CH03龙驭球结构力学第三章静定梁与静定刚架

桁架
刚架
1、刚架的内部空间大，便于使用。 2、刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。 3、刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/8 ql2/8
21

常见的静定刚架类型： 1、悬臂刚架
2、简支刚架
3、三铰刚架
4、主从刚架
22

二、刚架的反力计算（要注意刚架的几何组成） 1、悬臂刚架、简支刚架的反力由整体的三个平衡条件便可求出。 2、三铰刚架的反力计算
a O2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
X1
Y1
X1
M
M
O2
2aY1 X 1 a 0
X 1 -2Y1 2 X 1 -qa
24
2aY1 aX 1 2qa 2 0 Y1 qa O1

3、主从刚架求反力：需要分析其几何组成顺序，确定基本 部分和附属部分。
M
由附属部分ACD
16
8kN
4kN/m
9 Q图（kN）
x 26 4 M图（kN.m） 28
H
－
7
7
30 7 23
8 36.1 8 CE段中点D的弯矩MD=28+8= 36kN.m ，并不是梁中最大弯矩，梁中最大 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 8 4 =M =36.1kN.m。 均布荷载区段的中点弯矩与该段内的 弯矩在H点。Mmax H 8 12 最大弯矩,一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！！
qa/2
qa/2
qa/2
-3qa/4
9qa/4
14

qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa
a
a
2qa
qa
＋
a 3qa/4 qa qa/4
2a
a 9qa/4 qa/2
－ ＋
a
a
qa/2
qa
－
qa/2 7qa/4
－
qa/2
Q图（kN）
qa2
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa2/2
qa
qa2/2
qa2
qa2/2
16kN.m
0 8kN.m 8kN
24kN.m 0
－6kN
8kN
6kN
∑Y = －6－（－6） = 0
∑M = 24－8 － 16 = 0！！
27

四、刚架内力图 ①分段：根据荷载不连续点、结点分段。 ②定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。 ③求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。 ④画图：画M图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直 线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。Q，N图要标 ＋，－号；竖标大致成比例。
M图（kN.m）
15

40k N
A 2m B 2m C 2m D 1m
80k N· m E 2m 2m 1m F
20k N/m
G 4m 2m H
50
40
20
40 40
40
20 M
40 (kN· m)
16
例：确定图示三跨连续梁C、D铰的位置，使边跨的跨中弯矩 与支座处的弯矩的绝对值相等
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
X 0
X A X B 2kN
A
2
B
XB
M C YA a X A a
反力校核
qa X B a YB a 2 2 2×3 3×3 2×4.5 2×4.5 9×3 2 0
XA
a
YA
a
YA
23
1.5a

C
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
O1 q
a a
a
a
Y1
M N Q M
N
Q
图示均为正的
轴力和剪力 轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。 剪力= 截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕截面 形心顺时针转动，投影取正否则取负。 弯矩= 截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和。弯矩及外 力矩产生相同的受拉边。 2
例：求截面1、截面2的内力 N2=50 －141×cos45o
P
内力图形状特征
无何载区段 平行轴线 均布荷载区段
↓↓↓↓↓↓
集中力作用处 发生突变
集中力偶作用处
Q图
＋
－
＋
P －
无变化
M图
斜直线
二次抛物线
凸向即q指向
出现尖点
尖点指向即P的指向
发生突变
m
两直线平行
注备
Q=0区段M图 平行于轴线
Q=0处，M 达到极值
集中力作用截 面剪力无定义
集中力偶作用面 弯矩无定义
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
Y 由整体平衡： A
↓↓↓↓↓↓
M N Q
ql 2
= YA
o
x
YA
x q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ l YA
由分离体平衡可得：
YA°
ql ql qx 2 Y Ao M o x 2 2 2 ql qx o Q 2 2
ql qx 2 =M° M x 2 2 Q q( l x)cosa Qo cosa 2 N q( l x)sina Qo sina 2
在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩 等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。 5
§3.3 叠加法作弯矩图
MA
1）、简支梁情况 弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合
MA
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
MB
MB M′
MA M(x)=M′(x)+M °(x) 竖标M°，如同M、M′一样 垂直杆轴AB，而不是垂直 虚线AB。！ MA
＋
－ Q图
10
qL

10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓
2m 2m
60kN.m
15kN
2m
2m
55
30 20 30 5 m/2 m m/2 M 图 (kN.m) 30
11

A
1m RA=17kN 17 ＋
16kN.m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓由 Q =Q －qx=0 可得： G H C B C D E F x＝QC/q＝9/4＝2.25(m) MH＝MC+(CH段Q图的面积） 1m 2m 2m 1m 1m ＝26+9×2.25÷2 RB=7kN ＝36.1（kN.m)
Q1= 50 +5×5－141×0.707 =－25kN M1=125 +141×0.707×10－50×5 －5/2×5² =812.5kNm (下拉）
3

§3.2 荷载与内力之间的关系
1 ）、 微分关系 Q dN/dx=－qx dQ/dx=－qy qy向下为正 N dM/dx=Q 微分关系给出了内力图的形状 M 特征 2）、 增量关系
MB
(d)
• 首先求出两杆端弯矩，连一虚线， •然后以该虚线为基线， •叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。
8

