向量集体备课
第八周平面向量集体备课
第二章平面向量1.课程目标向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。
2学习目标（1）通过力和力的分析，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表式（2）通过实例，掌握向量加减法的运算，并理解其几何意义（3）通过实例，掌握向量数乘运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义（4）了解向量的线性运算性质极其几何意义（5）了解向量的基本定理及其意义（6）了解平面向量的正交分解极其坐标表示（7）会用坐标表示平面向量的加、减法与数乘运算（8）理解用坐标表示的平面向量共线的条件（9）通过物理中功的实例，理解平面向量数量级的含义极其物理意义（10）体会平面向量数量积与向量投影的关系（11）掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算（12） 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
（13） 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
知识点归纳一. 向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a=大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量记作a -,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a与b 的差，记作：)(b a b a-+=-求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）aa⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa的方向与a的方向相同；当0<λ时，λa的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =aλ6平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点二. 平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5)若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x3 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算类型1(a b x x +=+AB BC AC +=12(a b x x -=-)(b a b a-+=-OB OA AB -=a a)()(λμμλ=12a b x x •=+三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b+⋅-=-=-；()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b=±⋅+6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅ ②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b=⋅±特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到b c =⋅ （3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ（001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a·b ＝O ⇔2121=+y y x x巩固练习例1 给出下列命题： ① 若|a |＝|b |，则a =b ；② 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③ 若a =b ，b =c ，则a =c ，④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ； ⑤ 若a //b ，b //c ，则a //c ， 其中正确的序号是例2 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简： ①AB BC CD ++，②DB AC BD ++ ③OA OC OB CO --+-例3设非零向量a 、b 不共线，c =k a +b ，d =a +k b (k ∈R)，若c ∥d ，试求k例4 已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =-，且//u v ，求实数x 的值例5已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB （O 为坐标原点）交点P 的坐标例6已知两单位向量a 与b 的夹角为0120，若2,3c a b d b a =-=-，试求c 与d 的夹角例7 已知()4,3a =，()1,2b =-，,m a b λ=-2n a b =+，按下列条件求实数λ的值（1）m n ⊥；（2）//m n ；(3)m n =例8已知4||=a ，2||=b ，且a 与b 夹角为120°求 ⑴)()2(b a b a +•-； ⑵|2|b a -； ⑶a 与b a +的夹角。
平面向量集体备课发言稿
平面向量集体备课发言稿尊敬的老师：一节课能否上好不是偶然的，它在很大程度上取决于教师的备课。
在备课上花一分精力，在教学里就有一分的效果。
教学就是十分复杂的艺术。
教师必须查清学生的水平和自学习惯，弄懂教材，还要考量教学目的、原则和方法，只有底上课，就可以精心安排不好教学环节，在非常有限的时间里，自始自终把握住学生的注意力，鼓励学生有效地展开自学，真正充分发挥教师的主导作用，保质保量地顺利完成教学任务。
同时，通过复习，教师还可能将辨认出和填补自己业务上的瑕疵，提升自己的教学水平。
教师必须想要教导不好课，自己必须先掌控不好本学科课程的内容。
教师对于本学科课程存有哪些问题还不确切，还须要查资料，都应当在复习时通过查询资料或向人求教，加以解决。
常言道，“教学相长。
”教学的过程也就是教师提升业务水平和教学艺术的过程。
复习时，教师必须编教案，考量教学目的、原则和方法，考量教学里可能将出现的问题和各种解决办法。
经过认真思考和得当精心安排，在教学里处在主动地位，有板有眼地展开工作。
发生问题时，因晚存有准备工作，随时都存有得当的处置方法。
这对在教学里谋求主动，确保教学质量，累积教学经验，提升教学理论，都具备决定性的意义。
总之，复习就是教师根据教学大纲的建议和本学科课程的特点以及学生的实际，挑选最合适的教学方法，设计和精选教学方案，以确保学生成功而有效地自学。
它就是充分发挥教师主导作用，做好教学工作的前提条件。
俗话说：“凡事预则立，不预则废。
”无论必须顺利完成什么工作，都须要搞好充分准备，否则就可以事倍功半，收效甚微，劳而无功，教学亦然。
为并使教学工作获得成功，教师必须深入细致、充份、精心地准备工作。
存有经验的教师都懂：即使复习，有时还教导得不顺利，不复习就更无把握。
我们在上课时应讲什么内容？该采用什么方法讲？事先都要周密考虑，精心设计。
其实教师就好比导演，如果对剧本不了如指掌，对演员不彻底了解，也就不会导演出内容生动、剧情感人的好戏来。
向量的教案5篇
向量的教案5篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如合同协议、学习总结、生活总结、工作总结、企划书、教案大全、演讲稿、作文大全、工作计划、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, the shop provides you with various types of practical information, such as contract agreement, learning summary, life summary, work summary, plan, teaching plan, speech, composition, work plan, other information, etc. want to know different data formats and writing methods, please pay attention!向量的教案5篇教案不仅仅是一份计划，还是教育实践的反映和指南，教案包含了教材选择和使用的详细说明，以便教师能够有效地传授知识，下面是本店铺为您分享的向量的教案5篇，感谢您的参阅。
平面向量的教研活动记录(3篇)
第1篇一、活动背景随着新课程改革的深入推进，平面向量作为高中数学的重要组成部分，其教学方法和策略的探讨显得尤为重要。
