组合数学1：组合排列
组合数学例题和知识点总结
组合数学例题和知识点总结组合数学是一门研究离散对象的组合结构及其性质的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些例题来深入理解组合数学中的重要知识点。
一、排列组合排列是指从给定的元素集合中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列。
组合则是指从给定的元素集合中取出若干个元素组成一组，不考虑其顺序。
例题 1：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行排列，有多少种不同的排列方式？解：根据排列的公式，＼（A_{5}＾3 ＝ 5×4×3 ＝ 60\）（种）例题 2：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行组合，有多少种不同的组合方式？解：根据组合的公式，＼（C_{5}＾3 ＝＼frac{5×4×3}｛3×2×1} ＝10\）（种）知识点总结：1、排列数公式：＼（A_{n}＾m ＝ n×（n 1)×（n 2)××（n m ＋ 1)＼）2、组合数公式：＼（C_{n}＾m ＝＼frac{n!｝｛m!（n m)！｝＼）二、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集的元素个数。
例题 3：在一个班级中，有 20 人喜欢数学，15 人喜欢语文，10 人既喜欢数学又喜欢语文，求喜欢数学或语文的人数。
解：设喜欢数学的集合为 A，喜欢语文的集合为 B，则喜欢数学或语文的人数为＼（｜A ∪ B| ＝｜A| ＋｜B| ｜A ∩ B| ＝ 20 ＋ 15 10＝ 25\）（人）知识点总结：容斥原理的一般形式：＼（｜＼cup_{i=1}＾｛n} A_i| ＝＼sum_{i=1}＾｛n} ｜A_i| ＼sum_{1\leq i ＜ j\leq n} ｜A_i ∩ A_j| ＋＼sum_{1\leq i ＜ j ＜ k\leq n} ｜A_i ∩ A_j∩ A_k| ＋（－1)＾｛n 1} ｜A_1 ∩ A_2 ∩ ∩ A_n|＼）三、鸽巢原理鸽巢原理也叫抽屉原理，如果有 n ＋ 1 个物体放入 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会放有两个或更多的物体。
组合数学中的排列组合问题
组合数学中的排列组合问题组合数学是数学的一个分支，主要研究的是排列组合问题。
排列组合是组合数学中的基本概念，指的是从给定的元素集合中选取若干元素，按照一定的规则进行排列或组合。
在实际问题中，排列组合问题经常出现，涉及到概率计算、统计学、密码学等诸多领域。
本文将介绍组合数学中的排列组合问题，并论述其应用。
排列是指从给定的元素集合中选取若干元素进行有序排列。
在排列中，元素的顺序非常重要。
如果一个集合中有n个元素，要选取r个元素进行排列，那么总共的排列数为P(n,r)。
其中P表示排列数。
排列数的计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
排列数可以表示为一种选择问题，从n个元素中选取r个元素进行排列的方式数。
组合是指从给定的元素集合中选取若干元素进行无序组合。
在组合中，元素的顺序并不重要。
如果一个集合中有n个元素，要选取r个元素进行组合，那么总共的组合数为C(n,r)。
其中C表示组合数。
组合数的计算公式为：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)组合数可以表示为一种分组问题，从n个元素中选取r个元素进行组合的方式数。
排列组合问题在实际生活和学术研究中有广泛的应用。
以下是一些典型的应用领域：1. 概率计算：在概率计算中，排列组合问题用于计算事件的发生概率。
例如，从一副扑克牌中抽取n张牌，计算抽到特定组合的概率。
2. 统计学：在统计学中，排列组合问题用于计算样本空间和事件空间的大小。
通过计算排列组合数，可以得到具体事件发生的可能性。
3. 密码学：在密码学中，排列组合问题用于生成密码和解密密码。
通过排列组合的方式，可以生成不同的密码组合，提高密码的安全性。
4. 经济学：在经济学中，排列组合问题用于计算市场供给和需求的组合数量。
通过计算排列组合数，可以得出合理的市场平衡。
5. 运筹学：在运筹学中，排列组合问题用于优化问题的求解。
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
数学中的排列与组合知识点总结
数学中的排列与组合知识点总结在数学中，排列和组合是两个重要的概念。
它们在各个领域都有广泛的应用，特别是在概率论、统计学和组合数学中。
本文将对排列和组合的概念、性质和应用进行总结。
