高一数学排序
高一年级竞赛数学：4.排序不等式与切比雪夫不等式
A4.排序不等式与切比雪夫不等式一、基础知识排序不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ianna==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明：888333111.a b c a b c a b c ++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明：22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明：2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习 姓名：1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证：2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,n i i x ==∑求证：1ni =≥A4.排序不等式与切比雪夫不等式参考解答一、基础知识排序不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.证明：11111111()()(())()kk k i nnnnn kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111()()()()()0.k i i n nn k k n k kn k j i j k k i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a --++=========-+--=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()(())()kk k i n nn n n kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑.于是11.knnk j k k k k a ba b ==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.111111111111()()(())()k k k i nn n n n kk n k k j k n k j n n k j n i j k k k k k k k i a ba b a b b a b b b b a a --+-+-+-++======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111111()()()()()0.k i i n n n k k n k kn n k j n i j k k n i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a ---+-++-++=========-+--=--≤∑∑∑∑∑∑∑∑于是111.k nnk n k k j k k a ba b -+==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.证明：法1由排序不等式知道1122112212231112212111122n n n n n n n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+++=++++++≤++++++≤+++于是121111.nnnniin i i i i i i i a b a b a b n a b ====+++≤∑∑∑∑即111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.法2 11111111111()()()().nnnnnnnnnnni iiii ii ji ii jiiji i i i j i j i j i j na b a b a b a b a b a b a b b ===========-=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()()()().n n n n n n n ni i i i j j j j j j i i i i j j j i j n a b a b n a b a b a b b ========-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑于是1111111112(()())()()()()0.n n n n n n nn ni iiiiijjji i j i j i i i i j i j i j na b a b a b b a bb a a b b =========-=-+-=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑∑于是111()().nnniii ii i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n aa a ===或12nb b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：由排序不等式知道12121112111111.nnn n nx x x x x x n x x x x x x -+++≥+++= 即1211.nn n x x x n x x x -+++≥ 令G =12112122,,,.nn na a a a a a x x x G GG===于是1211221211211.nn n n nn a a a a a a GG G n a a a a a a a G G G--+++≥即12.na a a n G GG+++≥ 于是1.nii anG =≤∑1.nii an=∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ian na ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：不妨设120,n a a a ≥≥≥>则12111.na a a ≤≤≤由切比雪夫不等式知211111()().nn ni i i i i i in n a a a a ====⋅≤∑∑∑所以11.1ni i ni ia n n a ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明：888333111.a b c a b c a b c++++≤ 证明：不妨设0,a b c ≥≥>则555333333111,,a b c bc ca ab b c c a a b≥≥≤≤≥≥由排序不等式知 888555555222333333333333333333.a b c a b c a b c a b c a b c b c c a a b c a a b b c c a b++=++≥++=++又222333111,,a b c a b c ≥≥≤≤于是再使用排序不等式得222222333333111.a b c a b c c a b a b c a b c++≥++=++所以888333111.a b c a b c a b c++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥证明：等价于证明333222222.a b b c c a a b b c c a ++≥++再等价于222.a b c ab bc cac a b c a b++≥++(*) 不妨设,a b c ≥≥则111.a b c≤≤ 又,,a b c 是ABC ∆的三边长,所以,a b c +>从而()()().a b a b c a b +-≥-即22.a bc b ac +≥+因为,b c a +>从而()()().b c b c a b c +-≥-即22.b ac c ab +≥+所以222.a bc b ac c ab +≥+≥+由排序不等式知222222.a bc b ac c ab a bc b ac c aba b c c a b++++++++≤++ 即222.bc ac ab a b c a b c c a b++≤++于是(*)得证.