2019年江苏省高考数学试卷高考数学真题

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2019年高考数学江苏卷-答案

2019年高考数学江苏卷-答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)数学答案解析一、填空题 1.【答案】{1,6} 【解析】由交集定义可得{1,6}A B =【考点】集合的交运算 2.【答案】2【解析】(a+2 i)(1+i)=a-2+(a+2) i ,实部是0,-20, 2a a ∴==. 【考点】复数的运算、实部的概念 3.【答案】5【解析】执行算法流程图,11,2x S ==,不满足条件;32,2x S ==,不满足条件;3, 3x S ==,不满足条件;4, 5x S ==,满足条件,结束循环,故输出的S 的值是5. 【考点】算法流程图 4.【答案】[1,7]-【解析】要使函数有意义,则2760x x +-≥,解得17x -剟,则函数的定义域是[-1,7]. 【考点】函数的定义域 5.【答案】53【解析】数据6,7,8.8,9,10的平均数是678891086+++++=,则方差是410014563+++++=.【考点】平均数、方差 6.【答案】710【解析】记3名男同学为,,A B C ,2名女同学为,a b ,则从中任选2名同学的情况有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)(,)A B A C A a A b B C B a B b C a C b a b ,,共10种,其中至少有1名女同学的情况有(,),(,),(,),()(C, a),(C, ,b),(a, b)A a A b B a B b ,,共7种,故所求概率为710. 【考点】古典概型7.【答案】y =【解析】因为双曲线2221(0)y x b b -=>经过点(3,4),所以21691b-=,得b =程是y bx =±=. 【考点】双曲线的几何性质 8.【答案】16 【解析】通解设等差数列{}n a 的公差为d .则()(22258111111914)74570,93627a a a a d a d a d a d a d a d S a d +=++++=++++==+=,解得152a d =-=,,则81828405616S a d =+=-+=.优解设等差数列{}n a 的公差为d .()199559927,32a a S a a +====,又2580a a a +=,则3(33)330d d -++=,得2d =,则()(1884584)4(13)162a a S a a +==+=+=.【考点】等差数列的通项公式与前n 项和公式 9.【答案】10【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,所以1120ABCD CC S ⋅=四边形,又E 是1CC 的中点,所以三棱锥E BCD -的体积11111112010332212E BCD BCD ABCD V EC S CC S -∆=⋅=⨯⨯=⨯=四边形. 【考点】空间几何体的体积 10.【答案】4 【解析】通解设4,,0P x x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭,则点P 到直线0x y +=的距离424x d +==≥=,当且仅当42x x=,即x =时取等号,故点P 到直线0x y +=的距离的最小值是4. 优解由4(0)y x x x =+>得241y x'=-,令2411x -=-,得x =,则当P点的坐标为时,点P 到直线0x y +=4=.【考点】点到直线的距高公式、基本不等式的应用 11.【答案】(e, 1)【解析】设()00,ln A x x ,又1y x'=,则曲线ln y x =在点A 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-,将(,1)e --代入得,()00011ln x e x x --=--,化简得00ln ex x =,解得0e x =,则点A 的坐标是(,1)e . 【考点】导数的几何意义的理解和应用 12.【解析】解法一以点D 为坐标原点,BC 所在的直线为x 轴,BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,不妨设(,0),(,0),(,),00B a C a A b c a c ->>,,由2B E E A=得22,33b a c E -⎛⎫⎪⎝⎭,则直线:c OA y x b =,直线:(2)()C E b a yc xa-=-,联立可得,22b c O ⎛⎫⎪⎝⎭,则222224222(,)(),,,22333b c a b c b c abAB AC a b c a b c b c a AO EC -+-⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅--=+-⋅=--⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由6A B A CA O E C ⋅=⋅得()2222222b c a b c ab+-=+-,化简得2224ab b c a =++,则AB AC ===. 解法二由,,A O D 三点共线,可设AO AD =λ,则()2AO AB AC λ=+,由,,E O C 三点共线可设EO EC =μ,则()AO AE AC AE -=μ-,则1(1)(1)3A O A E A C A B A C =-μ+μ=-μ+μ,由平面向量基本定理可得1(1)322λ⎧-μ=⎪⎪⎨λ⎪μ=⎪⎩解得11,42μ=λ=,则11(),43AO AB AC EC AC AE AC AB=+=-=-,则221132166())43233AO EC AB AC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫⎛⋅=⨯+⋅-=⋅+-=⋅ ⎪ ⎝⎭⎝,化简得223AC AB =,则ABAC=【考点】向量的线性运算、数量积 13.【答案】10【解析】通解t a nt a n (1t a n )2t a n 1t a n 131t a nαα-α==-α+α+-α得tan 2α=或1tan 3α=-,当t a n 2α=时,2222222222sin cos 2tan 4cos sin 1tan 3sin 2,cos2sin cos tan 15sin cos tan 15αααα-α-αα===α===-α+αα+α+αα+此时1sin 2cos 25α+α=,同理当1t a n 3α=-时,34sin 2,cos255α=-α=,此时1s i n 2c o s 25α+α=,所sin(2)2cos2)4210πα+=α+α=. 优解,s i n c o st a n 243t a n c o s s i n 44π⎛⎫αα+ ⎪α⎝⎭==-ππ⎛⎫⎛⎫α+αα+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则2sin cos cos sin 434ππ⎛⎫⎛⎫αα+=-αα+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又5sin sin cos cos sin sin cos 244434⎡⎤ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=α+-α=α+α-α+α=α+α ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,则sin cos 4π⎛⎫α+α=⎪⎝⎭,则1s i n 44⎡⎤πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫α+=α++α=α+α+α+α=α+α== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【考点】同角三角画款的基本关系、三角也等变换14.【答案】1,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】当(0,2]x ∈时,令y 22(1)1,0x y y -+=…,即()f x 的图象是以(1,0)为圈心、1为半径的半圆,利用()f x 是奇函数,且周期为4,画出函数()f x 在(0,9]上的图象,再在同一坐标系中作出函数()((0,9])g x x ∈的图象,如图,关于x 的方程()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根,即两个函数的图象有8个不同的交点,数形结合知()((0,1])g x x ∈与()((0,1])f x x ∈的图象有2个不同的交点时满足题意,当直线(2)y k x =+经过点(1,1)时,13k =,当直线(2)y k x =+与半圆22(1)1(0)x y y -+=…相切时,1=,k =k =,所以k的取值范围是134⎡⎢⎣⎭。

2019高考数学江苏卷(附参考答案和详解)

2019高考数学江苏卷(附参考答案和详解)

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2019年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)

2019年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)