一、排列的概念与性质排列是从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列。
设有n个元素，则从中选取m个元素进行排列的方式记为P(n, m)。
排列的计算公式为：P(n, m) = n!/(n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
排列的性质如下：1. 排列数P(n, m)满足如下关系：P(n, m) = P(n-1, m) + P(n-1, m-1)2. 对于任意正整数n，有P(n, n) = n!，即n个元素的全排列数为n 的阶乘。
3. 当m>n时，P(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行排列。
4. 当m=0时，P(n, m) = 1，即不取任何元素进行排列时，排列数为1。
二、组合的概念与性质组合是从一组元素中选取若干个元素组成一个集合，而不考虑元素的顺序。
设有n个元素，则从中选取m个元素进行组合的方式记为C(n, m)。
组合的计算公式为：C(n, m) = n!/(m!(n-m)! )组合的性质如下：1. 组合数C(n, m)满足如下关系：C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)2. 对于任意正整数n，有C(n, 0) = C(n, n) = 1，即不取任何元素或者取出全部元素的组合数为1。
3. 当m>n时，C(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行组合。
4. 组合数C(n, m)与排列数P(n, m)之间存在以下关系：C(n, m) = P(n, m)/m!三、排列与组合的应用1. 概率计算：排列和组合在概率计算中有广泛的应用。
组合数学中的排列组合理论
组合数学中的排列组合理论在组合数学中，排列组合理论是一门重要的数学分支，广泛应用于计算、统计学、概率论等领域。
排列组合理论研究的是选取一定数量的元素，在不同条件下进行排列或组合的方法和规律。
本文将介绍排列和组合的概念、计算方法以及一些常见应用。
一、排列和组合的概念排列是指从一组元素中选取若干元素进行排列的方法。
假设有n个不同元素，要从中选取r个元素进行排列，则排列数用P(n,r)表示，计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
组合是指从一组元素中选取若干元素进行组合的方法。
与排列不同的是，组合中选取的元素顺序不重要。
假设有n个不同元素，要从中选取r个元素进行组合，则组合数用C(n,r)表示，计算公式为：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)二、排列和组合的计算方法1. 排列的计算方法：（1）全排列：当选取元素的个数与原有元素个数相等时，全排列即为将所有元素进行排列，排列数为n!。
（2）有限制的排列：当选取元素的个数小于原有元素个数时，可以采用递归方法进行计算。
每次选取一个元素作为第一个排列元素，然后从剩下的元素中选取剩余个数-1个元素进行排列。
2. 组合的计算方法：（1）递推法：组合数具有递推性质，即C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)。
采用递推法可以逐步求解组合数。
（2）杨辉三角法：通过构建杨辉三角，可以直观地计算组合数。
每个数是上一行两个相邻数之和。
三、排列组合的常见应用1. 计数问题：排列组合理论可以解决许多计数问题，如从一组元素中选取不同的排列数或组合数。
2. 概率计算：在概率论中，排列和组合理论用于计算事件的发生概率。
通过计算有利事件的排列数或组合数，再除以总的排列数或组合数，可以得到事件发生的概率。
3. 组合优化问题：在组合优化问题中，通过排列和组合理论可以找到最优解或次优解。
组合数学排列组合（1）格路模型，范德蒙德恒等式
组合数学排列组合（1）格路模型，范德蒙德恒等式
1.排列(permutation)：
从n个不同的元素中，取出r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的⽆重排列。
排列的个数⽤P(n,r)表⽰或P r n n>=r //⾼中的时候教材教我们A r n ，跟这⾥的⼀样。
P(n,r) = n!/r!
排列的基本问题是“n个不同球放r个不同盒”问题。
2.组合(conmutation)：
从n个不同的元素中，取出r个不重复的元素组成⼀个⼦集⽽不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的⽆重组合。
组合的个数⽤C(n,r)表⽰或C r n n>=r
C(n,r)=n! / [r!*(n-r)!]
