沪教版(上海)七年级下册数学 第十四章 三角形 单元复习 导学案

第十四章 三角形 单元复习 导学案
一、知识系统
二、题型举例
（一）三角形三边的关系
例1 若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是 ；当周长为奇数时,第三边长为 ．
分析：三角形的一边小于其他两边的和.大于其他两边的差。

已知的两边是一奇一偶，当周长为奇数时，第三边长为应为偶数。

解：第三边长c 的取值范围是95<<c 当周长为奇数时，第三边长为7 （二）三角形的内和定理
例2 如图，若∠A ＝70°，∠ACD ＝40°，∠ABE ＝30°，求∠BDC 、∠BFC 的度数．
分析：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

∠BDC 是△ADC 的一个外角，和它不相邻的两个内角是∠A 和 ∠ACD ，它们度数分别是70°和40°。

所以∠BDC ＝70°+40°＝110°。

解：因为∠BDC ＝∠A+∠ACD ∠1＝∠2 又因为∠A ＝70°，∠ACD ＝40°（已知）
所以∠BDC ＝70°+40°＝110°（等量代换）
因为∠BFC ∠BDC +∠ABE （三角形的一个外角等于和
它不相邻的两个内角的和） ∠ABE ＝30°（已知）
所以∠BFC ＝110°+30°＝140°（等量代换）
例3 如图所示,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1＝∠2, ∠3＝∠4,∠BAC ＝63°, 求∠DAC 的度数.
分析：本题不能直接用内角和等于180°或外角等于不相邻的两个内角的和这两个定理
A B C D E
F
A 1
234
得到∠DAC 的度数.但可以设∠1＝∠2＝x.则∠3＝∠4＝2x. ∠BAC ＝x+63°
△ABC 的三个内角分 x 、2x 、63°。

它们的和为180°，得到一元一次方， 方程的解就是∠1的度数，从而求出∠DAC 的度数.
解：因为∠3＝∠1+∠2（三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角的和） ∠1＝∠2（已知） 所以∠3＝2∠1
设∠1＝∠2＝x. 则∠3＝∠4＝2x. ∠BAC ＝x+63°
因为∠2+∠4+∠BAC ＝180°（三角形的内角和等于180°） 所以x+2x+63°＝180° 解得x ＝39°即∠1＝39°
所以∠DAC ＝∠BAC-∠1＝63°-39°＝24°
反思：.几何中的计算题，也可以用方程的思想解决。

有些题只能用方程来解。

（三）全等三角形性质和判定
例4 已知：如图，点A 、E 、F 、D 在同一条直线上，AE ＝DF ，BF ⊥AD ，CE ⊥AD ，垂足为F 、E ，BF ＝CE.说明：AB ＝DC.
分析：此题需要先证明三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到AB ＝DC. 证明三角形全等需要三个条件，
这些条件往往不是直接已知的，
到，这一过程必须先做。

解：因为BF ⊥AD ，CE ⊥AD （已知）
所以∠AFB ＝∠DEC ＝90°（垂直的意义） 因为AE ＝DF （已知）
所以AE+EF ＝DF+EF （等量加等量和相等） 即AF ＝DE
在△ABF 与△DEC 中
⎪⎩⎪
⎨⎧=∠=∠=）DE （AF ）CE(BF 已证已证已知）DEC （AFB
所以△ABF ≌△DEC （S.A.S ）
所以AB ＝DC （全等三角形的对应边相等） （四）等腰三角形性质和判定
例5如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠BAD ＝∠CAE ，点D 、E 在BC 上，试说明△ADE 是等腰
三角形．
分析：本题不必说明三角形全等。

