概率统计常见题型及方法总结

常见大题：

1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”，有多个“原因或者条件

i

A ”可以导

致B 这个“结果”发生，考虑结果B 发生的概率，或者求在B 发生的条件下，源于某个原因i

A 的概率问题

全概率公式：

()()()

1B |n

i i i P B P A P A ==∑

贝叶斯公式：

1(|)()()

()()n

i i i j

j

j P A B P A P B A P A P B

A ==∑｜｜

一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？ 解 i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球，4,3,2,1=i

i A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球， 2分

则

b a a

B P +=

)(1， 2分 111++++

++++=b a a b a b b a a b a a b a a

+= 2分 依次类推 2分 二（10分）袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少？

、解 记B ={取到次品}，B ={取到正品}，A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n

=

=

++，()1P A B =，()1

2r P A B =―—５分 三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。现在每次从中任

取一件产品进行检验，检验后放回，连续检验3次，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。在检验时，一件正品被误判为次品的概率为，而一件次品被误判为正品的概率为。（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概率。

解 设 A 表示“任取一件产品被检验为正品”， B 表示“任取一件产品是正品”，则

()96100P B =

，()4100

P B =，()|0.95P A B =，()|0.01P A B = （1）由全概率公式得

（2）这批产品被检验为合格品的概率为

四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概率分别为和，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率和接收到‘0’和‘1’，以的概率收为模糊信号‘x ’；发出‘1’时，分别以概率和收到‘1’和‘0’，以概率收到模糊信号‘x ’。

（1）求收到模糊信号‘x ’的概率；

（2）当收到模糊信号‘x ’时，以译成哪个信号为好？为什么？

解 设i A =“发出信号i ”)1,0(=i ， i B =“收到信号i ”),1,0(x i =。由题意知

6.0)(0=A P ， 4.0)(1=A P ， 2.0)|(0=A B P x ， 1.0)|(1=A B P x 。

（1）由全概率公式得

)

()|()()|()(1100A P A B P A P A B P B P x x x += 4分

16.04.01.06.02.0=⨯+⨯=。 2分

（2）由贝叶斯公式得

75.016

.06

.02.0)()()|()|(000=⨯==

x x x B P A P A B P B A P ， 3分

25

.075.01)|(1)|(01=-=-=x x B A P B A P 3分

二、随机变量函数的分布及其边缘密度及其独立性的判断 记住如下知识点： 常见分布律和概率密度：

一般正态分布的计算转化为标准正态分布去做：

连续随机变量X:

二维随机变量的分布函数： 联合密度：

掌握如下解决随机变量函数分布的解题方法：

对于二维随机变量函数的概率密度，注意：除了求随机变量 Z=X+Y 的密度函数用公式： 注意：

先写出联合密度:(,y)f x ，根据联合密度写出

(,)f x z x -或者(,)f z y y -，

在平面x0z 或者y0z 上画出被积函数

(,)f x z x -不为零的区

域，然后穿线通过区域确定x 的上下限。

他的函数Z = g ( X , Y )的概率密度，只能使用分布函数法 其步骤如下： 第一步 求联合密度:

(,y)f x ，根据联合密度写出

(,)f x z x -或者(,)f z y y -

第二步 求z 的分布函数：

难点是画出二重积分的积分区域，然后把二重积分化为二次积分定上下限，

画图：先画出被积函数也就是联合密度非零的区域，再确定区域

(,)g x y z ≤与密度非零区域的重合区域就是二重积分的积分区域，

穿线定积分限：然后左右穿或者上下穿个积分区域定内限，求出分布函数

第三步 求密度函数：()()Z Z f z F z '= 分析：

一、设总体X 服从(0,1)上的均匀分布，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，最大顺序

统计量),,,max (21)(n n X X X X =， 1．求随机变量)(n X 的概率密度；

解：⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(~x x f X ，其分布函数为⎪⎩

⎪

⎨⎧≥<<≤=1

,110,0

,0)(x x x x x F

而),,,max (21)(n n X X X X =的分布函数为

()()z F z f n n X

X )()('=()[]()z f z F n n 1-=1-=n nz ，)10(<

解 （1）由()0

1,y

y f x y dxdy dy Ae dx A ∞∞

∞--∞-∞

===⎰⎰

⎰⎰，得1A =

（2）()()20

1,12

y y

y

E X xf x y dxdy dy xe dx y e dy +∞+∞

∞∞

---∞

-∞

=

===⎰⎰

⎰⎰⎰

三（16分）设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 （1） 求边缘密度函数)(x f X ，)(y f Y ； （2） 求边缘分布函数)(x F X ，)(y F Y ； （3） 判断X 与Y 是否相互独立； （4） 求)1(>+Y X P 。

(1) ()(,)X f x f x y dy +∞

-∞=⎰，

当x ≤0时，(,)f x y =0,于是()X f x =0

当x ＞0时，()

X f x =

y x x

e dy e +∞

--=⎰

，

所以X 的边缘概率密度为

()X f x =⎩

⎨⎧≤>-0,00

,x x e x

Y 的边缘概率密度 ()(,)Y f y f x y dx +∞

-∞=⎰