组合的基本问题是“n个不同球放r个相同盒”问题。
两个性质：
|—— C(n,r) = C(n,n-r) //C(8,3)=C(8,5)
|—— C(n,l)*C(l,r) = C(n,r)*C(n-r,l-r) //C(9,5)*C(5,2)=C(9,2)*C(7,3)
3.格路模型与组合恒等式：
组合数学有⼀个研究⽅向就是研究组合恒等式。
格路模型
我们把从（0，0）到（m，n）的路径⽤⼀个形如“xxyxyyxy...xyy”的字符串表⽰。
则字符串长度为m+n，有m个‘x’，n个‘y’。
杨辉三⾓⽤于格路模型
在杨辉三⾓中，第n⾏对应着(a+b)n的系数，第n⾏第r列的数值是C(n,r)
范德蒙德恒等式。
《组合数学》第二版(姜建国著)-课后习题答案全
习题一（排列与组合）1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数；（1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；（4）选4个，即构成4位数，共有45P 个；由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。
2．比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？（1）每位的数字全不同；（2）每位数字不同且不出现数字2与7；解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：① 一位数，可从1～9中任取一个，共有9个；② 两位数。
十位上的数可从1～9中选取，个位数上的数可从其余9个数字中选取，根据乘法法则，共有9981⨯=个；③ 三位数。
百位上的数可从1～9中选取，剩下的两位数可从其余9个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有299648P ⨯=个；④ 四位数。
又可分三种情况：⏹ 千位上的数从1～4中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有3942016P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数从1～3中选取，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有283168P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数取0，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有2856P =个；根据加法法则，满足条件的正整数共有：9816482016168562978+++++=个；（2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：设{0,1,3,4,5,6,8,9}A =① 一位数，可从{0}A -中任取一个，共有7个；② 两位数。
十位上的数可从{0}A -中选取，个位数上的数可从A 中其余7个数字中选取，根据乘法法则，共有7749⨯=个；③ 三位数。
排列组合ppt课件
排列的分类与计算方法
01
02
03
排列的定义
排列是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行排序。
排列的分类
根据取出的元素是否重复 ，排列可分为重复排列和 不重复排列。
排列的计算方法
排列的计算公式为 nPr=n!/(n-r)!，其中n为 总元素个数，r为要取出的 元素个数。
组合的分类与计算方法
后再合并答案。
利用对称性
在某些问题中，可以利用对称性 来简化计算，例如在计算圆周率 时可以利用对称性来减少计算量
。
学会推理和猜测
在某些问题中，需要学会推理和 猜测，尝试不同的方法和思路，
以寻找正确的答案。
解题注意事项与易错点
注意细节
在解题过程中要注意细节，例如元素的重复、遗漏等问题，避免 出现错误。
组合的定义
组合是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行组合，不考虑排序。
组合的分类
根据取出的元素是否重复 ，组合可分为重复组合和 不重复组合。
组合的计算方法
组合的计算公式为 nCr=n!/(r!(n-r)!)，其中n 为总元素个数，r为要取出 的元素个数。
排列组合的复杂应用
排列与组合的应用
另一个应用是解决组合问题，例如，在从n个不同元素中 选出m个元素的所有组合的问题中，可以使用排列组合的 方法来解决。
排列组合在物理中的应用
排列组合在物理中也有着广泛的应用，其中最常见的是在量子力学和统计物理中 。例如，在量子力学中，波函数的对称性和反对称性可以通过排列组合来描述。
在统计物理中，分子和原子的分布和运动可以通过排列组合来描述。例如，在理 想气体中，分子的分布和运动可以通过组合数学的方法来描述。
