圆锥曲线中的离心率的问题(解析)

圆锥曲线中的离心率的问题解析一、题型选讲 例1、【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=，故选A ．本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率． 例2、【答案】C【解析】由双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>，可得其一条渐近线的方程为b y x a=，即0bx ay −=，又由圆22:10210C x y y +−+=，可得圆心为(0,5)C ，半径2r ，则圆心到直线的距离为5a d c ==，则52ac=，可得52c e a ==， 故选C. 例3、【答案】B【解析】设渐近线方程b y x a =±，即0b x y a±=，与圆N ：()2221xy -+=相切，圆心到直线的距离1d ==，22222222()()1,3,3()b b b a c a a a a =+=−=，所以222434,,1,33c a e e e ==>=故选：B 例4、【答案】D 【解析】如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+，所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+， 当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =.因此，该双曲线的离心率为e a== 故选：D. 例5、【答案】C【解析】取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知1111142HF PF MF ==，O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴又1OH PF ⊥，21MF PF ∴⊥1222F F PF c ∴==,根据双曲线的定义可知122PF a c =+，12a cHF +∴=， 直线1PF 的方程是：()ay x c b=+ ，即0ax by ac −+= ，原点到直线的距离OH a ==，1OHF ∴∆中，2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 整理为：223250c ac a −−= ， 即23250e e −−= ， 解得：53e = ，或1e =−（舍） 故选：C例6、【答案】A【解析】双曲线22212x y a −=的一条渐近线的倾斜角为6π，则tan6π=所以该条渐近线方程为3y x =；所以a =，解得a =；所以c ===，所以双曲线的离心率为3cea===．故选：A．题型二、求离心率的范围例7、【答案】C【解析】由已知可得212MF MF a−=，若2||4MF MN b+>，即1|||24MF MN a b++>‖，左支上的点M均满足2||4MF MN b+>，如图所示，当点M位于H点时，1||MF MN+最小，故23242ba ba+>，即22348b a ab+>,223840,(2)(23)0b ab a a b a b∴−+>∴−−>,23a b∴>或222,49a b a b<∴>或22224,913a b c a<∴<或225,13cc aa>∴<<或ca>∴双曲线C的离心率的取值范围为1,(5,)3⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭.例8、（1）①设椭圆的焦距为2c，由题意，得222122caba b c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，，所以2ab=⎧⎪⎨=⎪⎩，．所以椭圆的方程为22143yx+=．②由①得，焦点(10)F，，准线为4x=，（2）解法1 设2()aPtc，，00()Q x y，，因为FP ⊥FQ ，则△FPQ 的外接圆即为以PQ 为直径的圆200()()()()0a x x x y t y y c −−+−−=．由题意，焦点F ，原点O 均在该圆上，所以200200()()00a c c x ty c a x ty c ⎧−−+=⎪⎨⎪+=⎩，， 消去0ty 得2200()()0a a c c x x c c −−−=，所以20a x c c=−， 因为点P ，Q 均在x 轴上方，所以2a a c c c −<−<，即220c ac a +−>，所以210e e +−>，又因为01e <<， 所以5112e −<<．解法2 因为O ，F ，P ，Q 四点共圆且FP ⊥FQ ，所以PQ 为圆的直径，所以圆心必为PQ 中点M ， 又圆心在弦OF 的中垂线2c x =上，所以圆心M 的横坐标为2M c x =，所以点Q 的横坐标为222Q M a a x x c c c=−=−．（以下同方法1）例9、规范解答 (1) 由P 在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上，得b ＝3.又点Q 在椭圆C 上，得－42a 2＋－1232＝1，解得a 2＝18，所以椭圆C 的方程是x 218＋y 29＝1.(5分)(2) 解法1 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋y 2＝b 2，得x ＝0或x P ＝－2kb1＋k 2.(7分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝0或x Q ＝－2kba 2a 2k 2＋b 2.(9分)因为AP →＝λPQ →，λ＝3，所以AP →＝34AQ →，所以2kba 2a 2k 2＋b 2·34＝2kb 1＋k 2，即a 2a 2k 2＋b 2·34＝11＋k2，所以k 2＝3a 2－4b 2a 2＝4e 2－1. 因为k 2＞0，所以4e 2＞1，即e ＞12，又0＜e ＜1，所以12＜e ＜1.(16分)解法2 A (0，b )，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＋y 21＝b 2①，x 22a 2＋y 22b2＝1 ②.(7分)又因为AP →＝λPQ →，λ＝3，所以AP →＝34AQ →，即(x 1，y 1－b )＝34(x 2，y 2－b )．解得x 2＝43x 1，y 2＝43y 1－13b ，代入②得16x 219a 2＋16y 21－8by 1＋b 29b 2＝1.(9分)又x 21＝b 2－y 21，消去x 21整理得2(a 2－b 2)y 21－a 2by 1－b 2(a 2－2b 2)＝0，即[2(a 2－b 2)y 1＋b (a 2－2b 2)](y 1－b )＝0，解得，y 1＝b 2b 2－a 22a 2－b 2或y 1＝b (舍去)，因为－b ＜y 1＜b ，所以－b ＜b 2b 2－a 22a 2－b 2＜b ，解得b 2a 2＜34.(14分)而e 2＝1－b 2a 2＞1－34＝14，即e ＞12，又0＜e ＜1，所以12＜e ＜1.(16分)解后反思 解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，解析几何主要有两种方法：一是设线法；二是设点法．此题的解法1就属于设线法，解法2就属于设点法．一般地，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用得好，解题过程往往会显得很简捷．对于这道题，这两种解法差别不是很大，但对于有些题目方法选择的不同差别会很大，注意从此题的解法中体会设点法和设线法的精妙之处． 题型三、 由离心率求参数的范围例10、 思路分析 第1问，求椭圆的标准方程，本质就是要求a ，b 的值，为此，要找到两个关于a ，b 的方程，根据点P 在椭圆上，以及椭圆的定义知△PF 2Q 的周长为4a ，从而可求得椭圆的方程；第2问的本质就是找到实数λ与离心率e 的关系，根据PF 2⊥x 轴，可得点P 的坐标，根据条件PF 1→＝λF 1Q →可求得点Q 的坐标，利用点Q 在椭圆上，得到λ与a ，b ，c 的关系，进而求得λ与e 的关系，利用这一关系，求出λ的范围．