)(2)(2)2222(2)(2)(2)200n nn nn n a a a b a a b a a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭LL M M O M M L第二步：(2)2(2)222,3,,i a i i n a -⨯+=L 第行第行111211(2)(2)(2)2222(2)(2)(2)200nnn nn n a a a b a a b a a b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M M L11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333(3)(3)(3)300000n n nn nn n a a a a b a a a b a a b a a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭LL LM M M O M M L 类似的做下去，我们有：第k 步：()()k ,1,,k ikk kka i i k n a -⨯+=+L 第行第行。
matlab计算ax=0的基础解系
一、背景介绍在数学和工程学中，我们经常会面对线性代数方程组的求解问题。
其中，当我们遇到方程组的解空间非常庞大或是无穷多解时，我们就需要找到方程的基础解系来描述解空间的性质。
在实际应用中，Matlab 是一个非常强大的数学计算软件，它提供了丰富的工具和函数来进行线性代数方程组的求解和分析。
二、什么是基础解系基础解系是指线性代数方程组Ax=0的解空间中的一组基。
它的性质决定了解空间的维数和特征，对于理解和求解方程组的特解和通解非常重要。
在Matlab中，我们可以通过一系列的操作和函数来求解方程组的基础解系。
三、如何在Matlab中计算基础解系1. 定义矩阵A我们需要在Matlab中定义一个矩阵A，表示线性代数方程组Ax=0中的系数矩阵。
2. 调用null函数接下来，我们可以使用Matlab中的null函数来求解方程组的基础解系。
null函数可以计算出矩阵A的零空间，也就是方程组的解空间。
3. 判断解的维数通过null函数求解出的基础解系矩阵，我们可以判断解空间的维数。
在Matlab中，我们可以通过rank函数来计算矩阵的秩，从而确定解空间的维数。
4. 整理基础解系我们可以对求解出的基础解系矩阵进行整理和分析，得到方程组解空间的特征和性质。
四、实例分析让我们通过一个简单的实例来演示在Matlab中计算基础解系的过程。
假设我们有一个3x3的系数矩阵A：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]我们可以通过Matlab中的null函数来求解方程组Ax=0的基础解系：null(A)通过该函数我们可以得到一个基础解系矩阵B：B = [1 -2 1; 0 0 0]通过观察B矩阵，我们可以判断方程组Ax=0的解空间的维数为1。
这意味着方程组存在一个基础解系，解空间由一维向量张成。
五、总结在Matlab中计算线性代数方程组Ax=0的基础解系是一个非常重要且常见的问题。
通过使用Matlab提供的null函数、rank函数等工具，我们可以轻松地求解出方程组的解空间特征和性质。
【MATLAB】实验五：数值微积分与方程数值求解
实验五 数值微积分与方程数值求解一、实验目的1. 掌握求数值导数和数值积分的方法。
2. 掌握代数方程数值求解的方法。
3. 掌握常微分方程数值求解的方法。
二、实验内容要求：命令手工 ( )输入1. 求函数在指定点的数值导数。
232()123,1,2,3026x x x f x x x x x==2. 用数值方法求定积分。
(1) 210I π=⎰的近似值。
(2) 2220ln(1)1x I dt xπ+=+⎰3. 分别用三种不同的数值方法解线性方程组。
6525494133422139211x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-⎧⎪-+-=⎪⎨++-=⎪⎪-+=⎩4. 求非齐次线性方程组的通解。
1234123412342736352249472x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解：先建立M 函数文件,然后命令窗口中写命令。
121/119/112/115/111/1110/11100010X k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中12,k k 为任意常数。
5. 求代数方程的数值解。
(1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。
(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。
23sin ln 70321050y x y z x z x y z ⎧++-=⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ans =1289/6826. 求函数在指定区间的极值。
(1) 3cos log ()xx x x x f x e ++=在(0,1)内的最小值。
(2) 33212112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。
（以下选作题，是微分方程的数值解）7. 求微分方程的数值解。
x 在[1.0e-9,20]2250(0)0'(0)0xd y dy y dx dx y y ⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩解：M 文件：运行结果：8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一般的代数方程
