组合数学1：组合排列

⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪

⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎧⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧++++++++-=-=--=

-----=⎪⎪

⎪

⎩

⎪

⎪⎪

⎨⎧⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧==-=-+=-+=≤≤≤≤=+++==∏∑∑∏∑m

n m m

k n

n m n n n m n m n

m n

j m

j n j

m n k n m

k t n t t t m m

k i n i m m n

n

m C x x x x x x x x C n m n m C n m n m C j C m n m S Stirling m m m C t t t n n x i x x P m n m m P k k k m k

1

1

2210

2121211,02110216.2Def 9)1(8

.2Def 6)1(7.2Def 4)

)!(!/(!3.2Def 2))!(!/(!3.2Def 2)()

1(!

)1(),(5.2Def 8/))!(!!!!/(!),,,;(4.2Def 7!

!!!!!);,,,(9.2Def 52.2Def 3)!

/(!1.2Def 121）（无限可重复有序分组相同元素

的系数中）（有限可重复组合的系数

中）（无限可重复组合可重复组合）（无重复组合组合）（一或二组无重复有序分组数第二类）（组合无重复无序分组）（无重复有序分组倍系数的中）（有限可重复排列）（无限可重复排列可重复排列）（无重复排列排列不同元素λλλλλλλλλλλλλλλ

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧++++++++=-=⎪

⎪

⎩⎪

⎪

⎨⎧⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧==

=

-=∏∏∑∑

∑

=-+==≤≤≤≤=+++≤≤≤≤=+++-----m

k n n m n n n m n m m k i n i

m

k t n

t t t m

k t n t t t m t t t n t t n t n

m m n

n

m x x x

x x x x x C n m n m C n x i x t t t n C

C

C x P m n m m P n m k k

k k m k k m m

m 1

2

21101,01,02121)1(6)1(4)

)!(!/(!2!!

!!!!);,,,(53)!

/(!121211

121

1的系数

中）

（有限可重复组合的系数

中）（无限可重复组合可重复组合）（无重复组合组合倍

系数的中）（有限可重复排列）（无限可重复排列可重复排列）（无重复排列

排列选λλλλλλλ m n m n

j m

j n j

m

n k n C j C m n m S Stirling m m m C 1

212121)

1(!

)1(),(/))!(!!!!/(!),,,;(-+=∑--=

-----=无限可重复有序分组

数第二类组合无重复无序分组无重复有序分组λλλλλλλλλ 自愿练习：周书与曹书概念如何对应。

1、无重复排列)!

(!

n m m P n

m -=

（m 选n ）

2、无重复组合)!

(!!

n m n m C n

m -=

（m 选n ）

3、无限可重复排列n

m （m 选n ）

4、无限可重复组合（m 选n ）

与m+n-1选n 无重复组合一一对应n

n m C 1-+；的系数中n m n n n m x x x x C )1(21++++=-+ 。

方法一：与m+n-1选n 无重复组合一一对应：m 选n 无限可重复组合元素编码成单调不减序列m a a a n ≤≤≤≤≤ 211，可一一对应于m+n-1选n 无重复组合——编码为单调递增序列1121-+≤<≤<≤n m b b b n ，对应关系为)1(-+=i a b i i 及)1(--=i b a i i ——编码数字相差序号值1-i 。 方法二：m 个括号相乘，第i 个括号代表第i 种元素可以选j (=0,1,2,…,n )个——对应x j 项，最终只计乘积中x n 项的系数。

m n x x x )1(2++++ 中n x 系数与m

m n x x x x ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=+++++11)1(2 中n x 系数相同——因为 +++++n x x x 21中n i >的i x 项对最终n

x 项系数没有影响。对

x -11求m -1阶导数有∑∞

=-+-=--0

1

)!1()1()!1(n n n n m m x C m x m 。x -11= +++++n x x x 21中i x 求m -1阶导数为)

1()))2(()2()1((-----⋅-⋅m i x m i i i i ，因此x -11求m -1阶导数为

∑∑∑∑∑∞=-+∞=∞=∞=∞=---=--+-=-+=+-+⋅-+=---⋅-⋅=--010000)1()!1()!1(!)!1()!1(!)!1()1()2()1()))2(()2()1(()1()!1(k k k m k k k k k k k

i m i m

x C m x m k m k m x k m k x k m k m k x m i i i i x m 从而∑∞

=-+=-0

1)1(1k k k m k m

x C x （与k x 系数相关的是求导次数m ），其中的n x 项系数为n

m n C 1-+。 5、有限可重复组合（m 选n 第i 种不超i λ）

∏=++++m

k n x x x

x k 1

2

)1(的系数中λ

m 个括号相乘，第i 个括号代表第i 种元素可以选j (=0,1,2,…,λi )个——对应x j 项，最终只记乘积中x n 项的系数。 m 选n 排列，无论是无重复的还是可重复(无限的还是有限)的，均可看成是分步完成的。 6、有限可重复排列（m 选n 第i 种不超i λ） ∏∑∑

∑

==≤≤≤≤=+++≤≤≤≤=+++----==

=

-m k i n i

m

k t n

t t t m

k t n t t t m t t t n t t n t n

m m k

k k m k k m m

m n x i x t t t n C

C

C x P 101,01,02121!!

!!!!);,,,(21211

121

1λλλλλλ倍系数的中 （分m 步完

成）。