题型一数形结合解决方程的根的个数问题

题型一 数形结合解决方程的根的个数问题

1.对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

a 2－a

b ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关

于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是 ________．

2.已知：函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2， 则方程f (x )＝lg x 解的个数是

( )

A ．5

B ．7

C ．9

D ．10

题型二 数形结合解不等式问题

3. 已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

－x 2＋2x ， x ≤0，

ln (x ＋1)， x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是 ( )

A ．(－∞，0]

B ．(－∞，1]

C ．[－2,1]

D ．[－2,0] 4.已知函数y ＝|x 2

－1|

x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围

是________．

5.设有函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝4

3x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，则实数a

的取值范围为________________

6.已知不等式x 2＋ax －2a 2<0的解集为P ，不等式|x ＋1|<3的解集为Q ，若P ⊆Q ，则实数a 的取值范围为__________________

题型三 数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题

7..已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最 大值是

( )

A ．1

B ．2

C. 2

D.

2

2

8..在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，

3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则

直线OM 斜率的最小值为

( ) A ．2

B ．1

C ．－13

D ．－12

9..已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则b

a ＋1

的取值范围为 ( ) A ．(－∞，1)

B ．(－∞，1]

C ．(－2,1]

D ．(－2,即

10.已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩

⎪⎨⎪⎧

x －2y ＋1≥0，

|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是( )

A ．[2,4]

B ．[2,16]

C ．[4,10]

D ．[4,16]

题型四 数形结合解几何问题

11．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2

上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为

( ) A ．52－4

B.17－1 C ．6－2 2

D.17

12.已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为

( )

A ．(14，－1)

B ．(14

，1) C ．(1,2)

D ．(1，－2)

13.已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形P ACB 面积的最小值．

14.已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．

15.设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β. (1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．

参考答案

题型一 数形结合解决方程的根的个数问题

1. 解析 由定义可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

(2x －1)x ，x ≤0，

－(x －1)x ，x >0.作出函数f (x )的图象，

如图所示．由图可知，当0

4

时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等

的实数根x 1，x 2，x 3.不妨设x 10，且x 2＋x 3＝2×12＝1， ∴x 2x 3<1

4

.

令⎩⎪⎨⎪⎧

(2x －1)x ＝14，x <0，

解得x ＝1－34. ∴1－34

16

2.答案 C 解析 由题意可知，f (x )是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f (x )＝lg x ，则x ∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．

题型二 数形结合解不等式问题

3. 答案 D 解析 函数y ＝|f (x )|的图象如图．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．

②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立．

③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立．即a ≥x －2成立，∴a ≥－2.

综上所述：－2≤a ≤0.故选D.

4. 答案 (0,1)∪(1,4)解析 根据绝对值的意义，

y ＝|x 2－1|x －1＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ＋1(x >1或x <－1)，－x －1(－1≤x <1).在直角坐标系中作出该函数的图象，如

图中实线所示．根据图象可知，当0

5..解 f (x )≤g (x )，即a ＋－x 2－4x ≤4

3

x ＋1，

变形得－x 2－4x ≤4

3

x ＋1－a ， 令y ＝－x 2－4x ， ①

y ＝4

3

x ＋1－a . ①变形得(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≥0)， 即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为4

3，纵截距为1－a 的平行直

线系． 设与圆相切的直线为AT ，AT 的直线方程为：y ＝4

3

x ＋b (b ＞0)，

则圆心(－2,0)到AT 的距离为d ＝|－8＋3b |5， 由|－8＋3b |5＝2得，b ＝6或－2

3

(舍去)．

∴当1－a ≥6即a ≤－5时，f (x )≤g (x )．

6.解 x 2＋ax －2a 2＝(x ＋2a )(x －a )<0. |x ＋1|<3⇒Q ＝{x |－40时，P ＝{x |－2a