高中数学第3章第7节课时分层训练
2018年秋高中数学 课时分层作业7 公式五和公式六 新人教A版必修4
课时分层作业(七) 公式五和公式六(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α等于( )【导学号：84352067】A ．－12B ．12C ．32D ．－32A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－sin α＝－12.]2．已知sin 10°＝k ，则cos 620°的值为( ) A ．k B ．－k C ．±kD ．不确定B [cos 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260° ＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k .]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( ) A ．－13B ．13 C ．223D ．－223A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选A.]4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )【导学号：84352068】A ．－2a 3B ．－3a 2C ．2a 3D ．3a 2B [由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ， 得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a2，cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]5．化简：sin θ－5πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－θcos 8π－θsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2sin －θ－4π＝( )A ．－sin θB ．sin θC ．cos θD ．－cos θA [原式＝sin θ－πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos θcos θsin －θ＝－sin θ－sin θcos θcos θ－sin θ＝－sin θ.]二、填空题6．化简sin(π＋α)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos(π＋α)＝________.【导学号：84352069】－1 [原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α) ＝－sin 2α－cos 2α＝－1.]7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝________.－ 3 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，sin φ＝－32， 又∵|φ|＜π2，∴cos φ＝12，故tan φ＝－ 3.]8．已知α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝45，则cos(α－85°)＝________.【导学号：84352070】－35 [因为α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝45＞0，所以5°＋α是第四象限角， 所以sin(5°＋α)＝－1－cos25°＋α＝－35，所以cos(α－85°)＝cos(5°＋α－90°) ＝sin(5°＋α)＝－35.]三、解答题9．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αtan α－πsin α＋πcos 3π－α的值.【导学号：84352071】[解] (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，所以|OP |＝1，sin α＝－35.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αtan α－πsin α＋πcos 3π－α＝cos αtan α－sin α－cos α＝1cos α，由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为54.10．求证：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [证明] 左边＝－2cos θ·sin θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ ＝－sin θ＋cos θ2cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan·8π＋π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θcos θ＋1sin θcos θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ， 所以等式成立．[冲A 挑战练]1．若f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)的值为( ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12A [因为f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－32.] 2．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A ．89 B ．90 C ．892D ．45C [原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892.]3．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ＝________. 【导学号：84352072】310 [∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2, sin θ＝3cos θ， ∴tan θ＝3.sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ＝sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan θtan 2θ＋1＝310.] 4．已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于_______．2－π2 [cos α＝2sin 22sin 22＋－2cos 22＝sin 2，∵α为锐角，∴α＝2－π2.]5．已知f (α)＝tan π－αcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos －α－π.(1)化简f (α)；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，求tan α. 【导学号：84352073】 [解] (1)f (α)＝tan π－αcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos －α－π＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35，又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2α＝45，则tan α＝sin αcos α＝－43.。
高考数学课时分层练3
课时分层练(三) 函数的图象与性质(建议用时：45分钟)【A组强化练·保一本】一、选择题1．(2015·湖北高考)函数f(x)＝4－|x|＋lg x2－5x＋6x－3的定义域为( )A．(2，3) B．(2，4]C．(2，3)∪(3，4] D．(－1，3)∪(3，6]2．(2015·天津模拟)设a＝0.812，b＝0.714，c＝log50.3，则a，b，c的大小关系是( )A．a>c>b B．c>a>bC．b>a>c D．a>b>c3．(2015·贵州八校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则f(－8)值为( )A．3B.13C．－13D．－34．(2015·济南模拟)函数y ＝x e cos x(－π≤x ≤π)的大致图象为( )A ． B.C ． D.5．(2015·湖南高考)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数6．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－147．(2015·郑州模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))等于( )A ．－5B ．－1C ．3D ．48．(2015·济南模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )二、填空题9．(2014·全国卷Ⅱ)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则a 的取值范围是________．11．(2015·潍坊模拟)定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )，现有以下三种叙述：①8是函数f (x )的一个周期； ②f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ③f (x )是偶函数．其中正确的序号是________．12．(2015·四川高考)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2，n ＝g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．【B 组 押题练·冲名校】1．已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图132所示，那么g (x )＝( )图132A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x B ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x C ．2－x D ．－2x 2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝3，则实数a 的值为________．【详解答案】【A组强化练·保一本】1．C 2.C 3.D 4.A 5.A 6.A 7.C 8.C 9．3 10.[－2，2] 11.①②③12.①④【B组押题练·冲名校】1．D 2.±1。
2020年人教A版高中数学必修二课时分层训练：第三章 直线与方程 3.1 3.1.1 Word版含
姓名，年级：时间：第三章3．1 直线的倾斜角与斜率3．1．1 倾斜角与斜率课时分层训练错误!1．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是（)A．45°,1B．135°,－1C．90°，不存在D．180°,不存在解析：选C 作出图象，故C正确．2．给出下列说法：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°；②若k是直线的斜率，则k∈R;③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率;④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是（)A．1 B．2C．3 D．4解析：选C 显然①②③正确，④错误．3．已知直线经过点A（－2,0),B（－5，3)，则该直线的倾斜角为( ）A．150° B．135°C．75° D．45°解析：选B ∵直线经过点A(－2,0），B(－5,3）,∴其斜率k AB＝错误!＝－1。
设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tan θ＝－1，∴θ＝135°。
4．过两点A（4，y)，B（2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝( ）A．－错误! B.错误!C．－1 D．1解析：选C tan 45°＝k AB＝y＋34－2，即错误!＝1，所以y＝－1。
5．已知直线l经过点A（1,2),且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．（－1,0］B．[0,1］C．［1,2] D．［0，2］解析：选D 由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2。
故选D。
6。
如图,已知直线l 1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1,l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为．解析:因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为错误!×(90°－30°）＝30°。
高中数学课时分层作业7平平行关系的性质(含解析)北师大版必修2
高中数学课时分层作业7平平行关系的性质（含解析）北师大版必修2课时分层作业(七) 平行关系的性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交B [由题意知，CD∥α，则平面α内的直线与CD可能平行，也可能异面．]2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点A [因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.]3．已知直线a∥平面α，直线b平面α，则( )A．a∥b B．a与b异面C．a与b相交D．a与b无公共点D [由题意可知a与b平行或异面，所以两者无公共点．]4．如图，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( ) A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能B [∵MN∥平面PAD，MN平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.]5.如图，平面α∥平面β，过平面α，β外一点P引直线l 1分别交平面α，平面β于A，B两点，PA＝2，AB＝6，引直线l2分别交平面α，平面β于C，D两点，已知BD＝4，则AC的长等于( )A ．2B ．1C ．4D ．3B [由l 1∩l 2＝P ，知l 1，l 2确定一个平面γ，由 }α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD ，α∥β⇒AC ∥BD ⇒PA PB ＝AC BD， ∴22＋6＝AC 4， 解得AC ＝1.]二、填空题6．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．2 [因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ，又因为E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得：EF ＝12AC ，又因为在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.]7．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)①②⇒③(或①③⇒②) [①②⇒③.设过m 的平面β与α交于l .∵m ∥α，∴m ∥l ，∵m ∥n ，∴n ∥l ，∵n α，l α，∴n ∥α.]8．已知a ，b 表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题： ①若α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥β；②若a ，b 相交且都在α，β外，a ∥α，b ∥β，则α∥β；③若a ∥α，a ∥β，则α∥β；④若a α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥b .其中正确命题的序号是________．④ [①错误，α与β也可能相交；②错误，α与β也可能相交；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．]三、解答题9．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ，交DP 于F .求证：四边形BCFE 是梯形．[证明] 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以BC ∥AD ，因为AD平面PAD ，BC 平面PAD ，所以BC ∥平面PAD . 因为平面BCFE ∩平面PAD ＝EF ，所以BC ∥EF .因为AD ＝BC ，AD ≠EF ，所以BC ≠EF ，所以四边形BCFE 是梯形．10．如图，平面四边形ABCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 均在平行四边形A ′B ′C ′D ′所确定的平面α外，且AA ′，BB ′，CC ′，DD ′互相平行，求证：四边形ABCD 是平行四边形．[证明] 在平行四边形A ′B ′C ′D ′中，A ′D ′∥B ′C ′.∵AA ′∥BB ′，AA ′∩A ′D ′＝A ′，BB ′∩B ′C ′＝B ′，∴平面AA ′D ′D ∥平面BB ′C ′C .∵平面AA ′D ′D ∩平面ABCD ＝AD ，平面BB ′C ′C ∩平面ABCD ＝BC ，∴AD ∥BC . 同理可证AB ∥DC .故四边形ABCD 是平行四边形．[等级过关练]1．如图所示的三棱柱ABC A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上均有可能 B [因为A 1B 1∥AB ，AB平面ABC ，A 1B 1平面ABC ，所以A 1B 1∥平面ABC .又A 1B 1平面A 1B 1ED ，平面A 1B 1ED ∩平面ABC ＝DE ，所以DE ∥A 1B 1.又AB ∥A 1B 1，所以DE∥AB .]2．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA ，PB ，PC 于点A ′，B ′，C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为( )A ．2∶5B ．3∶8C ．4∶9D ．4∶25 D [由题意知，△A ′B ′C ′∽△ABC ，从而S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA ′PA 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝425.] 3．如图，α∩β＝CD ，α∩γ＝EF ，β∩γ＝AB ，AB ∥α，则CD 与EF 的位置关系为________．平行 [由线面平行的性质得，AB ∥CD ，AB ∥EF ，由公理4得CD ∥EF .]4．如图，A 是△BCD 所在平面外一点，M 是△ABC 的重心，N 是△ADC 的中线AF 上的点，并且MN ∥平面BCD .当MN ＝43时，BD ＝________.4 [如图，取BC 的中点E ，连接AE ，EF ，则点M 在AE 上，并且AM ∶AE ＝2∶3.因为MN ∥平面BCD ，所以MN ∥EF .所以MN ∶EF ＝2∶3.而EF ＝12BD ，所以BD ＝3MN ＝4.] 5．如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面是边长为2的正三角形，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF .[解] 如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ ，则PQ ∥AE .因为EC ＝2FB ＝2，所以PE ＝BF ，所以四边形BFEP 为平行四边形，所以PB ∥EF .又AE ，EF 平面AEF ，PQ ，PB 平面AEF ，所以PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF .又PQ ∩PB ＝P ，所以平面PBQ ∥平面AEF .又BQ 平面PBQ ，所以BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，即点M 为AC 的中点时，BM ∥平面AEF .。
