最新一次函数解析式(斜截式、点斜式、两点式、截距式)
一次函数的斜率与截距的计算
一次函数的斜率与截距的计算一次函数是数学中的基础概念，也是学习代数中的重要内容之一。
在一次函数中，斜率和截距是两个关键概念，可以通过一些特定的计算方法来求得。
本文将详细介绍一次函数的斜率和截距的计算方法，以及它们在数学中的应用。
一、一次函数的定义与特点一次函数也称为线性函数，是一种函数关系，形式可以表示为：y = kx + b。
其中，k表示斜率，b表示截距，x和y分别表示自变量和因变量。
一次函数的图像是一条直线，具有以下特点：1. 斜率决定了直线的倾斜程度，正值表示向上倾斜，负值表示向下倾斜，斜率为0表示平行于x轴；2. 截距表示直线与y轴的交点位置，当x=0时，函数值为b。
二、斜率的计算方法斜率是一次函数的重要特征，描述了函数图像的倾斜程度。
计算斜率的方法有两种：几何法和代数法。
1. 几何法几何法是通过直线上两点的坐标来计算斜率。
设直线上两点分别为P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)，则斜率k的计算公式为：k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。
2. 代数法代数法是通过函数表达式来计算斜率。
对于一次函数y = kx + b，斜率k即为函数中x的系数。
三、截距的计算方法截距是一次函数图像与y轴的交点位置，反映了函数图像的垂直位移。
计算截距的方法有两种：几何法和代数法。
1. 几何法几何法是通过直线与y轴的交点来计算截距。
直线与y轴的交点即为y=0时的横坐标值，可以通过解方程y = kx + b得到。
2. 代数法代数法是通过函数表达式来计算截距。
对于一次函数y = kx + b，截距b即为函数中的常数项。
四、一次函数的应用举例一次函数的斜率和截距在实际问题中有广泛的应用。
下面以两个例子来说明：例一：汽车行驶距离与时间的关系可以表示为一次函数。
已知汽车的平均速度是60km/h，求汽车行驶2小时所能达到的距离。
解：由平均速度的定义可知：平均速度 = 总路程 / 时间。
设总路程为D，时间为t，则有60 = D / 2，解得D = 120km。
高二数学直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内；已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点；会求直线的方程；给出直线的点斜式方程；能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式；并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡；训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征；培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况；截距式方程是两点式方程的特殊情况；教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后；说明得到的就是直线的方程；即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来；以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程；但化为y-y1=k(x-x1)后；点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式已知直线l的斜率是k；并且经过点P1(x1；y1)；直线是确定的；也就是可求的；怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x；y)是直线l上不同于P1的任意一点；根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)；因此；点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上；方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程；可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推；可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上；所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的；叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)；k=0；直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)；直线的斜率不存在；它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1；所以它的方程是x=x1．(二)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b；斜率为b；求直线的方程．这个问题；相当于给出了直线上一点(0；b)及直线的斜率k；求直线的方程；是点斜式方程的特殊情况；代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时；斜截式方程就是直线的表示形式；这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．(三)两点式已知直线l上的两点P1(x1；y1)、P2(x2；y2)；(x1≠x2)；直线的位置是确定的；也就是直线的方程是可求的；请同学们求直线l的方程．当y1≠y2时；为了便于记忆；我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的；叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线；当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时；可直接写出方程；(2)要记住两点式方程；只要记住左边就行了；右边可由左边见y就用x代换得到；足码的规律完全一样．