规范解答 (1) 因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a ，由题意得4a ＝8，解得a ＝2.(2分)因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32， 所以1a 2＋94b2＝1，解得b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 解法1 因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，所以可设P (c ，y 0)，y 0＞0，Q (x 1，y 1)．因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b2a，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .(7分) 因为F 1(－c,0)，所以PF 1→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a ＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa ，所以Q ⎝⎛⎭⎫－λ＋2λc ，－b 2λa .(11分)因为点Q 在椭圆上，所以⎝⎛⎭⎫λ＋2λ2e 2＋b 2λ2a 2＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，即(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1. 因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3.(14分) 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤73，5.(16分)解法2 由于PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0.因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .(7分)因为F 1(－c,0)，所以直线PF 1的方程为y ＝b22ac(x ＋c )．联立⎩⎨⎧y ＝b 22acx ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0.因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b2，(11分)因为PF 1→＝λF 1Q →，所以λ＝－2c c ＋x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3.(14分) 以下同解法1.解后反思 本题考查解析几何中的范围问题，由于题中已知离心率e 的范围，因此我们可以把λ表示为e 的函数，为此先求得点P 的坐标(这里点P 是确定的，否则设出点P 的坐标)，由向量的运算求得点Q 的坐标，再代入椭圆方程可得关于λ，a ，b ，c 的等式，利用e ＝ca，a 2＝b 2＋c 2可化此等式为关于e ，λ的方程，解出λ，即把λ表示为e 的函数，由函数性质可求得λ的范围．本题采用的方法是解析几何中的基本计算，考查了学生的运算能力．二、达标训练1、【答案】C 【解析】由题,离心率2251c b e a a ==+=解得12b a =, 因为焦点在x 轴上,则渐近线方程为12y x =±,即20x y ±= 故选：C 2、2【解析】设△MPF 2的内切圆与MF 1，MF 2的切点分别为A ，B ， 由切线长定理可知MA ＝MB ，P A ＝PQ ，BF 2＝QF 2，又PF 1＝PF 2， ∴MF 1﹣MF 2＝（MA +AP +PF 1）﹣（MB +BF 2）＝PQ +PF 2﹣QF 2＝2PQ ， 由双曲线的定义可知MF 1﹣MF 2＝2a ，故而a ＝PQ 2=，又c ＝2，∴双曲线的离心率为e 2ca==． 23、【答案】2【解析】由题意(c,0)F ，一条渐近线方程为by x a=，即0bx ay −=，∴ FD b ==，由||||2FD OF =得2b c =，∴222234b c c a ==−，224c a =，∴2ce a==． 故答案为：2. 4、【答案】A【解析】双曲线()222210,0x y a b a b−=>>的一条渐近线为12y x =，1,22b e a ∴====. 故选:A. 5、【答案】C【解析】因为双曲线222109x y a a =>-（）的两焦点之间的距离为10，所以210c =，5c =，所以22916a c =−=，所以4a =.所以离心率54e =.故选C. 6、【答案】B【解析】由22220y x a b−=可得a y x b =±，即为双曲线的渐近线的方程，又渐近线方程为12y x =±， ∴12a b =，∴2ba=.∴离心率e c a a ====故选B ． 7、【答案】B【解析】设2m k =，则111c e a ==222c e a ===， 因为1101b a <<，由比例性质可知11111b b k a a k +<<+，所以12e e >；333c e a ==444c e a ===因为33b a 与1的大小不确定，所以33b a 和33b k a k++的大小也不确定，即无法判断3e ，4e ，大小.综上，12e e >，3e 与4e 的大小关系不确定. 故选：B. 8、【答案】35． 【解析】设12AF F θ∠=，由直线1AF的斜率为7，知sin tan cos 7θθθ==，且22sin cos 1θθ+=，即得7cos 9θ=， 由1122AF F F c ==及椭圆定义知21222AF a AF a c =−=−， 由余弦定理即可得，22221121122cos AF AF F F AF F F θ=+−，即()()()()()222722222229a c c c c c −=+−，化简得()2249a c c −=，故22222253220518909549a ac c c ac e c a e e −+=⇒−+=⇒−+=⇒=或3（舍）即35e =．故答案为：35 9、【答案】12【解析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S 21'BOF B OF S=，则有11275A B y S S y ==，所以175A B y y =−． 将直线AB 1方程4x c =−，代入椭圆方程后，222241x y c x y a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣2cy +8b 4＝0，由韦达定理解得12228A B cy y b a+=+，142288A B b y y b a −=+， 三式联立，可解得离心率12c e a ==．故答案为：12．11 10、【答案】0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】由题意可设()0,B b ，(),0F c ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =， 可得F 为ABC ∆的重心，设()11,A x y ，()22,C x y ， 由重心坐标公式可得，1203x x c ++=，120y y b ++=， 即有AC 的中点(),M x y ，可得12322x x cx +==，1222y yby +==−，由题意可得点M 在椭圆内，可得2291144c a +<， 由c e a =，可得213e <，即有03e <<.故答案为：0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.。