分支限界法

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为何称为分支限界法？ ※ 分支 在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点（分支），然 后再从当前的活结点表中选择下一个扩展结点。 ※ 限界 为了有效地选择下一扩展结点，加速搜索进程，在每个 活结点处，计算一个函数值（限界），并根据函数值，从 当 前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜 索 朝着解空间树上有最优解的分支推进，一遍尽快找出一个 最 优解。
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例：0-1背包问题，w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=30
队列式分支限界法搜索解空间树与广度优先 遍历的区别：前者不搜索以不可行结点为根 的子树。
队列式分支限界法：用一个队列来存储活结点表。（196页）
A入队→B,C入队（并且舍弃A）→E入队（D不可行，舍弃）→F,G入队→J 不可行，舍弃，K是可行的叶结点，是一个可行解→L,M均为可行叶结点， 得到相应的可行解→N,O可行叶结点，得相应可行解→活结点队列空
6.2 单源最短路径问题
3. 剪枝策略
在算法扩展结点的过程中，一旦发现一个结点的下界不 小于当前找到的最短路长，则算法剪去以该结点为根的子树。 在算法中，利用结点间的控制关系进行剪枝。从源顶点 s出发， 2条不同路径到达图 G的同一顶点。由于两条路径的 路长不同，因此可以将路长长的路径所对应的树中的结点为 根的子树剪去。

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堆
具有n个元素的序列（h1,h2,...,hn),当且仅当满足 （hi>=h2i,hi>=h2i+1）或（hi<=h2i,hi<=h2i+1） (i=1,2,...,n/2)时称之为堆。
可以用完全二叉树来表示堆，根据根大于或小于其子 结点，可以分为大根堆、小根堆。 堆可以高效地表示某些动态优先链表，结点的值对应 于事件的优先级，一个事件的优先级可以在任何时间改 变。例如在仿真中的事件链表或操作系统的任务链表。 分支限界通过相关计算决定接下来应该选择哪个结点 进行搜索，并用一个优先链表保存那些已经生成但还未 查看的结点，所以用堆来表示比较理想。
分支限界法
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6.1 分支限界法的基本思想
1. 分支限界法与回溯法的不同
（1）求解目标： 回溯法：找出解空间树中满足约束条件的所有解； 分支限界法：找出满足约束条件的一个解，或是在满足约 束条件的解中找出在某种意义下的最优解。 （2）搜索方式的不同：
回溯法：深度优先的方式搜索解空间树；
分支限界法则：广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解 空间树。
例：4城市旅行商问题
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6 4 10 30
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3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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队列式分支限界法：用一个队列来存储活结点表。（197页）
B入队→C,D,E入队（并且舍弃B）→F,G入队（并且舍弃C）→H,I入队(并 且舍弃D)→ J,K入队(并且舍弃E) → ……
优先队列式分支限界法：用最小堆实现优先队列，优先级 为结点的当前费用。（198页）
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6.2 单源最短路径问题
2. 算法思想
用最大堆还是最小堆存储活结点表？ 其优先级是结点所对应的当前路长。 算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩展 后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出 具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与 当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶 点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应 的路径的长度小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结 点插入到活结点优先队列中。这个结点的扩展过程一直继续 到活结点优先队列为空时为止。 12
B入堆→C,D,E入堆（并且舍弃B）→J,K入堆（并且舍弃E）→……
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6.2 单源最短路径问题
1. 问题描述
下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下图所给的有 向图G中，每一边都有一个非负边权。要求图G的从源顶点s到目 标顶点t之间的最短路径。
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6.2 单源最短路径问题
下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的单源最 为什么解空间树中没有列出所 短路径问题产生的解空间树。其中，每一个结点旁边的 有的路径？（通过限界，剪枝） 数字表示该结点所对应的当前路长。
优先队列式分支限界法：用最大堆实现优先队列，优先级 为活结点所获得的价值。（197页）
A入堆→B,C入堆（并且舍弃A）→E入堆（D不可行，舍弃）→J不可行， 舍弃，K是可行的叶结点，是一个可行解→ F,G入堆→ L,M均为可行叶结 点，得到相应的可行解→N,O可行叶结点，得相应可行解→活结点堆空
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6.1 分支限界法的基本思想
2. 分支限界法基本思想 *广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式 每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成 为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结 点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其 余儿子结点被加入活结点表中。
此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重
问题：优先级如何规定？
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例如背包问题 优先队列中规定的结点优先级常用一个与该结点相关的 数值p表示。 最大优先队列：规定p值较大的结点优先级高，体现最 例如旅行商问题 大效益优先的原则，常用最大堆来实现。 最小优先队列：规定p值较小的优先级高，体现最小费 用优先的原则，常用最小堆来实现。

用优先队列式分支限界法求解时，应根据具体问题的特 点确定选用最大优先队列或最小优先队列表示解空间的活 结 点表。
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6.2 单源最短路径问题
算法描述：教材200页
while (true) { // 搜索问题的解空间 for (int j=1;j<=n;j++)
if(a[enode.i][j] < Float.MAX_VALUE && enode.length+a[enode.i][j] < dist[j])
复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或 活结点表为空时为止。
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6.1 分支限界法的基本思想
3. 常见的两种分支限界法
（1）队列式(FIFO)分支限界法 按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节 点。 （2）优先队列式分支限界法 按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为 当前扩展节点。