长沙市明达中学高复部 2020 届高考备考第三次模拟考试理科数学试题(学生版)
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若该市总人口为 750 万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在 7500 元以上；
（3）若年旅游消费支出在 40( 百元 ) 以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客
的 3
AE = 8, AC = 4 10,CED = . 4
（1）求 CE 的长; （2）若 CD = 5 ,求 DAB 的余弦值.
18.某市“一票通”景区旅游年卡，是由旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内
可不限次畅游全市 19 家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况 ( 单位：百元 ) ，相
2
2
厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图 3)，若该体育馆占地面积约为 18000 m2 ，建筑容积约
为 340000 m3 ，估计体育馆建筑高度(单位： m )所在区间为（ ）
参考数据: 323 +18000 32 = 608768 ， 343 +18000 34 = 651304 ，
363 +18000 36 = 694656 ，
P(B | A) = （ ）
A. 3 3 4
B. 3 2
6.求值：4cos 50°－tan 40°＝( )
1
C.
3
2
D.
3
A. 2
B. 3 + 2 2
C. 3
D. 2 2 －1
7.某简单凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图都是直角三角形，主视图是直
角梯形，则其所有表面（含底面和侧面）中直角三角形的个数为（ ）
则（ ）
A．至少存在两个点 P 使得 k = - 1
B．对于任意点 P 都有 k < 0
C．对于任意点 P 都有 k <1
D．存在点 P 使得 k 1
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
( ) 13. x2 +1 (2x +1)6 展开式的 x3 的系数是________.
A. 100π
B. 54π
C. 77π
D. 300π
11.设函数
f
(x)
=
2 sin
2
x
与函数
y
=
1
1 − 2x
的图像在区间
−
3 2
,
5 2
上交点的横坐标依次
n
为 x1, x2 , , xn ，则 xi = （ ） i =1
A. 4
B. 2
C. 0
D. 6
12．已知点 P 是曲线 y = sin x +ln x 上任意一点，记直线 OP（ O 为坐标系原点）的斜率为 k ，
关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频 数分布表：
组别
0, 20)
20, 40)
40, 60)
60,80)
80,100 )
频数
10
390
400
188
12
（1）求所得样本的中位数 ( 精确到百元 ) ；
( ) （2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布 N 45,152 ，
4.已知向量 a = (sin , −2),b = (1, cos ) ，且 a ⊥ b ，则 sin 2 + cos2 的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 1
D. 3
2
5.如图， ABC 和 DEF 都是圆内接正三角形，且 BC / / EF ，将一颗豆子随机地扔到该
圆内，用 A 表示事件“豆子落在 ABC 内”， B 表示事件“豆子落在 DEF 内”，则
长沙市明达中学高复部 2020 届高考备考第三次模拟考试
理科数学试题
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．
1.设集合， A = x y = log2 (2 − x) 若全集U = A ， B = x 1 x 2 ，则 CU B = （ ）
交 y 轴于点 E，连接 AE 交 QF 于点 M，且 QM = 2MF ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A. 2
B. 2
C. 3
D. 3
10 已知等差数列an 满足 cos2a4 − cos2a4sin2a7 + sin2a4cos2a7 − sin2a4 = −cos (a5 + a6 )wenku.baidu.com
且 3a7 = 5a13 ，公差 d (−2, 0) ，则数列an 的前 n 项和 Sn 的最大值为
14.函数
f
(x)
=
cos(2x
+ )(0
) 在区间 −
6
, 6
上单调递减，在区间
−
6
,0
上
有零点，则 的取值范围是________.
15.如图，在棱长为 2 的正四面体 S − ABC 中，动点 P 在侧面 SAB 内， PQ ⊥ 底面
ABC ，垂足为 Q ，若 PS = 3 2 PQ ，则 PC 长度的最小值为______ 4
383 +18000 38 = 738872 ， 403 +18000 40 = 784000 .
A. (32,34)
B. (34,36)
C. (36,38)
D. (38, 40)
9.已知双曲线 C
:
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的左、右顶点分别为
A、B，点
F 为双曲线的左焦
点，过点 F 作垂直于 x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线 C 于 P、Q 两点，连接 PB
.A 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验
公式为： S = 1 弦 矢+ 1 矢2 .弧田（如图 1 阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指
2
2
圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如
图 2)近似体积公式：V = 1 圆面积 矢 + 1 矢3 .球缺是指一个球被平面截下的一部分，
16.已知函数 f (x) = sin x 的图像与直线 kx − y − k = 0(k 0) 恰有三个公共点，这三个点
的横坐标从小到大分别为
x1,
x2 ,
x3 ，则
tan ( x2
x1 −
− x3 )
x3
= ________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在 ABC 中, B = , D 为 BC 上 点, E 为 AD 上的点,且
A. (−,1)
B. (−,1
C. (2, +)
D. 2, +)
2.设 i 是虚数单位，若复数 a + 5i （ a R ）是纯虚数，则 a = （ ） 1− 2i
A. −1
B. 1
C. −2
D. 2
3.“ = ”是“ cos 2 = 0 ”的（
）
4
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
（3）若年旅游消费支出在 40( 百元 ) 以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客
的 3
AE = 8, AC = 4 10,CED = . 4
（1）求 CE 的长; （2）若 CD = 5 ,求 DAB 的余弦值.