4kN· m
4kN
8kN· m
2kN/m
3m
3m
3m
3m
2m
（1）集中荷载作用下
（1）悬臂段分布荷载作用下
4kN· m 2kN· m
6kN· m
（2）集中力偶作用下
4kN· m 2kN· m
ΔN=－PX
qy
Q+dQ
qx
N+dN x
dx
M+dM
y Q+ΔQ M+ΔM
N+Δ N
Q N M
ΔQ=－Py
m
P
x
ΔM=m
y 增量关系说明了内力图的突变特征 3）、 积分关系：由微分关系可得 右端剪力等于左端剪力减去该段qy QB=QA－∫qydx 右端弯矩等于左端弯矩加上该段 的合力； 剪力图的面积 MB＝MA+∫Qdx 4

§3.4多跨静定梁
(由基本部分及附属部分组成)
A
B
C
D
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
G
H
E
F H
A
B
C
D
E
F ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
G
将各段梁之间的约束解除仍能平衡其上外力的称为基本部分, ABC，DEFG是基本部 不能独立平衡其上外力的称为附属部分， 分，CD，GH是附属部分。 附属部分是支承在基本部分的，其层次图为！！ 13
（2）跨中集中力偶作用下
4kN· m
4kN· m
（3）叠加得弯矩图
4kN· m
（3）叠加得弯矩图
6kN· m 4kN· m
9
4kN· m
2kN· m
qL A
q
D↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ E qL² /8 L
M图 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
B
¼qL²
F
½qL²
qL
½L
qL
½L
ql
ql2/4 qL
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
5kN/m
1
=－50kN Q2= －141×sin45°＝－100kN
M2＝ 50×5 －125－141×0.707×5 ＝－375kN.m + M2＝375kN.m （左拉） N1=141×0.707=100kN
5m
50kN 2
45° 141kN
125kN.m
5m
多跨静定梁是主从结构，其受力特点是：力作用在基本部 分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部 分都受力。 多跨静定梁可由平衡条件求出全部反力和内力， 但为了避免解联立方程，应先算附属部分，再算基本部分。 q qa qa
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
a
a
a
2a
a
a
a
qa 2qa
qa
qaBiblioteka Baidu
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
C
D
E
H

三、计算刚架的杆端力时应注意的几点： ①注意内力正负规定。②正确地选取分离体。 ③结点处有不同的杆端截面。各截面上的内力用该杆两端字 母作为下标来表示，并把该端字母列在前面。 ④注意结点的平衡条件！！ NDC QDC
8kN
QDA MDA NDA MDC A 8kN =－6kN QDC 6kN
截 面 内 力 计 算 内 力 图 的 形 状 特 征 叠 加 法 绘 制 弯 矩 图 多 跨 静 定 梁 静 定 刚 架 内 力 图
1
§3.1 截面内力计算
1、平面杆件的截面内力分量及正负规定 轴力N 截面上应力沿轴线切向的合力 以拉力为正。 剪力Q 截面上应力沿轴线法向的合力 以绕隔离体顺时针转为正。 弯矩M 截面上应力对截面中性轴的力 矩。不规定正负，但弯矩图画 在拉侧。 2、截面内力计算方法：内力的直接算式：
整体平衡
q=4kN/m
M B 0
2 aY A
qa
2
左半边平衡 qa qa M C a X A ×1.5a 0 X A 2(kN ) 4 6 整体平衡 Y YA YB qa 0 YB 3qa 4 9kN
2
0
YA
qa 4
=3kN
a=3m
q ↓↓↓↓↓↓
19
斜梁与相应的水平梁相比反力相同，对应截面弯矩相同， 斜梁的轴力和剪力是水平梁的剪力的两个投影。
斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平 简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ MA
MB
l
MB
MA
ql2/8
20

§3-5 静定平面刚架
一、刚架的特点
几何可变体系
1m 2m
QDA=8kN NDB MDB NDA=0 QDB D MDA=8kN.m（左拉）
NDC=0 C MDC=24kN.m（下拉）
D
QDB=8kN 6kN NDB=6kN B 8kN MDB=16kN.m（右拉）
6kN
8kN 6kN
B
4m
26

QDA=8kN NDA=0 MDC=8kN.m（左拉） QDC=－6kN NDC=0 MDC=24kN.m（下拉） QDB=8kN NDB=6kN MDB=16kN.m（右拉） ∑X = 8－8 = 0

ql 8
2

M 2
M
B
ql 2 解得： M B 12 3 3 6 l
17
q(l 2 x) x qx 2 ql 2 代入上式： 2 2 12
解得： x

MB=ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A G B C D E F q
l/2 MG=ql2/12
A G B C D E F q
l/2
l
x
x
↓↓↓↓↓↓
l q
l
q (l 2 x ) 2
q (l 2 x )
MG 2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q (l 2 x ) 2
M
B
B
1 2 q (l 2 x ) x qx 2 2
MG
MG可按叠加法求得：M G
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
＋
MB
M°
M′
M°
7
MB
2)、直杆情况
A
MA NA Q A
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ QB ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ MB NB MB
(b)
MA
(c)
因此，结构中的 任意直杆段都可以 采用叠加法作弯矩 图，作法如下：
QA°
MA
QB°
D
由整体
X 0 X K 1kN
M 0 Y 0 Y
K
A
XA 2m 2m
G
K XK
YG 30kN
2kN
4m
YG
YK
K
校核： M E
2 2 2 2 4 X A 4 X K YK 4 0
25
2m
2kN
B
2kN
F
2m
4 X A 2×2 4×2×1 0 X A 3kN
ql2/24 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MG=ql2/8
由于多跨静定梁设置了带伸臂的基本部分，这不仅使中 间支座处产生了负弯矩，它将降低跨中正弯矩;另外减少了附 属部分的跨度。因此多跨静定梁较相应的多个简支梁弯矩分 布均匀，节省材料，但其构造要复杂一些！！
18

斜梁：