人教A高中数学必修二课时分层训练：第三章 直线与方程 33 331 332 含解析
第三章 3．3 直线的交点坐标与距离公式3．3．1 两条直线的交点坐标3．3．2 两点间的距离课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A ．(4,1) B ．(1,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 解析：选C 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.2．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2 C ．2D ．不能确定解析：选B 由k AB ＝1，得b －a1＝1， ∴b －a ＝1. ∴|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝1＋1＝ 2.3．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R )所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线解析：选A (a －1)x －y ＋2a ＋1＝0可化为－x －y ＋1＋a (x ＋2)＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋1＝0，x ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.4．点P (a ，b )关于直线l ：x ＋y ＋1＝0的对称的点仍在l 上，则a ＋b 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．0解析：选B ∵点P (a ，b )关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，∴点P (a ，b )在直线l 上，∴a ＋b ＋1＝0，即a ＋b ＝－1.5．到A (1,3)，B (－5,1)两点的距离相等的动点P 的轨迹方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y ＋2＝0解析：选B 解法一：设P (x ，y )， 则(x －1)2＋(y －3)2＝(x ＋5)2＋(y －1)2，即3x ＋y ＋4＝0.解法二：到A 、B 两点距离相等的点P 的轨迹就是线段AB 的垂直平分线，AB 中点为M (－2,2)，k AB ＝13，∴k l ＝－3，l ：y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0.6．点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是 ． 解析：设对称点坐标是(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2·(－1)＝－1，a ＋22＋b ＋52＝1.解得a ＝－4，b＝－1，即所求对称点坐标是(－4，－1)．答案：(－4，－1)7．经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线l 的方程为 ．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.又所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直，故k ＝13， ∴直线方程为y ＋75＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即5x －15y －18＝0. 答案：5x －15y －18＝08．在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M (－2，－4)，N (4,6)的距离相等，则点P 的坐标为 ．解析：设P 点的坐标是(a ，a ＋4)， 由题意可知|PM |＝|PN |， 即(a ＋2)2＋(a ＋4＋4)2＝(a －4)2＋(a ＋4－6)2，解得a ＝－32，故P 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，529．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.10．已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试分别确定m ，n 的值，满足下列条件：(1)l 1与l 2相交于一点P (m,1)； (2)l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)； (3)l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)把P (m,1)的坐标分别代入l 1，l 2的方程得m 2＋8＋n ＝0,2m ＋m －1＝0，解得m ＝13，n ＝－739.(2)显然m ≠0.∵l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 8＝－2m ，3m －8＋n ＝0，解得⎩⎨⎧ m ＝4，n ＝－4或⎩⎨⎧m ＝－4，n ＝20.(3)由l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.当m ＝0时，l 1的方程为8y ＋n ＝0，l 2的方程为2x －1＝0.∴－8＋n ＝0，解得n ＝8.∴m ＝0，n ＝8.而m ≠0时，直线l 1与l 2不垂直． 综上可知，m ＝0，n ＝8.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．直线l ：x ＋2y －1＝0关于点(1，－1)对称的直线l ′的方程为( ) A ．2x －y －5＝0 B ．x ＋2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋3＝0D ．2x －y －1＝0解析：选C 由题意得l ′∥l ，故设l ′：x ＋2y ＋c ＝0，在l 上取点A (1,0)，则点A (1,0)关于点(1，－1)的对称点是A ′(1，－2)，所以1＋2×(－2)＋c ＝0，即c ＝3，故直线l ′的方程为x ＋2y ＋3＝0，故选C.2．已知平面上两点A (x ，2－x )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，则|AB |的最小值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12解析：选D ∵|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫x －222＋(2－x )2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －3242＋14≥12，当且仅当x ＝324时等号成立，∴|AB |min ＝12.3．无论k 为何值，直线(k ＋2)x ＋(1－k )y －4k －5＝0都过一个定点，则该定点为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(3,1)D ．(3，－1)解析：选D 直线方程可化为(2x ＋y －5)＋k (x －y －4)＝0，此直线过直线2x ＋y －5＝0和直线x －y －4＝0的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此所求定点为(3，－1)．故选D.4．已知点A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上，若使|P A |＋|PB |取最小值，则P 点坐标是( )A ．(1，－1)B ．(－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135 D ．(－2,2)解析：选C 点A (3，－1)关于直线x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，直线A ′B 的方程为y ＝14x －134，与x ＋y ＝0联立方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝135，y ＝－135，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135. 5．若两直线(m ＋2)x －y －m ＝0，x ＋y ＝0与x 轴围成三角形，则实数m 的取值范围是 ．解析：当直线(m ＋2)x －y －m ＝0，x ＋y ＝0及x 轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形．当m ＝－2时，(m ＋2)x －y －m ＝0与x 轴平行；当m ＝－3时，(m ＋2)x －y －m ＝0与x ＋y ＝0平行；当m ＝0时，三条直线都过原点，所以m 的取值范围为{m |m ≠－3，且m ≠－2，且m ≠0}．答案：{m |m ≠－3，且m ≠－2，且m ≠0}6．已知A (2,1)，B (1,2)，若直线y ＝ax 与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是 ．解析：如图，直线y ＝ax 的斜率为a 且经过原点O ，∵直线y ＝ax 与线段AB 相交，∴实数a 的最小值为OA 的斜率，最大值为OB 的斜率，OA 的斜率为12，OB 的斜率为2，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，27．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 ．解析：解法一：由题意知直线l 过定点P (0，－3)， 直线2x ＋3y －6＝0与x ，y 轴的交点分别为A (3,0)，B (0,2)，如图所示，要使两直线的交点在第一象限， 则直线l 在直线AP 与BP 之间， 而k AP ＝－3－00－3＝33，∴k >33. 解法二：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋63k ＋2，y ＝6k －233k ＋2.由题意知x ＝33＋63k ＋2>0且y ＝6k －233k ＋2>0.由33＋63k ＋2>0可得3k ＋2>0，∴6k －23>0，解得k >33. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞8．已知△ABC 的一个顶点A (2，－4)，且∠B ，∠C 的角平分线所在直线的方程依次是x ＋y －2＝0，x －3y －6＝0，求△ABC 的三边所在直线的方程．解：如图，BE ，CF 分别为∠ABC ，∠ACB 的角平分线，由角平分线的性质，知点A 关于直线BE ，CF 的对称点A ′，A ″均在直线BC 上．∵直线BE 的方程为x ＋y －2＝0， ∴A ′(6,0)．∵直线CF 的方程为x －3y －6＝0，∴A ″⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45.∴直线A ′A ″的方程是y ＝0－456－25(x －6)，即x ＋7y －6＝0，这也是BC 所在直线的方程． 由⎩⎨⎧ x ＋7y －6＝0，x ＋y －2＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，由⎩⎨⎧x ＋7y －6＝0，x －3y －6＝0，得C (6,0)， ∴AB 所在直线的方程是7x ＋y －10＝0，AC 所在直线方程是x －y －6＝0.。
2019_2020学年高中数学课时分层作业7综合法与分析法(含解析)北师大版
课时分层作业(七)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．比较法D ．归纳法[解析] 要证明3＋7<25成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明． [答案] B2．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．ac 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c |[解析] ∵a >b ，c 2＋1>0， ∴a c 2＋1>bc 2＋1，故选C. [答案] C3．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0[解析] a 2＋b 2－1－a 2b 2＝－(a 2－1)(b 2－1)≤0. [答案] D4．设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若“a ＋b ＝1”，则4ab ＝4a (1－a )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋1≤1；若“4ab ≤1”，取a ＝－4，b ＝1，a ＋b ＝－3，即“a ＋b ＝1”不成立．故“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的充分不必要条件．[答案] A5．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则( ) A ．m <n B ．m >n C ．m ＝nD ．不能确定[解析] ∵a >b >0，∴a >b ，∴a －b >0，ab >b .()a －b 2－(a －b )2＝a ＋b －2ab －(a －b )＝2(b －ab )<0， ∴(a －b )2<(a －b )2， ∴a －b <a －b ，即m <n . [答案] A 二、填空题6．设a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，若M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1，则M 的最小值为__________．[解析] M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋b c ≥8·bc a ·ac b ·ab c＝8， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．[答案] 87．有以下四个不等式：①(x ＋1)(x ＋3)>(x ＋2)2；②ab －b 2<a 2；③1|a |＋1>0；④a 2＋b 2≥2|ab |.其中恒成立的为__________(写出序号即可)． [答案] ③④8．已知a >0，b >0且a ＋b ＝1，则1a ＋1b ＋1ab与8的大小关系是__________．[解析] ∵a >0，b >0且a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab >0，进而得1ab≥2，于是得1ab≥4.又∵1a ＋1b ＋1ab ＝a ＋b ＋1ab ＝2ab ＝2·1ab≥8.故得1a ＋1b ＋1ab≥8. [答案] 1a ＋1b ＋1ab≥8三、解答题9．设a >0，b >0，c >0.证明： (1)1a ＋1b ≥4a ＋b； (2)12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b . [证明] (1)∵a >0，b >0，∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4，∴1a ＋1b ≥4a ＋b. (2)由(1)知1a ＋1b ≥4a ＋b.同理，1b ＋1c ≥4b ＋c ，1c ＋1a ≥4c ＋a ，三式相加，得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥4b ＋c ＋4c ＋a ＋4a ＋b ，∴12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 10．如果a >b ，ab ＝1，求证：a 2＋b 2≥22(a －b )，并指明何值时取“＝”号． [证明] 因为a >b ，所以a －b >0， 欲证a 2＋b 2≥22(a －b )，只需证a 2＋b 2a －b≥2 2.因为a >b ，a －b >0，又知ab ＝1.所以a 2＋b 2a －b ＝a 2＋b 2－2ab ＋2ab a －b ＝(a －b )2＋2a －b＝(a －b )＋2a －b≥2(a －b )·2a －b＝2 2. 