截面静矩和形心的关系

C
x
A
由此得到截面形心坐标与截 面静矩之间的关系式：
xc
y
X
Sy A
Sx yc A
O
或者：
S y Axc
S x Ayc
重要结论：
(1)截面图形的形心和静矩都是对某一坐标轴定义的。静矩可能 为正值、负值或零。 (2)截面对形心轴的静矩为零。
6 若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。 (3)
三、组合截面形心的计算
当截面由若干简单图形组成时：
n
S x Ai yci Ayc
i 1 n
S y Ai xci Axc
i 1
( A Ai )
i 1
9
n
整个图形对某轴的 静矩， 等于图形各部分 对同轴静矩的代数和。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
三、组合截面形心的计算
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
附录Ⅰ 截面的几何性质
知识点：截面形心的计算 一、积分法计算截面的形心 二、截面静矩和形心的关系 三、组合截面形心的计算
1
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
一、积分法计算截面的形心
y
C
x
A
从理论力学已知，在Oxy坐标系中， 均质等厚度薄板的重心坐标为：
y
O X
xc
xc
C2 120 C1(40,5) C2(5,65)
x
ci
Ai
A

xc1 A1 xc2 A2 A1 A2
40 800 5 1100 19.7mm 800 1100
x
C1
80
10
yc
y
ci
Ai
A

yc1 A1 yc2 A2 A1 A2
5 800 65 1100 39.7mm 800 1100
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
思考：
图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（
y
）。
( A)
S y Sx
x
(B)
S y Sx
7
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
思考：
图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（ ）。
( A)
S y Sx
y
(B)
答案:(B)
8
S y Sx
x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例：用积分法计算图示等腰三角形截面的形心坐标。
y
h x b
3
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
b 解：由对称性可知： xc 2
y
b dA b( y )dy (h y )dy h
dy b( y )
yc
h x

A
ydA A
b h y (h y )dy 0 h yc 1 bh 2
因此组合截面的形心可由以下公式计算：
∴
xc y c
x
ci
Ai
A yci Ai A
面积含正负（实心为正，空心为负）
10
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例：试确定下图的形心坐标。（单位：mm）
10
120
80
11
10
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
y
10
解 ： 图形分割及坐标如图所示。
b
4
h yc 3
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
二、截面静矩和形心的关系
1.截面静矩的概念
y
S y xdA
A
•截面对y轴静矩(一次矩)
x y
S x ydA
A
dA
•截面对x轴静矩（一次矩）
量钢：L3
x 单位：m3
o5Biblioteka 材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
2.截面静矩与形心的关系
y

A
xdA A
yc

A
ydA A
对于均质的物体，其重心与形心的位置是重合的。因 此上式也可以用于求物体的形心位置。 上式也即为求平面图形（截面）形心的公式。
重要结论：
截面形心对于截面的相对位置是确定的。但截面形心的坐标随 2 坐标系的改变而改变。形心坐标可能为正值、负值或零。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
yc
x
y
ci
Ai
A

yc1 A1 yc2 A2 A1 A2
60 9600 65 7700 39.7mm 9600 7700
13
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
14
12
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
解：用负面积法求解，图形分割及坐标如图所示。
y
负面积 C2 C1 C1（40,60） C2（45,65）
xc
x
ci
Ai
A

xc1 A1 xc2 A2 A1 A2
40 9600 45 7700 19.7mm 9600 7700