用等腰三角形的性质和判定来说明，思路简洁。

解：因为AB ＝ AC （已知）
所以∠BAD ＝∠CAE B ＝∠C （等边对等角） 因为∠ADE ＝ ∠B+∠BAD ，∠AED ＝∠C+∠CAE
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） 又因为∠BAD ＝∠CAE （已知） 所以∠ADE ＝∠AED （等量代换） 所以AD ＝AE （等角对等边）
A
B
C
D E
所以△ADE 是等腰三角形（等腰三角形的意义） 例6如图，△ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，联结BD ，延长BC 至E ，使CE ＝ CD ，联结DE ．
(1)∠E 等于多少度？（2）说明DB 与 DE 相等的理由．
解：（1）因为△ABC 是等边三角形 (已知) ，
所以∠ACB ＝60°(等边三角形性质).
因为CE ＝ CD （已知）, 所以∠E ＝∠EDC （等边对等角）.
因为∠ACB ＝∠E+∠EDC （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）,
所以∠E ＝30°.
（2）因为△ABC 是等边三角形，所以AB ＝CB ，∠ABC ＝60°(等边三角形性质)． 因为D 是AC 的中点，所以∠ABD ＝∠DBC ＝30°（等腰三角形三线合一） 因为∠E ＝30°（已证），所以∠E ＝∠DBC （等量代换）． 所以DB ＝ DE （等角对等边）． 三、同步练习 （一）、填空题：
1. 指出下列每组线段能否组成三角形图形：
（1）a ＝5,b ＝4,c ＝3 （2）a ＝7,b ＝2,c ＝4 （3）a ＝6,b ＝6,c ＝12 （4）a ＝5,b ＝5,c ＝6
2. 已知等腰三角形的两边长分别为11cm 和5cm ，它的周长是 。

3. 三角形三边为3，5， a ，则a 的范围是 。

4. 三角形两边长分别为25cm 和10cm ，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长
为 。

5. 等腰三角形的周长为14，其中一边长为3，则腰长为
6. 已知：等腰三角形的底边长为6cm ，那么其腰长a 的范围是
7. 在△ABC 中，已知：∠A ＝32.5°，∠B ＝84.2°，∠C 的度数 。

8. 在△ABC 中，已知：∠A ＝50°，∠B 比∠C 小15°，∠B 的度数是 9. 直角三角形的两个锐角相等，则每一个锐角等于 度。

10. △ABC 中，∠A ＝∠B+∠C ，这个三角形是 三角形。

11. △ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则∠B ＝
12. △ABC 中，∠A ＝40°，∠B ＝60°，则与∠C 相邻的外角等于 13. 如图所示，∠CAB 的外角等于120°, ∠B 等于40°, 则∠C 的度数是 . ,
B C E A D 120︒
40︒
C
B A
（二）、阅读并填空：
14．如图，△ABC 中，BC ＝5cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，点D 、E 在边BC 上，求△PDE 的周长。

解：∵BP 平分∠ABC （已知）
∴∠ABP ＝∠ （ ） ∵PD ∥AB （已知）
∴∠ABP ＝∠ （ ） ∴∠ ＝∠ （ ） ∴ ＝ （ ） 同理：PE ＝CE
∴C △PDE ＝P+DE+PE ＝BD+DE+CE ＝BC ＝5cm
（三）、计算题：
15．如图，∠1、∠2是△ABC 的外角，已知∠1＋∠2＝260°，求∠A 的度数．
（四）、说明理由 16．如图，已知点B 、D 在直线AE 上，AC // DF ，∠C ＝∠F ，AD ＝ BE ，试说明 BC // EF 的理由．
17.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 分别在BC 、AC 边上，且∠1＝∠B ，AD ＝DE.
说明：△ADB ≌△DEC
A
B
C
D E
P
A
B
C
D
E
F
A
B C
D
E
1
2
3
A B
C
2 1
18．如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，点F是CD的中点，联结AF，试判断AF与CD 的位置关系，并说明理由。

参考答案
三、同步练习
1．（1）（4）能，（2）（3）不能。

2．27cm。

3．2＜a＜8。

4．25cm
5．5．5
6．A＞3
7．63．3
8．57．5°
9．45°
10．直角三角形
11．60°
12．100°
13．80°
14．DBP 角平分线意义
DPB 两直线平行，内锚角相等到
DBP DPB
PD ＝BD
15．设∠A的一个外角为∠3，
则∠1＋∠2＋∠3＝360°（三角形的外角和等于360°）。

所以∠A＝100°A
B
C F D
E
16．由AD ＝ BE得AB＝DE，可得△ABF≌△DEC（A.A.S）
从而∠ABC ＝∠DEF，得 BC // EF。

17．由∠ADC＝∠B+∠3（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）, 得∠2＝∠3.
18．垂直.△ABC≌△AED（S.A.S）. AC＝AD.由等腰三角形的三线合一得AF⊥CD。