所以a 2＋b 2a －b≥22，即a 2＋b 2≥22(a －b )．当且仅当a －b ＝2a －b，即a －b ＝2且ab ＝1时，取等号． [能力提升练]1．设13＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜1，则( )A ．a a＜a b＜b aB ．a a ＜b a ＜a bC ．a b＜a a＜b aD ．a b＜b a＜a a[解析] ∵13＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜1，∴0＜a ＜b ＜1，∴a a a b ＝a a -b ＞1，∴a b ＜a a，a ab a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a . ∵0＜a b＜1，a ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a＜1，∴a a ＜b a， ∴a b ＜a a ＜b a.故选C. [答案] C2．若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ac ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥2 B ．(a ＋b ＋c )2≥3 C ．1a ＋1b ＋1c≥2 3D ．abc (a ＋b ＋c )≤13[解析] 因为a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，将三式相加，得2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ac ，即a 2＋b 2＋c 2≥1.又因为(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ， 所以(a ＋b ＋c )2≥1＋2×1＝3.故B 成立． [答案] B 3．若不等式1a －b ＋1b －c ＋λc －a>0在条件a >b >c 时恒成立，则实数λ的取值范围是________．[解析] 不等式可化为1a －b ＋1b －c >λa －c. ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0， ∴λ<a －c a －b ＋a －cb －c恒成立． ∵a －c a －b ＋a －cb －c＝(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2＝4，∴λ<4. 故实数λ的取值范围是(－∞，4)． [答案] (－∞，4)4．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时等号成立．[证明] 因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c≥3(abc )－13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63， ③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．因此当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，等号成立．。
高中数学课时分层作业7-全称量词与存在量词-全称量词命题和存在量词命题的否定
课时分层作业(七)全称量词与存在量词(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是()A．有一个x∈R，使得x2＞3B．对有些x∈R，使得x2＞3C．任选一个x∈R，使得x2＞3D．至少有一个x∈R，使得x2＞3C[“∀”和“任选一个”都是全称量词．]2．下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，|x|＝0B．∃x∈R,2x－10＝1C．∀x∈R，x3>0D．∀x∈R，x2＋1>0C[当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．]3．下列命题中是存在量词命题的是()A．∀x∈R，x2＞0B．∃x∈R，x2≤0C．平行四边形的对边平行D．矩形的任一组对边相等B[A含有全称量词∀，为全称量词命题，B含有存在量词∃，为存在量词命题，满足条件．C省略了全称量词所有，为全称量词命题，D省略了全称量词所有，为全称量词命题，故选B.]4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1 x>2B[A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有1x<0，所以D是假命题．]5．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是()A．对任意实数x，都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1C[利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.]二、填空题6．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用符号表示为________．存在量词命题∃x，y∈R，x＋y＞1[命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是存在量词命题，用符号表示为：“∃x，y∈R，x＋y＞1”．]7．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是______．存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0[原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要否定量词又要否定结论，所以其否定为：存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0.]8．若“∀x∈R，x2＋4x≥m”是真命题，则实数m的取值范围为________．{m|m≤－4}[由题意，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4的最小值为－4，所以m≤－4.]三、解答题9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．[解](1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°.(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是存在量词命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．10．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根；(2)q：有些梯形的对角线相等．[解](1)﹁p：∃m∈R，方程x2＋x－m＝0无实数根．由于当m＝－1时，方程x2＋x－m＝0的根的判别式Δ＜0，∴方程x2＋x－m＝0无实数根，故其是真命题．(2)﹁q：∀x∈{梯形}，x的对角线不相等，如等腰梯形对角线相等，故其是假命题．[等级过关练]1．下列命题中正确的个数是()①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．A．0B．1C．2D．3D[①∃x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，正确，例如x ＝π.综上可得①②③都正确．故选D.]2．下列命题的否定是真命题的为()A．p1每一个合数都是偶数B．p2两条平行线被第三条直线所截内错角相等C．p3有些实数的绝对值是正数D．p4某些平行四边形是菱形A[若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反．因p1为全称量词命题，且是假命题，则﹁p1是真命题．命题p2，p3，p4均为真命题，即﹁p2，﹁p3，﹁p4均为假命题．]3．命题“∀x＞0，都有x2－x＋3≤0”的否定是________．∃x＞0，使得x2－x＋3＞0[命题“∀x＞0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x＞0，使得x2－x＋3＞0.]4．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________．{a|a≤1}[存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1.]5．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：每一个素数都是奇数；(2)p：某些平行四边形是菱形；(3)可以被5整除的数，末位是0；(4)能被3整除的数，也能被4整除．[解](1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，﹁p：存在一个素数不是奇数，是真命题．(2)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此，﹁p：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题．(3)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0，是真命题．(4)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除，是真命题.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
2020学年高中数学课时分层作业7二项式定理(含解析)新人教A版选修2-3(2021-2022学年)
课时分层作业(七）二项式定理(建议用时:6０分钟）［基础达标练］一、选择题1.化简多项式(２x＋1）５－5（２x+1)4＋10(2x＋1)3-10（２x+1）２＋5(2x＋1)－1的结果是( ）A．(2x＋２）５ B.2x5C．（2x-1）5ﻩD．32ｘ5D [原式＝[(２x＋1）-1］5=(２x）5＝32ｘ5.]2．已知错误!7的展开式的第４项等于5,则ｘ等于( )A．错误!未定义书签。
B.-错误!未定义书签。
C．7ﻩD．－７B [T4＝C错误!x4错误!未定义书签。
3＝５，则x＝－错误!未定义书签。
.］3.在错误!8的展开式中常数项是( )A.－28ﻩＢ．-7Ｃ.7ﻩ D.28C[T k＋1＝C错误!未定义书签。
·错误!８－k·错误!未定义书签。
k=（－１）k·Ｃ错误!·错误! 8－k·ｘ错误!，当8－错误!未定义书签。
k=0,即k＝6时，T7＝(-1)6·Ｃ错误!未定义书签。
·错误!2＝7.］４.在错误!6的二项展开式中,x2的系数为（）A．－错误!B．错误!C．-错误! D.错误!C [T k+1=C错误!未定义书签。
错误!6－ｋ·错误!k=（－1)k22k-6·C错误!x3－k,令3－k＝2，则k＝１,所以x2的系数为（-１)1×2－4×C错误!未定义书签。
＝－错误!,故选C．］５.(２01９·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(１＋x)4的展开式中ｘ3的系数为( ）A．12ﻩB．16Ｃ.20 D．24A ［展开式中含x 3的项可以由“1与ｘ3”和“2x 2与x ”的乘积组成,则ｘ3的系数为C 3，４＋2C 错误!＝４＋8＝１2.] 二、填空题6.(１－i)10（i 为虚数单位）的二项展开式中第7项为＿＿______.－２１0 ［由通项公式得Ｔ7＝C 错误!·(-i)6＝-C 错误!＝－２１0.]７.(1+x )3＋(1+x )４＋…＋（1＋ｘ)10展开式中x 3的系数为__＿＿＿_＿_.330 ［ｘ3的系数为C 错误!+C 错误!＋C 错误!+…＋C 错误!=Ｃ错误!+C 错误!+C 错误!+…＋C 错误!未定义书签。
高一数学必修三课时分层训练答案
高一数学必修三课时分层训练答案1、22.若+3x+m=0的一个根为2，则m=（）[单选题] *A.3B.10C.-10(正确答案)D.202、22、在平面直角坐标系中，已知点P，在轴上有点Q，它到点P的距离等于3，那么点Q 的坐标是（）[单选题] *(0,3)(0,5)(0,-1)(0,5)或(0,-1) (正确答案)3、下列说法正确的是[单选题] *A.一个数前面加上“-”号，这个数就是负数B.零既不是正数也不是负数(正确答案)C.零既是正数也是负数D.若a是正数，则-a不一定是负数4、3．下列命题中，为真命题的是( ) [单选题] *A．6的平方根为±3B．若x2>0，则x>0C．无理数是无限小数(正确答案)D．两点之间直线最短5、28．下列计算结果正确的是（）[单选题] *A．（a3）4＝a12(正确答案)B．a3?a3＝a9C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．（ab）2＝ab26、15．已知命题p:“?x∈R，ex－x－1≤0”，则?p为（）[单选题] * A．?x∈R，ex－x－1≥0B．?x∈R，ex－x－1>0C．?x∈R，ex－x－1>0(正确答案)D．?x∈R，ex－x－1≥07、8．数轴上一个数到原点距离是8，则这个数表示为多少（）[单选题] * A．8或﹣8(正确答案)B．4或﹣4C．8D．﹣48、已知点A（4，6），B（－4，0），C、（－1，－4），那么（）[单选题] *A、AB⊥ACB、AB⊥ACCAB⊥BC(正确答案)D、没有垂直关系9、13．设x∈R，则“x3（x的立方）>8”是“|x|>2”的( ) [单选题] *A．充分而不必要条件(正确答案)B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10、x3可以表示为（）[单选题] *A. 3xB. x+x+xC. x·x·x(正确答案)D. x+311、47．已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝50，则（x﹣2022）2的值为（）[单选题]* A．24(正确答案)B．23C．22D．无法确定12、2.当m=-2时，代数式-2m-5的值是多少（）[单选题] *A.-7B.7C.-1(正确答案)D.113、若10?＝3,10?＝2，则10的值为( ) [单选题] *A. 5B. 6(正确答案)C. 8D. 914、4.一个数是25，另一个数比25的相反数大- 7，则这两个数的和为[单选题] *A.7B. - 7(正确答案)C.57D. - 5715、下列各角中与45°角终边相同的角是（）[单选题] *A. 405°(正确答案)B. 415°C. -45°D. -305°16、13．如图，小明从家到达学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是正南或正东方向，则小明走下列线路不能到达学校的是() [单选题] *A．(0,4)→(0,0)→(4,0)B．(0,4)→(4,4)→(4,0)C．(0,4)→(3,4)→(4,2)→(4,0)(正确答案)D．(0,4)→(1,4)→(1,1)→(4,1)→(4,0)17、4．(2020·天津，1,5分)设全集U={－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合A={－1,0,1,2}，B={－3,0,2,3}，则A∩(?UB)=( ) [单选题] *A．{－3,3}B．{0,2}C．{－1,1}(正确答案)D．{－3，－2，－1,1,3}18、3．下列说法：①有理数中，0的意义仅表示没有；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的个数（）[单选题] *A．1个(正确答案)B．2个C．3个D．5个19、若a＝－3 ?2，b＝－3?2，c＝(－)?2，d＝(－)?，则( ) [单选题] *A. a＜d＜c＜bB. b＜a＜d＜cC. a＜d＜c＜bD. a＜b＜d＜c(正确答案)20、5．在下列四点中，与点所连的直线不与y轴相交的是（）．[单选题] * A．（-2，3）B．（2，-3）C（3，2）D（-3，2）(正确答案)21、下列函数中奇函数是（）[单选题] *A、y=2sin x(正确答案)B、y=3sin xC、y=2D、y=22、1.计算| - 5 + 3|的结果是[单选题] *A. - 2B.2(正确答案)C. - 8D.823、16.5-（-3）-2的计算结果为（）[单选题] *A.3B.4C.0D.6(正确答案)24、8．(2020·课标Ⅱ)已知集合U={－2，－1,0,1,2,3}，A={－1,0,1}，B={1,2}，则?U(A∪B)=( ) [单选题] *A．{－2,3}(正确答案)B．{－2,2,3}C．{－2，－1,0,3}D．{－2，－1,0,2,3}25、42、如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE＝AD，连接BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）[单选题] *A．5对(正确答案)B．6对C．7对D．8对26、7．已知集合A={－13，12}，B={x|ax＋1=0}，且B?A，则实数a的值不可能为( ) [单选题] *A．－3(正确答案)B．－1/12C．0D．1/1327、4. 下列命题中，是假命题的是（）[单选题] *A、两点之间，线段最短B、同旁内角互补(正确答案)C、直角的补角仍然是直角D、垂线段最短28、-120°是第（）象限角？[单选题] *第一象限第二象限第三象限(正确答案)第四象限29、5.在数轴上点A，B分别表示数-2，-5，则A，B两点之间的距离可表示为（）[单选题] *A.-2+(-5)B.-2-(-5)(正确答案)C.(-5)+2D(-5)-230、37．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（）[单选题] *A．±8(正确答案)B．﹣3或5 C．﹣3 D．5。