从而222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明：22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++ 证明：不妨设.a b c d ≥≥≥则22221111,.a b c d b c d c d a d a b a b c≥≥≥≥≥≥++++++++先切比雪夫不等式,再使用柯西不等式,最后使用平均值不等式得2222222211114(+)()(+)a b c d a b c d b c d c d a d a b a b c b c d c d a d a b a b c++≥+++++++++++++++++++++211114(1111)644(+)3()3()b c d c d a d a b a b c a b c d a b c d +++=++≥=++++++++++++++16.3≥=于是22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.解：1212222nna a aS a a a =+++---. 不妨设1210,n a a a >≥≥≥>则121110.222na a a ≥≥≥>--- 使用切比雪夫不等式有12121211111111()()().222222n n nS a a a na a a n a a a ≥++++++=+++------ 在使用柯西不等式得2121211111(111)()().22222221n n n S n a a a n a a a n +++≥+++≥=----+-++-- 当且仅当121n a a a n ====等号成立.所以S 的最小值为.21nn -7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：111 1.111a b c ++≤+++ 证明：因为2222222221113,111111a b c a b c a b c ++=++-------所以222222 4.111a b c a b c ++=---又22222222211144(),111111a b c a b c a b c ++==++------所以2222224440.111a b c a b c ---++=--- 不妨设,a b c ≥≥于是222222,.111111a b c a b c a b c a b c ---+++≥≥≤≤+++--- 这是因为23()111x f x x x -==-++在(1,)+∞单调递增,23()111x g x x x +==+--在(1,)+∞单调递减. 于是使用切比雪夫不等式得22222244412222220()().1113111111a b c a b c a b c a b c a b c a b c ------+++=++≤++++---+++--- 因为,,1,a b c >所以2220.111a b c a b c +++++>--- 于是2220.111a b c a b c ---++≥+++ 因为22213131311133()0.111111111a b c a b c a b c a b c a b c ---+-+-+-++=++=-++≥+++++++++ 所以1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明：2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++ 证明：即证2()()().a b b c c aab bc ca a b c b c c a a b+++++++≤+++++ 因为()()().a b a b bcab bc ca a a b b c b c ++++=++++ 同理()()().b c b c caab bc ca b b c c a c a++++=++++ ()()().c a c a ab bc ca ab c c a a b a b++++=++++ 于是()()()()()()()()a b b c c a a b bc b c ca c a abab bc ca a a b b b c c c a b c c a a b b c c a a b++++++++++≤++++++++++++++ 222()()().a b bc b c ca c a aba b c ab bc ca b c c a a b+++=+++++++++++于是只须证明()()().a b bc b c ca c a abab bc ca b c c a a b+++++≤+++++(*)不妨设,a b c ≥≥于是111.a b c ≤≤从而111111.a b b c c a +≤+≤+即.a b c a b c ab ca bc+++≤≤ 所以.ab ca bca b c a b c≥≥+++又.a b a c b c +≥+≥+ 使用排序不等式得()()()()()().a b bc b c ca c a ab ab ca bca b c a b c ab bc ca b c c a a b a b c a b c+++++≤+++++=++++++++于是(*)得证.从而2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习 姓名：1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：不妨设120.n a a a ≥≥≥>由切比雪夫不等式知2211111()()().nnnnnii i i i i i i i i i nan a a a a a ======⋅≤=∑∑∑∑∑所以1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证：2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++证明：所证不等式等价于222222.z x y x y z x y y z x z x y y z z x++≥++++++++(*)不妨设,x y z ≤≤则222111,.x y z x y x z y z≤≤≥≥+++ 使用排序不等式得(*).所以原不等式成立.3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,ni i x ==∑求证：1ni =≥证明：不妨设12,n x x x ≥≥≥1x ≥≥≥-使用切比雪夫不等式得1111()(nnn ni i i i x n ===≥=∑使用柯西不等式得1ni n=≤==于是1nni =≥≥。
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
练习
1.设a1 , a2 ,..., an为实数，证明： a1c1 a2c2 ... an cn a a ... a ,
2 1 2 2 2 n
其中c1 , c2 ,..., cn是a1 , a2 ,..., an的任一排列。
练习
2.已知a, b, c为正数，用排序不等式证明 2(a b c ) a (b c) b (a c) c (a b).
当且 仅当 (i=1, 2,…, n) 或存 在一
ai kbi
bi 0
一般形式的三角不等式
x y z
2 1 2 1 2 1
x y z
2 2 2 2 2
2 2 2
( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z 2 )
2 2 2 x12 x2 ... xn 2 2 y12 y2 ... yn
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
例题
例1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例2.求函数y 5 x 1 10 2 x的最大值.
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
例2 设a1,a2,…,an是n个互不相等的正整数， 求证：
an a2 a3 1 1 1 1 ... a1 2 2 ... 2 2 3 n 2 3 n
证明：设b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一个排列， 且有 b1<b2<…<bn 因为b1,b2,…,bn是互不相等的正整数， 所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.