(四)截距式例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0；b≠0)；求直线l的方程．此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题；由学生自己完成．解：因为直线l过A(a；0)和B(0；b)两点；将这两点的坐标代入两点式；得就是学生也可能用先求斜率；然后用点斜式方程求得截距式．引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的；叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距；可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后；可以观察出直线在x 轴和y轴上的截距；这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5；0)、B(3；-3)、C(0；2)(图1-27)；求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB的方程．BC的方程本来也可以用两点式得到；为简化计算；我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC的方程．由截距式方程得AC的方程是即 2x+5y+10=0．这就是直线AC的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的；要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．五、布置作业1．练习第1题)写出下列直线的点斜式方程；并画出图形：(1)经过点A(2；5)；斜率是4；(4)经过点D(0；3)；倾斜角是0°；(5)经过点E(4；-2)；倾斜角是120°．解：2．练习第2题)已知下列直线的点斜方程；试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1；2)；k=1；α=45°；(3)(1；-3)；k=-1；α=135°；3．练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°；y轴上的截距是3．4．练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程；再化成截距式方程；并根据截距式方程作图．(1)P1(2；1)、P2(0；-3)；(2)A(0；5)、B(5；0)；(3)C(-4；-3)、D(-2；-1)．解：(图略)六、板书设计。
高二数学直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内：已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点：会求直线的方程：给出直线的点斜式方程：能观察直线的斜率和直线经过的定点：能化直线方程成截距式：并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡：训练学生由一般到特殊的处理问题方法：通过直线的方程特征观察直线的位置特征：培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况：截距式方程是两点式方程的特殊情况：教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后：说明得到的就是直线的方程：即直线上每个点的坐标都是方程的解：反过来：以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程：但化为y-y1=k(x-x1)后：点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式已知直线l的斜率是k：并且经过点P1(x1：y1)：直线是确定的：也就是可求的：怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x：y)是直线l上不同于P1的任意一点：根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)：因此：点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上：方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程：可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解：对上面的过程逆推：可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上：所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的：叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)：k=0：直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)：直线的斜率不存在：它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1：所以它的方程是x=x1．(二)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b：斜率为b：求直线的方程．这个问题：相当于给出了直线上一点(0：b)及直线的斜率k：求直线的方程：是点斜式方程的特殊情况：代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时：斜截式方程就是直线的表示形式：这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．(三)两点式已知直线l上的两点P1(x1：y1)、P2(x2：y2)：(x1≠x2)：直线的位置是确定的：也就是直线的方程是可求的：请同学们求直线l的方程．