2019年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1.函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 .【答案】π【解析】T =|2πω |=|2π2 |=π.2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位),则复数z 的模为 . 【答案】5【解析】z =3-4i ,i 2=-1,| z |==5.3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 . 【答案】x y 43±= 【解析】令:091622=-y x ,得x x y 431692±=±=. 4.集合}1,0,1{-共有 个子集.【答案】8【解析】23=8.5.右图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 . 【答案】3【解析】n =1,a =2,a =4,n =2;a =10,n =3;a =28,n =4. 6则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 . 【答案】2【解析】易得乙较为稳定,乙的平均值为:9059288919089=++++=x .方差为:25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S . 7.现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m , 都取到奇数的概率为 .【答案】6320 【解析】m 取到奇数的有1,3,5,7共4种情况;n 取到奇数的有1,3,5,7,9共5种情况,则n m ,都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯. 8.如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ,,分别是1AA AC AB ,,的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V .【答案】1:24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1:2,故体积之比为1:8.又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1:3.所以,三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1:24.9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) .若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是 . 【答案】[—2,12 ]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y =2x —1,令z =y x 2+,y =—12 x +z 2 . 画出可行域如下,易得过点(0,—1)时,z min =—2,过点(12 ,0)时,z max =12 .10.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点,AB AD 21=,BC BE 32=, 若21λλ+=(21λλ,为实数),则21λλ+的值为 . 【答案】12【解析】)(32213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+=xAB C1A DE F1B1C213261λλ+=+-=所以,611-=λ,322=λ,=+21λλ12 . 11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

2019年江苏高考数学试卷及答案

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2019年江苏高考数学试卷及答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位......置上...1.已知集合{1,0,1,6}A =-,{|0,}B x x x =>∈R ,则A B =▲.2.已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是▲.3.下图是一个算法流程图,则输出的S 的值是▲.4.函数y =的定义域是▲.5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是▲.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是▲.8.已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列,n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==,则8S 的值是▲.9.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是▲.10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是▲.11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是▲.12.如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅ ,则ABAC的值是▲.13.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是▲.14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数,()f x 的周期为4,()g x 的周期为2,且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时,2()1(1)f x x =--,(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩,其中k >0.若在区间(0,9]上,关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根,则k 的取值范围是▲.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若a =3c ,b ,cos B =23,求c 的值;(2)若sin cos 2A B a b =,求sin(2B π+的值.16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别为BC ,AC 的中点,AB =BC .求证:(1)A 1B 1∥平面DEC 1;(2)BE ⊥C 1E .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1.已知DF 1=52.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)求点E 的坐标.18.(本小题满分16分)如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA .规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆....O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C 、D 为垂足),测得AB =10,AC =6,BD =12(单位:百米).(1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;(3)对规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d (单位:百米).求当d 最小时,P 、Q 两点间的距离.19.(本小题满分16分)设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为f (x )的导函数.(1)若a =b =c ,f (4)=8,求a 的值;(2)若a ≠b ,b =c ,且f (x )和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中,求f (x )的极小值;(3)若0,01,1a b c =<= ,且f (x )的极大值为M ,求证:M ≤427.20.(本小满分16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.(1)已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足:245324,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为“M -数列”;(2)已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数,若存在“M -数列”{c n }*()n ∈N ,对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有1k k k c b c + 成立,求m 的最大值.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题........,.并在相应的答题区域内作答.............若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A (1)求A 2;(2)求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中,已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)设x ∈R ,解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.(1)求n 的值;(2)设(1n a +=+*,a b ∈N ,求223a b -的值.23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯,{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N 令n n n n M A B C = .从集合M n 中任取两个不同的点,用随机变量X 表示它们之间的距离.(1)当n =1时,求X 的概率分布;数学试卷参考答案1.{1,6}2.23.54.[1,7]- 5.536.7107.y =8.169.1010.411.(e, 1)13.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭15.解:(1)因为23,3a cb B ===,由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=,得2222(3)(2)323c c c c+-=⨯⨯,即213c =.所以33c =.(2)因为sin cos 2A Ba b =,由正弦定理sin sin a b A B =,得cos sin 2B Bb b=,所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =.因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而25cos 5B =.因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.16.证明:(1)因为D ,E 分别为BC ,AC 的中点,所以ED ∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB ∥A1B1,所以A1B1∥ED.又因为ED ⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB=BC ,E 为AC 的中点,所以BE ⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以CC1⊥平面ABC.又因为BE ⊂平面ABC ,所以CC1⊥BE.因为C1C ⊂平面A1ACC1,AC ⊂平面A1ACC1,C1C ∩AC=C 所以BE ⊥平面A1ACC1.