高考数学一轮复习第二章函数第九节函数模型及其应用文

1-1 (2016北京西城二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)
满足关系f(x)= CC,已0B知(xx某AA家,),庭x今A.年前三个月的煤气费如 下表:
月份
用气量
煤气费
一月份 二月份 三月份
4 m3 25 m3 35 m3
4元 14元 19元
若四月份该家庭使用了20 m3煤气,则其煤气费为 ( A )
3.解函数应用题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用 数学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:
第九节 函数模型及其应用
教材研读
总纲目录
1.几种常见的函数模型 2.三种增长型函数模型的图象与性质 3.解函数应用题的步骤（四步八字）
考点突破
考点一 一次函数与二次函数模型
考点二 函数y=ax+ b 的模型
x
考点三 指数函数、对数函数模型
考点四 分段函数
教材研读
1.几种常见的函数模型
2.三种增长型函数模型的图象与性质
1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,它最可能的函数模型是
(A )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型 B.幂函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
答案 A 根据已知数据可知,自变量每增加1,函数值增加2,因此函数 值的增量是均匀的,故为一次函数模型.
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2.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种
设备的年平均花费最低,则此设备的使用年限x为 ( B )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案
B
设该设备的年平均花费为z万元,则z= y
4x2 64
= =4x+
≥6 43
x
x
x
2,当且仅当4x= 6 4 ,即x=4时,z取最小值,故选B.
x
4.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形
19 C B(35 A),③
由①②得B= 1 0 .
21
由②③得B= 1 .
2
矛盾.故不可能为此种情况.
(2)一月份的煤气费由f(x)=C(0<x≤A)计算得到,
二月份、三月份的煤气费由f(x)=C+B(x-A)(x>A)计算得到.
C 4,④
∴C B(25 A) 14,⑤
C B(35 A) 19,⑥
细菌由1个繁殖成4 096个需经过 ( C )
A.12小时 B.4小时 C.3小时 D.2小时
答案 C 设需经过t小时,由题意知24t=4 096,即16t=4 096,解得t=3.
3.(2015北京西城二模)某工厂更新设备,已知在未来x年内,此设备所花 费的各种费用总和y(万元)与x之间的函数关系式为y=4x2+64,若欲使此
的面积最大,则隔墙的长度为 3
.
答案 3
解析 设隔墙的长度为x,矩形的面积为S,则S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x3)2+18,∴当x=3时,S取最大值.
考点突破
考点一 一次函数与二次函数模型
典例1 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的一 段抛物线.已知跳水板AB的长为2 m,跳水板距水面CD的高BC为3 m.为 安全和空中姿态优美,训练时跳水运动员应在离起跳点A的水平距离为 h m(h≥1)的一处达到距水面最大高度4 m.规定:以C为原点,CD所在直 线为横轴,BC所在直线为纵轴建立直角坐标系. (1)当h=1时,求跳水曲线所在的抛物线方程; (2)当跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果,求此 时h的取值范围.
令f(x)=a[x-(2+h)]2+4=- 1 [x-(2+h)]2+4,
h2
则f(5)=- 1 (3-h)2+4≥0,
h2
且f(6)=- 1 (4-h)2+4≤0.
h2
解得1≤h≤ 4 .
3
故所求h的取值范围是
1
,
4.
3
方法技巧 对于实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量问题等),可根据 已知条件确定二次函数模型,结合二次函数的图象、单调性、零点解 决,解题时一定要注意函数的定义域.
A 5,
∴
B
C
1 ∴, f(x)=
2 4,
4, 0 x 5,
4
1 2
(x
5),
x
5.
当x=20时,f(20)=4+ 1 ×(20-5)=11.5.故选A.
2
考点二 函数y=ax+ bx 的模型
典例2 某养殖场需定期购买饲料,已知该场每天需要饲料200千克,每 千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03 元,购买饲料每次支付运费300元.求该场多少天购买一次饲料才能使平 均每天支付的总费用最少.
解析 (1)由题意知最高点为(2+h,4),h≥1, 设抛物线方程为y=a[x-(2+h)]2+4, 当h=1时,最高点为(3,4),抛物线方程为y=a(x-3)2+4,
将A(2,3)代入,得3=a(2-3)2+4,解得a=-1,所以当h=1时,跳水曲线所在 的抛物线方程为y=-(x-3)2+4. (2)将点A(2,3)代入y=a[x-(2+h)]2+4,得ah2=-1. 由题意知方程a[x-(2+h)]2+4=0在区间[5,6]内有一解.
解析 设该场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最 少,平均每天支付的总费用为y元. 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03=6(元),所以x天 饲料的保管费与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+……+6=(3x2-3x)(元).
从而有y= 1 (3x2-3x+300)+200×1.3 80 =0 +3x+357≥417,当且仅3当0 0 =3x,
x
x
x
即x=10时,y有最小值.故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的
A.11.5元 B.11元 C.10.5元 D.10元
解析 A 由题表知一月份、二月份、三月份煤气费分别为4元,14元,
19元,
这三个月煤气费的计算有以下2种情况:
(1)这三个月的煤气费均由f(x)=C+B(x-A)(x>A)计算得到.
4 C B(4 A),①
故14 C B(25 A),②