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⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧++++++++-=-=--=-----=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-+=-+=≤≤≤≤=+++==∏∑∑∏∑mn m mk nn m n n n m n m nm nj mj n jm n k n mk t n t t t m mk i n i m m nnm C x x x x x x x x C n m n m C n m n m C j C m n m S Stirling m m m C t t t n n x i x x P m n m m P k k k m k1122102121211,02110216.2Def 9)1(8.2Def 6)1(7.2Def 4))!(!/(!3.2Def 2))!(!/(!3.2Def 2)()1(!)1(),(5.2Def 8/))!(!!!!/(!),,,;(4.2Def 7!!!!!!);,,,(9.2Def 52.2Def 3)!/(!1.2Def 121）（无限可重复有序分组相同元素的系数中）（有限可重复组合的系数中）（无限可重复组合可重复组合）（无重复组合组合）（一或二组无重复有序分组数第二类）（组合无重复无序分组）（无重复有序分组倍系数的中）（有限可重复排列）（无限可重复排列可重复排列）（无重复排列排列不同元素λλλλλλλλλλλλλλλ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧++++++++=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=∏∏∑∑∑=-+==≤≤≤≤=+++≤≤≤≤=+++-----mk n n m n n n m n m m k i n imk t nt t t mk t n t t t m t t t n t t n t nm m nnm x x xx x x x x C n m n m C n x i x t t t n CCC x P m n m m P n m k kk k m k k m mm 1221101,01,02121)1(6)1(4))!(!/(!2!!!!!!);,,,(53)!/(!1212111211的系数中）（有限可重复组合的系数中）（无限可重复组合可重复组合）（无重复组合组合倍系数的中）（有限可重复排列）（无限可重复排列可重复排列）（无重复排列排列选λλλλλλλ m n m nj mj n jmn k n C j C m n m S Stirling m m m C 1212121)1(!)1(),(/))!(!!!!/(!),,,;(-+=∑--=-----=无限可重复有序分组数第二类组合无重复无序分组无重复有序分组λλλλλλλλλ 自愿练习：周书与曹书概念如何对应。
1、无重复排列)!(!n m m P nm -=（m 选n ）2、无重复组合)!(!!n m n m C nm -=（m 选n ）3、无限可重复排列nm （m 选n ）4、无限可重复组合（m 选n ）与m+n-1选n 无重复组合一一对应nn m C 1-+；的系数中n m n n n m x x x x C )1(21++++=-+ 。
方法一：与m+n-1选n 无重复组合一一对应：m 选n 无限可重复组合元素编码成单调不减序列m a a a n ≤≤≤≤≤ 211，可一一对应于m+n-1选n 无重复组合——编码为单调递增序列1121-+≤<≤<≤n m b b b n ，对应关系为)1(-+=i a b i i 及)1(--=i b a i i ——编码数字相差序号值1-i 。
方法二：m 个括号相乘，第i 个括号代表第i 种元素可以选j (=0,1,2,…,n )个——对应x j 项，最终只计乘积中x n 项的系数。
m n x x x )1(2++++ 中n x 系数与mm n x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++++11)1(2 中n x 系数相同——因为 +++++n x x x 21中n i >的i x 项对最终nx 项系数没有影响。
对x -11求m -1阶导数有∑∞=-+-=--01)!1()1()!1(n n n n m m x C m x m 。
x -11= +++++n x x x 21中i x 求m -1阶导数为)1()))2(()2()1((-----⋅-⋅m i x m i i i i ，因此x -11求m -1阶导数为∑∑∑∑∑∞=-+∞=∞=∞=∞=---=--+-=-+=+-+⋅-+=---⋅-⋅=--010000)1()!1()!1(!)!1()!1(!)!1()1()2()1()))2(()2()1(()1()!1(k k k m k k k k k k ki m i mx C m x m k m k m x k m k x k m k m k x m i i i i x m 从而∑∞=-+=-01)1(1k k k m k mx C x （与k x 系数相关的是求导次数m ），其中的n x 项系数为nm n C 1-+。
5、有限可重复组合（m 选n 第i 种不超i λ）∏=++++mk n x x xx k 12)1(的系数中λm 个括号相乘，第i 个括号代表第i 种元素可以选j (=0,1,2,…,λi )个——对应x j 项，最终只记乘积中x n 项的系数。