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课时分层训练（三） 集合间的基本关系A 组——基础达标练1．已知集合A ＝{x |x 2－1＝0}，则下列式子表示正确的有( ) ①1∈A ；②{－1}∈A ；③∅⊆A; ④{1，－1}⊆A .A ．①③B ．①②③C ．①③④D ．①②③④2．若集合A ＝{x |x ≥0}，且B ⊆A ，则集合B 可能是( )A ．{1，2}B ．{x |x ≤1}C ．{－1，0，1}D ．R3．已知集合U ＝R ，则正确表示集合U ，M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2＋x ＝0}之间关系的Venn 图是( )4．满足{a }⊆M ⫋ {a ，b ，c ，d }的集合M 共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．15个5．已知集合A ＝{2，－1}，集合B ＝{m 2－m ，－1}，且A ＝B ，则实数m 等于( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．46．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪y x ＝1，则A ，B 准确的关系是________．7．已知集合A ⊆{0，1，2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为________．8．已知集合A ＝{x |x <3}，集合B ＝{x |x <m }，且A ⊆B ，则实数m 满足的条件是________．9．设集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，求a 的值．10．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A ⫋B ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．B 组——能力提升练1．已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－12<x ≤2，若A ＝B ，则实数a 的值为( )A ．0B ．－12C ．2D ．52．定义集合P －Q ＝{x |x ＝p －q ，p ∈P ，q ∈Q }，若集合P ＝{4，5，6}，Q ＝{1，2，3}，则集合P －Q 的所有真子集的个数为( )A ．32B ．31C ．16D ．153．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z}，则A 与B 之间的关系是( )A ．A ⊆B B ．A ＝BC ．A ⫋BD ．A ⫌B4．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．0，1D ．－1，0，15．设集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1，1－2a }，且B ⊆A ，则a 的值为________．6．已知A ＝{x ∈R|x <－2或x >3}，B ＝{x ∈R|a ≤x ≤2a －1}，若B ⊆A ，则实数a的取值范围为______________．7．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．8. 已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C ＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足B A，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．参考答案A组——基础达标练1. C 解析：A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，故①③④正确，②不正确．2. A 解析：因为集合A＝{x|x≥0}，且B⊆A，所以集合B是集合A的子集．当集合B＝{1，2}时，满足题意；当集合B＝{x|x≤1}时，－1∉A，不满足题意；当集合B＝{－1，0，1}时，－1∉A，不满足题意；当集合B＝R时，－1∉A，不满足题意，故选A.3. B 解析：由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1，0}，则N ⫋M ⫋U.4. B 解析：依题意a∈M，且M ⫋{a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素b，c，d中的0个、1个或2个，即M的个数等于集合{b，c，d}的真子集的个数，有23－1＝7(个)．5. C 解析：∵A ＝B ，∴m 2－m ＝2，∴m ＝2或m ＝－1.6. B ⫋A 解析：因为B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪y x ＝1＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，故B ⫋A .7. 6 解析：集合{0，1，2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个．8. m ≥3 解析：将数集A 在数轴上表示出来，如图所示，要满足A ⊆B ，表示数m 的点必须在表示3的点处或在其右边，故m ≥3.9. 解：∵B ⊆A ，∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a .(1)当a 2－a ＋1＝3时，解得a ＝－1或a ＝2.经检验，满足题意．(2)当a 2－a ＋1＝a 时，解得a ＝1，此时集合A 中的元素1重复，故a ＝1不合题意．综上所述，a ＝－1或a ＝2.10. 解：(1)若A ⫋B ，由图可知，a >2. 故a 的取值范围为{a |a >2}．(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2. 故a 的取值范围为{a |1≤a ≤2}．B 组——能力提升练1. C 解析：因为B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－12<x ≤2，且A ＝B ，所以当x ＝2时，2a ＋1＝5，解得a ＝2.故选C.2. B 解析：由题中所给定义，可知P －Q ＝{1，2，3，4，5}，∴P －Q 的所有真子集的个数为25－1＝31.故选B.3. D 解析：对于x ＝3k (k ∈Z)，当k ＝2m (m ∈Z)时，x ＝6m (m ∈Z)；当k ＝2m －1(m ∈Z)时，x ＝6m －3(m ∈Z)．由此可知A ⫌B .4. D 解析：因为集合A 有且仅有两个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R)仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，故a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意．综上所述，a ＝0或a ＝±1.5. －1或13 解析：由题意，1－2a ＝3或1－2a ＝a ，解得a ＝－1或a ＝13. 当a ＝－1时，A ＝{1，3，－1}，B ＝{1，3}，符合题意；当a＝13时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3，13，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，13，符合题意．故a 的值为－1或13. 6. {a |a <1或a >3} 解析：∵B ⊆A ，∴B 的可能情况有B ≠∅和B ＝∅两种．①当B ≠∅时，∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >3，a ≤2a －1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<－2，a ≤2a －1成立，解得a >3； ②当B ＝∅时，由a >2a －1，得a <1.综上所述，实数a 的取值范围是{a |a <1或a >3}．7. 解：化简集合A ，得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m －1≥2m ＋1，即m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－2，2m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2. 综上所述，m 的取值范围是{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．8. 解：A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}，∵B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}＝{x |(x －1)[x －(a －1)]＝0}，∴1∈B . 又B ⫋A ，∴a －1＝1，即a ＝2.∵C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，且C ⊆A ，∴C ＝∅或{1}或{2}或{1，2}． 当C ＝{1，2}时，b ＝3；当C ＝{1}或{2}时，Δ＝b 2－8＝0，即b ＝±22，此时x ＝±2，与C ＝{1}或{2}矛盾，故舍去；当C ＝∅时，Δ＝b 2－8<0，即－22<b <2 2.综上可知，存在a ＝2，b ＝3或－22<b <22满足要求.。
高中数学分层训练全部教案
高中数学分层训练全部教案
课题：函数
教学目标：
1. 理解函数的概念和性质
2. 掌握常见函数的相关性质和图像特征
3. 能够解决与函数相关的问题
重点难点：
1. 函数的定义以及图像特征的掌握
2. 常见函数的性质和变化规律的理解
教学准备：
1. 教师准备PPT课件，辅助讲解函数的概念和性质
2. 教师准备相关习题，帮助学生巩固知识点
3. 学生准备笔记本，记录重点知识
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过举例引入函数的概念，并提出问题引导学生思考。
二、讲解（15分钟）
1. 函数的定义及性质
2. 常见函数的性质和图像特征
三、练习（20分钟）
学生通过课堂练习，巩固函数的相关知识，并且尝试解决一些函数相关的问题。
四、总结（5分钟）
教师对本节课的重点知识进行总结，并提出可能出现的考点和解题技巧。
五、作业布置（5分钟）
布置相应的作业，巩固本节课的知识点。
教学反思：
此教案主要是通过讲解、练习和总结的方式，帮助学生掌握函数的相关知识，并且培养学生解决问题的能力。
需要注意的是，要根据学生的实际情况进行分层教学，针对不同层次的学生设置不同的教学目标和习题，帮助他们更好地理解和应用函数的相关知识。
高中数学第三章直线与方程 直线的两点式方程课时分层作业含解析新人教A版必修
课时分层作业(十九) 直线的两点式方程(建议用时：45分钟)一、选择题1．如果直线l 过(－1,－1),(2,5)两点,点(1 010,b )在直线l 上,那么b 的值为( )A ．2 018B ．2 019C ．2 020D ．2 021D [根据三点共线,得5－（－1）2－（－1）＝b －51 010－2,得b ＝2 021.] 2．直线x 3－y 4＝1在两坐标轴上的截距之和为( ) A ．1B ．－1C ．7D ．－7B [直线在x 轴上截距为3,在y 轴上截距为－4,因此截距之和为－1.] 3．已知△ABC 三顶点A (1,2),B (3,6),C (5,2),M 为AB 中点,N 为AC 中点,则中位线MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0A [点M 的坐标为(2,4),点N 的坐标为(3,2),由两点式方程得y －24－2＝x －32－3,即2x ＋y －8＝0.] 4．已知直线ax ＋by ＋c ＝0的图象如图所示,则( )A ．若c ＞0,则a ＞0,b ＞0B ．若c ＞0,则a ＜0,b ＞0C ．若c ＜0,则a ＞0,b ＜0D ．若c ＜0,则a ＞0,b ＞0D [由ax ＋by ＋c ＝0,得斜率k ＝－a b ,直线在x ,y 轴上的截距分别为－c a ,－c b.由题图,k ＜0,即－a b ＜0,∴ab ＞0.∵－c a ＞0,－c b＞0,∴ac ＜0,bc ＜0.若c ＜0,则a ＞0,b ＞0；若c ＞0,则a ＜0,b ＜0.]5．过点P (1,3),且与x 、y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0A [设方程为x a ＋y b ＝1,∴⎩⎨⎧12ab ＝6，1a ＋3b＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.故所求的直线方程为：3x ＋y －6＝0.] 二、填空题6．经过点A (2,1),在x 轴上的截距为－2的直线方程为________.y ＝x 4＋12 [直线过点A (2,1),还过(－2,0),两点式化简得y ＝x 4＋12.] 7．经过点(－1,5),且与直线x 2＋y 6＝1垂直的直线方程是________． x －3y ＋16＝0 [直线x 2＋y 6＝1的斜率是－3,所以所求直线的斜率是13,所以所求直线方程是y －5＝13(x ＋1),即x －3y ＋16＝0.] 8．直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3,则实数m 的值为________． －6 [由条件知(3,0)一定在直线上,∴3(m ＋2)＝2m ,解得m ＝－6.]三、解答题9．求经过点A (－2,3),B (4,－1)的直线的两点式方程,并把它化成点斜式、斜截式和截距式．[解] 过A ,B 两点的直线的两点式方程是y ＋13＋1＝x －4－2－4. 点斜式为：y ＋1＝－23(x －4), 斜截式为：y ＝－23x ＋53, 截距式为：x 52＋y 53＝1. 10．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行,且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程． [解] 法一：由题意,设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠1),令x ＝0,得y ＝－m 4；令y ＝0,得x ＝－m 3,所以－m 3＋⎝⎛⎭⎫－m 4＝73,解得m ＝－4. 所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.法二：由题意,直线l 不过原点,则在两坐标轴上的截距都不为0.可设l 的方程为x a ＋y b＝1(a ≠0,b ≠0),则有⎩⎨⎧－b a ＝－34，a ＋b ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.1．过点P (2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0C ．x ＋y －5＝0D ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0B [设直线方程为x a ＋y －a ＝1或y ＝kx ,将P (2,3)代入求出a ＝－1或k ＝32. 所以所求的直线方程为x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0.]2．垂直于直线3x －4y －7＝0,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．3或－3 [设直线方程为4x ＋3y ＋d ＝0,分别令x ＝0和y ＝0,得直线与两坐标轴的截距分别是－d 3,－d 4, 依题意得,12×⎪⎪⎪⎪－d 3×⎪⎪⎪⎪－d 4＝6, ∴d ＝±12.故直线在x 轴上的截距为3或－3.]。
【高中数学】课时分层作业7
课时分层作业(七) 等比数列的概念(第1课时)(60分钟 120分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 等比数列的概念与通项公式1．(5分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝32，q ＝－12，则a 6等于( )A ．1B ．－12C ．－1D ．12C 解析：a 6＝32×⎝⎛⎭⎫－125＝－1.故选C ． 2．(5分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＝16，q ＝2，则n 为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5C 解析：根据a n ＝a 1q n －1，得16＝2×2n －1，解得n ＝4. 3．(5分)下面四个数列中，一定是等比数列的是( ) A ．q,2q,4q,6q B ．q ，q 2，q 3，q 4 C ．q,2q,4q,8q D ．1q ，1q 2，1q 3，1q4D 解析：A 项不符合等比数列定义；B ，C 两项中q 不等于0时是等比数列，q ＝0时不是等比数列；D 项符合等比数列的定义，公比是1q.4．(5分)在等比数列{a n }中，a 2 021＝－8a 2 018，则公比q 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．12B 解析：∵a 2 021a 2 018＝q 3＝－8，∴q ＝－2.5．(5分)在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36D ．81 B 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，∴a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9.∴a 4＋a 3a 1＋a 2＝a 3(1＋q )a 1(1＋q )＝q 2＝9.∴q ＝±3. ∵a n >0，∴q ＝3. ∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27. 知识点2 等比中项及应用6．(5分)若a ，b ，c 成等差数列，则⎝⎛⎭⎫13a ，⎝⎛⎭⎫13b ，⎝⎛⎭⎫13c一定( ) A ．成等差数列 B ．成等比数列C ．既成等差数列也成等比数列D ．既不成等差数列也不成等比数列B 解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .∴⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13b 2＝⎝⎛⎭⎫13a ·⎝⎛⎭⎫13c 成立． ∴这三个数成等比数列．7．(5分)已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝9，则a 3＝( ) A ．±3 B ．3 C ．±5D ．5B 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 23＝a 1·a 5＝9，∴a 3＝±3. ∵a 3＝a 1·q 2>0，∴a 3＝3.8.(5分)在等比数列{a n }中，若a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是________．