因为C1E ⊂平面A1ACC1,所以BE ⊥C1E.17.解:(1)设椭圆C 的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因为DF1=52,AF2⊥x 轴,所以32==,因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)由(1)知,椭圆C :22143x y +=,a=2,因为AF2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.因为点A 在x 轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩,得256110x x +-=,解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+,得125y =-,因此1112(,)55B --.又F2(1,0),所以直线BF2:3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪,得276130x x --=,解得1x =-或137x =.又因为E 是线段BF2与椭圆的交点,所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-,得32y =-.因此3(1,)2E --.18.(1)过A 作AE BD ⊥,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ,所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B ,E )到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知2210AD AE ED =+=,从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅,所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此,Q 选在D 处也不满足规划要求.综上,P 和Q 均不能选在D 处.(3)先讨论点P 的位置.当∠OBP<90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B=15,此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=;当∠OBP>90°时,在1PPB △中,115PB PB >=.由上可知,d ≥15.再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,2222156321CQ QA AC =-=-=.此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB ⊥AB ,点Q 位于点C 右侧,且CQ=321时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+321(百米).19.解:(1)因为a b c ==,所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-.因为(4)8f =,所以3(4)8a -=,解得2a =.(2)因为b c =,所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-,从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.令()0f 'x =,得x b =或23a b x +=.因为2,,3a ba b +,都在集合{3,1,3}-中,且a b ≠,所以21,3,33a ba b +===-.此时2()(3)(3)f x x x =-+,()3(3)(1)f 'x x x =+-.令()0f 'x =,得3x =-或1x =.列表如下:x(,3)-∞-3-(3,1)-1(1,)+∞()f 'x +0–0+()f x极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-.(3)因为0,1a c ==,所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++,2()32(1)f 'x x b x b =-++.因为01b <≤,所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>,则()f 'x 有2个不同的零点,设为()1212,x x x x <.由()0f 'x =,得1211,33b b b b b b x x ++==.列表如下:x1(,)x -∞1x ()12,x x 2x 2(,)x +∞()f 'x +0–0+()f x极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =.()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤.因此427M ≤.20.解:(1)设等比数列{an}的公比为q ,所以a1≠0,q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩,得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩,解得112a q =⎧⎨=⎩.因此数列{}n a 为“M —数列”.(2)①因为1122n n n S b b +=-,所以0n b ≠.由1111,b S b ==得212211b =-,则22b =.由1122n n n S b b +=-,得112()n n n n n b b S b b ++=-,当2n ≥时,由1n n n b S S -=-,得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---,整理得112n n n b b b +-+=.所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此,数列{bn}的通项公式为bn=n ()*n ∈N .②由①知,bk=k ,*k ∈N .因为数列{cn}为“M –数列”,设公比为q ,所以c1=1,q>0.因为ck ≤bk ≤ck+1,所以1k k q k q -≤≤,其中k=1,2,3,…,m.当k=1时,有q ≥1;当k=2,3,…,m 时,有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-.设f (x )=ln (1)x x x >,则21ln ()xf 'x x -=.令()0f 'x =,得x=e.列表如下:x(1,e)e (e ,+∞)()f 'x +–f (x )极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=,所以max ln 3()(3)3f k f ==.取q =k=1,2,3,4,5时,ln ln kq k,即k k q ≤,经检验知1k q k -≤也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216,所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上,所求m 的最大值为5.数学Ⅱ(附加题)参考答案21.A .[选修4–2:矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:(1)因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=,解得A 的特征值121,4λλ==.B .[选修4–4:坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:(1)设极点为O.在△OAB 中,A (3,4π),B ,2π),由余弦定理,得AB==.(2)因为直线l 的方程为sin(34ρθπ+=,则直线l 过点2π,倾斜角为34π.又)2B π,所以点B 到直线l 的距离为3sin(242ππ⨯-=.C .[选修4–5:不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.满分10分.解:当x<0时,原不等式可化为122x x -+->,解得x<–13:当0≤x ≤12时,原不等式可化为x+1–2x>2,即x<–1,无解;当x>12时,原不等式可化为x+2x –1>2,解得x>1.综上,原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.解:(1)因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥ ,,所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n n n n n n n a a ---====,44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==.因为23242a a a =,所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯,解得5n =.(2)由(1)知,5n =.5(1(1n=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,a b ∈N ,所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=,从而222237634432a b -=-⨯=-.23.解:(1)当1n =时,X的所有可能取值是12.X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======,22662222(2),(C 15C 15P X P X ======.(2)设()A a b ,和()B c d ,是从n M 中取出的两个点.因为()1()P X n P X n ≤=->,所以仅需考虑X n >的情况.①若b d =,则AB n ≤,不存在X n >的取法;②若01b d ==,,则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法;③若02b d ==,,则AB =≤,因为当3n ≥n ≤,所以X n >当且仅当AB =,此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法;④若12b d ==,,则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法.综上,当X n >时,X,且22242442(,(C C n n P X P X ++====.因此,2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-.。

2019年高考江苏卷数学试题(含答案)