为了提高教师对平面向量教学的认知，提升教学效果，我校数学教研组于2021年10月20日开展了以“平面向量教学策略探讨”为主题的教研活动。
本次活动旨在通过集体备课、教学观摩、研讨交流等形式，提升教师对平面向量教学的理解和实践能力。
二、活动内容1. 集体备课活动开始，由教研组长主持，组织全体数学教师进行集体备课。
首先，对平面向量的基本概念、性质、运算及应用进行了梳理，明确了教学目标。
接着，针对平面向量的教学难点和重点进行了深入讨论，共同商讨了教学策略。
2. 教学观摩集体备课结束后，由我校青年教师张老师进行了一堂平面向量的公开课。
张老师以实际问题为背景，引导学生探究平面向量的概念和性质，注重培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
在课堂上，张老师运用多媒体教学手段，使抽象的向量知识变得生动形象，激发了学生的学习兴趣。
3. 研讨交流公开课后，全体教师对张老师的课堂教学进行了点评。
大家一致认为，张老师的课堂气氛活跃，教学方法灵活，能够有效地引导学生掌握平面向量的知识。
同时，针对教学过程中出现的问题，老师们提出了以下建议：（1）在引入向量概念时，可以结合生活中的实例，让学生更加直观地理解向量的意义。
（2）在讲解向量运算时，要注意培养学生的运算能力，提高解题速度。
（3）在课堂教学中，要注重培养学生的空间想象能力，提高学生的几何素养。
（4）在课后作业的布置上，要注重层次性，满足不同学生的学习需求。
三、活动总结本次教研活动取得了圆满成功，达到了预期目标。
通过集体备课、教学观摩和研讨交流，老师们对平面向量教学有了更深入的认识，明确了教学策略，为今后的教学工作奠定了基础。
1. 提高教师对平面向量教学的认识，明确教学目标。
2. 探讨了平面向量的教学策略，为教师提供了有益的教学方法。
3. 增强了教师之间的交流与合作，促进了教师的专业成长。
高二年级数学组集体备课教学案
高二年级数学组集体备课教学案课 题空间向量及其运算共_ 6__课时第1课时：空间向量及其线性运算备课人教学目的1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件．教学重点和难点 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质．教学设备课前准备教 学 过 程二次备课一、创设情景1、平面向量的概念及其运算法则；2、物体的受力情况分析． 二、建构数学1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． 注：⑴空间的一个平移就是一个向量；⑵向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示． 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a OB OA BA-=-= )(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线C BAOb b baaF ED '/B /'B到的向量：1CB BA +; 112AC CB AA ++; 1AA AC CB --练习：已知空间四边形ABCD 化简下列各表达式，并标出化简结果向量：AB BC CD ++； 1()2AB BD BC ++； 1()2AG AB AC -+．,,OI i OJ j OK k ===,,,i j k 表示OE 和OF ．AB a=，=，AD b =，E为a，b，c表示向量CE．AP c2.课本73。
向量坐标教研活动记录(3篇)
第1篇一、活动背景随着新课程改革的深入推进，高中数学教学越来越注重培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
向量坐标作为高中数学教学中的重要内容，对于学生理解空间几何、解决实际问题具有重要意义。
为了提高教师对向量坐标教学的理解和把握，提升课堂教学质量，我校数学教研组于2023年4月20日开展了以“向量坐标教学策略探讨”为主题的教研活动。
二、活动目标1. 深入理解向量坐标的基本概念和性质。
2. 探讨向量坐标在高中数学教学中的应用策略。
3. 提升教师对向量坐标教学的整体把握和教学设计能力。
4. 促进教师之间的交流与合作，共同提高教学水平。
三、活动内容1. 理论学习：向量坐标的基本概念和性质活动伊始，教研组长带领全体数学教师共同学习了向量坐标的基本概念和性质。
通过讲解和讨论，教师们对向量的起点、终点、方向、长度等基本属性有了更加清晰的认识，对向量的加法、减法、数乘等运算规则有了更加深刻的理解。
2. 案例分析：向量坐标在高中数学教学中的应用接着，教研组选取了几个具有代表性的案例，分析了向量坐标在高中数学教学中的应用。
例如，在解析几何中，如何利用向量坐标求解直线与平面的位置关系；在立体几何中，如何利用向量坐标分析空间图形的性质等。
通过案例分析，教师们对向量坐标的应用有了更加直观的认识。
3. 教学策略探讨：如何有效开展向量坐标教学在理论学习的基础上，教师们围绕“如何有效开展向量坐标教学”这一主题进行了深入的探讨。
以下是部分讨论内容：（1）注重学生空间想象能力的培养：教师应引导学生通过观察、操作、实验等方式，逐步建立空间观念，提高空间想象能力。
（2）结合实际问题，激发学生学习兴趣：教师应将向量坐标教学与实际问题相结合，让学生在解决问题的过程中，体会到向量坐标的应用价值。
（3）采用多种教学方法，提高教学效果：教师可以运用多媒体技术、实物演示、小组合作等多种教学方法，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
（4）关注学生个体差异，实施分层教学：教师应根据学生的个体差异，实施分层教学，使每位学生都能在原有基础上得到提高。
高一数学集体备课平面向量的应用
3月4日高一数学组主备人：张百科备课内容平面向量的应用（2）三维目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的的探究意识，培养创新精神。
教学重点理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题.教学难点选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决.课时安排1课时教学方法 1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
教学内容分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
教学环节问题情景1、类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?2、两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
<设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。
）合作探究、精讲点拨。
探究一：<１）向量运算与几何中的结论，向量平行与所在直线平行或重合相类比，你有什么体会？<２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来。
高一数学必修4《平面向量》集体备课
教学资源补充
1.在向量概念的学习过程中，要突出它的代数特征和几何特征，教学中要以实例为基础展开教学。
2.向量的加减法学习过程中，更多的突出作图能力，培养学生的作图能力和分析能力。
石泉中学高一数学学科专题(章节)集体备课课前准备记录表
组别
高一数学
课题
《平面向量》
主备人
贾伟
时间
2016年03月29日
课标要求
1.通过物理学中力和力的分析，了解向量产生的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
2.通过实例，掌握向量加法、减法和数乘的线性运算，理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。
3.了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线的条件。
4.通过物理中功的实例，理解平面向量数量积的含义及物理意义体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表示，能运用数量积计算两个向量的夹角，能具体判定两个向量的垂直关系
3.向量的运算要区别于以往的代数运算，要引导学生在理解向量相关知识和内涵的基础上展开，向量的加法和数乘的几何表示和坐标表示都是学习向量的重要内容。
4.根据平面向量基本定理，平面上任意向量都可以唯一的表示成一组不共线的向量的线性组合，因此这个定理是解决很多向量问题的基础，教学中要更多的让学生理解定理本身。
5.经历用向量的方法处理某些简单几何问题、力学问题和其它一些实际问题，体会向量是一种处理几何问题、物理问题的工具，发展运算能力和解决实际问题能力。
81空间直角坐标系、空间向量及运算