高一数学中的组合数学初步是什么
高一数学中的组合数学初步是什么在高一数学的学习中，我们会接触到一个新的领域——组合数学初步。
组合数学听起来似乎有些高深莫测，但实际上它与我们的日常生活和许多实际问题都有着紧密的联系。
组合数学简单来说，就是研究如何按照一定的规则安排和选取事物的数学分支。
它关注的是计数、排列和组合等问题。
先来说说计数。
假设我们要从班级里选出一名班长，有 50 名同学可供选择，那么有多少种不同的选法呢？这就是一个简单的计数问题。
再比如，从一副扑克牌中抽取 5 张牌，有多少种可能的组合？这也是组合数学要研究的内容。
排列则是考虑顺序的选取方式。
比如，从 10 个不同的数字中选取 3 个并按照一定的顺序排列，有多少种排列方式？如果我们要给书架上的 5 本书进行排序，又有多少种不同的排列顺序？组合则不考虑顺序。
从 10 个同学中选出 3 个参加比赛，不考虑他们的出场顺序，有多少种选法？组合数学会告诉我们答案。
组合数学在现实生活中有很多实际应用。
比如，在密码学中，为了保证密码的安全性，需要生成复杂的组合；在彩票游戏中，计算中奖的可能性就涉及到组合数学的知识；在计算机科学中，算法的优化、数据的存储和检索等也离不开组合数学。
在高一数学中，我们学习的组合数学初步知识主要包括基本的计数原理、排列组合的公式和应用。
基本的计数原理有两个，分别是分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
分类加法计数原理是指，如果完成一件事有 n 类不同的方案，在第1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法……在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
比如说，从甲地到乙地，有 3 条陆路可走，2 条水路可走，那么从甲地到乙地共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种不同的走法。
分步乘法计数原理是指，如果完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法……做第 n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
高中数学排列与组合综合测试卷
高中数学排列与组合综合测试卷(含解析)选修2-3 1.2.2第三课时排列与组合习题课一、选择题1．(2021山东潍坊)6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为()A．40B．50C．60D．70[答案]B[解析]先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，因此乘车方法数为252＝50，故选B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种[答案]C[解析]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻显现，如此的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个[答案]C[解析]注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22C23＝6(种)排法，因此共有36＝18(种)情形，即如此的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有()A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人[答案]A[解析]设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2nC18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼能够一步上一级，也能够一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有() A．45种B．36种C．28种D．25种[答案]C[解析]因为108的余数为2，故能够确信一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司聘请来8名职员，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种[答案]B[解析]本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由因此每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．组合数Crn(n1，n，rZ)恒等于()A.r＋1n＋1Cr－1n－1 B．(n＋1)(r＋1)Cr－1n－1C．nrCr－1n－1 D.nrCr－1n－1[答案]D[解析]∵Crn＝n！r！(n－r)！＝n(n－1)！r(r－1)！[(n－1)－(r－1)]！＝nrCr－1n－1，故选D.8．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为() A．33 B．34C．35 D．36[答案]A[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.9．(2021四川理，10)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72 B．96C．108 D．144[答案]C[解析]分两类：若1与3相邻，有A22C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．10．(2021北京模拟)假如在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种[答案]C[解析]先安排甲学校的参观时刻，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16A25＝120种，故选C.二、填空题11．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_____ ___种．(用数字作答)[答案]2400[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，因此共有20210＝2400(种)安排方法．12．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[答案]1260[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49C25C33＝1260(种)排法．13．(2021江西理，14)将6位理想者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有___ _____种(用数字作答)．[答案]1080[解析]先将6名理想者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A44种分法，故所有分配方案有：C26C 24A22A44＝1 080种．14．(2021山东济宁)要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[答案]72[解析]5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，有432(12＋11)＝72种．三、解答题15．(1)运算C98100＋C199200；(2)求20C5n＋5＝4(n＋4)Cn－1n＋3＋15A2n＋3中n的值．[解析](1)C98100＋C199200＝C2100＋C1200＝100992＋200＝4950＋200＝5150.(2)20(n＋5)！5！n！＝4(n＋4)(n＋3)！(n－1)！4！＋15(n＋3)(n＋2)，即(n＋5)(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)6＝(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)n6＋15(n＋3) (n＋2)，因此(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90.因此n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7.注意到n1且nZ，因此n＝2.[点拨]在(1)中应用组合数性质使问题简化，若直截了当应用公式运算，容易发生运算错误，因此，当mn2时，专门是m接近于n时，利用组合数性质1能简化运算．16．(2021东北师大附中模拟)有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，依照这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？[解析]因为相邻的两个二极管不能同时点亮，因此需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯方法．然后分步确定每个二极管发光颜色有222＝8(种)方法，因此这排二极管能表示的信息种数共有C36222＝160(种)．17．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？(1)各组人数分别为2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．[解析](1)C212C410C66＝13 860(种)；(2)C412C48C44A33＝5 775(种)；(3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有C412C48C44A33A33＝C412C48C44＝34 650(种)不同的分法．18．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？[解析](1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，因此先排男生再让女生插到男生的空中，共有A66A47种不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A99种排法，若甲不在末位，则甲有A18种排法，乙有A18种排法，其余有A88种排法，综上共有(A99＋A18A18A88)种排法．方法二：无条件排列总数A1010－甲在首，乙在末A88甲在首，乙不在末A99－A88甲不在首，乙在末A99－A88甲不在首乙不在末，共有(A1010－2A99＋A88)种排法．(3)10人的所有排列方法有A1010种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，因此甲、乙、丙排序一定的排法有A 1010A33种．要练说，得练听。
3.3 排序不等式 课件(人教A选修4-5)
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[悟一法]
利用排序不等式证明不等式的关键是构造出不等式 中所需要的带大小顺序的两个数组，由于本题已知a≥b≥c， 所以可直接利用已知构造两个数组．
[通一类]
π 1．已知 0<α<β<γ< ，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos 2 1 α> (sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 2 π π 证明：∵0<α<β<γ< ，且 y＝sin x 在(0， )为增函数， 2 2 π y＝cos x 在(0， )为减函数， 2 ∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.
