第三讲三次样条函数资料.

当m=3时, 便成为最常用的三次样条函数.
二、三次样条插值
样条插值的思想: 逐段选取适当的
低次多项式, 按一定的光滑性要求连接起来
构成插值函数. 定义 设给定区间[a, b]上n+1个点 a=x0<x1<x2<
<xn=b, 以及相应的函数值 yi=f(xi), i=0, 1, …, n. 如果 函数S(x)满足:
第3型边界条件： 已知f(x)是以b –a为周期的周期函数, 要求S(x)满 足周期条件
S(a) = S(b), S'(a+)= S'(b–), S(a+)= S(b–)
三次样条插值问题加上第 i 型边界 条件称为第 i型插值问题(i＝1, 2, 3). 可 以证明第 i 型插值问题的解是存在且唯一的.
yi
yi yi1 hi 1
(hi
hi1 )1
下面介绍几种常用的边界条件 第1型边界条件:
已知f(x)在两端点的导数f(a)和f(b), 要求
S'(a) = f '(a), S'(b) = f '(b) 第2型边界条件: 已知f(x)在两端点的二阶导数f (a)和f (b) ,要求
S(a)=M0 = f (a), S(b)=Mn= f (b) 特别当 S(a)= S(b) =0时, S(x)称为自然三次样条.
所谓 “样条” (spline)是工程绘图中的一种工具, 它是有 弹 性的细长木条. 绘图时, 用细木条连接相近的几个结点, 然后 再进行拼接,连接全部结点, 使之成为一条光滑曲线, 且在结 点处样具条有函连数续就的是曲对率这. 样的曲线进行数学模拟得到的. 它除 了要求给出各个结点处的函数值外, 只需提供两个边界点处 导数信息, 便可满足对光滑性的不同要求.
于是在[xi, xi+1]上 S(x)=Si(x)的二阶导数表示成
S( x)
Mi
xi1 x hi
Mi1
x xi hi
x [ xi , xi1 ],
其中 hi= xi+1–xi .
对S(x)连续积分两次, 并利用插值
条件S(xi)= yi , 得到
S(x)
Mi
( xi1 6hi
x)3
M i 1
他们对应如下的方程组:
2 0
1
2
1
M0 d0
M1
百度文库
d1
0
2
2
2
M2
d2
n1
2
n
1
M
n1
d
n1
n 2 Mn dn
对于第1型插值问题:
0
1,
d0
6 ( y1
y0 )
h0
y0
h0 ,
n
1,
dn
6
yn
(
yn
yn1 )
hn1
hn1 .
对于第2型插值问题:
yi1 hi
yi
Mi1 Mi 6
hi
下面考虑 Mi 的求法. 由连续性
S'(xi –)= S'(xi+), (i=1, 2, … , n–1) 得
其中
μiMi –1+2Mi+λiMi+1= di
i
hi 1 hi hi1
, i
i
该方程组有n–1个方程, 但有n+1个变量Mi.
di
6
yi1 hi
给定n+1个样点(xi, yi )(i=0, 1, …, n), 确定一个三次样条插值函数需要4n个独
立条件. 在定义中, 已指定了4n–2个条件, 即
S( x0 ) y0 , S( xn ) yn
S
(
xi
)
S( xi
)
yi
,
S
( xi
)
S
( xi
),
(i 1, 2,...n 1)
S ( xi ) S ( xi ),
所以, 一般需补充指定2个边界条件.
三、三次样条函数的构造
——三弯矩插值法
记 Mi = S(xi), f(xi)= fi= yi , 考虑它在任 一区间[xi, xi+1]上的形式. 根据三次样条的定义可知, S(x)的二阶导数 S(x)在每一个子区间[xi, xi+1]( i=0, 1, 2, , n–1)上都是线性函数.
0 0, d0 2 y0, n 0, dn 2 yn.
对于第3型插值问题:
Mn Mn 1
M0
n Mn1
2Mn
dn
其中 dnn
hn 6
(hn y1
h1 ) , n n
y0 h1 ( yn yn1 )
hn
． (h1 hn )1
以上各组条件与前述方程组联立, 可以解出未知参数 M0, M1, … , Mn, 然 后代入S(x) 表达式, 即可求得样条函数.
计算方法
第3讲 样条函数
本讲主要问题
一、样条函数 二、三次样条插值 三、三次样条函数的构造
分段插值存在着一个缺点, 就是会导致插 值函数在子区间的端点(衔接处)不光滑, 即导 数不连续, 对于一些实际问题, 不但要求一阶导数 连续, 而且要求二阶导数连续. 为了满足这些要求, 人们 引入了样条插值的概念.
( x xi )3 6 hi
只要能求出所有的 {Mi}, 就能求出三次 样条插值函数S(x).
yi hi
Mi 6
hi
( xi1
x)
yi 1 hi
M i 1 6
hi
(x
xi )
x [ xi , xi1 ]
S( x)
Mi
( xi1 2hi
x)2
M i 1
( x xi )2 2 hi
一、样条函数
定义 设f(x)是区间[a, b]上的一个连 续可微函数, 在区间[a, b]上给定一组节点:
a=x0<x1<x2<<xn=b 设函数S(x)满足条件:
(1) S(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0, 1, 2, , n–1) 上是次数不超过m的多项式;
(2) S(x)在区间[a, b]上有m–1阶连续导数. 则称S(x)是定义在[a, b]上的m次样条函数, x0, x1, x2, , xn称为样条节点, 其中x1, , xn–1称为内结点, x0, xn 称为边界节点。
(1)在每个子区间 [xk , xk+1](k=0,1,…,n–1)上, S(x) 是不超过三次的多项式, 且S(xi )=yi, i=0, 1, … , n;
(2) S(x)、 S(x)、 S(x)在[a, b]上连续.
则称S(x)是f(x)在节点x0, x1, x2, …, xn上的三次样条插 值函数.
例1 给定区间[0, 3]上 3 个点的函数
值 f(0)=0, f(1)=2, f(3)=4, 试求数 a, b, c,
d, 使函数 S(x)为给定点上的三次样条插值
函数. 其中
S
(
x
)
x2 ax
x 3 bx
d, 2
cx
1,
0 x1 .
1 x3
答案: a 1, b 4, c 2, d 0.