富县高级中学集体备课教案年级：高三科目：数学授课人：主要知识：1.空间向量求和有三角形法则和平行四边形法则，其中三角形法则可推广到空间中多个向量的求和,这个和向量通常称为“封口向量”.(2)实数λ与向量a的积仍为一个向量，记为λa，且λa与a为共线向量，|λa|=|λ|·|a|.2.空间向量的基本定理：共线向量定理：空间两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数x,使a=xb.3.两个向量的数量积(1)已知两个非零向量a,b，在空间中任取一点O，作=a，=b,则∠AOB叫作向量a与b的夹角，记作〈a,b〉,范围是［0,π］ .如果〈a,b〉= ，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.4.两个向量a,b的数量积(或内积)a·b=a·bcos〈a,b〉 .①a·e=|a|cos<a,e>（其中e为单位向量）;②a⊥b a·b=0;③|a|2=a·a ;④|a·b|≤|a||b| .主要方法：证明共面问题的方法：若P,A,B,C共面，则存在实数x,y，使AP=xAB+yAC.(3)证明线∥面时，可证明线所在向量a能用面内不共线向量b,c表示,即a=xb+yc，或a与面内向量d满足a∥d.例题分析：例1：如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点。
（1）求证：E,F,G,H四点共面；（2）求证：BD∥平面EFGH；例2：如图,平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1D1，DD1，D1C1的中点，请选择适当的基底向量证明：（1）EG∥AC；（2）平面EFG∥平面AB1C巩固练习：教师用书【259】即时巩固：1，2，3课后作业：对应课后提升：选择题备课组长签字：年月日。
高一数学备课组集体备课教案之向量单元复习
高一数学备课组集体备课系列教案之平面向量向量单元复习数学组：学习目标1.过程目标整体上经历和感受本单元知识的联系及题型特点。
2.知识技能目标（1）掌握本单元知识（向量的坐标表示、向量的数量积、向量的应用）及相互联系，明了本单元的知识结构；（2）能综合应用本单元的知识解决有关问题3.情感目标事物之间以及知识之间总是存在千丝万缕的联系，通过学习教导学生用联系的辨证 观点看待问题。
教学过程：一、复习回顾平面向量的基本原理、坐标表示及运算、向量的数量积、向量的应用等二、课前预习1．（1）已知向量a =（1，2），求与a 模相等，且夹角为45的向量b .（2）a =（3，0），b =（k ，5）且a 与b 的夹角为34π，求k 的值. 的坐标求点知轴方向的单位向量，已分别为设C y x ,2,24,2,,.2-=+==三、例题分析1． 已知矩形相邻的两个顶点A （－1，3），B （－2，4），若点D 在x 轴上，求顶点C ，D 的坐标。
2．（1）已知||a =4，||b =3，且(2)(3).a b a b o +⋅-= 求b a ∙.（2）已知a 与b 夹角为120，|a |=4，|b |=2。
如果a kb + 与5a b + 相互垂直，求实数k的值.3．已知长度相等的三个非零,,a b c 向量满足0a b c ++= ，求每两个向量的夹角。
随堂检测1.已知A （－2，4），B （－3，1），C （－3，－4）且CM=3CA ，CN=2CB求点M 、N 的坐标及向量的坐标。
2.已知等腰直角三角形ABC 中，角C 为直角，求下列向量的数量积：（1）AC ·AB （2） CA ·AB （3）BC ·（CA+AB ） （4）（AB －AC ）·AC0120,,.3=++︒==c b a c b a ，求证：且两夹角为若三个向量4．已知点A （4，5），B （1，2），C （12，1），D （11，6），试用向量的方法求出AC 和BD 的交点的坐标.思维拓展()()()()()()()()_____,5,13,4,,.6____,2,2,.5______,5,13,4,,.44...................13..................10......................7.60,3327................327...............327.,.........327.,3,32,,.245.................135..................30............60.,21.1==∙=-=⊥-⊥-==∙=-=+︒--++-=∙====∆︒︒︒︒-==b b a a b a D C B A D C B A ABC D C B A 则且已知平面向量与则是非零向量且满足已知则且已知平面向量夹角为均为单位向量，它们的已知的值等于中，若在与垂直，则和且 7、已知向量1232a e e =- ，124b e e =+ ，其中12(1,0),(0,1)e e == ，求：（1）a b ⋅ ，a b + ；（2）a 与b 的夹角的余弦值8、平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=（1） 求满足a mb nc =+ 的实数m n 、；（2） ()//(2)a kc b a +- ，求实数k ；（3） 设(,)d x y = ，满足()//()d c a b -+ ，且1d c -= ，求d9、设向量1e ，2e 满足12e = ，21e = ，1e ，2e 的夹角为60︒，若向量1227te e + 与12e te + 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围。
平面向量集体备课
§4平面向量的正交分解和坐标表示及运算(第一课时)教学重点：平面向量的坐标运算.教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程：一、复习引入：1、回顾平面向量基本定理及其应用；2、什么样的向量可以作为基地.二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=,我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记),(y x a =, 其中x 叫做a 在x轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，),(y x a =叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=,一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)(3） 若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=3.向量平行的坐标表示a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0.（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0.(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔y x y x b a λ.三、讲解范例：课本88,89页例1—例4.四、课后小结：1、平面向量正交分解及坐标表示.2、平面向量的坐标运算.3、用平面向量坐标表示向量共线条件.六、课后作业; 习题2—4A 组2,3,5题，B 组1题.§5.1从力做的功到向量的数量积(第二课时)教学重点：平面向量的数量积定义.教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用. 教学过程：一、复习引入：1、如图，一个物体在力F 的作用下产生位移s ，如何计算力F所做的功？（力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.）2、前面学习了向量的线性运算，那向量与向量能否相乘？二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ·b ，即有a ·b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别:（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（3）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅ca = c 如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA| ⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c.(4)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．向量的数量积的几何意义：C数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.