02-振动系统的力学模型及参数

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（1）弹性元件
弹性元件在力学模型中被抽象为无质量无阻
x 时，产生弹性 尼的元件。弹性元件存在位移____
恢复力：
F kx
___ k — 为弹性元件的刚度 ______ N / m ，当力或位
移超过某一值（如材料的屈服极限）时，弹性元
件刚度不再是线性的，而呈非线性。
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x X 1e
( n 2 1) t
X 2e
( n 2 1) t
)
显然也不表示振动，可见， _____ c cc 是系统能否实
现自由振动的分界点，因而称为临界阻尼系数。
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到此，对于单自由度系统，已经引入 三个基本参量，质量 m ，刚度 k 和阻尼 c 。 固有频率由系统的m和k确定。 关于阻尼引入相对阻尼系数___的概念。
x1 X 1 jpt e x2 X 2
或矩阵形式
x Xe jpt
代入上式得
2 m1 0 0 k1 k2 m2 k 2 k2 X 1 jt 0 e k2 X 2 0
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该式随时间变化如图所示。
x x
O t
m
x
有阻尼单自由度系统
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当时_____ 1 。 c cc ，_____ 微分方程的解为：
x ent ( X1 X 2 )
此解不表示振动。
c cc 时，________ 而当_____ 2 1 0。
Dynamic Model and Vibration Parameters
振动系统的力学模型及参数
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振动系统的力学模型和振动参数 结构振动系统的力学模型 实际机械系统或工程结构，在研究其
振动特性或振动状态时，总要进行某种简
化，抽象出其主要本质，形成一个理想化
的力学模型，而模型往往是以若干重要的
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上式有解的条件是
m1 0
2
0 k1 k2 m2 k 2
k2 0 k2
或
k11 2 m11 k21
k12 k22 m22
2
0
是为两自由度系统的频率方程—特征方程。
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将这两个特性值代入方程，可解得
1 X1 A k 1 2 X 2 1 k 2m 1 2 2 1 X1 A k 2 2 X 2 2 k 2m 2 2 2
为了使讨论具有一般性，上式改写为：
Mx Kx 0
二阶线性常系数齐次微分方程组，式中：
m11 m12 k11 k12 M , K m m k k 22 21 21 22
称为质量矩阵和刚度矩阵。
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根据微分方程理论，设方程解为
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两自由度系统振动特性
1
2
O
t
O
t
O
t
O
t
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结论：对于两自由度系统，有两个固有 频率，对应于每个固有频率，有各自的振型。 引入振型的概念，反映多自由度系统振动时， 各点的运动量不仅是时间的函数，而且是空 间的函数。
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当外界对系统存在输入（作功）时， 质量吸收动能 — 而具有速度，弹性元件具 有使系统恢复原来状态的能力。能量不断 变换，导致系统质量围绕其平衡位置作往 复运动，如果外界输入停止，则由于阻尼 作用，振动现象逐渐停止。 振动系统有三个关键性元素：质量， 弹性，阻尼。
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（3）质量元件 质量元件在力学模型中抽象为刚体。根据 Newton 第二定律，当质量上作用有载荷时，力 与加速度存在如下关系：
F m x
m —为刚体质量，单位 kg 。
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单自由度系统 单自由度无阻尼自由振动系统 一个无质量的弹簧和一个无弹性的质 量即组成一个单自由度系统的力学模型。 （如图）该模型的参数为质量和刚度，系 统受到初始扰动后，产生振动，若在相对 较短的时间内研究其振动状态时，可认为 是一种无阻尼的自由振动。
由此可解出两个特征值：
1 k2 k 1 k2 ( ) 2 m1 2 2 m2
2 1
k2 k 1 k2 k 1 k2 4 m1 m1m2 m2
2
______ 1, 2 即为两个自由振动固有频率，较低的为 第一阶固有频率，较高的为第二阶固有频率。可 见固有与运动初始条件无关，仅与振动系统的固 有物理特性，即物体的质量、刚度有关。
上式 X 0 则有
k m 2 0
同样解得：