anb1 ≤ a1c1＋a2c2＋…＋ancn ≤
a1b1＋a2b2＋…＋an或 b1＝b2＝…＝bn 时，反序和等
于顺序和．
[小问题· 大思维] 1．排序不等式的本质含义是什么？ 提示：排序不等式的本质含义是：两实数序列同方向单 调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向 单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成 立条件是其中一序列为常数序列．
中地位的对称性，限定一种大小关系．
[通一类]
a1a2 a2a3 a3a1 2．设 a1，a2，a3 为正数，求证： ＋ ＋ ≥a1＋a2＋a3. a3 a1 a2 证明：不妨设 a1≥a2≥a3>0，于是
1 1 1 ≤ ≤ ，a a ≤a a ≤a1a2， a1 a2 a3 2 3 3 1 由排序不等式：顺序和≥ 乱序和得 a1a2 a3a1 a2a3 1 1 1 ＋ ＋ ≥ ·a＋ ·a＋ ·a a a a a3 a2 a1 a2 2 3 a3 3 1 a1 1 2 ＝a3＋a1＋a2. a1a2 a2a3 a3a1 即 ＋ ＋ ≥a1＋a2＋a3. a3 a1 a2
人教数学高一第一册知识点
人教数学高一第一册知识点第一章有理数有理数的概念及性质有理数的四则运算有理数的比较与排序绝对值与有理数数轴与有理数有理数的整除与因式分解第二章平方根与实数实数的概念与性质数轴上的实数平方根的概念与性质二次根式的概念实数的运算第三章代数式与代数方程代数式的概念与性质单项式与多项式代数式的运算代数式的因式分解一元一次方程解一元一次方程的方法一元一次方程的应用第四章一次函数与方程一次函数的概念与性质函数的表示一次函数图像的性质一次函数的图像函数与方程解一元一次方程的图像法线性方程组的概念与性质解线性方程组的方法线性方程组的应用第五章几何初步几何的基本概念与基本性质点、线、面的位置关系线段的垂直平分线线段的中点角的概念与性质角的平分线全等图形的概念与性质平行线及其性质平行线分线段成比例第六章等腰三角形、等边三角形与直角三角形等腰三角形的概念与性质等边三角形的概念与性质直角三角形的概念与性质勾股定理及逆定理等腰三角形、等边三角形与直角三角形的判定第七章平面向量向量的概念及表示向量的运算向量共线及线性运算向量的数量积与数量积的运算几何应用与向量的坐标表示第八章线性规划线性规划的基本概念线性规划问题的建立线性规划的解法线性规划的应用以上是人教数学高一第一册的知识点内容概要，涵盖了有理数、平方根与实数、代数式与代数方程、一次函数与方程、几何初步、等腰三角形、等边三角形与直角三角形、平面向量以及线性规划等内容。
这些知识点是高中数学学习的基础，掌握好这些内容对于后续的学习非常重要。
努力学习，加油！。
2019年春季高一数学竞赛讲义-第七讲-排序不等式-教师版
例题精讲【例1】.设12,,,n a a a 是两两不同的正整数，证明：2111n n k k k a k k==≥∑∑解析用排序不等式。
对于任意给定的正整数n ，将12,,,n a a a 按从小到大顺序排列为12n a a a '''≤≤≤ 。
因为2222211111(1)321n n <<<<<- ，据排序不等式得12122222221111111212n n a a a a a a n n '''+++≤+++ ，即22111n n k k k k a a k k =='≥∑∑。
又因为12,,,n a a a''' 为两两不等的正整数，所以k a k '≥（n k ,...2,1=），于是221111n n n k k k k a k k k k ==='≥=∑∑∑，故∑∑==≥nk n k kk k a 1121。
【例2】假设12,,,n b b b 是正数12,,,n a a a 的某一排列，证明：1n i i ianb =≥∑解析由对称性，不妨设120n a a a ≥≥≥> ，则1211111n n a a a a -≥≥≥≥ ，注意到12111,,,n b b b 是12111,,,na a a 的一个排列，故由排序不等式：乱序和大于等于逆序和第7讲排序不等式12121212111111...n n n na a a a a a nb b b a a a ⋅+⋅++⋅≥⋅+⋅++⋅= 即证1212...n na a a nb b b +++≥【例3】若0,1i x i n >≤≤，利用排序不等式，再次证明如下命题：222223112122341n n n n x x x x x x x x x x x x x -+++++≥+++ 思考：本题和第2题有什么不同之处？解析对22212,,,n x x x ，12111,,,nx x x 而言不能直接排序（因为不是对称式）.设12,,,n x x x 从小到大的排序是12,,,n a a a ，从而22212n a a a ≤≤≤ ，12111n a a a ≥≥≥ 再设12,,,n b b b 是12,,,n x x x 的任意一个排列，则由排序不等式：乱序和大于等于逆序和，有2222221212111212111111n n n n i i i i n n a a a a a a a x b b b a a a ==⋅+⋅+⋅≥⋅+⋅+⋅==∑∑ 注意到可取i b 为分母2i a 所对应的j x ，则知22222212121223112111n n n nx x x a a a x x x x x x b b b +++=⋅+⋅+⋅≥+++ 【例4】设ABC ∆的三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其周长为1，求证：1113(a b c A B C A B C++≥++解析注意到排序不等式，由对称性，不妨设a b c ≥≥，则有A B C ≥≥，则有111C B A≥≥由排序不等式：乱序和大于等于逆序和，则有1113()a b c a b c a b c A B C A B Ca b c b c a c a b A B C A B C A B C a b c A B C ++++++++=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥++设,,a b c 为正数，求证333a b c a b c bc ac ab++≥++解析方法一：排序不等式不妨设a b c ≥≥，则111bc ac ab ≥≥，a b c bc ac ab≥≥，则由排序不等式：顺序和大于等于乱序和，有222222a b c a b c ab bc ac ac ab bc a b c b c a a b c bc ac ab bc ac ab c a b c a b++≥++=++≥++=++方法二：利用柯西不等式和均值不等式()()()()3334442222223*********a b c a b c bc ac ab abca b c a b c abc abc a b c a b c ++=++⎡⎤≥++≥++⎢⎥⎣⎦=++⋅≥++【例6】设0a b c d e ≤≤≤≤≤，且1a b c d e ++++=，求证15ad dc cb be ea ++++≤解析因为a b c d e ≤≤≤≤，所以d e c e b d a c a b +≥+≥+≥+≥+，利用切比雪夫不等式，有()()()()()12()[()()()()()]55a d ebc e c bd d a ce a b a b c d e d e c e b d a c a b +++++++++≤+++++++++++++=也即22()5ad dc cb be ea ++++≤，因此15ad dc cb be ea ++++≤【例7】将1,2,3(2018)n n ≥ 这n 个正整数任意排列可以得到!n 个不同的数列，问其中是否存在4个数列：123,,,n a a a a ，123,,,n b b b b ，123,,,n c c c c ，23,,,n d d d d 使得11221122332()n n n n a b a b a b c d c d c d c d +++=++++ .解析考虑形如1122n n a b a b a b +++ 的和式的最大值和最小值.由排序不等式，有：2221122112(1)(21)6n n a b a b a b n n n n +++≤+++=++ 11222211112(1)1(1)1(1)(1)(1)(21)26n n n n n k k k a b a b a b n n n n n k n k n k k n n n ===+++≥⋅+⋅-++⋅+=+-=+-=-++∑∑∑ 可知最大值和最小值之比小于2故不存在.（国际数学奥林匹克）设12...n x x x ≤≤≤，12...n y y y ≤≤≤，又12,,...,n z z z 是12,,...,n y y y 的一个排列，求证：2211()()n ni i i i i i x y x z ==-≤-∑∑解析由排序不等式，得11n n i i i i i i x y x z ==≥∑∑，即1122n ni i i i i i x y x z ==-≤-∑∑，但222211()()n ni i i i i i x y x z ==+=+∑∑，所以222211(2)(2)n ni i i i i i i i i i x x y y x x z z ==-+≤-+∑∑，也就是2211()()n ni i i i i i x y x z ==-≤-∑∑【例9】设c b a ,,是三角形的三边长，求证：222()()()3a b c a b c a b c a b c abc +-++-++-≤解析不妨设c b a ≥≥，首先有先得()()()a b c a b c a b c a b c +-≤+-≤+-，由排序不等式，则有222()()()()()()a b c a b c a b c a b c ab c a b bc a b c ca b c a +-++-++-≤+-++-++-以及222()()()()()()a b c a b c a b c a b c ab b c a bc c a b ca a b c +-++-++-≤+-++-++-以上两不等式相加便得.。
高一数学排序不等式知识点
高一数学排序不等式知识点数学是一门需要逻辑思维和推理能力的学科，其中不等式是数学中重要的一个分支。
排序不等式是在不等式的基础上，对一系列数值进行排序的一种方法。
在高一数学中，掌握排序不等式的知识点对于学生来说是非常重要的。
一、基础概念首先，我们来复习一下不等式的基础概念。
不等式是表示两个数或两个算式的关系的一种数学表达式。
常见的不等式包括大于号（>），小于号（<），大于等于号（≥），小于等于号（≤）等。
二、排序不等式的意义为什么要学习排序不等式？首先，排序不等式是数学中解决实际问题的重要工具。
在现实生活中，我们经常需要对一些数进行排序，例如排名、分数等。
其次，掌握排序不等式可以帮助我们更好地理解数的大小关系。
三、常见排序不等式1. 加减法法则：考虑到加减法运算的性质，对于任意实数a，b，c，有如下排序不等式：- 若a > b，那么a ± c > b ± c；- 若a > b，且c > 0，那么a × c > b × c；- 若a > b，那么a ÷ c > b ÷ c（其中c ≠ 0）。
2. 乘法法则：考虑到乘法运算的性质，对于任意实数a，b，c （其中c > 0），有如下排序不等式：- 若a > b，那么a × c > b × c；- 若a < b，那么a × c < b × c。
3. 幂法则：考虑到幂运算的性质，对于任意实数a，b，c（其中a > 0，b > 0，c > 0），有如下排序不等式：- 若a > b，那么a^c > b^c；- 若a < b，那么a^c < b^c。
四、综合运用了解了常见的排序不等式后，我们来看几个综合的例子，进一步理解排序不等式的应用。
例1：比较两个不等式的大小关系：3 + 5 × 2和6 × 2 - 4。
第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
解析：根据柯西不等式，知 y＝1× x－5＋2× 6－x ≤ 12＋22× x－52＋ 6－x2＝ 5.