(1) e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ.(2) a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0.(3)当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||.(4) cos θ =||||b a b a ⋅.(5) |a ⋅b | ≤ |a ||b |.三、讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b .例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直.四、布置作业:习题2-5 A 组第1,6题，B 组1,2题.§5.2平面向量数量积的运算律(第三课时)教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入1、平面向量数量积的定义.2、平面向量数量积的性质.二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a⋅b = b⋅a证：设a，b夹角为θ，则a⋅b = |a||b|cosθ，b⋅a = |b||a|cosθ∴a⋅b = b⋅a2．数乘结合律：(λa)⋅b =λ(a⋅b) = a⋅(λb)证：若λ> 0，(λa)⋅b =λ|a||b|cosθ，λ(a⋅b) =λ|a||b|cosθ，a⋅(λb)=λ|a||b|cosθ，若λ< 0，(λa)⋅b =|λa||b|cos(π-θ) = -λ|a||b|(-cosθ) =λ|a||b|cosθ，λ(a⋅b) =λ|a||b|cosθ，a⋅(λb) =|a||λb|cos(π-θ) = -λ|a||b|(-cosθ) =λ|a||b|cosθ.3．分配律：(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c在平面内取一点O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a + b| cosθ = |a| cosθ1 + |b| cosθ2∴| c | |a + b| cosθ =|c| |a| cosθ1 + |c| |b| cosθ2，∴c⋅(a + b) = c⋅a + c⋅b 即：(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、讲解范例：课本93、94页例2、例3、例4.四、课后作业：习题2-5A组第7题，B组第1,2题.证明三角形的高交于一点§6平面向量数量积的坐标表示(第四课时)教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用教学过程：一、复习引入：1、平面向量数量积的意义是什么满足那些运算律？2、回忆正交分解下的坐标表示.二、讲解新课：1、平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅. 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+=.所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=.又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=.这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2、平面内两点间的距离公式设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)3、向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥⇔02121=+y y x x4、两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=三、讲解范例： 课本94页例题（略）四、归纳总结：1、这节课学习了几个公式，有什么用途？2、如何把一个几何问题代数化？五、布置作业：习题2-6A组2,3,5,6题，B组2,3,4,题§7向量的应用举例（第五课时）教学重点：用向量知识解决一些简单的平面几何、解析几何、物理问题的方法和步骤.教学难点：选择恰当的方法，将几何问题、物理问题转化为向量问题.教学过程：一、导入新课由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多特征，如长度、夹角、平行、垂直、点共线、线共点等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，也用向量方法解决几何中的一些问题，向量也有着丰富的物理背景，向量中的许多概念、方法、运算源于物理科学，本节将通过几个例题，说明向量的应用.二、向量在几何中的应用课本100页例1、例2 （略）三、向量在物理中的应用课本101页例3、例4（略）四、课堂小结向量法解决几何问题的一般步骤1、建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；2、通过向量运算，研究几何元素之间的关系；3、把运算结果翻译成几何关系.五、布置作业习题2-7A组1,2题，B组1,2题. 复习：第二章（第6课时）。
空间向量与立体几何集体备课材料
空间向量与立体几何(约12课时)一、知识要求及变化在生活中，我们经常会遇到这样一些与方向有关的量，比如力、速度、加速度等等，这些量在物理中我们称为矢量，在数学中，我们进一步抽象为向量。
向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有着极其丰富的数学和物理背景；同时它也是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在表述和解决相关问题中有着重要应用。
本模块的主要内容分为两部分，一部分是介绍空间向量及其运算，另一部分是介绍空间向量在立体几何问题中的应用，我们将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题（平行、垂直、距离、角度等），感受向量方法在研究空间关系中的作用。
本章的重点内容是空间向量的运算性质和它在立体几何问题中的应用，学习难点是空间关系（平行、垂直、相交、共线、共点等）的判断与证明，以及空间度量（角度、距离），突破难点的关键在于掌握向量法处理问题的一般思路和典型问题处理的一般方法，加强解题教学和解题训练。
1、整体定位根据课程标准的设计思路，对每一部分都有一个整体定位。
为了更好的把握空间向量与立体几何这部分内容的要求，首先需要明确整体定位。
标准对空间向量与立体几何这部分内容的整体定位如下：“用空间向量处理立体几何问题，提供了新的视角。
空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。
在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力。
”2、课程标准的要求（1）空间向量及其运算① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
向量集体备课
平面向量李振麟【知识特点】平面向量作为工具性知识，和三角函数、解析几何、立体几何等知识有着广泛的联系。
其中平面向量的共线与垂直，平面向量的运算，平面向量的数量积及其应用，是重点内容，也是高考考查的重点。
对于数系的扩充和复数的引入这部分内容，其独立性较强，一般是单独命题，其中复数的概念和复数的运算是重点知识，也是高考考查的重点。
【重点关注】1、平面向量共线与垂直的充要条件、平面向量的线性运算、平面向量的数量积及其应用、复数的运算是高考的热点内容，需重点关注。
2、平面向量的基本运算与三角函数结合是高考中的重要题型，此类题可以是选择、填空，也可以为中档的解答题。
向量与数列、不等式、圆锥曲线，函数等知识的综合问题。
对学生能力的考查有较高的要求。
3、本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形与数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁。
【地位和作用】向量带有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识。
向量有一套优秀的运算系统，由于它提供的向量法、坐标法，使其成为研究高中数学的重要方法。
同时，向量又有一套优良的运算系统，几何中有关长度、角度的计算，平行、垂直的判定与证明，很多场合下都可以化归为向量的运算来完成，教材中正弦定理、余弦定理的证明、定比分点坐标公式的导出，就是这方面典型的例子。
这些体现了数学中化归和数形结合的思想。
向量“形”、“数” 兼备，是数形结合的桥梁。