±4 解析：因为a 6是a 4与a 8的等比中项，a 6＝a 1q 6－1＝4，所以a 4与a 8的等比中项是±4. 知识点3 等比数列的判断9．(5分)(多选)已知数列{a n }是等比数列，给出以下数列，其中一定是等比数列的是( ) A ．{|a n |} B ．{a n －a n ＋1}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 1a nD ．{ka n }AC 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵|a n ||a n －1|＝|q |，∴{|a n |}是等比数列； 当{a n }为常数列时，a n －a n ＋1＝0，∴{a n －a n ＋1}不是等比数列；∵a 1a n a 1a n －1＝a n －1a n ＝1q ， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 1a n 是等比数列； 当k ＝0时，ka n ＝0，∴{ka n }不是等比数列． 故只有AC 一定是等比数列．10．(5分)设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n －3，则S n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．2n ＋1－1 C ．3×2n －3 D ．3×2n －1C 解析：∵S n ＝2a n －3，∴a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －3－(2a n －1－3)＝2a n －2a n －1. ∴a n ＝2a n －1，即a na n －1＝2.∴{a n }是等比数列，首项为3，公比为2. ∴a n ＝3×2n －1.∴S n ＝3×2n －3.11.(5分)在数列{a n }中，已知a 1＝3，且对任意正整数n 都有2a n ＋1－a n ＝0，则a n ＝________.3×⎝⎛⎭⎫12n －1 解析：∵2a n ＋1－a n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝12. ∴{a n }是等比数列，且公比q ＝12.∴a n ＝a 1·q n －1＝3×⎝⎛⎭⎫12n －1.12.(5分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12×⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2 解析：∵S n ＝2a n ＋1， ∴a 1＝2a 2，∴a 2＝12.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ，∴3a n ＝2a n ＋1，即a n ＋1a n ＝32.∵a 2a 1＝12≠32，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12×⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2.能力提升练能力考点 拓展提升13.(5分)2＋3和2－3的等比中项是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．2C 解析：根据等比中项的定义有G ＝±(2＋3)×(2－3)＝±1.14．(5分)由首项a 1＝1，公比q ＝2确定的等比数列{a n }中，当a n ＝64时，序号n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7D 解析：∵a n ＝a 1·q n －1＝2n －1＝64，∴n ＝7.15．(5分)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝( )A ．－12B ．－2C ．2D ．12D 解析：∵a 5a 2＝q 3＝18，∴q ＝12.16．(5分)若a ，b ，c 成等差数列，而a ＋1，b ，c 和a ，b ，c ＋2都分别成等比数列，则b 的值为( ) A ．16 B ．15 C ．14D ．12 D 解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . ∵a ＋1，b ，c 与a ，b ，c ＋2都分别成等比数列， ∴b 2＝(a ＋1)·c ，b 2＝a ·(c ＋2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，b 2＝(a ＋1)c ，b 2＝a (c ＋2)，解得b ＝12.17.(5分)已知等比数列{a n }，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________.3×2n －3 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3＝3，a 10＝384，∴q 7＝a 10a 3＝128. ∴q ＝2，∴a n ＝a 3·q n －3＝3×2n －3.18.(5分)已知数列{a n }是首项a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则其公比q 等于________． ±1 解析：∵4a 1，a 5，－2a 3成等差数列， ∴2a 5＝4a 1－2a 3，即a 5＝2a 1－a 3， ∴4q 4＝8－4q 2.∴q 4＋q 2－2＝0. ∴q 2＝1或q 2＝－2(舍)． ∴q ＝±1.19.(5分)在两数1,16之间插入3个数，使它们成等比数列，则中间的数等于________．4 解析：设插入的三个数为a ，b ，c ， 则有b 2＝1×16＝16.又∵b 与1同号，∴b ＝4.20.(5分)已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，求a 7.解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 2＋a 3a 1＋a 2＝a 2(1＋q )a 1(1＋q )＝q ＝2， ∴a 1＋2a 1＝3a 1＝3，∴a 1＝1. ∴a 7＝a 1q 6＝64.21.(10分)已知数列{a n }满足S n ＝4a n －1(n ∈N *)，求证：数列{a n }是等比数列，并求出其通项公式．证明：依题意，得当n ≥2时，S n －1＝4a n －1－1， 所以a n ＝S n －S n －1＝(4a n －1)－(4a n －1－1)，即3a n ＝4a n －1，所以a n a n －1＝43，故数列{a n }是公比为43的等比数列．因为S 1＝4a 1－1，即a 1＝4a 1－1，所以a 1＝13，故数列{a n }的通项公式是a n ＝13×⎝⎛⎭⎫43n －1.22.(10分)已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .解：∵a 1a 3＝a 22，∴a 1a 2a 3＝a 32＝8，∴a 2＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1a 3＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，a 3＝1.当a 1＝1时，q ＝2；当a 1＝4时，q ＝12.故a n ＝2n－1或a n ＝23－n .高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
人教A版高中数学必修1 课时分层训练 ：第三章 3.1 3.1.1
第三章3.1 3.1.1 方程的根与函数的零点课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：则函数f (x )A ．(－∞，1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3，＋∞)解析：选C 若f (x )在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0则f (x )在(a ，b )上一定存在零点．因为f (2)>0，f (3)<0，所以f (x )在(2,3)上一定存在零点．2．函数f (x )＝ax ＋8的零点为4，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选B 由题意得4a ＋8＝0，即a ＝－2. 3．函数f (x )＝2x －1＋x －5的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选C f (2)＝22－1＋2－5<0，f (3)＝23－1＋3－5>0，故f (2)·f (3)<0，又f (x )在定义域内是增函数，则函数f (x )＝2x －1＋x －5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤0，x 2－3x ＋1，x ＞0.则函数f (x )的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 由⎩⎨⎧2x －1＝0，x ≤0，得x ＝0，由⎩⎨⎧x 2－3x ＋1＝0，x ＞0，得x ＝3±52， ∴函数f (x )的零点的个数为3.5．函数f (x )＝2x ·|log 0.5x |－1的零点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 由2x ·|log 0.5x |－1＝0得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .在同一坐标系中作出函数y ＝|log 0.5x |与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，如图所示，由图可知两个函数的图象有两个交点，∴f (x )有2个零点．6．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由⎩⎨⎧ 22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－6， 所以g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13. 答案：－12，－137．已知函数f (x )＝lg x ＋x －10的零点在区间(k ，k ＋1)上，k ∈Z ，则k ＝________.解析：由题意知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数． 且f (9)＝lg 9＋9－10＝lg 9－1<0， f (10)＝lg 10＋10－10＝1>0， 即f (9)f (10)<0，所以函数f (x )在(9,10)内存在唯一的零点，因为函数f (x )＝lg x ＋x －10的零点在区间(k ，k ＋1)上，k ∈Z ，所以k ＝9.答案：98．已知函数f (x )＝3mx －4，若在区间[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )在[－2,0]上存在零点x 0使f (x 0)＝0，且f (x )单调，所以f (－2)·f (0)≤0，所以(－6m －4)×(－4)≤0，解得m ≤－23.所以，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－23. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－239．求下列函数的零点： (1)f (x )＝2x ＋b ； (2)f (x )＝－x 2＋2x ＋3； (3)f (x )＝log 3(x ＋2)； (4)f (x )＝2x －2.解：(1)令2x ＋b ＝0，解得x ＝－b 2，即函数f (x )＝2x ＋b 的零点是x ＝－b2. (2)令－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，即函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的零点是x 1＝－1，x 2＝3.(3)令log 3(x ＋2)＝0，解得x ＝－1，即函数f (x )＝log 3(x ＋2)的零点是x ＝－1. (4)令2x －2＝0，解得x ＝1，即函数f (x )＝2x －2的零点是x ＝1.10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围． (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解：(1)由题意得⎩⎨⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1，解得2≤a ＜52.(2)由题意得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.(3)由题意知⎩⎨⎧f (0)＝4＞0，f (1)＝5－2a ＜0，f (6)＝40－12a ＜0，f (8)＝68－16a ＞0，解得103＜a ＜174.‖层级二‖|应试能力达标|1．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则该函数的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．0D ．无法确定解析：选B 因为ac <0，所以Δ＝b 2－4ac >0，所以该函数有两个零点，故选B.2．若x 0是方程e x ＋x ＝2的解，则x 0属于区间( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C 构造函数f (x )＝e x ＋x －2，由f (0)＝－1，f (1)＝e －1>0，显然函数f (x )是单调函数，有且只有一个零点，则函数f (x )的零点在区间(0,1)上，所以e x ＋x ＝2的解在区间(0,1)上．3．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有解析：选C 若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)<0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若f (x )在(1,2)上有两个零点，则必有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾，故f (x )在(1,2)上有且仅有一个零点．4．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)解析：选C由题意可得f(1)f(2)＝(0－a)(3－a)<0，解得0<a<3，故实数a的取值范围是(0,3)，故选C.5．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，又因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)，(－∞，0)上都只有一个零点，综上，函数f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.答案：306．已知函数f(x)＝a x－x－a(a＞0，且a≠1)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：分a>1与0<a<1两种情况，画出函数y＝a x与函数y＝x＋a的图象，如图所示．由图知，当a>1时，两个函数的图象有两个交点，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)7．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．解析：画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示．观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a<b<c.答案：a<b<c8．已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x>0)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解：(1)作出g(x)＝x＋e2x(x>0)的图象如图：可知若g(x)＝m有零点，则有m≥2e.故m的取值范围为{m|m≥2e}．(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．在同一平面直角坐标系中，作出g(x)＝x＋e2x(x>0)和f(x)的图象，如图．因为f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其图象的对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，所以m的取值范围是m＞－e2＋2e＋1.由Ruize收集整理。
高考数学课时分层练7
9．(2015·南通模拟)在△ABC中，已知cosA＝ ，tan(A－B)＝－ ，则tanC的值是________．
三、解答题
10．(2015·潍坊模拟)已知函数f(x)＝2 sinxcosx－
∵－ ≤x≤ ，∴－ ≤2x＋ ≤ ，
∴当2x＋ ＝－ ，即x＝－ 时，
f(x)的最小值为2× ＝－ .
当2x＋ ＝ ，即x＝ 时，f(x)的最大值为2×1＝2.
(2)若将函数f(x)的图象向右平移 个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin ，
由g(α)＝2sin ＝－ ，得sin ＝－ ，
(1)证明：b＋c＝2a；
(2)若f ＝cosA，证明：△ABC为等边三角形．
【
1．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P，则sin2α－sin 2α的值为()
A. B．－ C. D．－
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ＝ ，
sin2x＋ cos 2x＋ ，x∈R.
(1)求函数f(x)在 上的最值；
(2)若将函数f(x)的图象向右平移 个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象．已知g(α)＝－ ，α∈ ，求cos 的值．
11．已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足 ＝ ，函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
【
1．D
2．解：(1)∵cos(A＋C)＝cos(π－B)＝－cosB，由题意及正弦定理，得 ＝ .