2019年高考江苏卷数学试题(含答案)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学Ⅰ参考公式:样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑.柱体的体积V Sh =,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高. 锥体的体积13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1.已知集合{1,0,1,6}A =-,{|0,}B x x x =>∈R ,则AB = ▲ .2.已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是 ▲ . 3.下图是一个算法流程图,则输出的S 的值是 ▲ .4.函数276y x x =+-的定义域是 ▲ .5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 ▲ .6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .8.已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列,n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==,则8S 的值是▲ .9.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是▲ .10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ,-1)(e为自然对数的底数),则点A 的坐标是 ▲ .12.如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅,则ABAC的值是 ▲.13.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ . 14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数,()f x 的周期为4,()g x 的周期为2,且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时,2()1(1)f x x =--(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩,其中k >0.若在区间(0,9]上,关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根,则k 的取值范围是 ▲ . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . (1)若a =3c ,b 2,cos B =23,求c 的值; (2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值. 16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别为BC ,AC 的中点,AB =BC . 求证:(1)A 1B 1∥平面DEC 1;(2)BE ⊥C 1E .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1. 已知DF 1=52. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)求点E 的坐标.18.(本小题满分16分)如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA .规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆....O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C 、D 为垂足),测得AB =10,AC =6,BD =12(单位:百米).(1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;(3)对规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d (单位:百米).求当d 最小时,P 、Q 两点间的距离.19.(本小题满分16分)设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为f (x )的导函数. (1)若a =b =c ,f (4)=8,求a 的值;(2)若a ≠b ,b =c ,且f (x )和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中,求f (x )的极小值; (3)若0,01,1a b c =<=…,且f (x )的极大值为M ,求证:M ≤427. 20.(本小满分16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.(1)已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足:245324,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为“M -数列”;(2)已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-,其中S n 为数列{b n }的前n 项和. ①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数,若存在“M -数列”{c n }*()n ∈N ,对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有1k k k c b c +剟成立,求m 的最大值.2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ·参考答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分. 1.{1,6} 2.2 3.5 4.[1,7]-5.536.7107.2y x =8.169.1010.411.(e, 1)313.21014.1,34⎡⎢⎣⎭二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.满分14分. 解:(1)因为23,2,cos 3a cb B ===, 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=,得2222(3)(2)3c c +-=,即213c =.所以33c =(2)因为sin cos 2A Ba b =, 由正弦定理sin sin a b A B =,得cos sin 2B Bb b=,所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =.因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而25cos B =. 因此π25sin cos2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明:(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC,所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1,AC⊂平面A1ACC1,C1C∩AC=C,所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1,所以BE⊥C1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.解:(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因为DF1=52,AF2⊥x轴,所以DF2222211253()222DF F F-=-=,因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2. 由b2=a2-c2,得b2=3.因此,椭圆C的标准方程为221 43x y+=.(2)解法一:由(1)知,椭圆C :22143x y +=,a =2,因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16,解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方,所以A (1,4). 又F 1(-1,0),所以直线AF 1:y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩,得256110x x +-=, 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+,得 125y =-, 因此1112(,)55B --.又F 2(1,0),所以直线BF 2:3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪,得276130x x --=,解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-,得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二:由(1)知,椭圆C :22143x y +=.如图,连结EF 1.因为BF 2=2a ,EF 1+EF 2=2a ,所以EF 1=EB , 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ,所以∠A =∠B , 所以∠A =∠BF 1E ,从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴,所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1,0),由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩,得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解:解法一:(1)过A 作AE BD ⊥,垂足为E .