当y1≠y2时：为了便于记忆：我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的：叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线：当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时：可直接写出方程：(2)要记住两点式方程：只要记住左边就行了：右边可由左边见y就用x代换得到：足码的规律完全一样．(四)截距式例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0：b≠0)：求直线l的方程．此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题：由学生自己完成．解：因为直线l过A(a：0)和B(0：b)两点：将这两点的坐标代入两点式：得就是学生也可能用先求斜率：然后用点斜式方程求得截距式．引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的：叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距：可以直接代入截距式求直线的方程：(2)将直线的方程化为截距式后：可以观察出直线在x轴和y轴上的截距：这一点常被用来作图：(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5：0)、B(3：-3)、C(0：2)(图1-27)：求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB的方程．BC的方程本来也可以用两点式得到：为简化计算：我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC的方程．由截距式方程得AC的方程是即 2x+5y+10=0．这就是直线AC的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的：要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．五、布置作业1．练习第1题)写出下列直线的点斜式方程：并画出图形：(1)经过点A(2：5)：斜率是4：(4)经过点D(0：3)：倾斜角是0°：(5)经过点E(4：-2)：倾斜角是120°．解：2．练习第2题)已知下列直线的点斜方程：试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1：2)：k=1：α=45°：(3)(1：-3)：k=-1：α=135°：3．练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°：y轴上的截距是3．4．练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程：再化成截距式方程：并根据截距式方程作图．(1)P1(2：1)、P2(0：-3)：(2)A(0：5)、B(5：0)：(3)C(-4：-3)、D(-2：-1)．解：(图略)六、板书设计。
直线方程的几种形式
一次函数的图像是一条直线，所以我们习惯上把一次函数的解析式叫做这个一次函数所代表的那条直线的方程，下面我来介绍一下直线方程的几种形式：1.一般式:适用于所有直线表达式：Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0)两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2两直线垂直时：A1A2+B1B2=0两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2两直线相交时：A1/A2≠B1/B22.点斜式:知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，则直线可表示为y-y0=k(x-x0)当k不存在时，直线可表示为x=x03.截矩式不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线知道直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为x y=1a b4. 斜截式当斜率存在时方程为y=kx+b 当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。
两直线平行时 k 1=k 2两直线垂直时 k 1×k 2=-15.两点式已知直线上两点A （x 1,y 1)与B(x 2,y 2)那么此直线的方程可表示为：112121y y x-x =y -y x -x x 1≠x 2 y 1≠y 26.当斜率不存在时，即直线垂直于x 轴，直线方程为x=x 1，x 1为直线上任意一点的横坐标注意：各种不同形式的直线方程的局限性：(1)点斜式和斜截式都不能表示斜率不存在的直线；(2)两点式不能表示与坐标轴平行或重合的直线；(3)截距式不能表示与坐标轴平行或过原点的直线；(4)直线方程的一般式中系数A 、B 不能同时为零。
介绍完直线方程的几种形式，下面我说一下应该重点掌握的内容，一般式不用掌握，了解一下就可以了，点斜式和截距式的形式要记住，重要的是两点式和斜截式，因为考试一般涉及到让求一次函数解析式的题，最后都要用斜截式来表达，而最一般的题型就是告诉两个点，让你求一次函数的解析式，我们一般的做法就是设这个一次函数的解析式为y=kx+b ，然后将两个点的坐标代入，解一个二元一次方程组，求出里面的k 和b ，然后把求出的数值代入解析式里面，这是这种题最一般的解法。
一次函数的斜率和截距的计算
一次函数的斜率和截距的计算一次函数是代数中最简单的函数之一，由普通的代数方程所表示。
它的表达形式是y = mx + b，其中m代表斜率，b代表截距。
斜率指的是直线的倾斜程度，而截距则是与y轴的交点。
斜率的计算方法是通过比较函数的两个点的纵坐标与横坐标的变化量来确定的。
一般来说，斜率可以通过斜率公式进行计算，即m = (y2 - y1)/(x2 - x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)是函数上的两个点。
举个例子来说明：假设有一个一次函数y = 3x + 2。
我们可以选择两个点(0, 2)和(1, 5)来计算斜率。
