2020年高考数学选填题专项测试02 解三角形02

2020高考数学选填题专项练习02（解三角形）（文理通用）

第I 卷（选择题)

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·福建高三期中（理））ABC ∆

中，60C AC AB =︒=

=，A =( )

A ．ο

35 B ．ο

45

C ．ο

60

D ．ο

75

【答案】D 【解析】

【分析】根据正弦定理求解角B ,进而利用内角和为180︒求解A 即可.

【详解】由正弦定理有sin sin sin sin 2AC AB B B C B

=⇒=

⇒=

.又AC AB <,故B C <,所以45B =︒.故180456075A ︒-︒-︒==︒.

【点睛】本题主要考查了正弦定理的运用,属于基础题.

2.（2020·四川省金堂中学校高三（文））小王同学骑电动自行车以24/km h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，20min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东

75︒方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )

A ．4km B

．

C

．

D ．23km

【答案】C

【解析】依题意有20

248,30,1807510560

AB BAS ABS o o o o =⋅

=∠=∠=-=,45ASB ∠=o ，由正弦定理得sin 30sin 45

BS AB

=o o

，解得BS = 3．（2020·河北高三月考（文））在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，

若b =3c =，

2B C =，则cos 2C 的值为( )

A ．3

7

B ．

7

5 C ．

9

7 D ．

9

5 【答案】D 【解析】

【分析】根据正弦定理、二倍角的正弦公式、余弦公式直接进行求解即可.

【详解】由正弦定理可得：

sin sin b c B C

=，即sin sin 22sin cos 2cos cos sin sin sin b B C C C C C c C C C =====⇒∴2

75cos22cos 12199

C C =-=⨯-=．故答案为：59

【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力. 4.（2020·宁夏贺兰县景博中学高三（文））已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若

2,7,3C c ABC π=

=∆，则ABC ∆的周长为（ ） A

．8

B ．12

C ．15

D ．7【答案】C 【解析】

【分析】根据14

2,3ABC C S π∆=

=

，解得15ab =，再由余弦定理得()2

2222cos 49c a b ab C a b ab =+-=+-=，求得+a b 即可.

【详解】因为2,3C ABC π=

∆的面积为4

，所以1sin 142ab C =，解得15ab =.由余弦定理得

()22222cos 49c a b ab C a b ab =+-=+-=，所以8a b +=，又因为7c =，所以1sin 14

2ab C =

，解得15ab =.由余弦定理得()2

2222cos 49c a b ab C a b ab =+-=+-=，所以8a b +=，所以ABC ∆的周长为15.故选：C

【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

5．（2020·湖南明达中学高三（理））设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )=ac ，

sinAsinC C =（ ） A ．C =15°或C =45° B ．C =15°或C =30° C ．C =60°或C =45° D ．C =30°或C =60°

【答案】A 【解析】

【分析】直接利用关系式的恒等变换，把关系式变形成余弦定理的形式，求出B 的值.对sinAsinC =4

进行变换，最后求出结果．

【详解】因为()()a b c a b c ac ++-+=,所以2

2

2

a c

b a

c +-=-． 由余弦定理得2221

cos 22

a c

b B a

c +-==-，

因此120B =︒． 所以60A C +=︒，所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+

cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+ cos()2sin sin A C A C =++ 122=+=

， 故30A C -=︒或030A C -=-，因此，15=︒C 或45C =︒． 故选：A

【点睛】本题主要考查三角函数关系式的恒等变换，考查余弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题型．

6.（2019·安徽省怀宁中学高三月考（文））在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，

ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为( )

A ．9

B ．7

C ．5

D ．13

【答案】A 【解析】

分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.

详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得

111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11

,1ac a c a c

=++=，因此

1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号.

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

7．（2020·江苏金陵中学高三开学考试）在锐角ABC ∆中，已知sin 4cos cos C A B =，则tan tan A B 的最大值为( )

A ．4

B ．3

C ．6

D ．7

【答案】A