在运用向量知识时，充分运用几何图形直观的特点，而在解决几何问题时，又注意充分运用向量法与坐标法，处处渗透了数形结合的思想。
通过分析进两年高考中本章相关知识点的考查汇总，可以看出本章在高考命题中呈现出以下特点：1、考查题型主要是以选择、填空为主，分值为10 分左右，基本属容易题；2、重点考查向量的共线与垂直，向量的夹角、模与数量积及复数的运算，注重在知识交汇处命题；3、预计在本意在今后的高考中，将以向量的运算、向量的夹角、模、数量积、复数的运算为命题热点，将更加注重向量与其他知识的交汇，以考查基础知识、基本技能为主。
优秀高中数学向量教案
优秀高中数学向量教案
课时安排：2个课时
课堂内容：
第一课时：
1.引入向量的概念，介绍向量的定义和表示方法。
让学生了解向量的性质和运算规则。
2.教授向量的加法和减法。
通过示范和练习，让学生掌握向量加减法的方法。
3.讨论向量的数量积和向量的夹角。
引导学生理解向量的数量积和夹角的概念，并通过实例演练加深理解。
第二课时：
1.复习向量的加减法，数量积和夹角概念。
2.讲解向量的应用，如解决平面几何问题，力的合成与分解等。
3.进行一些综合练习，让学生熟练运用向量知识解题。
作业布置：完成课堂练习，巩固所学内容。
课堂评价：通过课堂练习和课后作业，检查学生对向量的理解和掌握情况。
补充材料：提供相关的练习题和习题解析，帮助学生巩固向量知识。
教学目标：使学生掌握向量的概念、运算方法和相关的应用，提高学生的数学解题能力和思维能力。
2024年向量高中数学教案
2024年向量高中数学教案一、教学目标1.让学生掌握向量的基本概念、表示方法和运算规律。
2.培养学生运用向量解决实际问题的能力。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重点与难点1.重点：向量的基本概念、表示方法、运算规律及其应用。
2.难点：向量数量积的计算方法及其应用。
三、教学过程1.导入新课（1）回顾初中阶段学习的几何知识，引导学生思考：在几何中，我们是如何描述一个物体的位置和方向的？（2）介绍向量的概念，让学生了解向量在实际生活中的应用。
2.知识讲解（1）讲解向量的表示方法：用有向线段表示向量，箭头表示向量的方向，线段的长度表示向量的模。
（2）讲解向量的运算规律：向量加法、向量减法、向量数乘、向量数量积。
（3）讲解向量数量积的计算方法：a·b=|a||b|cosθ，其中θ为a与b的夹角。
3.实例分析（1）举例说明向量的表示方法，让学生在纸上画出一些向量。
（2）举例讲解向量加法和向量减法的运算规律，让学生在纸上进行计算。
（3）举例讲解向量数量积的计算方法，让学生在纸上计算。
4.练习巩固（1）布置一些向量运算的练习题，让学生在规定时间内完成。
5.课堂小结（1）回顾本节课所学内容，让学生复述向量的基本概念、表示方法和运算规律。
6.作业布置（1）布置一些向量运算的练习题，要求学生在课后完成。
（2）要求学生预习下一节课的内容，提前了解向量与坐标系的关系。
四、教学反思1.本节课通过实例分析和练习巩固，让学生掌握了向量的基本概念、表示方法和运算规律，达到了预期的教学目标。
2.在教学过程中，注意引导学生思考，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.在课堂小结环节，让学生回顾所学内容，巩固知识点，提高记忆效果。
4.作业布置环节，要求学生预习下一节课的内容，为下一节课的学习打下基础。
五、教学评价1.课后对学生的学习情况进行跟踪调查，了解学生对向量知识的掌握程度。
2.通过单元测试，检测学生对向量知识的应用能力。
高一下学期向量数学集体备课记录
高一下学期向量数学集体备课记录高一下学期向量数学集体备课记录（精选8篇）高一数学下学期备课组工作计划篇1一、教学内容本学期将完成“必修1”和“必修4”第一章1.1---1.4的教学，教学辅助材料《作业本》。
二、教学目标与要求认真深入地学习《新课程标准》，研读教材。
明确教学目的，把握教学目标，把准教学标高。
注意到新教材的特点“亲和力”“问题性”“思想性”“联系性”，注意对基本概念的理解、基本规律的掌握、基本方法的应用上多下功夫，转变教学观念，螺旋上升地安排核心数学概念和重要数学思想，加强数学思想方法的渗透与概括。
在课堂教学中要以学生为主，注重师生互动，对基本的知识点要落实到位，新教材对教学中有疑问的地方要在备课组中多加讨论和研究，特别是有关概念课的教学，一定要讲清概念的发生、发展、内涵、外延，不要模棱两可。
1.准确把握教学要求，循序渐进地教学。
不搞“一步到位”;删减的内容不要随意补充;不要擅自调整内容顺序;教辅材料不能作为教学的依据;把更多的注意力放在核心概念、基本数学思想方法上，注重通性通法。
认真研读新版《浙江省学科指导意见》、近年《考试说明》。
关注深化课改的最新动向。
2.学习理解教育理念，落实自然分材教学，有效提高课堂教学效率。
努力实践“理解学生，教在心灵”。
3.充分发挥集体备课的作用。
利用集体备课，认真讨论教学得失，研究所教内容的重难点，安排周练的内容。
强调以学定教，先学后教，备课中要备教材，更要备学生，突出学生的有效学习。
要根据实际情况，有针对性地组编训练题，做到每周一次综合训练(同步或“滚雪球”式的保温训练)，要搞好单元过关训练。
选题要注意基础，强化通法，针对性强，避免对资料上的训练题全套照搬使用。
4.在重视智力因素的同时必须关注非智力因素。
应认识到非智力因素在学生全面发展和数学学习过程中所起的重要作用，并内化为自觉的行为，切实培养学生学习数学的兴趣和良好的个性品质，尤其要加强对学生学法的指导，从数学视野、思维习惯、理性精神、心理调节和应试指导等方面入手，全面体现人文关怀。
高中数学专题向量教案
高中数学专题向量教案年级：高中教学目标：1. 了解向量的概念和性质2. 掌握向量的加法、减法、数量乘法和数乘法运算法则3. 熟练应用向量进行几何问题的解答4. 提高学生的数学思维能力和解决问题的能力教学内容：1. 向量的概念和表示法2. 向量的加法、减法、数量乘法和数乘法运算法则3. 向量的线性运算和几何应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾平面向量的概念，要求学生简单解释向量的含义和性质二、讲解（20分钟）1. 结合实际例子引入向量的概念和表示法2. 讲解向量的加法、减法、数量乘法和数乘法运算法则3. 给出几个实际问题，引导学生用向量的运算法则进行解答三、练习（20分钟）1. 分发练习题，让学生独立或小组合作完成2. 收集学生答案并进行讲解四、拓展（15分钟）1. 结合几何问题，引导学生应用向量进行解答2. 提供更复杂的问题，引导学生扩展应用向量的思维方式五、总结（5分钟）1. 回顾本节课的重点内容2. 引导学生总结向量的相关知识点教学方法：1. 讲解结合例题，引导学生理解概念2. 练习巩固学习成果，提高应用能力3. 拓展思维，培养解决问题的能力教学工具：1. 教材2. 多媒体投影仪3. 白板和彩色笔4. 练习题和答案教学评估：1. 课堂练习成绩评定2. 向量的几何应用问题解答评定3. 学生对向量的理解和应用能力评价教学反思：1. 结合学生平时学习情况，调整教学内容和难易度2. 收集学生反馈意见，不断改进教学方法和形式（备注：本教案仅供参考，实际教学中应根据学生情况和教学进程进行调整和完善。
）。
中职数学教案：向量的概念(全2课时)
中等专业学校2024-2025-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级二年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题 2.1向量的概念（第1课时）教学目标通过学习，以位移、力等物理背景，了解平面向量、有向线段、单位向量、零向量、相等向量、相反向量和共线向量的含义；能体会向量及有关概念的抽象过程，知道有向线段可以表示向量；能区分并举例说明相等向量、相反向量、共线向量。