根据斜率公式，斜率m = (5 - 2)/(1 - 0) = 3/1 = 3。
因此，该函数的斜率为3。
截距是指一次函数与y轴交点的纵坐标值。
在一次函数的表达式中，截距b就是在x等于0时y的值。
通过这个特性，我们可以很容易地计算出截距。
以上面的例子为例，我们可以将x值设为0，得到y = 3(0) + 2 = 2。
因此，该函数的截距是2。
通过这个例子，我们可以发现一次函数的斜率和截距对于函数的图像起到了关键性的作用。
斜率决定了直线的倾斜程度，而截距则代表了直线与y轴的交点。
在实际应用中，一次函数的斜率和截距在许多领域中都有重要的应用。
在物理学中，斜率可以代表速度的变化率，截距可以表示初始位置；在经济学中，斜率可以表示市场增长率，截距可以表示初始投资；在工程学中，斜率可以代表电路中的电阻，截距可以表示电源电压。
总结而言，一次函数的斜率和截距是用来描述直线的倾斜程度和与y轴的交点的重要特征。
通过计算两个点之间的纵坐标和横坐标的变化量，我们可以计算出斜率；而截距则是直线与y轴的交点的纵坐标值。
这些概念在数学和实际应用中都有着重要的作用，帮助我们理解和分析各种问题和现象。
最后，掌握一次函数的斜率和截距的计算方法对于解决数学问题和应用数学知识非常有帮助。
通过深入理解这些概念，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题，并提升我们的数学能力。
一次函数知识点
一次函数知识点一次函数，也叫线性函数，是数学中最简单的函数之一。
它的函数表达式为 y = kx + b，其中 k 和 b 分别是函数的斜率和截距。
一、函数的斜率斜率是一次函数的重要特征，它代表了函数图像的倾斜程度。
一次函数的斜率可以通过以下方法求取：1.1 斜率的定义一次函数的斜率定义为函数图像上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
设一次函数上的两点为 P(x₁, y₁) 和 Q(x₂, y₂)，则斜率的计算公式如下：k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)1.2 点斜式点斜式是一种表示一次函数的常用形式。
给定一次函数的一点P(x₁, y₁) 和斜率 k，点斜式的表达式为：y - y₁ = k(x - x₁)该表达式可以方便地确定函数图像。
1.3 截距式截距式是另一种表示一次函数的常用形式。
给定一次函数的截距 b 和斜率 k，截距式的表达式为：y = kx + b截距式使得我们更容易理解和计算函数的特征。
二、函数的图像一次函数的图像具有线性的特点，是一条直线。
通过斜率和截距的取值，我们可以推断并绘制出函数的图像：2.1 斜率的影响斜率 k 的正负决定了图像的斜向，即线的倾斜方向。
当 k > 0 时，函数图像向上增长；当 k < 0 时，函数图像向下增长；当 k = 0 时，函数图像平行于 x 轴。
2.2 截距的影响截距 b 决定了图像与 y 轴的交点，即函数的纵截距。
当 b > 0 时，函数图像与 y 轴交于正半轴；当 b < 0 时，函数图像与 y 轴交于负半轴；当 b = 0 时，函数图像经过原点。
三、函数的性质一次函数具有许多特性，我们需要了解并掌握这些特性来更好地理解和使用函数：3.1 函数值和自变量的关系对于一次函数 y = kx + b，当 x 取不同的值时，相应的 y 值也会随之变化。
由于函数图像是一条直线，所以函数值和自变量呈线性关系。
3.2 函数的增减性一次函数的增减性由斜率 k 的正负决定。
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式资料讲解
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3注意方程(1)与方程(2)的差异：点P 1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P 1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l 的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点P 1、斜率为k 的直线l 的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y 1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1．(二)斜截式已知直线l 在y 轴上的截距为b ，斜率为b ，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k ，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y -b=k(x-0)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y 轴上的截距确定的．当k ≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k 和b 的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y 轴上的截距．(三)两点式已知直线l 上的两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，(x 1≠x 2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l 的方程．当y 1≠y 2时，为了便于记忆，我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x 1=x 2或y 1=y 2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y 就用x 代换得到，足码的规律完全一样．(四)截距式例1 已知直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b(a ≠0，b ≠0)，求直线l 的方程．此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．