数值分析试卷一

一、填空题：(共15分，第7题2分，其余每空1分)

1.为了提高计算精度，当充分大时，应将改写为.

2.已知勒让德多项式系中的，则上关于权函数

的两点高斯型求积公式为，用它计算

（用分数表示）.

3.已知是以0，1，2为节点的三次样条

函数，

则.

4．设，，则，，.(用根

号表示)

5．曲线和曲线在附近有一交点，写出求近似值的

牛顿迭代公式,它的收敛阶为.

6．给出一个求解对任意初值都收敛的迭代公式，并

说明理由.

7．已知,试求满足插值条件且的五次多项式

8．解初值问题显式方法的局部截断误差为

.

二、（15分）设有方程组分别写出Jacobi和

Gauss-Seidel迭代的计算公式,并讨论它们的收敛性.

三、（10分）有线性方程组,其中

(1)对进行分解;(2)求解方程组;(3)求.

四、（10分）求在上形如的最佳平方逼近多项式.

五、（10分）已知连续函数的函数表如下

(1)用二次拉格朗日插值计算的近似值；

(2)用牛顿三次插值求时，的近似值.

六、（10分）设有迭代格式

(1)确定的值,使上述迭代格式局部收敛到;

(2) 取何值时,上述迭代公式收敛阶最高,最高阶是多少;

(3) 取初值，用(2)中确定的公式求的近似值，误差不超过

(小数点后至少保留六位,计算过程中取的近似值为2)

七、（10分）用数值积分计算的近似值，要求误差不超过。

八、（10分）设，

(1)建立含的一阶常微分方程初值问题；

(2)给出改进的方法的求解公式；

(3)用改进的方法求解的近似值(取步长).

九、（10分）确定下列求积公式的系数及节点使其代数精确度尽可能高,并指出是否为高斯型求积公式;

最后证明该公式有如下误差公式：