答案：B
2．n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是 ( A．1
2
)
2 2 2
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答案：25
7．已知a，b，x，y＞0，且 ab＝4，x＋y＝1，则(ax＋
by)· (bx＋ay)的最小值为________．
解 析 ： [( ax )2 ＋ ( by )2]· bx )2 ＋ ( ay )2]≥( ax · bx ＋ [( by· ay)2＝( ab· x＋ ab· 2＝ab(x＋y)2＝ab＝4. y)
和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．
(2)注意等号成立的条件．
π aA＋bB＋cC π [例 6] 在△ABC 中，试证： ≤ ＜ . 3 2 a＋b＋c [证明] 不妨设 a≤b≤c，于是 A≤B≤C.
由排序不等式，得 aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 相加，得 3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a ＋b＋c)． aA＋bB＋cC π 得 ≥ ，① 3 a＋b＋c
不妨设 1＞a1≥a2≥„≥an＞0， 则 0＜2－a1≤2－a2≤„≤2－an， 1 1 1 且 ≥ ≥„≥ ＞0， 2－a1 2－a2 2－an
1 1 1 1 ∴S≥n(a1＋a2＋„＋an)2－a ＋2－a ＋„＋2－a 1 2 n
1 1 1 ＝n2－a ＋„＋2－a . 1 n 又由算术平均值不等式，得
高中数学教案排序方法
高中数学教案排序方法教案标题：三角函数的基本概念与性质一、教学目标：1. 理解三角函数的概念，能够准确描述三角函数的定义；2. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的基本性质；3. 能够运用三角函数的性质解决相关问题。
二、教学内容：1. 三角函数的定义；2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特征；3. 三角函数的基本性质；4. 三角函数的相关定理。
三、教学过程：1. 导入新知识（5分钟）- 通过展示一个三角形和一个直角三角形，引出三角函数的概念。
2. 探讨三角函数的定义（15分钟）- 讲解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，并与直角三角形的边长关系进行联系。
3. 探究三角函数的图像特征（20分钟）- 展示正弦函数、余弦函数、正切函数的图像，让学生观察并总结其特征。
4. 学习三角函数的基本性质（20分钟）- 分别介绍正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性、奇偶性、单调性等性质，并通过例题进行讲解。
5. 运用三角函数解决问题（20分钟）- 给出一些应用题，让学生运用三角函数的性质解决问题，加深对知识的理解。
6. 总结与作业（10分钟）- 对本节课所学内容进行总结，并布置相关作业，巩固学生的学习成果。
四、教学手段：1. PowerPoint课件；2. 教学板书；3. 视频演示。
五、教学评价：1. 通过课堂讨论、小组合作、解题演示等方式，检验学生对三角函数的理解和掌握程度；2. 汇总学生的作业，分析学生的问题和表现，及时给予帮助和指导。
六、教学反思：1. 教学内容是否清晰易懂；2. 学生学习效果如何；3. 教学方法是否得当，是否能够吸引学生的注意力和积极性。
高一数学排列组合与概率统计问题
种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有84种 .
6.错位法： 编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列. 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
A44 A77
种A 排法.
→↑ →↑ ↑ →→→↑ →→ 1 ①2 ②③3 4 5 ④6 7
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
所以从A到B共有
C51 (51)(81)
C141
条不同的路径.
5.剪截法（隔板法）：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手 名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个 名额,则不同的分配方案共有___种.
例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少 种站法？
方法1：将5个人依次站成一排，有 A55 种站法，
然后再消去甲乙之间的顺序数 A22
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
A55 A22
543
A53
方法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，
有 A53 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法
第一步，把甲乙排列(捆绑)： 有A22＝2种捆法甲 乙
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
有A55＝120种排法
共有2 120＝240种排法
几个元素必须相邻时,先 捆绑成一个元素，再与 其它的进行排列.
