高中数学第3章第7节课时分层训练

分层训练(二十一)

正弦定理、余弦定理应用举例

A组基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．如图3-7-9所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()

图3-7-9

A．a km B.3a km

C.2a km D．2a km

B[在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，

∴AB2＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，AB＝3a.]

2．如图3-7-10，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()

导学号：51062127

图3-7-10

A．北偏东10°

B．北偏西10°

C．南偏东80°

D ．南偏西80° D [由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.]

3．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )

A ．102海里

B ．103海里

C ．203海里

D ．202海里

A [如图所示，易知，在△ABC 中，A

B ＝20海里，∠CAB

＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，

解得BC ＝102(海里)．]

4．如图3-7-11，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为 6 min ，则客船在静水中的速度为

( )

图3-7-11

A ．8 km/h

B ．6 2 km/h

C ．234 km/h

D ．10 km/h

B [设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意

知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.]

5．如图3-7-12，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50

m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ()

图3-7-12

A．30°B．45°

C．60°D．75°

B[依题意可得AD＝2010(m)，AC＝305(m)，

又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得

cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD2

2AC·AD

＝(305)2＋(2010)2－502

2×305×2010

＝ 6 000

6 0002

＝2

2

，

又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.]

二、填空题

6．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米. 导学号：51062128

16[如图所示，设BD＝x m，

则142＝102＋x2－2×10×x×cos 60°，整理得x2－10x－96＝0，x＝－6(舍去)，x＝16，∴x＝16(米)．]

7．如图3-7-13，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在

塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米. 导学号：51062129

图3-7-13 106 [在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝

AB BC ，AB ＝BC tan 60°

＝106(米)．] 8．如图3-7-14所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．

图3-7-14

63 [由已知得∠ACB ＝45°

，∠B ＝60°， 由正弦定理得AC sin B ＝

AB sin ∠ACB ， 所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB

＝20×sin 60°sin 45°＝106， 所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分钟)．]

三、解答题

9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下

办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC

＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)

图3-7-15

[解]在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，

∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80 2.4分

在△ABC中，BC

sin 30°

＝AB

sin 45°

，

∴BC＝AB sin 30°

sin 45°

＝

80×

1

2

2

2

＝40 2.8分

在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 60°

＝(802)2＋(402)2－2×802×402×1

2

＝9 600.

∴DC＝406，航模的速度v＝406

20

＝26米/秒. 14分

10．如图3-7-16，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

图3-7-16