概率论重点题

概率统计重难点题

1已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男

孩的概率(小孩为男为女是等可能的).

【解】 设A =｛其中一个为女孩｝，B =｛至少有一个男孩｝，样本点总数 为23

=8，故

或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为 7.

P(B A) 6

2. 已知5%的男人和％的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为

色盲，问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半). 【解】 设A =｛此人是男人｝ , B =｛此人是色盲｝，则由贝叶斯公式

P(AB)込

P(A)P(BA)

P(B) P(A)P(B|A) P(A)P(B|A)

0.5 0.05

20 0.5 0.05 0.5 0.0025

21

3. 在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中

任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出 3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】设A =｛第一次取出的3个球中有i 个新球｝ ,i=0,1,2,=｛第二 次取出

的3球均为新球｝ 由全概率公式，有

3

P(B) P(B A)P(A)

i 0

P(B A)

P(AB) P(A)

6/8 6 7/8

7

3 3 1 2 3 2 1 3 3 3

C6 ? C9 C9C6 ? C8 C9C6 ? C7 C9 ? C6

C3' C3C3 ' C3 C 3' C3C3'

C3

C15 C15 C15 C15 C15 C15 C15 C15

0.089

4.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.

统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为，和;

如果“谨慎的”被保险人占20% “一般的”占50% “冒失的”占

30%现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”

的概率是多少?

【解】设A=｛该客户是“谨慎的” ｝，B=｛该客户是“一般

的” ｝，

C=｛该客户是“冒失的” ｝，D=｛该客户在一年内出了事

故｝

则由贝叶斯公式得P(A|D)

P(AD)

P(D)

P(A) P(D | A) _____________ P(A)P(D | A) P(B)P(D | B) P(C)P(D|C)

0.2 0.05

0.2 0.05 0.5 0.15 0.3 0.3

0.057 31.设随机变量*U( 0,1 )，试求:

(1) Y=e X的分布函数及密度函数;

(2) Z= 2ln X的分布函数及密度函数.

【解】(1) P(0 X 1) 1

故P(1 Y e X e) 1

当y 1 时F Y(y) P(Y y) 0

当1

ln y

n dx ln y

当y >e 时F Y(y) P(e X y) 1

即分布函数

故Y 的密度函数为

(2)由 P (0

P(Z 0)

1

F z (z) P(Z z)

-)P(X e z/2)

2

e z/2

即分布函数

F Y (y)

0,

In

y, 1,

f Y (y) y, 0, 其他

当z >0时, F z (z) P(Z z)

P( 2ln X z)

F z (z)

0, 1-e

-z/2

故Z 的密度函数为

f z (z)

1

e 2 0,

z/2

5.设随机变量X 的密度函数为

f (x )=

2x 2

,

n 0,

其他.

试求Y =sin X 的密度函数. 【解】P(0 Y 1) 1

当 y < 0 时，F Y (y) P(Y y) 0

P(ln X

“dx

当 0

所以

P(0 X arcsin y) P( n arcsin y X

n )

arcsin y

2x , n

2X , 2 dx 2 dx 0 n n arcsiny

n

1 2 1 2 (arcsiny) 1—— (n- arcsiny)

n n

2 . arcs in y n

当y > 1时，

F Y (y) 1

故Y 的密度函数为

6.设随机变量（X, Y ）的概率密度为

求条件概率密度f Y i x (y I x ), f x i Y (x | y )

题11图

【解】f x (

x )

f(x, y)dy

x

1cy 2x, 0 x 1,

x

0, 其他.

1

y1dx 1 y, 1 y 0,

1

f Y (y) f(x,y)dx

y

1dx 1 y, 0 y 1,

0,

其他.

f (x , y ) =

1, y

,

x, 0 x 1,

其他.