解：因为直线l 过A(a ，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y 轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB 的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB 的方程．BC 的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC 的方程．由截距式方程得AC 的方程是仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6即 2x+5y+10=0．这就是直线AC 的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．五、布置作业1．(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°． 解：2．(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1，2)，k=1，α=45°；(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢73．(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°，y 轴上的截距是3．4．(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)． 解：(图略)六、板书设计。
一次函数的使用方法与技巧
一次函数的使用方法与技巧
一次函数又称为线性函数，是形如y = ax + b的函数，其中a和b是常数，x 是自变量，y是因变量。
以下是一些使用一次函数的方法与技巧：
1. 理解斜率和截距：斜率a表示直线的倾斜程度，正值表示向上倾斜，负值表示向下倾斜；截距b表示直线与y轴的交点位置。
2. 点斜式方程：如果已知一次函数的斜率a和经过的点(x1, y1)，可以使用点斜式方程y - y1 = a(x - x1)来表示一次函数。
3. 斜率截距式方程：一次函数的标准形式是y = mx + c，其中m为斜率，c为截距。
4. 求解交点：当两条一次函数相交时，可以通过联立方程组求解得到它们的交点坐标。
5. 判定平行和垂直：两条一次函数平行的条件是它们的斜率相等；两条一次函数垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1。
6. 拟合数据：对于给定的一组数据点，可以使用最小二乘法拟合一条一次函数，
以找到最佳拟合直线。
7. 解决实际问题：一次函数可以用于解决许多实际问题，例如速度和时间之间的关系、成本和产量之间的关系等。
8. 利用图像解题：可以通过绘制一次函数的图像来直观地解答问题，例如找到函数的零点、最大值和最小值等。
9. 利用函数性质：一次函数的性质可以用于简化计算，例如直线上两点的中点坐标等。
10. 对对称性的应用：一次函数具有对称性，可以利用这一性质来简化计算或解决问题。
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
直线方程得点斜式、斜截式、两点式与截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内,已知直线上一点与直线得斜率或已知直线上两点,会求直线得方程;给出直线得点斜式方程,能观察直线得斜率与直线经过得定点;能化直线方程成截距式,并利用直线得截距式作直线.(二)能力训练点通过直线得点斜式方程向斜截式方程得过渡、两点式方程向截距式方程得过渡,训练学生由一般到特殊得处理问题方法;通过直线得方程特征观察直线得位置特征,培养学生得数形结合能力.(三)学科渗透点通过直线方程得几种形式培养学生得美学意识.二、教材分析1.重点:由于斜截式方程就是点斜式方程得特殊情况,截距式方程就是两点式方程得特殊情况,教学重点应放在推导直线得斜截式方程与两点式方程上.2.难点:在推导出直线得点斜式方程后,说明得到得就就是直线得方程,即直线上每个点得坐标都就是方程得解;反过来,以这个方程得解为坐标得点在直线上.得坐标不满足这个方程,但化为y-y1=k(x-x1)后,点P1得坐标满足方程.三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合.四、教学过程(一)点斜式已知直线l得斜率就是k,并且经过点P1(x1,y1),直线就是确定得,也就就是可求得,怎样求直线l得方程(图1-24)？设点P(x,y)就是直线l上不同于P1得任意一点,根据经过两点得斜率公式得注意方程(1)与方程(2)得差异:点P1得坐标不满足方程(1)而满足方程(2),因此,点P1不在方程(1)表示得图形上而在方程(2)表示得图形上,方程(1)不能称作直线l 得方程.重复上面得过程,可以证明直线上每个点得坐标都就是这个方程得解;对上面得过程逆推,可以证明以这个方程得解为坐标得点都在直线l上,所以这个方程就就是过点P1、斜率为k 得直线l得方程.这个方程就是由直线上一点与直线得斜率确定得,叫做直线方程得点斜式.当直线得斜率为0°时(图1-25),k=0,直线得方程就是y=y1.当直线得斜率为90°时(图1-26),直线得斜率不存在,它得方程不能用点斜式表示.但因l上每一点得横坐标都等于x1,所以它得方程就是x=x1.(二)斜截式已知直线l在y轴上得截距为b,斜率为b,求直线得方程.这个问题,相当于给出了直线上一点(0,b)及直线得斜率k,求直线得方程,就是点斜式方程得特殊情况,代入点斜式方程可得:y-b=k(x-0)也就就是上面得方程叫做直线得斜截式方程.为什么叫斜截式方程？因为它就是由直线得斜率与它在y轴上得截距确定得.当k≠0时,斜截式方程就就是直线得表示形式,这样一次函数中k与b得几何意义就就是分别表示直线得斜率与在y轴上得截距.(三)两点式已知直线l上得两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),(x1≠x2),直线得位置就是确定得,也就就是直线得方程就是可求得,请同学们求直线l得方程.当y1≠y2时,为了便于记忆,我们把方程改写成请同学们给这个方程命名:这个方程就是由直线上两点确定得,叫做直线得两点式.