2021_2020学年高中数学课时分层作业3条件结构(含解析)新人教A版必修3
课时分层作业(三) 条件构造(建议用时：60分钟)[根底达标练]一、选择题1．求以下函数的函数值的算法中需要用到条件构造的是( ) A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝2x ＋1C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >1，x 2－1，x ≤1，D ．f (x )＝2xC [C 选项中函数f (x )是分段函数，要分类讨论x 的取值范围，用条件构造设计算法，A ，B ，D 项中不需要．]2．假设f (x )＝x 2，g (x )＝log 2x ，那么如下图的程序框图中，输入x ＝0.25，输出h (x )＝( )A ．0.25B ．2C [当x ＝0.25时，f (0.25)＝116>g (0.25)＝－2，故执行“是〞路径，即h (x )＝log 2x ，h (0.25)＝log 20.25＝－2.]3．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥2，2－x ，x <2.图中表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图①处应为( )A ．x <2?B ．x >2?C ．x ≠2?D ．x ＝2?A [框图“是〞出口对应的是y ＝2－x ，结合分段函数的解析式知，①处应填x <2？] 4．执行如下图的程序框图，假设输出结果为2，那么输入的实数x 的值是( )A ．3B ．14C ．4D ．2C [由题意，假设x >1，那么令y ＝log 2x ＝2，得x ＝4>1； 假设x ≤1，那么令y ＝x －1＝2，得x ＝3，但3>1，应舍去．]5．如图是计算函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ln 〔－x 〕，x ≤－2，0，－2<x ≤3，2x ，x >3的值的程序框图，在①②③处应分别填入的是( )A ．y ＝ln(－x )，y ＝0，y ＝2xB ．y ＝ln(－x )，y ＝2x，y ＝0 C ．y ＝0，y ＝2x，y ＝ln(－x ) D ．y ＝0，y ＝ln(－x )，y ＝2xB [结合分段函数解析式知，①处应填入y ＝ln(－x )，②处应填入y ＝2x，③处应填入y ＝0.]二、填空题6．如图是求某个函数的函数值的程序框图，那么满足该程序的函数的解析式为________．[答案] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5－4x ，x ≥0，2x －3，x <0，7．如下图的算法功能是________．计算|a －b | [由框图知，当a ≥b 时，结果为a －b ；当a <b 时，输出结果为b －a ，是计算|a －b |的算法．]8．某程序框图如下图，现输入如下四个函数，那么可以输出的函数是________． ①f (x )＝x 2;②f (x )＝1x；③f (x )＝ln x ＋2x －6; ④f (x )＝x 3＋x .④ [由框图知，当输入的函数f (x )为奇函数且存在零点时，才可输出f (x )，而选项中仅④f (x )＝x 3＋x 同时满足这两个条件．]三、解答题9．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c ＝错误!其中ω(单位：kg )为行李的质量．设计程序框图，输入行李质量，计算费用c (单位：元)．[解] 程序框图如下：10．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <0，x ＋1，0≤x <1，x ＋2，x ≥1，写出给定x 的值求该函数的函数值的算法，并画出程序框图．[解] 算法如下： 第一步，输入x .第二步，如果x <0，那么y ＝2x －1，否那么，执行第三步． 第三步，如果x <1，那么y ＝x ＋1，否那么，执行第四步． 第四步，y ＝x ＋2. 第五步，输出y . 程序框图如下图．[能力提升练]1．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．假设要使输入的x 值与输出的y 值相等，那么这样的x 值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [该程序的功能是计算并输出分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤22x －4， 2<x ≤51x ， x >5的值，当x ≤2时，由x＝x 2得x ＝0或1；当2<x ≤5时，由x ＝2x －4，得x ＝4；当x >5时，由x ＝1x，得x ＝±1(舍去)，故满足条件的x 值共3个．]2．如下图的程序框图，输入x ＝2，那么输出的结果是( )A ．2B ．3C ．4D ．5A [通过程序框图可知此题是求函数y ＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＞1，x ＋1，x ≤1的函数值，根据x ＝2可知y ＝2＋2＝2.]3．如下图的程序框图表示的是给定x 值，求函数y ＝|x －3|相应的函数值的算法．请将该程序框图补充完整，其中①处应填________，②处应填________．x <3？(或x ≤3？) y ＝x －3 [由y ＝|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3 x ≥33－x x ＜3及程序框图，知①处应填x <3？(或x ≤3？)，②处应填y ＝x －3.]4．阅读如下图的程序框图．如果输入a ＝log 312，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，c ＝213，那么输出的是________．c [该程序的功能是输出a ，b ，c 中的最大值，因为a ＝log 312<0，0<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<1，c ＝213>1，所以a <b <c ，故最后输出c .]5．设计一个求解关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的算法，并画出程序框图． [解] 算法步骤如下：第一步，输入3个系数a ，b ，c . 第二步，计算Δ＝b 2－4ac .第三步，判断Δ≥0是否成立．假设是，那么计算p ＝－b 2a ，q ＝Δ2a ；否那么，输出“方程没有实数根〞，完毕算法．第四步，判断Δ＝0是否成立．假设是，那么输出x 1＝x 2＝p ；否那么，计算x 1＝p ＋q ，x 2＝p －q ，并输出x 1，x 2.程序框图如下．。
苏教版高中数学选修2-3全册同步课时分层作业
苏教版高中数学选修2-3全册同步课时分层作业课时分层作业(一) 两个基本计数原理(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )A．96种B．24种C．120种D．12种A[先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种．]2．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成通路的条数为( )A．8条B．6条C．5条D．3条B[从A到B接通，分两步：第一步有2种方法，第二步有3种方法，所以可构成通路的条数为2×3＝6条．选B.]3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )A．40 B．16C．13 D．10C[分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．]4．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有( )A．8本B．9本C．12本D．18本D[完成这件事可以分为三步，第一步确定首字符，共有2种方法；第二步确定第二个字符，共有3种方法；第三步确定第三个字符，共有3种方法．所以不同编号的书共有2×3×3＝18(本)，故选D.]5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By＝0的系数A，B的值，则形成的不同直线有( )A．18条B．20条C．25条D．10条A[第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B ＝2时与A＝2，B＝4时是相同的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条．]二、填空题6．设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立A→B的映射的个数为________．8 [建立映射，即对于A中的每一个元素，在B中都有一个元素与之对应，故由分步计数原理得映射有2×2×2＝8(个)．]7．用4种不同的颜色涂入如图所示的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有______种．72 [按A，B，C，D种方法．]8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．20 [分三类：若甲在周一，则乙丙有4×3＝12种排法；若甲在周二，则乙丙有3×2＝6种排法；若甲在周三，则乙丙有2×1＝2种排法．所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20种．]三、解答题9．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？[解] (1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法．根据分步计数原理，得知P可表示平面上的点数是6×6＝36(个)．(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种确定方法．由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6(个)．(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．结合(1)得，不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．10．由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个？(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？[解] (1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18(个)．(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．由分步计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48(个)．[能力提升练]1．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有( )A．6种B．8种C．36种D．48种D[由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种走法，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种走法，参观完第二个区域后，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48种不同的参观路线．]2．某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有( )A．180种B．360种C．720种D．960种D[分五步完成，第i步取第i个号码(i＝1,2,3,4,5)．由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种．]3．将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有___________种．12 [假设第一行为1,2,3或3，此时其他剩余的空格都只有一种填法，又第一行有3×2×1＝6(种)填法．故不同的填写方法共有6×2＝12(种)．]4．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对．48 [与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对角线有8条，故共有8对，正方体的12条面对角线共有96对，且每对均重复计算一次，故共有962＝48对．]5．(1)从5种颜色中选出三种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．(2)从5种颜色中选出四种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．[解] (1)如图，由题意知，四棱锥SABCD 的顶点S ，A ，B 所染色互不相同，则A ，C 必须颜色相同，B ，D 必须颜色相同，所以，共有5×4×3×1×1＝60(种)．(2)法一 由题意知，四棱锥SABCD 的顶点S ，A ，B 所染色互不相同，则A ，C 可以颜色相同，B ，D 可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同．所以，先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法(如：B ，D 颜色相同)；再从5种颜色中，选出四种颜色涂在S ，A ，B ，C 四个顶点上，有5×4×3×2＝120(种)涂法．根据分步计数原理，共有2×120＝240(种)不同的涂法．法二 分两类．第一类，C 与A 颜色相同．由题意知，四棱锥SABCD 的顶点S ，A ，B 所染色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．共有5×4×3×1×2＝120(种)方法；第二类，C 与A 颜色不同．由题意知，四棱锥SABCD 的顶点S ，A ，B 所染色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．共有5×4×3×2×1＝120(种)方法．由分类计数原理，共有120＋120＝240(种)不同的方法．课时分层作业(二) 排列(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列问题属于排列问题的是( )①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作log a b中的底数与真数．A．①④B．①②C．④D．①③④A[根据排列的概念知①④是排列问题．]2．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( ) A．8 B．12C．16 D．24B[设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12.]3．下列各式中与排列数A m n相等的是( )A.n！(n－m＋1)！B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C.n A m n－1n－m＋1D．A1n A m－1n－1D[A m n＝n！(n－m)！，而A1n A m－1n－1＝n×(n－1)！(n－m)！＝n！(n－m)！，∴A1n A m－1n－1＝Amn.]4．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案共有( )A．180种B．360种C．15种D．30种B[问题为6选4的排列，即A46＝360.]5．不等式A2n－1－n<7的解集为( )A．{n|－1<n<5} B．{1,2,3,4}C．{3,4} D．{4}C[由A2n－1－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，即－1<n<5，又因为n∈N*且n－1≥2，所以n ＝3,4.故选C.]二、填空题6．若n∈N*且n＜20，则(20－n)(21－n)…(100－n)用排列数表示为________．A 81100－n [∵100－n ＞99－n ＞…＞20－n ，且共有81个数，故用排列数表示为A 81100－n .] 7.A 88－A 592A 58＋4A 48＝________. 54 [原式＝A 48·A 44－9A 482×(8－5＋1)·A 48＋4A 48 ＝(24－9)A 48(8＋4)A 48＝54.] 8．有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法．(用数字作答)1 680 [将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同的地上，即从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有A 48＝8×7×6×5＝1 680(种)．]三、解答题9．四个人A ，B ，C ，D 坐成一排，其中A 不坐排头，写出所有的坐法． [解]由“树形图”可知，所有坐法为BACD ，BADC ，BCAD ，BCDA ，BDAC ，BDCA ，CABD ，CADB ，CBAD ，CBDA ，CDAB ，CDBA ，DACB ，DABC ，DBAC ，DBCA ，DCAB ，DCBA .10．解不等式：A x 9>6A x －29.[解] 原不等式可化为9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！，其中2≤x ≤9，x ∈N *，即(11－x )(10－x )>6，∴x 2－21x ＋104>0，∴(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13.但2≤x ≤9，x ∈N *，故x ＝2,3,4,5,6,7.[能力提升练]1．若S ＝A 11＋A 22＋A 33＋A 44＋…＋A 100100，则S 的个位数字是( ) A ．8 B ．5 C ．3D ．0C [因为当n ≥5时，A nn 的个位数是0，故S 的个位数取决于前四个排列数，又A 11＋A 22＋A 33＋A 44＝33.]2．若a ∈N *，且a <20，则(27－a )(28－a )…(34－a )等于( ) A ．A 827－a B ．A 27－a34－a C ．A 734－aD ．A 834－aD [A 834－a ＝(27－a )(28－a )…(34－a )．] 3．A n ＋32n －A n ＋14(n ∈N *)的值为________． 696 [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2n ≥n ＋3，4≥n ＋1，∴n ＝3.n ∈N *，∴A 66－A 44＝6！－4！＝24×29＝696.]4．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有________种．576 [司机、售票员各有A 44种安排方法，由分步计数原理知共有A 44A 44种不同的安排方法．] 5．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间)多少种不同的火车票？[解] 对于两个大站A 和B ，从A 到B 的火车票与从B 到A 的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为从6个不同元素中取出2个不同元素的排列数A 26＝6×5＝30.故一共需要为这六大站准备30种不同的火车票．课时分层作业(三) 组合(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．以下四个命题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地C [从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．]2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( )A ．4B ．8C ．28D ．64C [由于“村村通”公路的修建，是组合问题．故共需要建C 28＝28条公路．] 3．组合数C rn (n >r ≥1，n ，r ∈N )恒等于( ) A ．r ＋1n ＋1C r －1n －1 B ．(n ＋1)(r ＋1)C r －1n －1 C ．nr C r －1n －1D ．n rC r －1n －1D [n r C r －1n －1＝n r ·(n －1)！(r －1)！(n －r )！＝n ！r ！(n －r )！＝C rn .]4．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4D ．4A [A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，所以n (n －1)(n －2)＝12×12n (n －1)．由n ∈N *，且n ≥3，解得n ＝8.]5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有( )A ．C 310种 B ．A 310种 C ．A 13A 27种D ．C 13C 27种D [每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C 13种选法；第二步，选男工，有C 27种选法．故共有C 13C 27种不同的选法．]二、填空题6．下列等式中，正确的有________(填序号)． ①C mn ＝n ！m ！(n －m )！；②C m n ＝C n －m n ；③C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1；④C m n ＝C m ＋1n ＋1.①②③ [①②显然正确． 对于③，m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝m ＋1n ＋1(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ，故③正确，④错误．] 7．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________． 