由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ,所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B ,E )到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知2210AD AE ED =+=,从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅,所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此,Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求; 当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B =15, 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=; 当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=. 由上可知,d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,2222156321CQ QA AC =--=.此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB ⊥AB ,点Q 位于点C 右侧,且CQ =321时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+321. 解法二:(1)如图,过O 作OH ⊥l ,垂足为H.以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系.因为BD =12,AC =6,所以OH =9,直线l 的方程为y =9,点A ,B 的纵坐标分别为3,−3. 因为AB 为圆O 的直径,AB =10,所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A (4,3),B (−4,−3),直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ,所以直线PB 的斜率为43-, 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P (−13,9),22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,取线段BD 上一点E (−4,0),则EO =4<5,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知D (−4,9),又A (4,3), 所以线段AD :36(44)4y x x =-+-剟. 在线段AD 上取点M (3,154),因为22221533454OM ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭,所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求; 当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B =15,此时1P (−13,9); 当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=. 由上可知,d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,设Q (a ,9),由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>,得a =4321+Q (4321+9),此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当P (−13,9),Q (4321+9)时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离4321(13)17321PQ =+-=+.因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17321+.19.本小题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.解:(1)因为a b c ==,所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-.因为(4)8f =,所以3(4)8a -=,解得2a =.(2)因为b c =,所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-, 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.令()0f 'x =,得x b =或23a bx +=. 因为2,,3a ba b +,都在集合{3,1,3}-中,且a b ≠, 所以21,3,33a b a b +===-.此时2()(3)(3)f x x x =-+,()3(3)(1)f 'x x x =+-. 令()0f 'x =,得3x =-或1x =.列表如下:所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-.(3)因为0,1a c ==,所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++,2()32(1)f 'x x b x b =-++.因为01b <≤,所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>,则()f 'x 有2个不同的零点,设为()1212,x x x x <.由()0f 'x =,得22121111b b b b b b x x +--+++-+==.列表如下:x 1(,)x -∞1x()12,x x2x2(,)x +∞()f 'x + 0 – 0 + ()f x极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =. 解法一:()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()(23221(1)(1)2127927b b b b b b b --+++=++-+23(1)2(1)(1)2((1)1)272727b b b b b b +-+=-+-+(1)24272727b b +≤+≤.因此427M ≤. 解法二:因为01b <≤,所以1(0,1)x ∈.当(0,1)x ∈时,2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-.令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈,则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 令()0g'x =,得13x =.列表如下: x 1(0,)3131(,1)3()g'x + 0 – ()g x极大值所以当13x =时,()g x 取得极大值,且是最大值,故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以当(0,1)x ∈时,4()()27f x g x ≤≤,因此427M ≤. 20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分. 解:(1)设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩,得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩,解得112a q =⎧⎨=⎩.因此数列{}n a 为“M —数列”. (2)①因为1122n n n S b b +=-,所以0n b ≠. 由1111,b S b ==得212211b =-,则22b =. 由1122n n n S b b +=-,得112()n n n n n b b S b b ++=-, 当2n ≥时,由1n n n b S S -=-,得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---,整理得112n n n b b b +-+=.所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知,b k =k ,*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1,所以1k k q k q -≤≤,其中k =1,2,3,…,m .当k =1时,有q ≥1; 当k =2,3,…,m 时,有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-. 设f (x )=ln (1)x x x >,则21ln ()xf 'x x -=. 令()0f 'x =,得x =e.列表如下:x(1,e)e (e ,+∞)()f 'x+0 –f(x )极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=,所以max ln 3()(3)3f k f ==. 取33q =k =1,2,3,4,5时,ln ln kq k…,即k k q ≤, 经检验知1k q k -≤也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k =3,6,得3≤q 3,且q 5≤6,从而q 15≥243,且q 15≤216, 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上,所求m 的最大值为5.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答......................若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A (1)求A 2;(2)求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在极坐标系中,已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离. C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分) 设x ∈R ,解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N ….已知23242a a a =.(1)求n 的值;(2)设(13)3na b +=+*,a b ∈N ,求223a b -的值.23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯,{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N令n nnn M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点,用随机变量X 表示它们之间的距离.(1)当n =1时,求X 的概率分布;(2)对给定的正整数n (n ≥3),求概率P (X ≤n )(用n 表示).