5.排列组合讲解
例3，5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有 种。
[解析]将3名老师捆绑起来看成一个元素，与5名学生排列，有 种排法；而3名老师之间又有 种排法，故满足条件的排法共有 种。
例4，计划展出10幅不同的画，其中一幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种？
A、 56种 B、57种 C、58种 D、 60种
[解析]从高位向低位依次考虑，分3类：
①当首位是2时，若千位是4、5，则有 个；若千位是3，百位是4、5，则有 个；若千位是3，百位是1，则只有一个数即23154，故当首位是2时，共有12+4+1=17个。
[解析]先将4名学生平均分成两组（属平均分组），有 = 种分法；再将这两组学生安排到该年级6个班中的两个班有 种。所以不同的安排方法有 ，故选B项。
10，复杂问题——转换法：
对于有些较为复杂的排列、组合问题，若不能用以上方法解决，可以采取等价转换的方法，转化为其它问题然后解决。
例5，有10个学生，其中4人中任意两个不能站在一起，有多少种排列次序？
[解析]先将其余6人进行排列，有 种；再把不相邻的4人分别排在前6人形成的7个空隙中，有 种。所以共有 种排列次序。
例6，有4名男生，3名女生站成一排，任何两名女生彼此不相邻，有多少不同的排法？
[解析]由于要求女生不相邻，应先排男生，有 种；然后在男生形成的5个空隙中分别安排3名女生，有 种，所以共有 种。
师：在上面解题过程中，很好的运用了有条件限制的位置优先的原则，这种解法是直接法还有其他方法吗？
分别在排头、排尾的4种情况．
高一数学上册重点知识点
高一数学上册重点知识点1. 实数的定义和性质实数是由有理数和无理数组成的，具有相对大小和相对位置的性质。
实数集包括整数、有理数和无理数，其中整数和有理数可以用分数和小数来表示。
2. 二次根式二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
二次根式的性质包括：相同的二次根式相等；任何非负实数的二次根式都是实数；二次根式可以进行加减乘除运算。
3. 幂的运算幂是指形如a^n的数，其中a是底数，n是指数。
幂的运算规则包括：相同底数的幂相乘时，底数不变，指数相加；幂的幂时，指数相乘；0的任何正数次幂等于0，0的0次幂没有意义；1的任何次幂都等于1。
4. 一次函数和二次函数一次函数是指形如y = kx + b的函数，其中k称为斜率，b称为截距。
一次函数的图像是一条直线。
二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a不等于0。
二次函数的图像是一条抛物线。
5. 三角函数三角函数是指正弦、余弦、正切等函数，是数学中的重要概念。
三角函数与直角三角形的关系密切，其中正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。
6. 平面向量平面向量是指具有大小和方向的量，可以表示为有序数对。
平面向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和点乘法。
点乘法可以用来计算向量的夹角和向量的长度。
7. 平面解析几何平面解析几何是指用数学的方法研究平面上的几何问题。
平面上的点可以用坐标表示，直线和曲线可以用方程表示。
平面上的距离、中点、斜率等概念可以通过坐标计算得出。
8. 概率与统计概率与统计是数学中的一个重要分支，涉及到随机试验、事件的概率、统计数据的分析和归纳等内容。
概率与统计可以用来对现象进行预测、研究和决策。
9. 排列与组合排列与组合是指对一组元素进行有序或无序排列的数学方法。
排列是指从n个不同元素中挑选r个元素进行排序，组合是指从n个不同元素中挑选r个元素不考虑顺序。
高一数学必修一知识归纳
高一数学必修一知识归纳高一数学必修一知识归纳一、数据分析1、概念及基本操作：数据分析是分析数据的属性、统计量和关系，以测量和描述数据集中贯穿的结论规律，以决定分析结果的方法。
它可以帮助确定有用的信息，改善实现业务目标的方式和效果，以及从决策中获取有利可图的结果。
其基本操作有：频率统计、分组统计、数据类型识别、排序、最大/小值、相关性等。
2、数据可视化：数据可视化是一种信息可视化技术，通过把数据转换成不同类型的图形，使人们更容易分析和理解数据。
它可以帮助提高数据分析的效率，有助于重现数据，从而使报告可读性更强。
常见的数据可视化形式有折线图、饼图、直方图、柱状图、地图等。
二、函数1、概念及表达：函数是实数集上的某一特定关系，其特点是：每个x 值只能对应一个y值；除加或减两个相同函数外，其他几何操作不可应用于函数之上；把它的定义域的值代入定义式，就可以求得对应的函数值。
函数的表达形式有代数式、函数列、隐函数表示法等。
2、奇偶性：函数在某一定义域上有奇偶性，称相应的函数为奇函数或偶函数，若f(-x)=-f(x)则称f(x)为奇函数；若f(-x)=f(x)则称f(x)为偶函数。
3、参数函数：带参数的函数称为参数函数。
它的特点是：每个参数值对应一个函数，此函数由参数值确定。
参数函数的概念与取值范围有关，不同的参数可以产生不同的函数。
三、代数式1、代数式的种类：代数式有根式、分数式、混合式、一元多项式、二元多项式、二元三角形式等多种。
2、根式：根式是比形如数学里一个种类最为低级的，也是最基本的代数式。
根式形式表示是：√x，其中x为正平方数；也可以表示为x^1/2的形式。
3、分数式：分数式是由分子和分母组成，每个分数都可以用一个有理数来表示，如1/2表示一半；a/b表示a分之b的意思；比如3/5表示3分之5，即3份中的有5份；分子如果是常数，可以用加减乘除法，以及乘方这些方法运算；两个分数可以求对应有现数，或者有理数等。
高一数学排列组合与概率统计问题
将16个小球串成一串，截为4段有 C135 455
种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有455种 .
/yhxsyl/
5.剪截法：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选 手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额 不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种. 分析： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个， 再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子 至少有一个小球的放法种数问题.