重点向量及相关概念，向量的表示，共线向量的概念及判断．难点向量的两个要素及向量的表示，共线向量的概念．教法教学设备教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、情境导入随着我国综合国力的不断增强,我国海军装备事业发展迅速,一批新型舰艇陆续下水试航. 如图所示,为测试某型号舰艇的性能,S舰从A点沿东北方向航行100 n mile 到达B点. 如果S舰沿其他方向航行100 n mile,能不能到达B点呢？教学内容二、探索新知可以看出，S舰从A点出发沿其他方向航行100 n mile 不能到达B点．事实上,图中带箭头的线段AB包含两个要素：航程100 n mile；航向东北方向．物理学中，把“S舰沿东北方向航行100 n mile”称为S舰的位移.生活和学习中常会遇到一些量，如长度、质量、时间、温度、面积、年龄，它们在给定了单位后，用一个实数就可以表示出来，这样的量称为数量．在数学中，把既有大小又有方向的量，称为向量. 向量常用小写黑体英文字母a、b、c 等来表示，手写体为在字母上方加箭头，如a.向量a的大小也称为该向量a的模，记为|a|.模为1的向量称为单位向量．规定:模为零的向量为零向量，记作0或0.零向量的方向是任意的.一般地，把具有确定方向的线段称为有向线段．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.习惯上，在有向线段的终点处加一个指向终点的箭头表示方向，如图所示．“情境与问题”中，有向线段直观地表示了S 舰的位移，其长度表示S 舰位移的大小，其箭头指向表示S舰位移的方向.一般地,人们常用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 这也是向量的几何表示.三、典型例题例1如图(1)所示，用点A、B、C 表示三地的位置.分别用有向线段表示出A地至B、C 两地的位移，并通过测量和计算指出它们的大小和方向（精确到1km）.教学内容解如图(2)所示，用有向线段AB表示A地到B地的位移.测量可得AB≈2.5cm.因此位移AB的大小|AB|≈25km，方向是正北.同理，用有向线段AC表示A地到C 地的位移.位移的大小|AB|≈22km，方向是正东.例 2 如图所示，在坐标纸(正方形小方格的边长为1)上，求各向量的模和方向，并指出其中的单位向量.解向量a：|a|=222+2=22，东北方向；向量b：|b|=222+2=22，东北方向；向量c：|c|=221+1=2，西南方向；向量d：|d|=221+1=2，东北方向；向量m：|m|=2，正北方向；向量i：|i|=1，正东方向；向量j：|j|=1，正北方向；其中的单位向量有：i、j.四、巩固练习1.在图中所示方格纸上用有向线段表示力(1个单位长度表示10N).教学内容(1)方向正北、大小为20N的力，用向量AB表示；(2)方向正东、大小为50N的力，用向量CD表示.2.按图中的比例尺,分别求出由A地到B、C两地的位移(长度精确到1km)五、归纳总结六、布置作业1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾；3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.板书设计教后札记中等专业学校2024-2025-1教案教学内容向量c与d的模相等，方向相反，它们的关系类似于相反数的关系.一般地，模相等且方向相同的两个向量称为相等向量.向量a与b相等时，记a=b.与非零向量a的模相等、方向相反的向量称为a的相反向量，记作−a.规定：零向量的相反向量仍是零向量.进一步观察还可以发现，向量a与d的方向相同，向量c与d的方向相反，但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行.一般地，方向相同或相反的两个向量称为平行向量.当向量a与b平行时，记a∥b.规定：零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量a,都有0∥a.温馨提示对于坐图中的平行向量a、c、d，我们可以在平面内作一条与向量a所在直线平行的直线l. 然后，在l上任取一点O，并在l上分别作出OA=a、OC=c、OD=d如右图所示. 这说明，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上.因此，平行向量也称共线向量.（3）因为非零向量的相反向量是与该向量模相等、三、典型例题AD的平行向量；AB相等的向量；AO的相反向量．由平行四边形的性质可知，因为平行向量是方向相同或相反的两个非零向量，所以AD的平行向量有DA、BC、CB；）因为相等向量是模相等且方向相同的两个向量，所以与向量AB相等的向量只有DC；因为非零向量的相反向量是与该向量模相等、方向相反的向量，所以AO的相反向量有OA、CO.四、巩固练习试判断下列说法是否正确。
高中数学集体备课电子教案
高中数学集体备课电子教案
课题：解析几何中的向量运算
课型：启发式教学
教学目标：
1. 理解向量的定义及性质，掌握向量的运算方法。
2. 能够运用向量进行解析几何中的相关问题求解。
3. 提高学生的创新思维和问题解决能力。
教学过程：
一、导入：
教师在课前准备一道与向量相关的问题，引导学生思考如何用向量解决问题，激发学生的求知欲。
二、概念讲解：
1. 向量的定义：向量是具有方向和大小的几何量，通常用有向线段表示。
2. 向量的性质：平行向量、共线向量、相等向量、零向量等。
3. 向量的运算：向量的加法、减法、数乘。
三、例题讲解：
教师结合课本上的例题，逐步讲解向量的运算方法，并带领学生进行相关练习。
四、综合应用：
教师设立一些综合性的问题，要求学生运用所学的向量知识解决问题，培养学生的综合运用能力。
五、课堂小结：
教师对本节课的重点内容进行总结，并强调学生在复习时需要重点掌握的知识点。
教学反思：
本节课采用启发式教学的方式，通过导入问题、概念讲解、例题讲解、综合应用等环节，让学生在实际问题中感受并应用向量知识。
同时，通过课堂小结，让学生对本节课的重点
内容进行梳理和总结，有助于学生的记忆和理解。
在教学过程中，也应注意引导学生发现问题、提出自己的解决思路，培养其创新意识和问题解决能力。
向量集体备课材料
： 二、2008—2012年江苏高考平面向量考查情况 三、平面向量内容：主要平面向量线性运算向量背景下的三角函数考查或者与其他内容交汇在一起实行考查。
近几年是一个小题，或一个大题。
大都是容易题，或者中等题。
一般与三角并在一起。
在解答题的第一题，所以要求熟练且准确解出。
四、基本概念与相关知识1、单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │.2、 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).3、向量求和的法则：（1）向量求和的三角形法则：已知向量a 、b ,在平面上任取一点A,作AB a =,BC b =,作向量AC ,则向量AC 叫做向量a 与b 的和(或和向量),记作a +b ,即a b AB BC AC +=+=.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.（2） 向量求和的平行四边形法则.已知向量a 、b ,在平面上任取一点A,作AB a =,AD b =,如果A 、B 、D 不共线,则以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量AC =a +b =AB +AD .这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四边形法则.4、平行向量基本定理:如果向量0b ≠,则a b ∥的充分必要条件是,存有唯一的实数λ,使a b λ=.该定理是验证两向量是否平行的标准.平面向量基本定理给出了平行向量的另一等价的代换式,应用这个定理,能够通过向量的运算解决几何中的平行问题.即判断两个向量平行的基本方法是,一个向量是否能写成另一向量的数乘形式. 数轴上任一点P 相对于原点O 的位置向量OP 的坐标,就是点P 的坐标,它建立了点的坐标与向量坐标之间的联系. 5、平面向量的分解定理:设1a ,2a 是平面上的两个不共线的向量,则平面上任意一个向量c 能唯一地表示成1a ,2a 的线性组合,即112212(,)c x a x a x x R =+∈. 直线的向量参数方程：(t 为参数):①AP t AB =;②OP OA t AB =+;③(1)OP t OA tOB =-+.特别地,当12t =时,1()2OP OA OB =+,此为中点向量表达式. 6向量的长度(模)公式:若12(,)a a a =,则2212a a a =+∣∣; 若A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,则222121()()AB x x y y =-+-∣∣. 7、中点公式:若A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,点M(x,y)是线段AB 的中点,则1212,22x x y y x y ++==.8、投影数量：以x 轴的正半轴为始边,以射线OA 为终边的角θ,叫做向量a 的方向角.向量a 在轴上的投影数量为a a θ=∣∣cos .9、数量积：两个向量a ,b 的数量积揭示了长度、角度与向量投影之间的深刻联系:(1)两个向量的数量积等于一个向量的长与另一个向量在这个方向上正投影数量的乘积,即,,a b a b a b b a a b ⋅=∣∣(∣∣cos<>)=∣∣(∣∣cos<>); (2)两个向量的数量积等于这两个向量的模与它们夹角的余弦的积,即,a b a b a b ⋅=∣∣│∣cos<>;10、数量积运算的性质: (1)如果e 是单位向量,则,a e e a a a e ⋅=⋅=∣∣cos<>;(2)0a b a b ⊥⇔⋅=;(3)a a a ⋅=2∣∣或aa a ⋅∣∣=; (4),a ba b a b ⋅=cos<>∣∣│∣; (5)a b a b ⋅≤⋅∣∣∣∣∣∣. 11、向量数量积的坐标运算与运算律:（1）向量数量积的坐标运算:已知1212(,),(,)a a a b b b ==,则1122a b a b a b ⋅=+; （2）内积的运算律:交换律a b b a ⋅=⋅;结合律()()()a b a b b a λλλ⋅=⋅=⋅;分配律()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅.五、经典例题，深度解析例1、（1）:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形?（2）AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 例2、 1、下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同 (4)长度相等的两个向量必共线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面向量李振麟【知识特点】平面向量作为工具性知识，和三角函数、解析几何、立体几何等知识有着广泛的联系。
