弹簧-高质量-阻尼模型

弹簧-质量-阻尼系统

1 研究背景及意义

弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统，研究这种系统对于我们的生活与科技也是具有意义的，生活中也随处可见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量的装置，是保证驾驶员行车安全的必备装置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改变结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地震能量，降低地震作用对建筑物的影响。因此研究弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。

2 弹簧-质量-阻尼模型的建立

数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。其中，微分方程是基本的数学模型 ，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提 。通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。

弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图2.1所示，

图2.1 弹簧-质量-阻尼系统简图

其中1m ，2m 表示小车的质量，i c 表示缓冲器的粘滞摩擦系数，i k 表示弹簧的弹性系数，i F （t ）表示小车所受的外力，是系统的输入即i U （t ）=i F （t ）,i X (t)表示小车的位移，是系统的输出，即i Y （t ）=i X (t)，i=1,2。设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中1m =1kg ，2m =2kg ，1k =3k =100N/cm ，2k =300N/cm ，1c =3c =3N •s/cm ，2c =6N •s/cm 。

由图2.1，根据牛顿第二定律,，建立系统的动力学模型如下： 对1m 有： （2-1）

对2m 有：

（2-2）

3 建立状态空间表达式

令31421122,,,x x x x u F u F ====,则原式可化为：

13123241212212423423232212()()()()()()

m x l l x l x k k x k x u t m x l l x l x k k x k x u t ++-++-=++-++-=

化简得：

12212112324

31

()()()u t k x k k x l l x l x x m +-++++= （2-3）

22112232423

42

()()()u t k x k k x l l x l x x m +-+-++=

（2-4）

整理得：

12112

21221

111

1

32432322222

2

2

21234001000000100()()10()()1010000100x x u k k k l l l x m m m m m x u x k k l l k l m m m m m x x y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥

-++⎣⎦⎢⎥⎢⎥

⎣

⎦

⎣⎦⎡⎤⎢⎥

⎡⎤⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦⎢⎥⎣⎦

（2-5）

121321321,2,100,3003,6

m m k k k l l l ========

代入数据得：0

01

0000140030096150200

3 4.5A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=

⎢⎥-⎢

⎥

--⎣⎦ 00001000.5B ⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10000100C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

则系统的状态空间表达式为

x y u

x x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡---=001000015.000100005.4320015

6930040010

0001

00

.

4 化为对角标准型

当系统矩阵A 有n 个不相等的特征根

...)3,2,1(=i i

λ时，相应的有n 个不相等的特征向量

...)3,2,1(=i m i

，所以有矩阵A 的特征矩阵[]m m m m M 4

321...=

根据矩阵论

线性变换得：Mz x Tx z M T =⇒=⇒=-1

可以使用matlab 进行对角标准型的运算，matlab 作为一种数学运算工具，很大程度的方便了了我们的计算，对于这个弹簧-质量-阻尼系统是一个四阶的状态空间表达式，所以可以用matlab 简化计算。

（1）求特征值与特征向量

A=[0 0 1 0;0 0 0 1;-400 300 9 6;150 -200 3 -4.5] B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5] C=[1 0 0 0;0 1 0 0] [P,J]=eig(A) 求得结果：

P =

0.0007 - 0.0402i 0.0007 + 0.0402i 0.0401 - 0.0698i 0.0401 + 0.0698i -0.0171 + 0.0157i -0.0171 - 0.0157i 0.0176 - 0.0792i 0.0176 + 0.0792i 0.8650 0.8650 0.6682 + 0.2084i 0.6682 - 0.2084i

-0.3442 - 0.3621i -0.3442 + 0.3621i 0.7050 0.7050 J =

0.3667 +21.5183i 0 0 0 0 0.3667 -21.5183i 0 0 0 0 1.8833 + 8.4864i 0 0 0 0 1.8833 - 8.4864i （2）P 矩阵求逆 PN=inv(P) 求得结果： PN =

3.4167 + 9.7803i -2.1017 - 9.2399i 0.3466 - 0.2323i -0.4703 - 0.1054i 3.4167 - 9.7803i -2.1017 + 9.2399i 0.3466 + 0.2323i -0.4703 + 0.1054i -3.3554 + 3.4224i 3.7199 + 3.2032i 0.2886 - 0.0353i 0.5337 - 0.2409i -3.3554 - 3.4224i 3.7199 - 3.2032i 0.2886 + 0.0353i 0.5337 + 0.2409i （3）带入公式B PNB = C CP = 解得对角标准型为：

u x x ⎥

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣

⎡+++=0.1205i + 0.26690.0353i + 0.2886 0.1205i - 0.26690.0353i - 0.28860.0527i + 0.2352-0.2323i + 0.34660.0527i - 0.2352-0.2323i - 0.34668.4864i - 1.883300008.4864i 1.8833 000021.5183i 0.36670000 21.5183i 0.3667

u y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0.0792i + 0.01760.0792i - 0.01760.0157i - 0.0171-0.0157i + 0.0171

-0.0698i + 0.04010.0698i - 0.0401

0.0402i + 0.00070.0402i - 0.0007 5求状态空间表达式的解 （1）求状态转移矩阵

1

1-Λ-==ΛT

T AT

T e e

t

At

其中，T 为特征向量

T

e At

1

8.4864it

- 1.88338.4864it

1.883321.5183it

- 0.366721.5183it

0.3667*0

0000

0000* 0.7050 0.70500.3621i 0.3442-0.3621i - 0.3442-0.2084i - 0.66820.2084i 0.66820.86500.86500.0792i 0.01760.0792i - 0.0176 0.0157i - 0.0171-0.0157i 0.0171-0.0698i 0.04010.0698i - 0.0401

0.0402i 0.00070.0402i - 0.0007e

e

e

e -++⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++=