m 选n 排列，无论是无重复的还是可重复(无限的还是有限)的，均可看成是分步完成的。
6、有限可重复排列（m 选n 第i 种不超i λ） ∏∑∑∑==≤≤≤≤=+++≤≤≤≤=+++----===-m k i n imk t nt t t mk t n t t t m t t t n t t n t nm m kk k m k k m mm n x i x t t t n CCC x P 101,01,02121!!!!!!);,,,(212111211λλλλλλ倍系数的中 （分m 步完成）。
最后这个连加运算总共不超过nn m C 1-+项，n t t t m =+++ 21在对t k 不加限制下相当于m 选n 的无限可重复组合。
最后这个连加运算确切的项数为m 选n 的有限可重复组合数∏=++++mk n x x xx k 12)1(的系数中λ 。
7、无重复有序分组/排列 （m 分n 组第i 组大小固定为i λ） )!(!!!!!),,,;(212121n n n m m m C λλλλλλλλλ----=(仅考虑n λλλ,,,21 而不考虑n λλλ,,,12 ，故非排列！)“从m 个不同元素中取出n λλλ+++ 21个不同元素构成n 个相对有序的子集合(可理解为第i 个集合含i λ个元素)”的取法与“从m 个不同元素中取出m m n n =----++++)(2121λλλλλλ 个不同元素构成n +1个相对有序的子集合(第n +1个集合含剩余所有元素)”的取法是相同的。
上述事件再进一步——将每一个子集中的元素进行全排列——即可得到m 个不同元素的全排列。
即有关系：)!(!!!!),,,;(!212121n n n m m C m λλλλλλλλλ----= 8、无重复无序分组/组合（m 分n 组分组非空不固定）∑=--=-nj m j n j m j C m n m S Stirling 0)1(!)1(),(数第二类 “m 个不同元素任意划分成n 个相对无序的非空集合”与“把m 个不同元素放到n 个相同的盒子中不允许有空盒的方法”一致，与第二类Stirling 数有相同的递归方程和边界条件，故此。
9、无限可重复有序分组/排列（m 分至多n 组分组可空不固定）mn m C 1-+ (t1=K,t2=L,…)与(t1=L,t2=K,…)为不同解！——有序！(仅考虑t1,t2,…而不考虑t2,t1,…，故非排列！)“m 个相同元素任意划分成至多n 个组”的方法数与“方程m t t t n =+++ 21”的非负整数解数相同！i t 可取值m ,,1,0 ——即多项式mx x x ++++ 21中某项指数，而最终结果m 是由n 个i t 一起作用而来的——即nm x x x )1(2++++ 中x m 项系数。
也是∑∑∑∑∞=≥≥=++∞=≥≥=++++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++00,,000,,0212112121111)1(k k t t k t t t k t t k t t t t t t n n m x x x x x x n n n n n 中m x系数 +++++mx x x 21中m i >的ix 项对最终mx 项系数没有影响。
对x -11求n -1阶导数有∑∞=-+-=--01)!1()1()!1(k kk n k n x C n x n :x -11= +++++n x x x 21中i x 求n -1阶导数为)1()))2(()2()1((-----⋅-⋅n i xn i i i i ，因此x-11求n -1阶导数为∑∑∑∑∑∞=-+∞=∞=∞=∞=---=--+-=-+=+-+⋅-+=---⋅-⋅=--010000)1()!1()!1(!)!1()!1(!)!1()1()2()1()))2(()2()1(()1()!1(k k k n k k k k k k ni n i nx C n x n k n k n x k n k x n n k n k x n i i i i x n 从而∑∞=-+=-01)1(1k k k n k nx C x ，其中的m x 项系数为mn m C 1-+。
用n-1股墙分割m 个相同对象，“墙”和“对象”共占据m+(n-1)个位置，“墙”的不同放置方案(mn m n n m C C 111-+--+=)导致不同的分组方案。
“方程m t t t n =+++ 21”的正整数解的个数=“方程n m T T T n -=+++ 21”的非负整数解的个数（1-=i i t T ）。
n m m n m n n m C C ----+-=11)(多项式作为分析工具的概念（1）、无限可重复组合 的系数中nm n n n m x x x x C )1(21++++=-+（2）、有限可重复组合∏=++++mk n x x xx k 12)1(的系数中λ（3）、有限可重复排列 ∏∑==mk i n i kn x i x 10!!λ倍系数的中——并不直接但数值刚好相等（4）、无限可重复分组组合 方程m t t t n =+++ 21的非负整数解n m x x x )1(2++++ 中x m 项系数各概念之间的关系及对比1、“无重复排列”和“无重复组合”差一个全排列。