其中平面向量的共线与垂直，平面向量的运算，平面向量的数量积及其应用，是重点内容，也是高考考查的重点。
对于数系的扩充和复数的引入这部分内容，其独立性较强，一般是单独命题，其中复数的概念和复数的运算是重点知识，也是高考考查的重点。
【重点关注】1、平面向量共线与垂直的充要条件、平面向量的线性运算、平面向量的数量积及其应用、复数的运算是高考的热点内容，需重点关注。
2、平面向量的基本运算与三角函数结合是高考中的重要题型，此类题可以是选择、填空，也可以为中档的解答题。
向量与数列、不等式、圆锥曲线，函数等知识的综合问题。
对学生能力的考查有较高的要求。
3、本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形与数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁。
【地位和作用】向量带有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识。
向量有一套优秀的运算系统，由于它提供的向量法、坐标法，使其成为研究高中数学的重要方法。
同时，向量又有一套优良的运算系统，几何中有关长度、角度的计算，平行、垂直的判定与证明，很多场合下都可以化归为向量的运算来完成，教材中正弦定理、余弦定理的证明、定比分点坐标公式的导出，就是这方面典型的例子。
这些体现了数学中化归和数形结合的思想。
向量“形”、“数”兼备，是数形结合的桥梁。
在运用向量知识时，充分运用几何图形直观的特点，而在解决几何问题时，又注意充分运用向量法与坐标法，处处渗透了数形结合的思想。
通过分析进两年高考中本章相关知识点的考查汇总，可以看出本章在高考命题中呈现出以下特点：1、考查题型主要是以选择、填空为主，分值为10分左右，基本属容易题；2、重点考查向量的共线与垂直，向量的夹角、模与数量积及复数的运算，注重在知识交汇处命题；3、预计在本意在今后的高考中，将以向量的运算、向量的夹角、模、数量积、复数的运算为命题热点，将更加注重向量与其他知识的交汇，以考查基础知识、基本技能为主。
平面向量【高考目标定位】一、平面向量的概念及其线性运算1、考纲点击（1）了解向量的实际背景；（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；（3）理解向量的几何表示；（4）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；（5）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；（6）了解向量线性运算的性质及其几何意义。
2、热点提示（1）重点考查平面向量的有关概念、线性运算及其几何表示；（2）多以选择、填空的形式呈现，有时和其他知识相结合，在知识的交汇点处命题。
二、平面向量的基本定理及坐标表示1、考纲点击（1）了解平面向量的基本定理及其意义；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
2、热点提示（1）向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件是高考考查的热点，常以选择、填空题的形式出现，为中、低档题；（2）向量的坐标运算常与三角，解析几何等知识结合，在知识交汇点处命题，以解答题的形式呈现，属中档题。
三、平面向量的数量积及平面向量应用举例1、考纲点击（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义； （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系；（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； （5）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；（6）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
2、热点提示（1）平面向量数量积的运算，模与夹角、平行与垂直问题的高考命题的热点，多以选择、填空题的形式出现，属中低档题，但灵活多变；（2）可与三角函数、解析几何等知识综合命题，是高考的另一个热点。
【考纲知识梳理】一、平面向量的概念及其线性运算 1、向量的有关概念及表示方法 （1）向量的有关概念名称 定义备注 向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或模）零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量 平行向量双叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0（2）向量的表示方法①字母表示法，如：,a AB 等；②几何表示法：用一条有向线段表示向量。
2、向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律：a b b a +=+。
（2）结合律：()()a b c a b c ++=++减法 求a 与b 的相反向量b -的和的运算叫做a 与b 的差数乘求实数λ与向量a 的积的运算（1）.a a λλ= （2）当λ>0时，a λ与a 的方向相同；当λ<0时, a λ与a 的方向相反；当λ=0时, a λ=0()();a a λμλμ=();a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+注：式子2222||||2(||||)a b a b a b ++-=+的几何意义为：平行四边形两条对角线的平方和等于它们四条边的平方和。
3、向量(0)a a ≠与向量b 共线的充要条件为存在唯一一个实数λ，使.b a λ=注：用向量法证明三点A 、B 、C 共线时，首先求出AB AC 、，然后证明AB AC λ=，即AB AC 与共线即可。
二、平面向量的基本定理及坐标表示 1、两个向量的夹角 （1）定义已知两个非零向量a 和b ，作,OA a OA b ==，则∠AOB=θ叫做向量a 与b 的夹角。
（2）范围向量夹角θ的范围是00≤θ≤1800，a 与b 同向时，夹角θ=00；a 与b 反向时，夹角θ=1800。
（3）向量垂直如果向量a 与b 的夹角是900，则a 与b 垂直，记作a ⊥b 。
注：在ΔABC 中，设,AB a BC b ==，则向量a 与b 的夹角为∠ABC 是否正确？（答：不正确。
求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量a 与b 的夹角为π-∠ABC ）。
2、平面向量基本定理及坐标表示 （1）平面向量基本定理定理：如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+。
其中，不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
（2）平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
（3）平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一实数x,y,使a xi y j =+，把有序数对（x,y ）叫做向量a 的坐标，记作a =（x,y ）,其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标。
②设OA xi y j =+，则向量OA 的坐标（x,y ）就是终点A 的坐标，即若OA =（x,y ），则A 点坐标为（x,y ），反之亦成立。