将10个小球串成一串，截为4段有 C93 84
种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有84种 .
/amyhxsyl/
6.错位法： 编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列. 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
7.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是 一种间接解题的方法. 例7.四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其 中取4个不共面的点,不同的取法共有__种. 解：本题直接计数很困难,可用间接法，
从10个点中取4个有C140 210 种方法,
剔除四点共面的情况有:
(1)四点在同一表面三角形上的种数为 4C64 60
5.剪截法（隔板法）：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手 名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个 名额,则不同的分配方案共有___种.
排列组合方法归纳大全
排列组合方法归纳大全解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法练习题：1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有192 种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为______2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种______十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？练习题：1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？_____ 2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数_____十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排2名，则不同的安排方案种数为______十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法 练习题：1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有______2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.本题还有如下分类标准：十四.构造模型策略例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法练习题：1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有72种十七.化归策略例17.:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？BA十八.数字排序问题查字典策略例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？54321练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是解决排列类应用题的主要方法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直排处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．1．一位老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法( )A．450 B．460 C．480 D．5002．排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？[例2] 要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选．组合两类问题的解法(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A．30种B．35种C．42种D．48种[例3] 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．求解排列、组合综合题的一般思路排列、组合的综合问题，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．4．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？1．(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A．3×3！B．3×(3！)3 C．(3！)4D．9!2．(2012·新课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种3．在“神九”航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( )A ．24种B ．48种C ．96种D ．144种4.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中任何一个，允许重复．若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有( )A ．192种B ．128种C ．96种D ．12种5．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种6．(2012·山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．4847．12名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数是( )A ．123B ．312C ．A 312D ．12＋11＋108．异面直线a ，b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( )A ．20B ．9C ．C 39D ．C 24C 15＋C 25C 149．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有( )A ．252种B ．112种C ．20种D ．56种10．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有_种．11．如图M ，N ，P ，Q 为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起A B CD来，则不同的建桥方法有________种．12．某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是________(用数字作答)．13．(2013·武汉模拟)某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．14．(2013·宜昌模拟)某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________(用数字作答)．15．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？16．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？17.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小实用标准球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种？18.3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．文档。
数学高一知识点总结
数学高一知识点总结有质量的知识才是名校的真实力，每一所这样的大学，至少都有十种左右高质知识储备在教授门手中，储备在这些学校与世界的多重联系中，正是这高质量知识的储备。
下面小编给大家分享一些数学高一知识点，希望能够帮助大家，欢迎阅读!数学高一知识点1统计2.1.1简单随机抽样1.总体和样本在统计学中,把研究对象的全体叫做总体.把每个研究对象叫做个体.把总体中个体的总数叫做总体容量.为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.2.简单随机抽样，也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等)，样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。
简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。
通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
3.简单随机抽样常用的方法：(1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。
4.抽签法:(1)给调查对象群体中的每一个对象编号;(2)准备抽签的工具，实施抽签(3)对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
5.随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。
2.1.2系统抽样1.系统抽样(等距抽样或机械抽样)：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。
第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模)前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。
可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。
如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。
高一数学排列组合综合应用试题
高一数学排列组合综合应用试题1.完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，一共有多少种选法？（）A．5B．4C．9D．20【答案】C【解析】完成一项用方法一有5种，用方法二有4种，因此共有4+5=9种.【考点】分类加法计数原理.2.从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有多少种选法？（）A．11B．12C．30D．36【答案】C【解析】第一步从6人中选一人担任正班长，有6种情况；第二步从剩余5人中选一人担任副班长，有5种情况，有分步乘法计数原理得有【考点】步乘法计数原理.3.一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码. 则X所有可能取值的个数是（）A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】随机变量的可能取值为取值个数为4.【考点】离散型随机变量的取值.4.（本题满分10分）从5名男医生、4名女医生中选出3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有多少种？【答案】70【解析】（1）排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关，如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同，才是不同的组合；（2）排列、组合的综合问题关键是看准是排列还是组合，复杂的问题往往是先选后排，有时是排中带选，选中带排；（3）对于排列组合的综合题，常采用先组合（选出元素），再排列（将选出的这些元素按要求进行排序）试题解析：第一类，男医生1人，女医生2人，有种，第二类，男医生2人，女医生1人，有种，因此共有30+40=70.【考点】排列组合的综合应用.5.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为an ，按上述规律，则a6=_________，an=_________．【答案】,.【解析】由于，因此构成的是公差为3的等差数列，因此..【考点】等差数列的概念和通项公式.6.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数共有【答案】28【解析】0，1，2，3，4中有3个偶数，2个奇数，分3种情况讨论：①、0被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有A33=6种情况；故0被奇数夹在中间时，有2×6=12种情况；②、2被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有A33=6种情况，其中0在首位的有2种情况，则有6-2=4种排法；故2被奇数夹在中间时，有2×4=8种情况；③、4被奇数夹在中间时，同2被奇数夹在中间的情况，有8种情况，则这样的五位数共有12+8+8=28种；故答案为28．【考点】简单排列组合应用问题，计数原理。
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