252 [所有三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有C 19A 29＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.]8．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商．则m ∶n ＝________.1∶2 [∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝1∶2.] 三、解答题9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？[解] 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C 36＝6×5×43×2×1＝20个．10．(1)求式子1C x 5－1C x 6＝710C x 7中的x ；(2)解不等式C m －18>3C m8. [解] (1)原式可化为：x ！(5－x )！5！－x ！(6－x )！6！＝7·x ！(7－x )！10·7！，∵0≤x ≤5，∴x2－23x ＋42＝0，∴x ＝21(舍去)或x ＝2，即x ＝2为原方程的解． (2)由8！(m －1)！(9－m )！>3×8！m ！(8－m )！，得19－m >3m，∴m >27－3m ， ∴m >274＝7－14.又∵0≤m －1≤8，且0≤m ≤8，m ∈N ， 即7≤m ≤8，∴m ＝7或8.[能力提升练]1．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同选法的种数为( )A ．16B ．15C ．17D ．18A [按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C 12C 24，有2位女生参加有C 22C 14种．故共有C 12C 24＋C 22C 14＝2×6＋4＝16(种)，故选A.]2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种C [可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C 14·C 25＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C 24·C 15＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．]3．若C m －1n ∶C mn ∶C m ＋1n ＝3∶4∶5，则n －m ＝________.35 [由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧C m －1n C m n ＝34，Cm nCm ＋1n＝45，由组合数公式得⎩⎪⎨⎪⎧3n －7m ＋3＝0，9m －4n ＋5＝0，解得n ＝62，m ＝27.n －m ＝62－27＝35.]4．设x ∈N *，则C x －12x －3＋C 2x －3x ＋1的值为________．4,7或11 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥x －1，x ＋1≥2x －3，解得2≤x ≤4. ∵x ∈N *，∴x ＝2，x ＝3或x ＝4.当x ＝2时，原式值为4；当x ＝3时，原式值为7；当x ＝4时，原式值为11. ∴所求值为4,7或11.] 5．规定C m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C mn (n ，m是正整数，且m ≤n )的一种推广．(1)求C 5－15的值；(2)组合数的两个性质：①C m n ＝C n －mn ；②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1是否都能推广到C mx (x ∈R ，m 是正整数)的情形；若能推广，请写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由．[解] (1)C 5－15＝(－15)(－16)(－17)(－18)(－19)5！＝－C 519＝－11 628.(2)性质①不能推广，例如当x ＝2时，有意义，但无意义；性质②能推广，它的推广形式是C mx ＋C m －1x ＝C mx ＋1，x ∈R ，m 为正整数． 证明：当m ＝1时， 有C 1x ＋C 0x ＝x ＋1＝C 1x ＋1； 当x ≥2时， C mx ＋C m －1x＝x (x －1)…(x －m ＋1)m ！＋x (x －1)(x －2)…(x －m ＋2)(m －1)！＝x (x －1)…(x －m ＋2)(m －1)！⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋1m ＋1＝(x ＋1)x (x －1)…(x －m ＋2)m ！＝C mx ＋1.综上，性质②的推广得证．课时分层作业(四) 二项式定理(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( ) A ．(x －1)3B ．(x －2)3C ．x 3D ．(x ＋1)3C [S ＝[(x －1)＋1]3＝x 3.]2．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 7的展开式的第4项等于5，则x 等于( )A ．17B ．－17C ．7D ．－7B [T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，则x ＝－17.]3．(1－x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3展开式中常数项是( )A ．－20B ．18C ．20D ．0C [(1－x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3＝－(1－x )6x 3，要求原式的常数项，即求－(1－x )6中x 3的系数，T r ＋1＝－C r 6(－x )r ，所以r ＝3，所以C 36＝20.]4．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7B [T r ＋1＝C rn (3x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r x ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．]5．若二项式(x ＋2)n的展开式的第4项是52，第3项的二项式系数是15，则x 的值为( )A.12B.14C.28D.18B [由二项式(x ＋2)n的展开式的第4项为23C 3n x n －3，第3项的二项式系数是C 2n ，可知C 2n ＝15,23C 3n xn －3＝52，可得n ＝6，x ＝14，选B.] 二、填空题6．在(1＋x )6·(1－x )4的展开式中，x 3的系数是________．－8 [(1＋x )6·(1－x )4＝(1＋x )2·(1＋x )4·(1－x )4＝(1＋2x ＋x 2)(1－x 2)4. ∴x 3的系数为2·C 14·(－1)＝－8.]7．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________．56 [因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即C 2n ＝C 6n ，所以n ＝8，所以展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8x 8－2r ，令8－2r ＝－2，解得r ＝5，所以T 6＝C 58⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2，所以1x 2的系数为C 58＝56.]8．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．2 [对于T r ＋1＝C r 6x6－r(－ax )r ＝C r 6(－a )r·x，B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2.]三、解答题9．在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．[解] (1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240. (2)T k ＋1＝C k6(2x )6－k⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k ，令3－k ＝2，得k ＝1.所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.10．已知f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋4x )n (m ，n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含x 2项的系数的最小值．[解] (1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 的项为C 1m ·2x ＋C 1n ·4x ＝(2C 1m ＋4C 1n )x ， ∴2C 1m ＋4C 1n ＝36，即m ＋2n ＝18，(1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 2的项的系数为t ＝C 2m 22＋C 2n 42＝2m 2－2m ＋8n 2－8n .∵m ＋2n ＝18，∴m ＝18－2n ，∴t ＝2(18－2n )2－2(18－2n )＋8n 2－8n ＝16n 2－148n ＋612＝16⎝⎛⎭⎪⎫n 2－374n ＋1534，∴当n ＝378时，t 取最小值，但n ∈N *，∴n ＝5时，t 即x 2项的系数最小，最小值为272.[能力提升练]1．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5C [C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n＝(1＋x )n－1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅C 适合．]2．已知二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n中x 2项的系数为( )A ．－19B ．19C ．20D ．－20C [⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的通项公式为T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C rn x ，由题意知n 2－5×36＝0，得n ＝5，则所求式子中的x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.]3.⎝⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |－23展开式中的常数项是________．－20 [⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |－23＝(1－|x |)6|x |3，在(1－|x |)6中，|x |3的系数A ＝C 36(－1)3＝－20.即所求展开式中常数项是－20.]4．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________． 2 [T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a6－r·b r x12－3r，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a6－3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2.]5．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 的展开式的前三项系数的和为129，试问这个展开式中是否有常数项？有理项？如果没有，请说明理由；如果有，求出这一项．[解] ∵T r ＋1＝C rn ·x·2r·x＝C r n ·2r·x，据题意，C 0n ＋C 1n ·2＋C 2n ·22＝129，解得n ＝8，∴T r ＋1＝C r8·2r·x，且0≤r ≤8.由于24－5r6＝0无整数解，所以该展开式中不存在常数项．又24－5r 6＝4－5r 6，∴当r ＝0或r ＝6时，24－5r6∈Z ， 即展开式中存在有理项，它们是：T 1＝x 4，T 7＝26·C 68·x －1＝1 792x.课时分层作业(五) 二项式系数的性质及应用(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．(1－x )13的展开式中系数最小的项为( ) A ．第六项 B ．第七项 C ．第八项D ．第九项C [展开式中共有14项，中间两项(第七、八项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数，故系数最小的项为第八项，系数最大的项为第七项．]2．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是( )A ．5B ．20C ．10D ．40C [根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32， 则有2n＝32，可得n ＝5，T r ＋1＝C r 5x2(5－r )·x －r ＝C r 5x 10－3r， 令10－3r ＝1，解得r ＝3，所以展开式中含x 项的系数是C 35＝10，故选C.]3．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n的展开式的各项系数和是( ) A ．2n ＋1B ．2n ＋1＋1 C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－2D [令x ＝1，可知其各项系数和为2＋22＋ (2)＝2n ＋1－2.]4．设(1＋x ＋x 2)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( )A ．2nB.3n－12C ．2n ＋1D.3n＋12D [令x ＝1，得3n＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ， ① 令x ＝－1，得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ， ② ①＋②得3n＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )， ∴a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n＋12.故选D.]5．已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba的值为( ) A.1285B.2567C.5125D.1287A [由题意得a ＝C 48＝70，设b ＝C r 82r，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，得5≤r ≤6，所以b ＝C 6826＝C 2826＝7×28，所以b a ＝1285.故选A.] 二、填空题6．233除以9的余数是________．8 [233＝811＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21198－…－1， ∴233除以9的余数是8.]7.如图，在“杨辉三角”中，斜线l 的上方，从1开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10，…，记此数列为{a n }，则a 21＝________.66 [此数列依次为C 22；C 13，C 23；C 14，C 24；C 15，C 25；…；C 112，C 212；…；a 21＝C 212＝12×112＝66.] 8．设(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2的值为________．1 [令(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， 令x ＝1得A ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10，令x ＝－1得B ＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 10＝(2＋1)10，所以(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝A ·B ＝[(2＋1)(2－1)]10＝[(2)2－1]10＝1.]三、解答题9．已知(1＋2x )100＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 100(x －1)100，求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值．[解] 令x ＝2，可以得到5100＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100， ① 令x ＝0，可以得到1＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 100， ② 由①—②得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12(5100－1)．10．已知⎝⎛⎭⎪⎫41x＋3x2n 的展开式中的倒数第三项的系数是45. (1)求含x 3的项； (2)求系数最大的项．[解] 已知展开式中倒数第三项的系数为45，则C n －2n ＝45，即C 2n ＝45，所以n 2－n －90＝0，解得n ＝－9(不合题意，舍去)或n ＝10.(1)即求⎝⎛⎭⎪⎫41x ＋3x 210展开式中含x 3的项．由通项T r ＋1＝C r 10(x －14)10－r (x )r ＝C r10x，得－10－r 4＋2r3＝3，－30＋3r ＋8r ＝36,11r ＝66，得r ＝6.故含有x 3的项是第7项T 7＝C 610x 3＝210x 3. (2)∵⎝⎛⎭⎪⎫41x ＋3x 210的展开式共有11项，系数最大项是第6项．∴T 6＝ C 510(x)5·(x )5＝252x .[能力提升练]1．已知(1－2x )n 展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x )n(1＋x )展开式中含x 2项的系数为( )A ．71B ．70C ．21D ．49B [因为奇数项的二项式系数之和为2n －1，所以2n －1＝64，n ＝7，因此(1－2x )n(1＋x )的展开式中含x 2项的系数为C 27(－2)2＋C 17(－2)＝70，故选B.]2．若(1－2x )2 019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 019x2 019(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01922 019的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2C [令x ＝12，可得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01922 019＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01922 019＝－a 0，再令x ＝0得a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01922 019＝－a 0＝－1.] 3．设m 是正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________.6 [由题意可知13C m2m ＝7C m ＋12m ＋1， ∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！， ∴m ＝6.]4．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.62 [根据题意，设所求的行数为n ，则存在正整数k ， 使得连续三项C k －1n，C k n ，Ck ＋1n，有C k －1n C k n ＝34且C kn C k ＋1n ＝45.化简得k n －k ＋1＝34，k ＋1n －k ＝45，联立解得k ＝27，n ＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．]5．已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次项的系数之和． [解] (1)由已知C 1m ＋2C 1n ＝11，所以m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m (m －1)2＋2n (n －1)＝m 2－m2＋(11－m )·⎝⎛⎭⎪⎫11－m 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2142＋35116.因为m ∈N *，所以m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3.(2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3，所以f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3， 设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1， 两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60， 故展开式中x 的奇次项的系数之和为30.课时分层作业(六) 随机变量及其概率分布(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数X 是一个随机变量；②一个沿直线y ＝x 进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y 是一个随机变量；③某人1小时内接到的电话次数X 是一个随机变量；④1天内的温度Y 是一个随机变量．