（O 为坐标原点）3、平面向量的坐标运算 （1）加法、减法、数乘运算向量 aba +ba -bλa坐标（x1,y1）(x2,y2)(x1+x2, y1+ y2)(x1-x2, y1-y2)（λx1,λy1）（2）向量坐标的求法已知A （x1,y1），B(x2,y2)，则AB =（x2-x1，y2-y1），即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标。
（3）平面向量共线的坐标表示设a =（x1,y1），b =(x2,y2)，其中b ≠0，则a 与b 共线⇔a =λb ⇔ x1y2- x2y1=0。
注：a =（x1,y1），=(x2,y2)，，则a b1122x yx y =,AB DC =//,//,a b b c a c =则；//,//,//a b b c a c 则,AB DC =0b =a c a 00c a c AB CD AB CD AB CD AB DC AB CD BA DC a b a b a b2,//DE N 3AD AB DE BC AC =交于E,BC 边上的中线AM 交于。
,,,BC D DN AM AB a AC b a b AE E AN==用表示向量、、、、、211,,333AB AD DB AB a ===11.33BD AB a =-=-//DE BC ADE⇒∆||222333DE BCAE AC b AD AB ⎧⎪⇒==⎨=⎪⎩.BC AC AB b a =-=-22()33DE BC b a ==-11().23DN DE b a ==-111()()222AM AB BM a BC a b a a b =+=+=+-=+13DB OB =,,OA a OB b ==,a b OC DC 1()2OA OB OC =+22,OC OA OB a b =-=-22522.333DC OC OD OC OB a b b a b =-=-=--=-a b ,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-ka b +a kb +BD →AB BD →→→,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-283()28335()5BD BC CD a b a b a b a b a b AB=+=++-=++-=+=AB BDka b +a kb +ka b +a kb +ka b +a kb λλ+()(1).k a k b λλ-=-a b k λ-1k λ-2k ka b a b 0,,AM c AN d ==,c d ,AB AD ,c d ,AB AD,AB ADAM AN ,AB AD,,AB a BC b ==3,2,CM c CN b ==-33;a b c +-a mb nc =+MN(5,5),(6,3),(1,8).a b c =-=--=33a b c +-15-6-3(6,38)(5,5),mb nc m n m n +=-+-+=-651,3851m n m m n n -+==-⎧⎧⎨⎨-+=-=-⎩⎩解得3CM OM OC c=-=3(3,24)(3,4)(0,20)OM c OC =+=+--=2CN ON OC b =-=-2(12,6)(3,4)(9,2),ON b OC =-+=+--=(9,18)MN =-(1,2),(3,2),a b ==-ka b +3a b -ka b +→3a b -→→ka b +3a b -ka b +3a b-13-13-ka b +3a b -ka b +11(3)33a b a b -+=--ka b +3a b -(,)u x y =(,2)v y y x =-()v f u =(1,1),(1,0)a b ==()f a ()f b ()(,)()f c p q p q c =、为常数的向量的坐标；a b 、()()()f ma nb mf a nf b +=+()v f u =(1,1),()(1,211)(1,1)a f a =∴=⨯-=(1,0),()(0,201)(0,1).b f b =∴=⨯-=-2(,),()(,2)(,),,,2(2,)y p x p q c x y f c y y x p q y x q y p c p q p ==-⎧⎧==-=∴∴⎨⎨-==⎩⎩=-设则12121122222211221221222211(,),(,),(,),()(,22).()(,2),()(,2),()()(,22),()()().a a ab b b ma nb ma nb ma nb f ma nb ma nb ma nb ma nb mf a m a a a nf b b b b mf a nf b ma nb ma nb ma nb f ma nb mf a nf b ==+=++∴+=++--=-=-∴+=++--∴+=+设则a b34π(32)(2)a b a b --||a b +||a b +2()a b +32cos34()6242a b a b π==⨯⨯-=-22239,16.a b ===(32)(2)a b a b --22384398(62)649148 2.a ab b -+=⨯-⨯-+=+2222||()292(62)1625122a b a b a a b b +=+=++=+⨯-+=-||25122a b +=-(cos(),sin()),(cos(),sin())22a b ππθθθθ=--=--cos()cos()sin()sin()sin cos sin cos 0.22a b a bππθθθθθθθθ=--+--=-=⊥222322232233232222[(3)]()0,(3)[(3)]0(3)0.1,1,30,3.31113().24111.24a tb ka tb ka t t b t k t a b k a t t b a b k t t k t t k t t t t t t t t t k t t t ++-+=∴-+++-+=∴-++===∴-++=∴=-+++==++=+++=-又故当时，有最小值75a b -4a b -72a b -ab →a b →222222222(3)(75)0,(4)(72)0.716150730802,112cos .602a b a b a b a b a a b b a a b b a b b a b ba b a b bθθ+-=--=+-=-+===∴===∴=由已知：即两式相减，得代入其中任一式，得，F 030F FFf F fFf(8025)0.02 1.1()f N =-⨯=32009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a bA 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 【答案】【解析】+a b 2(0,1)x =+,由210x +≠及向量的性质可知,C 正确. 2.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为A. 6B. 2C. 25D. 7 【解析】28)60180cos(20021222123=--+=F F F F F ，所以723=F ，选D.3.（2009浙江卷理）设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：C【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现． 4. （2010全国卷2理数）（8）ABC 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =，CA b =，1a =，2b =，则CD =（A ）1233a b +（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 【答案】B【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.【解析】因为CD 平分ACB ∠，由角平分线定理得AD CA 2=DB CB 1=，所以D 为AB 的三等分点，且22AD AB (CB CA)33==-，所以2121CD CA+AD CB CA a b 3333==+=+，故选B.5. （2010全国卷2文数）（10）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b , a= 1 ，b = 2, 则CD =（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35b 【解析】B ：本题考查了平面向量的基础知识∵ CD 为角平分线，∴ 12BD BC AD AC ==，∵ AB CB CA a b =-=-，∴ 222333AD AB a b ==-，∴ 22213333CD CA AD b a b a b =+=+-=+6. （2010上海文数）13.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为5,0)，1(2,1)e =、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量。