特征值和特征向量、矩阵的相似对角化

则 (1) 12L n A ; (2) 1 2 L n a11 a22 L ann;
证明① 当1,2 ,L ,n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2 L n n 1 2 L n n1 L 1n 12L n
令 0, 得 A 1n 12L n
（3） 传递性： Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；
定理4.6 若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则
（1） R A = R B
（2） Ａ与Ｂ有相同的特征多项式和特征值．
（3） A B （4） tr( A) tr(B)
推论 若ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵
1
diag(1,2 ,L
,n )
2
O
n
相似， 则 1,2 ,L ,n 就是Ａ的ｎ个特征值．
得
P1AP
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵可将实对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：
1. 求A的特征值;
2. 由i E Ax 0,求出A的特征向量;
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
例4 设矩阵
2 2 2
A
2
5
4
2 4 5
求一个正交矩阵P，使得 P1AP
1 0 2
1 1 2
例3 求矩阵 A 2 2 2 的特征值和特征向量.
2 1 3
注：比较例2和例3的结果可得如下结论： 属于某一特征值的线性无关的特征向量可能不止一个.
二、特征值和特征向量的性质 定理 一个n阶方阵与其转置矩阵有相同的特征值.
定理 设ｎ阶方阵 A aij 的特征值为 1,2 ,L ,n
1, 0,
i j i j
i, j 1,2, , m
定理4.11 正交向量组必为线性无关组.
例1 已知三元向量1 [1 1 1]T ,2 [1 2 1]T ,
试求一个非零向量 3，使 1,2 ,3 称为正交向量组.
7、施密特（Schmidt）正交化法
将一组线性无关的向量组化为标准正交向量组. 1）正交化
（2）因 pi是 ( A E)x 0的基础解系中的解向量， 故 pi的取法不是唯一的，因此Ｐ也是不唯一的．
（3）又 A E 0的根只有ｎ个（重根按重数计算） 所以如果不计 i 的排列顺序， 则 是唯一的．
例1
设
1 0 A 2 1
0 0
2 x 1
问x为何值时，矩阵A可相似对角化？
注 上述方法中的两个向量组对任意的1 k r,
1, 2 ,L , k 与 1,2 ,L ,k都是等价的.
例2 用施密特正交化方法将如下向量组 1 [1 1 0]T ,
2 [1 0 1]T ,3 [1 1 1]T化为标准正交向量组.
四、正交矩阵及其性质
1、定义 如果ｎ阶矩阵满足： AT A E 即A1 AT ,
注 正交变换后向量长度不变,内积不变, 夹角不变.
判断下列矩阵是否为正交矩阵.
1
1 2
1
3
0
1
1 2
1
1 2
1
1
9
8 9
4 9
8 9
1 9
4 9
4 9
4 9
7 9
1
2
1 2
1
6
1 2
0
2 6
,
1 2
1 1 2 6
1
3
1 2
1
6
1 3
0
2
6
1 1 1
p2 ,L
,
pn
)
2
O
P,
n
所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理4.7 ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似 Ａ有ｎ个线性无关的特征向量．
推论 如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ
可相似对角化．
注意 （1）Ｐ中的列向量 p1, p2 ,L , pn的排列顺序要与 1,2 ,L ,n 的顺序一致．
若A，B是正交矩阵，则
(1) A1 AT ; (2) | A | 1 or 1;
(3) A1 , AT , AB也是正交矩阵. 定理4.14 方阵A为正交矩阵的充要条件是
Ａ的列（或行）向量组是标准正交组.
3、正交变换
若Ｐ为正交矩阵，则线性变换ｙ=Ｐｘ称为正交变换.
y y, y yT y xT PT Px xT x x, x x .
3
2 6
六、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
定理4.15 实对称矩阵的特征值为实数.
推论
实对称矩阵的特征向量是实向量.
定理4.16 实对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交.
定理4.17 若ｎ阶实对称阵Ａ的 ti 重特征值 i对应的线性
无关的特征向量恰有 ti 个．（不证）
定理4.18 若Ａ为ｎ阶对称阵，则必有正交矩阵Ｐ，使
b1
an
b2
M
T
.
bn
２、性质
（1）对称性： , ,
（2）线性性： , , ,
k, k, （3）正定性： , 0, 当且仅当 0时 , 0.
推广性质：
[,] 0 0
k11 L krr , k1 1, L kr r ,
含 n 与 n1的项只能在主对角线上元素的乘积项中．
故有 E A n a11 a22 L ann n1 L
比较①，有 1 2 L n a11 a22 L ann .
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹.
记为 tr A aii i .
推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零.
２、证ｎ阶方阵Ａ的满足 A2 A，则Ａ的特征值为
０或１．
３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则
2E 3A2 （ ）
４、求下列方阵的特征值与特征向量
2 1 1
A
0 4
2 1
0 3
3 1 1
B
7 6
5 6
1 2
四、特征向量的性质 定理 互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。 定理 互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征
的λ都是方阵Ａ的特征值．
④ 一个特征向量只能属于一个特征值； ⑤ 一个特征值有无穷个特征向量；
若 Ai i (i 1, , r) ，则 A(k11 krr ) (k11 krr )
二、特征值与特征向量的求法
定义 设n阶方阵 则 A [aij ]nn ,
a11 a12
f ( ) E A a21 a2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
令 1 1
2
L
2
L
1,2 L1, 1
1
r
r
1 1
,r , 1
1
2 2
,r ,2
2
L
r1,r r1, r1
r 1
则 1, 2 ,L , r 两两正交，且与 1,2 ,L ,r等价.