其中是离散型随机变量的为( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④C [①中经过的车辆数和③中接到的电话次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的X 是一个离散型随机变量．]2．抛掷两枚骰子一次，X 为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X 的所有可能的取值为( )A ．0≤X ≤5，X ∈NB ．－5≤X ≤0，X ∈ZC ．1≤X ≤6，X ∈ND ．－5≤X ≤5，X ∈ZD [两次掷出的点数均可能为1～6的整数，所以X ∈[－5,5](X ∈Z )．] 3．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( ) A ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC ．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，取出白球，0，取出红球D ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量XA [A 中随机变量X 的取值有6个，不服从两点分布，故选A.]4．某一随机变量ξ的概率分布列如下表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为( )A ．－0.2 C ．0.1D ．－0.1B [由随机变量分布列的性质可得m ＋n ＋0.2＝1，又m ＋2n ＝1.2，解得m ＝n ＝0.4，可得m －n2＝0.2.]5．抛掷两颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( ) A.16B.13C.12D.23A [根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.] 二、填空题6．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球一次得分的概率分布为________．[答案]7．若随机变量X ～01分布，P (X ＝0)＝a ，P (X ＝1)＝2a ，则a ＝________.25[∵⎩⎪⎨⎪⎧a ＋32a ＝1，0≤a ≤1，0≤32a ≤1，解得a ＝25.]8．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，则这名运动员得316[由题中条件，知2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以得3分的概率是16.]三、解答题9．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数为X ； (2)从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和为X . [解] (1)X 可取0,1,2,3.X ＝i 表示取出i 支白粉笔，(3－i )支红粉笔，其中i ＝0,1,2,3. (2)X 可取3,4,5,6,7.X ＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；X ＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；X ＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；X ＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；X ＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片．10．已知随机变量ξ的概率分布为(1)求η1＝2ξ的概率分布；(2)求η2＝ξ2的概率分布． [解] (1)η1＝12ξ的概率分布为(2)η2＝1．随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，c A.13 B.23 C.34D.45B [∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c＝23.] 2．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 为( ) A ．1 B ．1±22 C ．1＋22D ．1－22D [由分布列性质知12＋1－2q ＋q 2＝1，解得q ＝1±22，又由分布列性质知1－2q ≥0， ∴q ≤12，∴q ＝1－22，故选D.]3．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝________.0．8 [由Y ＝－2，得3X －2＝－2，X ＝0. ∴P (Y ＝－2)＝P (X ＝0)＝0.8.]4．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 [设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.]5．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝i10，i ＝1,2,3,4，求：(1)P (ξ＝1或ξ＝2)； (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<72.[解] (1)∵P (ξ＝1)＝110，P (ξ＝2)＝210，∴P (ξ＝1或ξ＝2)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝110＋210＝310＝0.3.(2)ξ＝1,2,3,4，又12<ξ<72，故只有ξ＝1,2,3适合，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<72＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝110＋210＋310＝0.6.课时分层作业(七) 超几何分布(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X 表示取出的最大号码； ②X 表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分； ④X 表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②④D ．①②③④B [由超几何分布的概念知③④符合，故选B.]2．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为( )A.C 615A 615 B.C 310C 35C 615 C.C 410C 25C 615D.C 410A 25A 615C [组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为C 410C 25C 615.]3．一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 222C 226的是( ) A ．P (0<X ≤2) B ．P (X ≤1) C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)B [结合题意，当X ＝1时，P (X ＝1)＝C 122C 14C 226，当X ＝0时，P (X ＝0)＝C 222C 226，故P (X ≤1)＝C 122C 14＋C 222C 226.] 4．从含2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为X ，则X 的分布列为( )A [X 的所有可能取值为0,1,2，“X ＝0”表示入选3人全是男生， 则P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，“X ＝1”表示入选3人中恰有1名女生， 则P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，“X ＝2”表示入选3人中有2名女生， 则P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.因此X 的分布列为5．10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好取1名女生的概率为1645，则a ＝( ) A ．1 B ．2或8 C ．2D ．8B [由题意，得1645＝C 110－a C 1aC 210，解得a ＝2或a ＝8.]二、填空题6．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________．47245[设抽取的两件产品中次品的件数为X ， 则P (X ＝k )＝C k 5C 2－k45C 250(k ＝0,1,2)．∴P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 145C 250＋C 25C 250＝47245.]7．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为________．15 [用X 表示中奖票数，P (X ≥1)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50>0.5，解得n ≥15.]8．某班班委会由5名女生和4名男生组成，现要从中任选3人参加一项公益活动，所选3人中男生人数ξ的分布列为________．[ξ的可能取值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝5C 39＝42，P (ξ＝1)＝54C 39＝21，P (ξ＝2)＝C 15C 24C 39＝514，P (ξ＝3)＝C 34C 39＝121.所以ξ的分布列为三、解答题9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．[解] (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，X ～H (3,6,10)． 则P (X ＝k )＝C k 6C 3－k4C 310(k ＝0,1,2,3)，P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝2＋6＝3.10．袋中有形状大小完全相同的4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的概率分布； (2)求得分大于6分的概率．[解] (1)从袋中随机取4个球有1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.∴P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求概率分布为(2)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335.[能力提升练]1．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.2125C [因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X ＝4，即旧球的个数增加一个，所以取出的3个球中必有一个新球，即取出的3个球必为2个旧球1个新球，所以P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.]2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本有( )A ．2本B ．3本C ．4本D ．5本C [设语文课本有n 本，则数学课本有(7－n )本(n ≥2)，则2本都是语文课本的概率是C 2n C 07－n C 27＝27.所以n 2－n －12＝0，所以n ＝4或n ＝－3，所以n ＝4.] 3．在六个数字1,2,3,4,5,7中，若随机取出三个数字，则剩下三个数字都是奇数的概率是________．0．2 [剩下三个数字都是奇数，则取出的三个数字为两偶一奇．故P ＝C 22·C 14C 36＝420＝0.2.]4．某电视台在一次对收看新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2名，则恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率为________．35 [由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有1845×5＝2人．设随机变量X 表示20至40岁的人数，则X 服从超几何分布H (2,2,5)，故P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35.]。
高中数学分层训练参考答案
高中数学分层训练参考答案高中数学分层训练参考答案在高中阶段，数学是一门重要的学科，对于学生的发展和未来的职业选择都起着重要的作用。
为了更好地帮助学生掌握数学知识和提高解题能力，许多学校采取了分层训练的方式。
分层训练根据学生的能力和水平将他们分成不同的组别，提供相应难度的题目和训练材料。
下面是一些高中数学分层训练的参考答案，供学生参考。
第一层：基础巩固这一层主要针对数学基础薄弱的学生，旨在帮助他们夯实基础知识，提高解题能力。
以下是一些常见题目及其参考答案：1. 计算下列各式的值：a) 2 + 3 × 4 = 14b) (5 - 2) × 3 = 9c) 8 ÷ (2 + 3) = 1.62. 求下列方程的解：a) 2x + 5 = 13解：x = 4b) 3(x - 2) = 12解：x = 6c) 4x ÷ 2 = 10解：x = 5第二层：提高应用能力这一层主要针对数学基础较好的学生，旨在培养他们的应用能力和解决实际问题的能力。
以下是一些常见题目及其参考答案：1. 已知一个长方形的长是5cm，宽是3cm，求其面积和周长。
解：面积 = 长× 宽= 5cm × 3cm= 15cm²周长= 2 × (长 + 宽) = 2 × (5cm + 3cm) = 16cm2. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了4小时后停下来，求汽车行驶的总路程。
解：总路程 = 速度× 时间 = 60公里/小时× 4小时 = 240公里第三层：拓展应用与创新这一层主要针对数学基础扎实，对数学有较强兴趣和理解能力的学生，旨在培养他们的创新思维和问题解决能力。
以下是一些常见题目及其参考答案：1. 一辆火车以每小时80公里的速度行驶，行驶了2小时后，停下来加油，然后以每小时60公里的速度行驶，最终到达目的地。
求火车行驶的总路程。
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分层训练(二十一)正弦定理、余弦定理应用举例A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图3-7-9所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()图3-7-9A．a km B.3a kmC.2a km D．2a kmB[在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，AB＝3a.]2．如图3-7-10，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()导学号：51062127图3-7-10A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D ．南偏西80° D [由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.]3．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里A [如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．]4．如图3-7-11，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为 6 min ，则客船在静水中的速度为( )图3-7-11A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/hB [设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.]5．如图3-7-12，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ()图3-7-12A．30°B．45°C．60°D．75°B[依题意可得AD＝2010(m)，AC＝305(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.]二、填空题6．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米. 导学号：5106212816[如图所示，设BD＝x m，则142＝102＋x2－2×10×x×cos 60°，整理得x2－10x－96＝0，x＝－6(舍去)，x＝16，∴x＝16(米)．]7．如图3-7-13，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米. 导学号：51062129图3-7-13 106 [在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC ，AB ＝BC tan 60°＝106(米)．] 8．如图3-7-14所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．图3-7-1463 [由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°， 由正弦定理得AC sin B ＝AB sin ∠ACB ， 所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB＝20×sin 60°sin 45°＝106， 所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分钟)．]三、解答题9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)图3-7-15[解]在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80 2.4分在△ABC中，BCsin 30°＝ABsin 45°，∴BC＝AB sin 30°sin 45°＝80×1222＝40 2.8分在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 60°＝(802)2＋(402)2－2×802×402×12＝9 600.∴DC＝406，航模的速度v＝40620＝26米/秒. 14分10．如图3-7-16，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．图3-7-16(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值. 导学号：51062130[解] (1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.4分在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC＝1＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC 2＝14海里/小时.8分(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°，10分即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.14分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 ( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 mA [设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m ．]2．如图3-7-17，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图3-7-17150 [根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MN AM ＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)．]3．如图3-7-18已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一个发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100米和BN ＝200米，一测量车在小山M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003米后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．图3-7-18[解] 在Rt △AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100，∴PM ＝1003，连接QM (图略)，在△PQM 中，∠QPM ＝60°，4分又PQ ＝1003，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100 3.8分在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，∴BQ＝1005，cos θ＝55.12分在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQ cos θ＝(1005)2，∴BA＝100 5.即两发射塔顶A，B之间的距离是1005米.14分。