数列第十七讲递推数列与数列求和答案
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2
专题六数列
第十七讲递推数列与数列求和
答案部分 2019 年
当n_ 2时,
整理得 bn|j Lbn 1 L 20 • 所以数列｛b n ｝是首项和公差均为1的等差数列
1•解析(1) 设等比数列 a 3 4a 2 4 a
2 4
a q
4
aq
1
a
4 □
1
1
，解得
aq
aq a q 2
因此数列｛a ｝为“ M —数列”
(2)①因为
2
，所以b
b O
由bi
1
bi ，得
b 2 L2- ，则
b
2
bb
1
2(b
n 1
b)
n
｛a n ｝的公比为q ，所以 a i 工Q q 工
0.
1 1
2
4 1
4 1 0
，得
因此，数列｛b n ｝的通项公式为b n =n
LL
1
②由①知，b k =k , k^N *.
因为数列｛C n ｝为"M-数列”设公比为q ,所以C 1=1, q>0. 因为C k 电kWk+i ,所以q k l k
，其中k=1, 2, 3，…
当k=1时，有q > 1 ;
当k=2, 3,…，m 时, 有
m.
ln k ln k In q _
k
k 1
2
In x
设 f ( x ) = (x - 1)，则 f'(x) x
令f'(x) |_0 ,得X=e ・列表如下:
x (1,e)
e
(e , + g)
f'(x) +
f ( x )
极大值
一 -：一 ，所以 f (k) f (3)— 2
6 6 3 max
3
经检验知q k1《k 也成立. 因此所求m 的最大值不小于5.
若m >6分别取k=3, 6，得3角3,且q 5w6从而q 15> 243且q 15< 216 所以q 不存在•因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5.
x k
一，得
1
4 _
2
1 1
1
取
—
a _ ，所以a
一丄
,a
_〈10,
1
2
n
2
2 2
1
所以当
1 2•解析：对于B ,令2
— 0 b ］时，a 10〈10，故B 错误;
对于C,令 取 a 1 2, 所以当b 对于D ,
x 2 .. 2 0，得」2或 所以 a I 」L a 2 2 J J J
厂 2时, < , n 2 10 厂
a 10 〈10，故C 错误； ，得，1-17
17
，所以
2
1 17
1 17
10,
2
1 In x
取 q 3.3，当 k=1, 2, 3, 4, 5 时,
In k k
k
In q ，即 k_ q ,
所以当b] 4时，a 〈，故D错误；
io 10
2
>0，{ } a
—n
当rr ・4时,越
所以
a
5
.L a
3•解析
（I ）设
数列
a 1 L 2d L 4,a 1 L 3d L 3a L 3d , 解得
a L 0,d 2 .
从而a 2n 2,n£ N * •
对于A , a 2 —
2
a
>
17
2 16
16
所以
a
10
3
>1 I
2
所以
729
a
10
64
-10故A 正确.故选A . az
递增,
10
2
a {a }的公差为d ,由题意得
n
n
由S li b ,S|| l b ,S|| li b成等比数列得
n n n 1 n n 2 n
_S[ |_b [ LL S l_b |__S[ Lb _ •
2 -
n 1 n n n n 2 n
1
解得l_ _
b [ S S S •
2
n n|_1 n n[2
d
Ln2E N*.
所以b
n
a 2n 2 n 1
(n) c ，託*
n N n
n
2b 2n( n[]1) n(n J1)
我们用数学归纳法证明.
(1 )当n=1时，C1=0<2，不等式成立;
3
(2)假设 _
u
C _
2
『L 『
2
2 k 2( k 1 k) 12 k 1 k
V
即当n L k|_1时不等式也成立.
根据（1）和（2）,不等式 c 1 ll c 2 L C n 2 n 对任意n . N *成立.
2010-2018 年
10
n k k^N
时不等式成立，即c 1 Ls
L L
2h 〈2
『
那么，当n
时,
,故选C .
4 1
I II 1 I I
10
a
a =1, ①
a a =3
②
a a =5
③
a a =7, a a =9,
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
a a =11 ,a
a =13,
a a =15,
a a =17
a a =19, a a
,
7
6
8
7
9
8
10
9
11 10
12 11
21
【法 有题设知
1】
2
k[l
是等比数列
2. D 【解析】