18.某市“一票通”景区旅游年卡，是由旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内
可不限次畅游全市 19 家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况 ( 单位：百元 ) ，相
2
2
厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图 3)，若该体育馆占地面积约为 18000 m2 ，建筑容积约
为 340000 m3 ，估计体育馆建筑高度(单位： m )所在区间为（ ）
参考数据: 323 +18000 32 = 608768 ， 343 +18000 34 = 651304 ，
363 +18000 36 = 694656 ，
P(B | A) = （ ）
A. 3 3 4
B. 3 2
6.求值：4cos 50°－tan 40°＝( )
1
C.
3
2
D.
3
A. 2
B. 3 + 2 2
C. 3
D. 2 2 －1
7.某简单凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图都是直角三角形，主视图是直
角梯形，则其所有表面（含底面和侧面）中直角三角形的个数为（ ）
则（ ）
A．至少存在两个点 P 使得 k = - 1
B．对于任意点 P 都有 k < 0
C．对于任意点 P 都有 k <1
D．存在点 P 使得 k 1
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
( ) 13. x2 +1 (2x +1)6 展开式的 x3 的系数是________.
A. 100π
B. 54π
C. 77π
D. 300π
11.设函数
f
(x)
=
2 sin
2
x
与函数
y
=
1
1 − 2x
的图像在区间
−
3 2
,
5 2
上交点的横坐标依次
n
为 x1, x2 , , xn ，则 xi = （ ） i =1
A. 4
B. 2
C. 0
D. 6
12．已知点 P 是曲线 y = sin x +ln x 上任意一点，记直线 OP（ O 为坐标系原点）的斜率为 k ，
关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频 数分布表：
组别
0, 20)
20, 40)
40, 60)
60,80)
80,100 )
频数
10
390
400
188
12
（1）求所得样本的中位数 ( 精确到百元 ) ；
( ) （2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布 N 45,152 ，
4.已知向量 a = (sin , −2),b = (1, cos ) ，且 a ⊥ b ，则 sin 2 + cos2 的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 1
D. 3
2
5.如图， ABC 和 DEF 都是圆内接正三角形，且 BC / / EF ，将一颗豆子随机地扔到该
圆内，用 A 表示事件“豆子落在 ABC 内”， B 表示事件“豆子落在 DEF 内”，则
长沙市明达中学高复部 2020 届高考备考第三次模拟考试
理科数学试题
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．
1.设集合， A = x y = log2 (2 − x) 若全集U = A ， B = x 1 x 2 ，则 CU B = （ ）
交 y 轴于点 E，连接 AE 交 QF 于点 M，且 QM = 2MF ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A. 2
B. 2
C. 3
D. 3
10 已知等差数列an 满足 cos2a4 − cos2a4sin2a7 + sin2a4cos2a7 − sin2a4 = −cos (a5 + a6 )wenku.baidu.com
且 3a7 = 5a13 ，公差 d (−2, 0) ，则数列an 的前 n 项和 Sn 的最大值为
14.函数
f
(x)
=
cos(2x
+ )(0
) 在区间 −
6
, 6
上单调递减，在区间
−
6
,0
上
有零点，则 的取值范围是________.
15.如图，在棱长为 2 的正四面体 S − ABC 中，动点 P 在侧面 SAB 内， PQ ⊥ 底面
ABC ，垂足为 Q ，若 PS = 3 2 PQ ，则 PC 长度的最小值为______ 4
383 +18000 38 = 738872 ， 403 +18000 40 = 784000 .
A. (32,34)
B. (34,36)
C. (36,38)
D. (38, 40)
9.已知双曲线 C
:
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的左、右顶点分别为
A、B，点
F 为双曲线的左焦
点，过点 F 作垂直于 x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线 C 于 P、Q 两点，连接 PB
.A 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验
公式为： S = 1 弦 矢+ 1 矢2 .弧田（如图 1 阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指
2
2
圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如
图 2)近似体积公式：V = 1 圆面积 矢 + 1 矢3 .球缺是指一个球被平面截下的一部分，
16.已知函数 f (x) = sin x 的图像与直线 kx − y − k = 0(k 0) 恰有三个公共点，这三个点
的横坐标从小到大分别为
x1,
x2 ,
x3 ，则
tan ( x2
x1 −
− x3 )
x3
= ________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在 ABC 中, B = , D 为 BC 上 点, E 为 AD 上的点,且
A. (−,1)
B. (−,1
C. (2, +)
D. 2, +)
2.设 i 是虚数单位，若复数 a + 5i （ a R ）是纯虚数，则 a = （ ） 1− 2i
A. −1
B. 1
C. −2
D. 2
3.“ = ”是“ cos 2 = 0 ”的（
）
4
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要