对两点式方程要注意下面两点:(1)方程只适用于与坐标轴不平行得直线,当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时,可直接写出方程;(2)要记住两点式方程,只要记住左边就行了,右边可由左边见y就用x代换得到,足码得规律完全一样.(四)截距式例1 已知直线l在x轴与y轴上得截距分别就是a与b(a≠0,b≠0),求直线l 得方程.此题由老师归纳成已知两点求直线得方程问题,由学生自己完成.解:因为直线l过A(a,0)与B(0,b)两点,将这两点得坐标代入两点式,得就就是学生也可能用先求斜率,然后用点斜式方程求得截距式.引导学生给方程命名:这个方程就是由直线在x轴与y轴上得截距确定得,叫做直线方程得截距式.对截距式方程要注意下面三点:(1)如果已知直线在两轴上得截距,可以直接代入截距式求直线得方程;(2)将直线得方程化为截距式后,可以观察出直线在x轴与y轴上得截距,这一点常被用来作图;(3)与坐标轴平行与过原点得直线不能用截距式表示.(五)例题例2 三角形得顶点就是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)(图1-27),求这个三角形三边所在直线得方程.本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫.解:直线AB得方程可由两点式得:即 3x+8y+15=0这就就是直线AB得方程.BC得方程本来也可以用两点式得到,为简化计算,我们选用下面途径:由斜截式得:即 5x+3y-6=0.这就就是直线BC得方程.由截距式方程得AC得方程就是即 2x+5y+10=0.这就就是直线AC得方程.(六)课后小结(1)直线方程得点斜式、斜截式、两点式与截距式得命名都就是可以顾名思义得,要会加以区别.(2)四种形式得方程要在熟记得基础上灵活运用.(3)要注意四种形式方程得不适用范围.五、布置作业1.(1、5练习第1题)写出下列直线得点斜式方程,并画出图形:(1)经过点A(2,5),斜率就是4;(4)经过点D(0,3),倾斜角就是0°;(5)经过点E(4,-2),倾斜角就是120°.解:2.(1、5练习第2题)已知下列直线得点斜方程,试根据方程确定各直线经过得已知点、直线得斜率与倾斜角:解:(1)(1,2),k=1,α=45°;(3)(1,-3),k=-1,α=135°;3.(1、5练习第3题)写出下列直线得斜截式方程:(2)倾斜角就是135°,y轴上得截距就是3.4.(1、5练习第4题)求过下列两点得直线得两点式方程,再化成截距式方程,并根据截距式方程作图.(1)P1(2,1)、P2(0,-3);(2)A(0,5)、B(5,0);(3)C(-4,-3)、D(-2,-1).解:(图略)六、板书设计。
一次函数的几种表达形式
一次函数的几种表达形式一次函数，也被称为线性函数，是数学中最简单的函数之一。
它的表达形式有多种，分别是标准形式、一般形式和斜截式。
下面将逐一介绍这几种表达形式。
第一种表达形式是标准形式。
一次函数的标准形式可以表示为y = ax + b的形式，其中a和b分别是常数。
其中，a表示直线的斜率，b表示直线与y轴的交点。
第二种表达形式是一般形式。
一次函数的一般形式可以表示为Ax + By + C = 0的形式，其中A、B和C分别是常数。
一般形式通常用于解直线的方程或表示直线的性质。
一般形式的方程可以通过标准形式的方程进行转换。
第三种表达形式是斜截式。
一次函数的斜截式表达形式为y = mx + c的形式，其中m表示直线的斜率，c表示直线与y轴的交点。
斜截式的表达形式常用于图形化表示直线或计算直线与坐标轴的交点。
三种表达形式中，标准形式适用于计算直线的斜率和与y轴的交点，一般形式适用于解直线方程和表示直线的性质，斜截式适用于图形化表示直线和计算直线与坐标轴的交点。
不同的表达形式可以根据具体的问题选择使用。
以一次函数y = 2x + 3为例，来说明三种表达形式的转换关系。
将一次函数的标准形式y = 2x + 3转换为一般形式Ax + By + C = 0。
根据标准形式，可以得到2x - y + 3 = 0。
因此，一次函数的一般形式为2x - y + 3 = 0。
将一次函数的标准形式y = 2x + 3转换为斜截式y = mx + c。
根据标准形式，可以得到y = 2x + 3。
因此，一次函数的斜截式为y = 2x + 3。
将一次函数的一般形式2x - y + 3 = 0转换为标准形式y = ax + b。
根据一般形式，可以得到y = 2x + 3。
因此，一次函数的标准形式为y = 2x + 3。
通过以上的例子，可以看出不同的表达形式之间可以相互转换。
这种转换关系可以帮助我们更方便地解决问题，理解直线的性质和图形化表示直线。
一次函数的三种表示方法
一次函数的三种表示方法一次函数是数学中最基本的函数之一，它的表达式为y=ax+b，其中a和b为常数，x为自变量，y为因变量。
在实际应用中，我们常常需要对一次函数进行分析和处理，因此了解一次函数的三种表示方法是非常重要的。
第一种表示方法：函数图像函数图像是一次函数最直观的表示方法之一。
我们可以通过绘制函数图像来观察函数的性质和特点。
对于一次函数y=ax+b，我们可以通过画出其图像来观察a和b的取值对函数图像的影响。
当a>0时，函数图像呈现出从左下方向右上方的趋势；当a<0时，函数图像呈现出从左上方向右下方的趋势。
而b则是函数图像在y轴上的截距，它决定了函数图像与y轴的交点位置。
第二种表示方法：斜率截距式斜率截距式是一次函数的另一种常见表示方法。
它的表达式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
斜率表示的是函数图像在x轴上的变化率，它的值等于函数图像在任意一点的切线斜率。
截距则表示函数图像与y 轴的交点位置。
通过斜率截距式，我们可以方便地计算函数的斜率和截距，并且可以通过斜率和截距的取值来判断函数的性质。
第三种表示方法：点斜式点斜式是一次函数的另一种表示方法，它的表达式为y-y1=k(x-x1)，其中k为斜率，(x1,y1)为函数图像上的一点。
点斜式表示的是函数图像在点(x1,y1)处的切线方程。
通过点斜式，我们可以方便地求出函数图像在任意一点的切线方程，并且可以通过斜率的正负来判断函数图像在该点的上升或下降趋势。
综上所述，一次函数的三种表示方法分别是函数图像、斜率截距式和点斜式。
它们各自具有不同的优点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的表示方法。