数学Ⅱ(附加题)参考答案21.【选做题】A .[选修4–2:矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:(1)因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (2)矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=,解得A 的特征值121,4λλ==. B .[选修4–4:坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分. 解:(1)设极点为O .在△OAB 中,A (3,4π),B 2,2π), 由余弦定理,得AB 223(2)232cos()524ππ+-⨯⨯⨯-=(2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=,则直线l 过点(32,)2π,倾斜角为34π. 又(2,)2B π,所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242ππ⨯-=. C .[选修4–5:不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.满分10分. 解:当x <0时,原不等式可化为122x x -+->,解得x <–13:当0≤x ≤12时,原不等式可化为x +1–2x >2,即x <–1,无解; 当x >12时,原不等式可化为x +2x –1>2,解得x >1. 综上,原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力,满分10分.解:(1)因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥,, 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====, 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==. 因为23242a a a =,所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯,解得5n =.(2)由(1)知,5n =.5(13)(13)n +=02233445555555C C 3C (3)C (3)C (3)C (3)=++++ 3a b =+解法一:因为*,a b ∈N ,所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=,从而222237634432a b -=-⨯=-. 解法二:50122334455555555(13)C C (3)C (3)C (3)C (3)C (3)=+-+-+-+-+-02233445555555C C C C C C =--+-.因为*,a b ∈N ,所以5(1a -=-.因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=⨯-=-=-.23.【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.满分10分.解:(1)当1n =时,X 的所有可能取值是1225,,X 的概率分布为22667744(1),(2)C 15C 15P X P X ======, 22662222(2),(5)C 15C 15P X P X ======. (2)设()A a b ,和()B c d ,是从n M 中取出的两个点. 因为()1()P X n P X n ≤=->,所以仅需考虑X n >的情况. ①若b d =,则AB n ≤,不存在X n >的取法;②若01b d ==,,则22()11AB a c n =-+≤+X n >当且仅当21AB n +0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法;③若02b d ==,,则22()44AB a c n =-++3n ≥2(1)4n n -+≤,所以X n >当且仅当24AB n =+,此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法; ④若12b d ==,,则22()11AB a c n =-+≤+X n >当且仅当21AB n +0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法.综上,当X n >时,X 21n +24n +,且2222242442(1),(4)C C n n P X n P X n ++=+==+=.因此,222246()1(1)(4)1C n P X n P X n P X n +≤=-=+-=+=-.。

(精品)2019年江苏省高考数学试卷

(精品)2019年江苏省高考数学试卷

2019年江苏省高考数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合{1A =-,0,1,6},{|0B x x =>,}x R ∈,则A B =I . 2.已知复数(2)(1)a i i ++的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是 . 3.如图是一个算法流程图,则输出的S 的值是 .4.函数276y x x =+-的定义域是 .5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 .6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 .8.已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列,n S 是其前n 项和.若2580a a a +=,927S =,则8S 的值是 .9.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E BCD -的体积是 .10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 .11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y lnx =上,且该曲线在点A 处的切线经过点(e -,1)(e -为自然对数的底数),则点A 的坐标是 . 12.如图,在ABC ∆中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,2BE EA =,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AOEC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ,则ABAC的值是 .13.已知tan 23tan()4απα=-+,则sin(2)4πα+的值是 . 14.设()f x ,()g x 是定义在R 上的两个周期函数,()f x 的周期为4,()g x 的周期为2,且()f x 是奇函数.当(0x ∈,2]时,2()1(1)f x x =--,(2),01,()1,12,2k x x g x x +<⎧⎪=⎨-<⎪⎩„„其中0k >.若在区间(0,9]上,关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根,则k 的取值范围是 . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若3a c =,2b =,2cos 3B =,求c 的值;(2)若sin cos 2A Ba b=,求sin()2B π+的值. 16.(14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别为BC ,AC 的中点,AB BC =. 求证:(1)11//A B 平面1DEC ; (2)1BE C E ⊥.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1(1,0)F -,2(1,0)F .过2F 作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,1与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结1AF 并延长交圆2F 于点B ,连结2BF 交椭圆C 于点E ,连结1DF .已知152DF =.(1)求椭圆C 的标准方程; (2)求点E 的坐标.18.(16分)如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥(AB AB 是圆O 的直径),规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA ,规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和(BD C 、D 为垂足),测得10AB =,6AC =,12BD =(单位:百米).(1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB 和QA的长度均为d (单位:百米),求当d 最小时,P 、Q 两点间的距离.19.(16分)设函数()()()()f x x a x b x c =---,a ,b ,c R ∈,()f x '为()f x 的导函数. (1)若a b c ==,f (4)8=,求a 的值;(2)若a b ≠,b c =,且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-,1,3}中,求()f x 的极小值;(3)若0a =,01b <„,1c =,且()f x 的极大值为M ,求证:427M „.20.(16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”. (1)已知等比数列*{}()n a n N ∈满足:245a a a =,321440a a a -+=,求证:数列{}n a 为“M -数列”;(2)已知数列*{}()n b n N ∈满足:11b =,1122n n n S b b +=-,其中n S 为数列{}n b 的前n 项和. ①求数列{}n b 的通项公式;②设m 为正整数,若存在“M -数列” *{}()n c n N ∈,对任意正整数k ,当k m „时,都有1k k k c b c +剟成立,求m 的最大值.【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)21.(10分)已知矩阵3122A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.(1)求2A ;(2)求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)22.