数学探究性题目

数学探究性题目

1．时钟上的数学

我们每个同学家里都有大大小小的钟，绝大部分钟都有时针、分针、秒针，时时刻刻都可以听到它们不停的“滴答、滴答”走动的声音，当然他们的走动有快有慢，秒针最快，时针最慢，不知你有没有注意到它们之间的一些数学关系？

为了使问题简单起见，我们假设所讨论的时钟只有时针和分针。

问题：在一天之内时针和分针重合多少次？每次发生在什么时候？

什么时候两针互相垂直？

什么时候两针在一条直线上？

如果时针和分针交换它还能表示某一时刻的时间么？

希望大家在解决以上问题之后讨论一下是否还有其他有趣的问题。

2．揭穿转摊的骗术

在车站，码头附近有时会看到一些碰运气、赌输赢的地摊，这些地摊大多引诱来往过路旅客，用骗术骗取他们的钱财。转摊就是其中之一。

摊主在一个固定的圆盘上划出若干扇形区域，并顺次标上号码1，2，3，4，5，6，。。。。。。。，在每一奇数扇区上放上值钱的物品，如名酒，中华香烟等，而在每一个偶数区域上放着廉价的物品，如糖块，小食品等。圆盘中心安装一根可以转动的轴，轴的顶端有一根悬臂，臂端吊一根线，线头上系一根针。你如果付给摊主一元钱，就可以随便转动一次，当悬臂停止转动时，针就停在某一区域，按照摊主制订的规则，这一格上的数是几，就从下一格起，按顺时针方向数出几，最后数到哪一格，那一格中的物品就归你，例如：当针指向“6”时，就要从“7”数起，顺时针方向数出“6”，最后应该数到“12”这一格。

参加这种赌博的人认为，圆盘中奇数、偶数格占一半，输赢得机会各占一半，于是就去碰碰运气，然而，不管转多少次，最后总是数到偶数区域中，你只能用自己的很多钱换来几粒糖果等廉价物品。为什么大家的“运气”都这样不好，你能用数学知识解开这个迷吗？

类似的还有

1．音乐教室里有7排座位，每排7把椅子，每把椅子上坐一名学生，教师每月都要将座位调换一次，张明同学提出建议：每次交换时，每一名同学都必须与她相邻（前、后、左、右）的某一个同学交换位置，以示公平。

教师告诉他，这样交换座位不可能做到，你能解释其中的原因吗？

2．机灵的小白鼠

大花猫是捕鼠能手，每天能抓到不少老鼠，但它在吃老鼠以前先要叫老鼠列队报数，第一批吃掉报单数的；剩下的重新报数，第二批大花猫仍然吃掉单数；第三批也是如此。。。。。最后剩下的一只老鼠可以被保留，与第二天抓来的老鼠一起重新排队报数。

后来，发现了一件极有趣的事情，大花猫发现，一连好几天，最后被留下的总是一只机灵的小白鼠。

大花猫问小白鼠：“你想了什么办法，能每天都留下呢？”

小白鼠说：“尊敬的大花猫先生，每天排队前我都先数一数你抓到了多少只老鼠，然后，我站在一个相应的位置，就可以留下来了。”

大花猫听了小白鼠的详细回答，很感慨地说：“没想到害人的老鼠里居然也有你这样聪明的小白鼠呀！”

小白鼠行了个礼，恭敬地说：“尊敬的大花猫先生，不瞒您说，我并不是害

人的老鼠，我是从科学家的实验室了溜出来玩的，你放我回去，好吗？”

大花猫高兴的放它回去，临别的时候，大花猫还感谢小白鼠给它上了一堂生动的数学课呢！

你知道吗，小白鼠每天应站在什么位置才能不被大花猫吃掉？

3．直觉并不一定可靠

一个唱片商店里，每天准备两种唱片，其中30张老式硬唱片，一元钱可卖两张，另外30张一元可卖三张，有一天，这60张唱片全卖完了，前30张卖了15元，后30张卖了10元，总共卖了25元。

第二天，老板又拿出与昨天一样的60张唱片，售货员想：何必自找麻烦，分开来买呢？何不把这60张唱片混在一起，按两元钱五张来卖，还不是一回事。

商店关门时，60张唱片全按两元钱五张卖出去了，可是，售货员点钱时，发现只卖了24元，而不是25元，这使他很吃惊，这一元钱到哪里去了？我并没有给顾客找错钱啊？

看来把两种唱片放在一起，按五张两元的卖法，和分开来一种卖两张一元，另一种三张一元，两种卖法并不相同。

由于两者之间的差别很小，以至于很难发现。问题出在哪里了？

现在让我们再看一个问题，在桌子上放着同样大小的两只玻璃杯，一杯装着红果汁，一杯装着桔子汁，两个杯子里的液体一样多。小华问小红：“如果我用小勺从第一个杯子中舀出一勺红果汁，倒入第二个杯子中，搅匀后，再从第二个杯子中舀一勺混合液，倒回第一个杯子中，那么这时是红果汁中的桔子汁多呢？还是桔子汁中的红果汁多呢？”

“当然是红果汁中的桔子汁多了！”小红很有理由地说：“因为你倒入桔子

汁中的是一勺纯红果汁，而倒回去的是一勺两者都有的混合液。”

你认为小红的回答正确吗？

4. 设计方案（字母表示数的功劳）

某公司计划砌一个如图（1）喷水池，后来有人建议改为如图（2）的形状且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够，如果把这个问题向你提出，你将如何回答呢？

或许你会大驾亲临现场，量一量直径，在算一算周长，最后做出结论。

思考1：如果把三个小圆改为几个小圆，又会有什么结果呢？

思考2：如果把图1中的两个圆池改成一个大圆池，如图3，用料相同，大圆池的直径与两个小圆池的直径有什么关系？

思考3：如果在图3这个大圆池外面一米远处建一个不锈钢防护栏（图4）这个防护栏的周长比大圆池的周长长多少米？

思考4：如果把地球的赤道看成一个圆，假设在地球赤道上有一个铁箍，现在要把铁箍向外扩张一米，需增加多长的铁丝？

5．“鬼迷路”现象

三个旅行家在一个雪夜里为了抄近路放弃了大路，从宽4千米的山谷中穿过，他们走了很久，按时间计算应该到达目的地了，但每次总是莫名奇妙的回到出发点附近，最后不得不在山谷中坐等天明，这就是迷信中所说的“鬼迷路”。你能用数学知识解开这个迷吗？

6．燃气站的最佳位置

在公路沿线的同一侧有100户居民，根据居民的要求要设置一个燃气供应站，要使100户居民到供应站的距离之和最小。请你用数学知识设计这个供应站的位置。

7．校运会的名次

在某学校举行的一次运动会上，初中各班的成绩如下：

班级初一（1）初一（2）初二（1）初二（2）初三(1) 初三（2）

金牌数 6 9 9 6 3 9

银牌数8 7 9 7 9 2

铜牌数10 6 4 10 12 0

第四名数 6 10 6 7 10 3

第五名数 9 8 1 7 8 9

第六名数 9 6 7 12 0 8