通过深入了解和掌握这三种表示方法，我们可以更好地理解和应用一次函数，为实际问题的解决提供有力的数学工具。
一次函数的斜率和截距
食品有限公司质量环境食品安全手册符合：GB/T19001-2016 idt ISO9001：2015GB/T24001-2016 idt ISO14001：2015GB/T22000-2006 idt ISO22000：2005版本： B 版受控状态：受控 01编制：审核：批准：发布实施0.1目次0.2发布令0.3任命书0.4方针、目标的声明1 范围2 引用标准和术语2.1 引用标准2.2 通用术语和定义2.3 专用术语3 介绍页3.1.1公司概况3.1.2本组织机构图3.1.3 职能分配表3.1.4 HACCP知识培训计划3.1.5 产品撤回计划3.2 原辅料及包装材料描述产品描述工艺流程危害分析单 HACCP计划3.3 手册的管理4组织环境4.1理解组织及其环境4.2理解相关方的需求和期望4.3确定管理体系的范围4.4管理体系及其过程5领导作用5.1领导作用和承诺5.1.1总则5.1.2以顾客为关注焦点5.2方针5.2.1制定方针5.3组织的角色、职责和权限6 策划6.1 应对风险和机遇的措施6.1.2 环境因素6.1.3 合规义务6.2目标及其实现的策划6.3 变更的策划7.1 资源7.1.1 总则7.1.2 人员7.1.3 基础设施7.1.4 过程运行环境7.1.4.3前提方案（PRP(s)）7.1.5 监视和测量资源7.1.6 组织的知识7.2 能力7.3 意识7.4 沟通7.5 形成文件的信息8.1 运行策划和控制8.2 产品和服务的要求8.3 危害分析的预备步骤8.3.1 总则8.3.2 食品安全小组8.3.3产品特性8.3.3.2 终产品特性8.3.4 预期用途8.3.5.1流程图8.3.5.2过程步骤和控制措施的描述8.3.6 危害分析8.3.7 HACCP计划的建立8.3.8 预备信息的更新、规定前提方案和 HACCP计划文件的更新8.3.9 食品安全的验证策划8.4 外部提供过程、产品和服务的控制8.5 生产和服务提供8.5.1 生产过程控制和应急响应控制8.5.1.1生产和服务提供控制8.5.1.2 应急准备和响应8.5.2 标识和可追溯性8.5.3 顾客或外部供方的财产（不适用）8.5.4防护8.5.5 交付后的活动8.5.6 更改控制8.6 产品和服务的放行8.7 不合格输出的控制9.1 监视、测量、分析和评价9.1.1 总则9.1.2 顾客满意9.1.3 分析与评价9.1.4 合规性评价9.1.5单项验证结果的评价9.1.6 验证活动结果的分析9.2 内部审核9.3 管理评审10改进10.2 不合格和纠正措施10.3 持续改进11 附录：本手册是依据GB/T19001：2008、GB/T24001：2004、GB/T22000-2006三个标准，结合公司的实际，遵循国家有关法律法规及行业标准制定的，它阐述了公司的质量环境食品安全职业健康管理体系的范围，质量环境食品安全职业健康方针、目标，引用了质量环境食品安全职业健康管理体系程序文件，对质量环境食品安全管理体系过程的顺序和相互作用作了详细的描述。
一次函数课件
习题三：拓展题
题目
已知函数$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$的图象经过原点，且在点$(1, f(1))$处的切 线方程为$y = x$。求函数的解析式。
答案
根据题意，首先有$begin{cases} f(0) = d = 0 f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c end{cases}$ 。由于切线方程为$y=x$，则斜率为1，即有$begin{cases} f'(1) = a + b + c = 1 f(1) = a + b + c + d = 1 end{cases}$。解得$begin{cases} a=0 b=1 c=-1 end{cases}$。因此函数的解析式为$f(x) = x^2 - x$。
06
答案
根据函数定义，对于任意$x_1 < x_2$，有 $f(x_1) = x_1 + 1 < x_2 + 1 = f(x_2)$，因 此该函数是增函数。
习题二：提高题
题目
已知函数$f(x) = ax + b$，若$f(f(x)) = x$，求$a$和 $b$的值。
答案
根据题意，首先有$f(f(x)) = a(ax + b) + b = ax^2 + (a+b)x + b = x$。对比系数得到方程组$begin{cases} a = 1 a+b=0 b=0 end{cases}$，解得$a=1, b=-1$。
题目
已知函数$f(x) = x^2 - 2x$，求函数的单调区间。
答案
首先求导数，得到$f'(x) = 2x - 2$。令导数等于0，解得 $x=1$。当$x < 1$时，导数小于0，函数单调递减；当 $x > 1$时，导数大于0，函数单调递增。因此单调递减 区间为$( - infty,1)$，单调递增区间为$(1, + infty)$。
课时28直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
课时28 直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式【学习要求】1、在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；2、给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；3、能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．【课前预习】一次函数解析式的求法【课堂活动】一、情境引入二、知识建构1.点斜式2．斜截式3．两点式4．截距式三、例题探究例1 一条直线经过点)3,2(1-P ，倾斜角︒=45α，求这条直线方程，并画出图形.例2已知直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和)0,0(≠≠b a b ，求直线l 的方程．例3三角形的顶点是)2,0(),3,3(),0,5(C B A --，求这个三角形三边所在直线的方程．例4已知直线m 的倾斜角θ的余弦值等于54，在y 轴上的截距为2-，求直线方程．