2）标准化
令
1
1
1
1,
2
1
2
2, L
,
r
1
r
r ,
就得到一个标准正交向量组.
上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.
<, arccos , ,0 .
例 1 2 2 3, 3 1 5 1, 求<, .
解 cos , 18 1
3 26 2
.
4
练习 1 1 1 1T , 1 1 1 0T , 求<, .
三、正交向量组及其求法
1、正交
当 , 0 ，称α与β正交，记作
1 1 2
例2 设 A 2 2 2
2 1 3
求 Am
一、内积的定义与性质
1、定义
设ｎ维实向量
a1 a2
,
b1
b2
,
称实数
M M
an
bn
a1b1 a2b2 L anbn 为向量α与β的内积，记作 , .
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有
, a1 a2 L
1
有
A
p1 ,
p2 ,L
,
pn
p1 ,
p2 ,L
,
pn
2
O
1 p1,2 p2 ,L ,n pn
n
于是有 Api i pi (i 1, 2,L , n), 因为Ｐ可逆， 故
pi 0(i 1, 2L , n), 于是 p1, p2 ,L , pn是Ａ的ｎ个线性无
关的特征向量。
一、特征值与特征向量的概念
定义 Ａ为ｎ阶方阵，λ为数， 为ｎ维非零向量，
若
A
（１）
则λ称为Ａ的特征值， 称为Ａ的特征向量．
注 ① 特征向量 0，特征值问题只针对方阵；
② , 并不一定唯一；
③ ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组
E A x 0 有非零解的λ值，即满足 E A 0
三、可相似对角化的条件
对ｎ阶方阵Ａ，若能寻得相似变换矩阵Ｐ使
P1AP
称之为把方阵Ａ对角化．
定理4.6的推论说明，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵Λ相
似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部特征值． 那么，使得 P1AP 的矩阵Ｐ又是怎样构成的呢？
设存在Ｐ可逆，使得 P1AP AP P
若 P p1, p2,L , pn ,
向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。
一、定义
定义 设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ， 使得 P 1 AP B, 则称Ｂ是Ａ的相似矩阵，或者说矩阵 Ａ与Ｂ相似．
记作： Ａ∽Ｂ． 对Ａ进行运算P 1AP, 称为对Ａ进行相似变换， 可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵．
二、性质
（1） 反身性： Ａ∽Ａ； （2） 对称性： Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ；
求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤：
1.计算特征多项式 E A
2.求出特征方程 E A 0 的根 1 , 2 , , n
即为A的特征值 3.求方程组 (i E A)X 0 的基础解系即为A的属于 特征值 的i 线性无关特征向量，基础解系的线性组合 即为全部特征向量.
3 4 0
例2 求矩阵 A 1 1 0 的特征值和特征向量.
即 12L n A .
证明② 因为行列式
a11 a12 L
E A a21 a22 L
M
M
a1n a2n
M
an1 an2 L ann
它的展开式中，主对角线上元素的乘积
a11 a22 L ann
是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至
多含ｎ－２个主对角线上的元素，因此，特征多项式中
注 ① 若 0，则α与任何向量都正交.
② 0. ③ 对于非零向量α与β，
,
2、正交组
2
若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则
这个向量组称为正交向量组，简称正交组.
3、标准正交组
由单位向量组成的正交组称为标准正交组.
1 ,2 , ,m 是标准正交向量组
T i
j
[i , j ]
a1n a2n
an1 an2 ann 称为方阵A的特征多项式.
注：n阶方阵A的特征多项式为 的n次多项式， n阶方阵A在复数范围内有n个特征值.
定义 称以λ为未知数的一元ｎ次方程 E A 0 为Ａ的特征方程, (E A)X 0 称为特征方程组.
例1
求矩阵
A
2 4
1 5
的特征值和特征向量.
则称Ａ为正交矩阵.
若Ａ按列分块表示为Ａ＝ (1,2 ,L ,n ), 则AT A E
可表示为
1T
T 2
M
1
2
L
1
n
E
1 O
,
T n
1
亦即 (iT j )nn ( ij )nn
1 if i j
其中 ( ij )nn 0 if i j (i, j 1, 2,L , n).
0;且 0 0；
（2）齐次性：
k k ;
（3）三角不等式： ;
注
①当 0 时， 0
1
是α的单位向量.
②由非零向量α得到单位向量 0 1 的过程
称为把α单位化或标准化.
３、夹角
设α与β为ｎ维空间的两个非零向量，α与β的夹
角的余弦为 cos
,
,
因此α与β的夹角为
0, 0T 0
二、向量的长度与夹角 １、长度的概念
令 , a12 a22 L an2 为ｎ维向量α
的长度（模或范数）. 特别 长度为１的向量称为单位向量.
定理4.10（Cauchy不等式）任意两个n维实向量 ,
恒有
[ , ]
等号成立当且仅当 , 线性相关.
２、性质 （1）非负性：
反之， 若Ａ有ｎ个线性无关的特征向量 p1, p2 ,L , pn
即 Api i pi (i 1, 2,L , n), 设 P ( p1, p2 ,L , pn ), 则Ｐ 可逆，且 AP ( Ap1, Ap2 ,L , Apn ) (1 p1,2 p2 ,L ,n pn )
1
( p1,
定理 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，则
推论２ 则 1为 A的1 特征值． 推论３ 则 k为 kA的特征值． 推论４ 则 A 为1 A的 特征值． 推论５ 则 m为 A的m 特征值． 特别 单位阵Ｅ的一个特征值为１．
三、应用举例
１、若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则
1 3
A2
1
的一个特征值为（ ）