k m
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—称为单自由度系统的无阻尼振动固有频
率，是振动系统的又一重要参数，由 m 和 k 决定， 是一个导出参数。
x
O
t
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(1) 单自由度无阻尼系统的自由振动是 以正弦或余弦函数或统称为谐波函数表示 的，故称为简谐振动， (2) 自由振动的角频率即系统的自然频 率仅由系统本身的参数所确定，而与外界 激励、初始条件等均无关．
cc 临界阻尼系数___是一个重要的参考量。衰
减系数n也是一个重要的导出参数，由基本 参数m和c确定。
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单自由度有阻尼系统的自由振动固有频率与 无阻尼系统相同，但由于阻尼的存在为减幅振动， 由衰减系数n决定振幅。
x
Xe
nt
x
o
t
O
t
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两自由度系统
阻尼系数，定义为阻尼力和运动速度之比。
cx kx 0 于是运动方程为： m x
或
c k x 2( ) x x 0 2m m x 2nx 2 x 0
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c 其中： n 2m
称为衰减系数，由m和c确定。
求解方程，令 x Xest
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基于以上简化及其它假设，最终复杂 结构系统为： 无弹性的质量、无质量的弹簧，以及 纯粹阻尼组成的简单力学模型（系统）。 e.g.汽车车身，前后桥为质量，悬挂及 轮胎为弹簧，所有耗能环节视为阻尼。 形成比较理想的结构振动系统。
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结构振动系统三元素（件） 机械系统或工程结构之所以产生振动， 是由于系统本身具有质量和弹性，而阻尼 则使振动受到抑制。 从能量的角度：质量存贮动能，弹性 存储势能，阻尼则消耗能量。
代入方程可得：
( s 2 2ns 2 ) Xest 0
该式有解的条件为：
s 2 2ns 2 0
是为该振动系统的特性方程。
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该式的根为特征根。由上式：
s n n 2 2 n 2 1
其中：
c / 2m c c k / m 2 mk cc
s1,2 n j 1 2
由此可得微分方程的解为：
xe
nt
( X 1e
j 1 2 t
X 2e
j 1 2 t
)
利用欧拉公式（Euler）
e
j 1 2 t
cos 1 2 t j sin 1 2 t
进而可得微分方程的解：
x Xe nt sin( 1 2 t )
参数来描述。
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简化过程：结构系统-动力学模型 忽略某些次要因素 同时确定系统的自由度数 简化程度取决于： 系统本身的主要特性、分析计算的精 度要求，最后应通过测试验证简化结果的 正确性。
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3百度文库
工程简化 大型结构系统（大型火箭导弹，卫星， 飞机，核潜艇），受到的激励很复杂。这 样的复杂系统，只有进行大量的工程简化 处理之后，才能建立分析计算的力学模型。 进行振动分析。
简谐振动的矢量表示 为了研究问题方便，有时用一矢量来代表简 谐振动。例如某一简谐振动为
x X m sin(t )
可用下图所示的矢量x来表示
即
x X m(t )
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（2）时不变（TI）系统假设 诸多系统在工作过程是时变的（比如 大型运载火箭）。但为了分析方便，在所 取的分析时段内，对系统作固化处理，从 工程角度视为时不变系统，从面使描述振 动的微分方程简化。 形成LTI线性定常系统 。
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（3）非耦合假设 实际结构系统往往存在耦合现象，因 耦合引起的量值相对于主要分析的量值在 工程容差之内，可视为非耦合系统。从而 大简化分析（当然，专门研究耦合振动的 情况除外）。 大型运载火箭，液体贮箱流固耦合。
A1,2 为任意常数，由初始条件确定。以上所 其中____
1, 2 所对应的特征矢量。 得的两个列阵称为______
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将第一频率代入方程，得到的自由振动 振型称为第一主振型， 将第二频率代入方程， 得到的自由振动振型称为第二主振型。 可见，对于两自由度系统，有两个固有 频率，对应的两个列阵表示两个振型。两个 质量块的振动波形如图。
（e.g.汽车动力学模型）
通常进行如下简化：
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（1）线性化（L）假设 真实结构或多或小存在非线性现象， 但针对平衡位置附近的微小振动时，在忽 略高阶小量之后，可以简化为线性振 动， — 线性振动理论可以作为振动理论分 析的数学基础。使复杂振动问题变为简单 的或典型的力学问题。
n
— 称为阻尼系数。 ___ 是 ___c ____ 和 ___ c 之比， c
因而称为相对阻尼系数。
可见当m和k一定时，s值取决于 __，即取决
于c。
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cc 2 mk 称为临界阻尼系数，当_____ c cc 时， 把__________
1 ，有： ______
两自由度系统的力学模型如下图所示，不考 虑阻尼时系统的自由振动微分方程为：
m1 x1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 m2 x2 k2 x1 k2 x2 0
k1 m1 k2 m2
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x1
x2
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写成矩阵形式（比较简单）：
m1 0 x1 k1 k2 0 m x k 2 2 2 k2 x1 0 k2 x2 0
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（2）阻尼元件
阻尼元件在力学模型中抽象为无质量无弹性
的元件。当阻尼元件存在速度时，产生阻尼力：
F cx
c— 为阻尼系数，阻尼可分为粘性阻尼、干
摩擦阻尼、材料阻尼等，其中只有粘性阻尼是线
性阻尼，也是工程上见的一类阻尼，为求解带来
很大方便。其它类型阻尼为非线性阻尼，在力学 模型中可以等效成线性阻尼，以方便求解。
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(3) 无阻尼自由振动的周期为
1 m T 2 fn k
(4) 自由振动的振幅X和初相角由初始 条件所确定。
(5) 单自由度无阻尼系统的自由振动是
等幅振动。
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有阻尼系统的自由振动
无阻尼系统一旦开始振动，就将持续下去， 但实际系统都存在阻尼的，振动幅值将随时间的 增加而逐渐衰减。为了反映这种衰减特性，引进
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动力学特征
由
F合 ma kx
k 2 a x x m

k m
k
m
x
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或通过质量的运动方程：
kx 0 m x
解上述方程时，可令 x X sin t 代入原方程得：
(k m 2 ) X sin t 0