四、课堂练习 1．写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：(1) 经过点)5,2(A ，斜率是4；（2）经过点)2,4(-E ，倾斜角是120°．2．已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：(1)12-=-x y (2))4(33-=-x y(3) )1(3--=+x y (4))1(332+-=+x y3．求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．(1))3,0(),1,2(21-P P ；(2))0,5(),5,0(B A ；(3))1,2(),3,4(----D C ．4．写出过点)1,3(P , 且分别满足下面的条件的直线l 的方程(1)直线l 垂直于x 轴；(2)直线l 垂直于y 轴；(3)直线l 过原点；(4)直线l 倾斜角为135°．五、回顾反思六、课后作业1．直线3)2(+-=x k y 必过定点，则定点的坐标为_____________．2．已知两点)12,8(),2,3(B A ．（1）直线AB 的方程为___________；（2）若点),2(a C -在直线AB 上，则a 为__________．3．直线经过点)2,1(P ，且斜率与直线32+-=x y 的斜率相等，则该直线的方程是_______．4．直线052=+y 的斜率和在y 轴上的截距分别为 ( ) A ． 0 , 25- B ．2 , －5 C ．0 , －5 D ．25- , 不存在 5．直线)0,(1≠=+b a by ax 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ( ) A ． ab 21 B ． ab 21 C ．ab 21 D ．ab21 6．过点)2,1(P 且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程为________________．7．.已知直线012=++by ax 在x 轴,y 轴上的截距分别是－3和4 , 求b a ,的值．8．已知直线l 的斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程． 9．直线过点)0,5(P ，在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，求此直线方程． 〖能力提高〗10.直线l 经过点)1,3(-，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l 的方程．。
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k
y2 y1 x2 x1
11 3 k 2 (2)
斜率变吗？
练习： 1、已知，一次函数图象过M（3，4）N（-2，6）两点，则斜率K=_____ 2、某正比例函数过点A（2，m）且与直线y=-3x-3无交点，求m的值。
点斜式方程
y a
P0(x0,y0) x
设直线过定点P0(x0,y0),斜率为k 这定点P0和斜率k确定这条直线
k
Q（-3，5）
5 3
y5 3 x
Q（-3，5）
5 直线 y x 2 3 5 由直线 y x 向上平移2个单位，得到 3
思考：不是正比例函数，可不可以用斜截式来表示？（如图）
Q（2，11） 斜率怎么求？（如图） P（-2，3）
y kx(k 0) y k x
y y0 0或y y0
③倾斜角α=90°
O
x0
x
x x0 0或x x0
斜截式方程
y
a
设直线经过点P0( b , 0 )，其斜
率为k，求直线方程。
P0(0,b)
y b k ( x 0)
x
y kx b
斜率 Y轴的截距
斜截式当知道ຫໍສະໝຸດ 率和截距时用斜截式注意事项
一次函数及其图象
制作者：爸爸
正比例函数：
在直角坐标系中，正比例函数过O（0，0）
已知，正比例函数过点P（3，4），求该函数方程，并绘图。
P（3，4）
y kx(k 0) y k x
4 k 3
4 y x 3
x y -3 -4 0 0 3 6 9 12 12
练习：已知正比例函数过点Q（-3，5）， （1）求此函数方程并绘图。
l
斜率
截距
x
a为直线在x轴上的截距
b为直线在y轴上的截距
截距式
y
B(0，b)
代入两点式方程得
y0 xa b0 0a
l
A(a，0)
化简得
x
x y 1 a b
截距式
横截距
纵截距
小结
斜率和一点坐标
点斜式
y y0 k ( x x0 )
斜率k和截距b
斜截式
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点式 两点坐标 点斜式
y y0 k ( x x0 )
两个截距
截距式
x y 1 a b
点斜式方程
y
P(x,y)
P0(x0,y0) x
a
设直线任意一点（P0除外） 的坐标为P(x,y)。
y y0 k x x0
y y0 k ( x x0 )
点斜式
点斜式方程
y
l与x轴平行或重合
P0(x0,y0)
倾斜角为0°
y0
l x
斜率k=0
O
直线上任意点 纵坐标都等于y0
y y0 0 ( x x0 )
y2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1
P2(x2，y2)
x
y y1 y2 y1 x x1 x2 x1
小节
已知两点坐标，求直线方程的方法： • ①用两点式 • ②先求出斜率k，再用斜截式。
截距
y
B(0，b)
一次函数
y kx b
A(a，0)
y y0 0
y y0
点斜式方程
y l
l与x轴垂直 倾斜角为90°
P0(x0,y0)
x
斜率k 不存在
O
x0
不能用点斜式求方程
直线上任意点 横坐标都等于x0
x x0 x x0 0
点斜式方程
y
l
①倾斜角α≠90°
x
y y0 k ( x x0 )
②倾斜角α=0°
y y0 y l x l
(1)点斜式、斜截式应用的前提是
斜率k存在
(2)若斜率k不存在，则直线L的方程为
x=x1。
【当堂训练】
1、求下列直线的斜率k和截距b • (1) y-2x+1=0 • (2) 2y-6x-3=0
两点式方程
y l
P1(x1，y1)
y2 y1 k x2 x1
代入y y0 k ( x x0 )得