(10分)在极坐标系中,已知两点(3,)4A π,B ,)2π,直线1的方程为sin()34πρθ+=.(1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分) 23.设x R ∈,解不等式|||21|2x x +->.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.(10分)设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+,4n …,*n N ∈.已知23242a a a =. (1)求n 的值;(2)设(1n a =+a ,*b N ∈,求223a b -的值.25.(10分)在平面直角坐标系xOy 中,设点集{(0,0)n A =,(1,0),(2,0),⋯,(,0)}n ,{(0,1)n B =,(,1)}n ,{(0,2)n C =,(1,2),(2,2),⋯⋯,(,2)}n ,*n N ∈.令n n n n M A B C =U U .从集合n M 中任取两个不同的点,用随机变量X 表示它们之间的距离. (1)当1n =时,求X 的概率分布;(2)对给定的正整数(3)n n …,求概率()P X n „(用n 表示).2019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合{1A =-,0,1,6},{|0B x x =>,}x R ∈,则A B =I {1,6} . 【思路分析】直接利用交集运算得答案.【解析】:{1A =-Q ,0,1,6},{|0B x x =>,}x R ∈,{1A B ∴=-I ,0,1,6}{|0x x >I ,}{1x R ∈=,6}.故答案为:{1,6}.【归纳与总结】本题考查交集及其运算,是基础题.2.已知复数(2)(1)a i i ++的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是 2 . 【思路分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0求的a 值. 【解析】:(2)(1)(2)(2)a i i a a i ++=-++Q 的实部为0, 20a ∴-=,即2a =.故答案为:2.【归纳与总结】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题. 3.如图是一个算法流程图,则输出的S 的值是 5 .【思路分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解析】:模拟程序的运行,可得 1x =,0S = 0.5S =不满足条件4x …,执行循环体,2x =, 1.5S = 不满足条件4x …,执行循环体,3x =,3S = 不满足条件4x …,执行循环体,4x =,5S = 此时,满足条件4x …,退出循环,输出S 的值为5. 故答案为:5.【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.4.函数y =的定义域是 [1-,7] .【思路分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案. 【解析】:由2760x x +-…,得2670x x --„,解得:17x -剟.∴函数y =[1-,7].故答案为:[1-,7].【归纳与总结】本题考查函数的定义域及其求法,考查一元二次不等式的解法,是基础题. 5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 2 .【思路分析】先求出一组数据6,7,8,9,10的平均数,由此能求出该组数据的方差. 【解析】:一组数据6,7,8,9,10的平均数为:1(678910)85x =++++=,∴该组数据的方差为:2222221[(68)(78)(88)(98)(108)]25S =-+-+-+-+-=.故答案为:2.【归纳与总结】本题考查一组数据的方差的求法,考查平均数、方差等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 710.【思路分析】基本事件总数2510n C ==,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数1123227m C C C =+=,由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率. 【解析】:从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务, 基本事件总数2510n C ==,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数:1123227m C C C =+=,∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是710m p n ==. 故答案为:710. 【归纳与总结】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 y = .【思路分析】把已知点的坐标代入双曲线方程,求得b ,则双曲线的渐近线方程可求.【解析】:Q 双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),∴221631b-=,解得22b =,即b又1a =,∴该双曲线的渐近线方程是y =.故答案为:y =.【归纳与总结】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的简单性质,是基础题.8.已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列,n S 是其前n 项和.若2580a a a +=,927S =,则8S 的值是 16 .【思路分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由已知列关于首项与公差的方程组,求解首项与公差,再由等差数列的前n 项和求得8S 的值. 【解析】:设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得152a d =-⎧⎨=⎩. ∴818786(5)152162dS a ⨯=+=⨯-+⨯=.故答案为:16.【归纳与总结】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的前n 项和,是基础题. 9.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E BCD -的体积是 10 .【思路分析】推导出11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=,三棱锥E BCD -的体积:1111133212E BCD BCD V S CE BC DC CE AB BC DD -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯,由此能求出结果.【解析】:Q 长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,∴11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=,∴三棱锥E BCD -的体积:13E BCD BCD V S CE -∆=⨯⨯1132BC DC CE =⨯⨯⨯⨯ 1112AB BC DD =⨯⨯⨯ 10=.故答案为:10.【归纳与总结】本题考查三棱锥的体积的求法,考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 4 .【思路分析】利用导数求平行于0x y +=的直线与曲线4(0)y x x x=+>的切点,再由点到直线的距离公式求点P 到直线0x y +=的距离的最小值.【解析】:由4(0)y x x x =+>,得241y x'=-,设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0(x ,004)x x +,由20411x -=-,解得002(0)x x =>. ∴曲线4(0)y x x x=+>上,点(2,32)P 到直线0x y +=的距离最小, 最小值为|232|42+=.故答案为:4.【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查点到直线距离公式的应用,是中档题.11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y lnx =上,且该曲线在点A 处的切线经过点(e -,1)(e -为自然对数的底数),则点A 的坐标是 (,1)e . 【思路分析】设0(A x ,0)lnx ,利用导数求得曲线在A 处的切线方程,代入已知点的坐标求解0x 即可.【解析】:设0(A x ,0)lnx ,由y lnx =,得1y x'=, ∴001|x x y x ='=,则该曲线在点A 处的切线方程为0001()y lnx x x x -=-, Q 切线经过点(,1)e --,∴0011elnx x --=--, 即00elnx x =,则0x e =. A ∴点坐标为(,1)e .故答案为:(,1)e .【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,区分过点处与在点处的不同,是中档题.12.如图,在ABC ∆中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,2BE EA =,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ,则AB AC的值是 3 .【思路分析】首先算出12AO AD =u u u r u u u r,然后用AB u u u r 、AC u u u r 表示出AO u u u r 、EC u u u r ,结合6AB AC AO EC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g 得221322AB AC =u u ur u u u r ,进一步可得结果.