圆锥曲线中的离心率的问题(解析)

圆锥曲线中的离心率的问题解析

一、题型选讲 例1、【答案】A

【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又

||PQ OF c ==，||,2

c

PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，

∴||2c OA =

，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭

， 又P 点在圆2

2

2

x y a +=上，222

44c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==

．

e ∴=，故选A ．

本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率． 例2、【答案】C

【解析】由双曲线22

221(0,0)x y a b a b −=>>，可得其一条渐近线的方程为b y x a

=，即0bx ay −=，

又由圆2

2

:10210C x y y +−+=，可得圆心为(0,5)C ，半径2r ，

则圆心到直线的距离为5a d c ==

，则

52a

c

=，可得52c e a ==， 故选C. 例3、【答案】B

【解析】设渐近线方程b y x a =±

，即0b x y a

±=，与圆N ：()2

221x

y -+=相切，

圆心到直线的距离1d =

=，22222222()()1,3,3()b b b a c a a a a =+=−=，

所以222434,,1,33

c a e e e ==>=

故选：B 例4、【答案】D 【解析】如下图所示：

设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+，

所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+， 当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =.

因此，该双曲线的离心率为e a

== 故选：D. 例5、【答案】C

【解析】取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知11111

42

HF PF MF =

=，

O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴

又

1OH PF ⊥，21MF PF ∴⊥

1222F F PF c ∴==,

根据双曲线的定义可知122PF a c =+，

12

a c

HF +∴=

， 直线1PF 的方程是：()a

y x c b

=

+ ，即0ax by ac −+= ，

原点到直线的距离OH a =

=，

1OHF ∴∆中，2

2

2

2a c a c +⎛⎫+= ⎪

⎝⎭

， 整理为：223250c ac a −−= ， 即23250e e −−= ， 解得：5

3

e = ，或1e =−（舍） 故选：C

例6、【答案】A

【解析】双曲线22212x y a −=的一条渐近线的倾斜角为6π，

则tan

6

π

=

所以该条渐近线方程为3

y x =

；

所以

a =

，

解得a =；

所以c =

==，

所以双曲线的离心率为

3

c

e

a

===．

故选：A．

题型二、求离心率的范围

例7、【答案】C

【解析】由已知可得

21

2

MF MF a

−=，若

2

||4

MF MN b

+>，

即

1

|||24

MF MN a b

++>

‖，左支上的点M均满足

2

||4

MF MN b

+>，

如图所示，当点M位于H点时，1||

MF MN

+最小，

故

2

3

24

2

b

a b

a

+>，即22

348

b a ab

+>,

22

3840,(2)(23)0

b ab a a b a b

∴−+>∴−−>,

23

a b

∴>或22

2,49

a b a b

<∴>或2222

4,913

a b c a

<∴<

或22

5,1

3

c

c a

a

>∴<<

或

c

a

>∴双曲线C

的离心率的取值范围为1,(5,)

3

⎛⎫

+∞

⎪

⎪

⎝⎭

.

例8、（

1）①设椭圆的焦距为2c，

由题意，得

222

1

2

2

c

a

b

a b c

⎧=

⎪

⎪

=

⎨

⎪

=+

⎪

⎩

，

，

，

所以

2

a

b

=

⎧⎪

⎨

=

⎪⎩

，

．所以椭圆的方程为

2

2

1

43

y

x+=．

②由①得，焦点(10)

F，，准线为4

x=，

（2）解法1 设

2

()

a

P

t

c

，，

00

()

Q x y

，，