函数solve用于求解一般代数方程的根，假定S为符号表达式，命令solve (S)求解表达式等于0的根,也可以再输入一个参数指定未知数。
例：
syms a b c x
S=a*x^2+b*x+c;
solve(S)
ans=
[ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))]
[ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]
b=solve(S,b)
b =
-(a*x^2+c)/x
线性方程组
线性方程组的求解问题可以表述为：给定两个矩阵A和B，求解满足方程AX=B或XA=B的矩阵X。
方程AX=B的解用X=A\B或X=inv (A)*B表示；方程XA=B 的解用X=B/A或X=B*inv (A)表示。
不过斜杠和反斜杠运算符计算更准确，占用内存更小，算得更快。
线性微分方程
函数dsolve用于线性常微分方程（组）的符号求解。
在方程中用大写字母D表示一次微分,D2，D3分别表示二阶、三阶微分，符号D2y相当于y关于t的二阶导数。
函数dsolve的输出方式
格式说明
y=dsolve(‘Dyt=y0*y’) 一个方程，一个输出参数[u,v]=dsolve(‘Du=v’,’Dv=u’) 两个方程，两个输出
参数
S=dsolve(‘Df=g’,’Dg=h’,’Dh=-2*f ‘)方程组的解以S.f
S.g S.h结构数组的形式输出
例1 求 2
1u dt
du += 的通解.
解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
结
果：u = tg(t-c)
例2 求微分方程的特解.
ïîïíì===++15
)0(',0)0(029422
y y y dx
dy
dx y d 解输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
结果为: y =3e -2x sin （5x ）
例3 求微分方程组的通解.
ïïïîïïïíì+-=+-=+-=z y x dt
dz z
y x dt
dy
z y x dt dx
244354332解输入命令：
[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')；x=simple(x) % 将x 化简y=simple(y)z=simple(z)
结果为：x = (c 1-c 2+c 3+c 2e -3t -c 3e -3t )e 2t
y = -c 1e -4t +c 2e -4t +c 2e -3t -c 3e -3t +(c 1-c 2+c 3)e 2t z = (-c 1e -4t +c 2e -4t +c 1-c 2+c 3)e 2t
非线性微分方程
注意:
1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.
2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.
例4 ïî
ïíì===---0)0(';2)0(0)1(1000222x x x dt
dx x dt x d 解: 令y 1=x ，y 2=y 1’
则微分方程变为一阶微分方程组：
ïî
ïíì
==--==0
)0(,2)0()1(1000''21122
1221y y y y y y y y 1、建立m-文件vdp1000.m 如下：
function dy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);
dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);
2、取t 0=0，t f =3000，输入命令：
[T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1),'-')3、结果如图
50010001500200025003000
-2.5
-2-1.5-1-0.50
0.511.52
例5 解微分方程组.
ïïîï
ïí
ì
===-=-==1
)0(,1)0(,0)0(51.0'''3212
13312321y y y y y y y y y y y y 解
1、建立m-文件rigid.m 如下：function dy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);
dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);
2、取t 0=0，t f =12，输入命令：
[T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]);
plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')3、结果如图
2
4
6
8
10
12
-1-0.8-0.6
-0.4-0.200.20.40.60.81图中，y 1的图形为实线，y 2的图形为“*”线，y 3的图形为“+”线.
例6 Lorenz 模型的状态
ïîï
íì-+-=+-=+-=)
()()()()()()()()()()()(322133223221t x t x t x t x t x
t x t x t x
t x t x t x t x r s s b &&& 若令3/8,28,10===b r s 且初值为
e ===)0(,0)0()0(321x x x ，e 为一个小常数，假
设10
10
-=e。