【解析】:设()2AO AD AB AC λλ==+u u u r u u u r u u u r u u u r,()AO AE EO AE EC AE AC AE μμ=+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1(1)3AE AC AB AC μμμμ-=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r∴1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴11()24AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ,13EC AC AE AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ,1166()()43AO EC AB AC AB AC =⨯+⨯-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r g22312()233AB AB AC AC =-++u u ur u u u r u u u r u u u r g 221322AB AB AC AC =-++u u ur u u u r u u u r u u u r g ,Q 221322AB AC AB AB AC AC =-++u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r g g ,∴221322AB AC =u u ur u u u r ,∴223AB AC =u u u r u u u r ,∴AB AC【归纳与总结】本题考查向量的数量积的应用,考查向量的表示以及计算,考查计算能力. 13.已知tan 23tan()4απα=-+,则sin(2)4πα+的值是. 【思路分析】由已知求得tan α,分类利用万能公式求得sin 2α,cos2α的值,展开两角和的正弦求sin(2)4πα+的值.【解析】:由tan 23tan()4απα=-+,得tan 23tan tan41tan tan4απαπα=-+-, ∴tan (1tan )21tan 3ααα-=-+,解得tan 2α=或1tan 3α=-.当tan 2α=时,22tan 4sin 215tan ααα==+,2213cos215tan tan ααα-==-+,43sin(2)sin 2cos cos2sin 44455πππααα∴+=+=-=; 当1tan 3α=-时,22tan 3sin 215tan ααα==-+,2214cos215tan tan ααα-==+,32422sin(2)sin2cos cos2sin44455πππααα∴+=+=-⨯+⨯=.综上,sin(2)4πα+的值是2.故答案为:2.【归纳与总结】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值,考查两角和的三角函数及万能公式的应用,是基础题.14.设()f x,()g x是定义在R上的两个周期函数,()f x的周期为4,()g x的周期为2,且()f x是奇函数.当(0x∈,2]时,2()1(1)f x x=--,(2),01,()1,12,2k x xg xx+<⎧⎪=⎨-<⎪⎩„„其中0k>.若在区间(0,9]上,关于x的方程()()f xg x=有8个不同的实数根,则k的取值范围是1[3,)22.【思路分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象,数形结合得答案.【解析】:作出函数()f x与()g x的图象如图,由图可知,函数()f x与1()(122g x x=-<„,34x<„,56x<„,78)x<„仅有2个实数根;要使关于x的方程()()f xg x=有8个不同的实数根,则2()1(1)f x x=--,(0x∈,2]与()(2)g x k x=+,(0x∈,1]的图象有2个不同交点,由(1,0)到直线20kx y k-+=的距离为1211k=+,解得0)22k k=>,Q两点(2,0)-,(1,1)连线的斜率13k=,∴1322k<„.即k的取值范围为1[3)22.故答案为:1[3)22.【归纳与总结】本题考查函数零点的判定,考查分段函数的应用,体现了数形结合的解题思想方法,是中档题.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若3a c =,2b =,2cos 3B =,求c 的值;(2)若sin cos 2A Ba b=,求sin()2B π+的值. 【思路分析】(1)由余弦定理得:222221022cos 263a cbc B ac c +--===,由此能求出c 的值.(2)由sin cos 2A Ba b =,利用正弦定理得2sin cos B B =,再由22sin cos 1B B +=,能求出5sin B =,25cos B =,由此利用诱导公式能求出sin()2B π+的值. 【解析】:(1)Q 在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .3a c =,2b =,2cos 3B =,∴由余弦定理得:222221022cos 263a c b c B ac c +--===,解得3c =.(2)Q sin cos 2A Ba b=, ∴由正弦定理得:sin sin cos 2A B Ba b b==, 2sin cos B B ∴=,22sin cos 1B B +=Q , 5sin B ∴=,25cos B =, 25sin()cos 2B B π∴+==. 【归纳与总结】本题考查三角形边长、三角函数值的求法,考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于中档题. 16.(14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别为BC ,AC 的中点,AB BC =. 求证:(1)11//A B 平面1DEC ; (2)1BE C E ⊥.【思路分析】(1)推导出//DE AB ,11//AB A B ,从而11//DE A B ,由此能证明11//A B 平面1DEC .(2)推导出1BE AA ⊥,BE AC ⊥,从而BE ⊥平面11ACC A ,由此能证明1BE C E ⊥. 【解答】证明:(1)Q 在直三棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别为BC ,AC 的中点, //DE AB ∴,11//AB A B ,11//DE A B ∴,DE ⊂Q 平面1DEC ,11A B ⊂/平面1DEC ,11//A B ∴平面1DEC .解:(2)Q 在直三棱柱111ABC A B C -中,E 是AC 的中点,AB BC =. 1BE AA ∴⊥,BE AC ⊥,又1AA AC A =I ,BE ∴⊥平面11ACC A , 1C E ⊂Q 平面11ACC A ,1BE C E ∴⊥.【归纳与总结】本题考查线面平行、线线垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1(1,0)F -,2(1,0)F .过2F 作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,1与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结1AF 并延长交圆2F 于点B ,连结2BF 交椭圆C 于点E ,连结1DF .已知152DF =.(1)求椭圆C 的标准方程; (2)求点E 的坐标.【思路分析】(1)由题意得到12//F D BF ,然后求AD ,再由152AD DF ==求得a ,则椭圆方程可求;(2)求出D 的坐标,得到2133224BF DF k k ===,写出2BF 的方程,与椭圆方程联立即可求得点E 的坐标.【解析】:(1)如图,22F A F B =Q ,22F AB F BA ∴∠=∠,22212F A a F D DA F D F D ==+=+Q ,1AD F D ∴=,则11DAF DF A ∠=∠, 12DF A F BA ∴∠=∠,则12//F D BF ,1c =Q ,221b a ∴=-,则椭圆方程为222211x y a a +=-, 取1x =,得21D a y a -=,则22112a a AD a a a -+=-=. 又152DF =,∴2152a a +=,解得2(0)a a =>.∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=;(2)由(1)知,3(1,)2D ,1(1,0)F -,∴2133224BF DF k k ===,则23:(1)4BF y x =-,联立223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得22118390x x --=. 解得11x =-或2137x =(舍).∴132y =-.即点E 的坐标为3(1,)2--.【归纳与总结】本题考查直线与圆,圆与椭圆位置关系的应用,考查计算能力,证明12//DF BF 是解答该题的关键,是中档题.18.(16分)如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥(AB AB 是圆O 的直径),规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA ,规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和(BD C 、D 为垂足),测得10AB =,6AC =,12BD =(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P、Q 两点间的距离.【思路分析】(1)设BD与圆O交于M,连接AM,以C为坐标原点,l为x轴,建立直角坐标系,则(0,6)A-,(8,12)B--,(8,0)D-设点1(P x,0),PB AB⊥,运用两直线垂直的条件:斜率之积为1-,求得P的坐标,可得所求值;(2)当QA AB⊥时,QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径,设此时2(Q x,0),运用两直线垂直的条件:斜率之积为1-,求得Q的坐标,即可得到结论;(3)设(,0)P a,(,0)Q b,则17a-„,92b-…,结合条件,可得b的最小值,由两点的距离公式,计算可得PQ.【解析】:设BD与圆O交于M,连接AM,AB为圆O的直径,可得AM BM⊥,即有6DM AC==,6BM=,8AM=,以C为坐标原点,l为x轴,建立直角坐标系,则(0,6)A-,(8,12)B--,(8,0)D-(1)设点1(P x,0),PB AB⊥,则1BP ABk k=-g,即10(12)6(12)1(8)0(8)x-----=-----g,解得117x=-,所以(17,0)P-,22(178)(012)15PB=-+++=;(2)当QA AB⊥时,QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径,设此时2(Q x,0),则1QA ABk k=-g,即20(6)6(12)100(8)x-----=----g,解得292x=-,9(2Q-,0),由91782-<-<-,在此范围内,不能满足PB,QA上所有点到O的距离不小于圆的半径,所以P,Q中不能有点选在D点;(3)设(,0)P a,(,0)Q b,则17a-„,92b-…,22(8)144225PB a=++…,2236225QA b=+…,则321b…d最小时,17321PQ=+.【归纳与总结】本题考查直线和圆的位置关系,考查直线的斜率和两直线垂直的条件:