合肥市寿春中学数学全等三角形(篇)(Word版 含解析)

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一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)

1.如图1,在△ACB和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,点E在AB上,F是线段BD的中点,连接CE、FE.

(1)请你探究线段CE与FE之间的数量关系(直接写出结果,不需说明理由);

(2)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转,使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上(如图2),连接BD,取BD的中点F,问(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由;

(3)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度(如图3),连接BD,取BD的中点F,问(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.

【答案】(1)线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE;(2)(1)中的结论仍然成立.理由见解析;(3)(1)中的结论仍然成立.理由见解析

【解析】

【分析】

(1)连接CF,直角△DEB中,EF是斜边BD上的中线,因此EF=DF=BF,∠FEB=∠FBE,同理可得出CF=DF=BF,∠FCB=∠FBC,因此CF=EF,由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE,同理∠DFC=2∠FBC,因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2(∠EBF+∠CBF)=90°,因此△EFC是等腰直角三角形,2EF;

(2)思路同(1)也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解.连接CF,延长EF交CB 于点G,先证△EFC是等腰三角形,可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论,那么就要证明EF=FG,就需要证明△DEF和△FGB全等.这两个三角形中,已知的条件有一组对顶角,DF=FB,只要再得出一组对应角相等即可,我们发现DE∥BC,因此∠EDB=∠CBD,由此构成了两三角形全等的条件.EF=FG,那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了,下面证明△CFE是个直角三角形.由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD,又由AC=BC,因此

CE=CG,∠CEF=45°,在等腰△CFE中,∠CEF=45°,那么这个三角形就是个等腰直角三角形,因此就能得出(1)中的结论了;

(3)思路同(2)通过证明△CFE来得出结论,通过全等三角形来证得CF=FE,取AD的中点M,连接EM,MF,取AB的中点N,连接FN、CN、CF.那么关键就是证明△MEF和△CFN全等,利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线,我们不难得出

EM=PN=1

2

AD,EC=MF=

1

2

AB,我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结

论.我们知道PN是△ABD的中位线,那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形,那么对角就相等,于是90°+∠CNF=90°+∠MEF,因此∠CNF=∠MEF,那么两三角形就全等了.证明∠CFE是直角的过程与(1)完全相同.那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形,于是得出的结论与(1)也相同.

【详解】

(1)如图1,连接CF,线段CE与FE之间的数量关系是CE=2FE;

解法1:

∵∠AED=∠ACB=90°

∴B、C、D、E四点共圆

且BD是该圆的直径,

∵点F是BD的中点,

∴点F是圆心,

∴EF=CF=FD=FB,

∴∠FCB=∠FBC,∠ECF=∠CEF,

由圆周角定理得:∠DCE=∠DBE,

∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°

∴∠ECF=45°=∠CEF,

∴△CEF是等腰直角三角形,

∴CE=2EF.

解法2:

易证∠BED=∠ACB=90°,

∵点F是BD的中点,

∴CF=EF=FB=FD,

∵∠DFE=∠ABD+∠BEF,∠ABD=∠BEF,

∴∠DFE=2∠ABD,

同理∠CFD=2∠CBD,

∴∠DFE+∠CFD=2(∠ABD+∠CBD)=90°,

即∠CFE=90°,

∴CE=2EF.

(2)(1)中的结论仍然成立.

解法1:如图2﹣1,连接CF,延长EF交CB于点G,

∵∠ACB=∠AED=90°,

∴DE∥BC,

∴∠EDF=∠GBF,

又∵∠EFD=∠GFB,DF=BF,

∴△EDF≌△GBF,

∴EF=GF,BG=DE=AE,

∵AC=BC,

∴CE=CG,

∴∠EFC=90°,CF=EF,

∴△CEF为等腰直角三角形,

∴∠CEF=45°,

∴CE=2FE;

解法2:如图2﹣2,连结CF、AF,

∵∠BAD=∠BAC+∠DAE=45°+45°=90°,又点F是BD的中点,

∴FA=FB=FD,

而AC=BC,CF=CF,

∴△ACF≌△BCF,

∴∠ACF=∠BCF=1

2

∠ACB=45°,

∵FA=FB,CA=CB,

∴CF所在的直线垂直平分线段AB,

同理,EF所在的直线垂直平分线段AD,

又DA⊥BA,

∴EF⊥CF,

∴△CEF为等腰直角三角形,

∴CE=2EF.

(3)(1)中的结论仍然成立.

解法1:如图3﹣1,取AD的中点M,连接EM,MF,取AB的中点N,连接FN、CN、

CF,

∵DF=BF,

∴FM∥AB,且FM=1

2 AB,

∵AE=DE,∠AED=90°,∴AM=EM,∠AME=90°,∵CA=CB,∠ACB=90°

∴CN=AN=1

2

AB,∠ANC=90°,

∴MF∥AN,FM=AN=CN,

∴四边形MFNA为平行四边形,

∴FN=AM=EM,∠AMF=∠FNA,

∴∠EMF=∠FNC,

∴△EMF≌△FNC,

∴FE=CF,∠EFM=∠FCN,

由MF∥AN,∠ANC=90°,可得∠CPF=90°,

∴∠FCN+∠PFC=90°,

∴∠EFM+∠PFC=90°,

∴∠EFC=90°,

∴△CEF为等腰直角三角形,

∴∠CEF=45°,

∴CE=2FE.

【点睛】

本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等,如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建.

2.已知,如图A在x轴负半轴上,B(0,-4),点E(-6,4)在射线BA上,

(1) 求证:点A为BE的中点

(2) 在y轴正半轴上有一点F, 使∠FEA=45°,求点F的坐标.

(3) 如图,点M、N分别在x轴正半轴、y轴正半轴上,MN=NB=MA,点I为△MON的内角平分线的交点,AI、BI分别交y轴正半轴、x轴正半轴于P、Q两点, IH⊥ON于H, 记△POQ

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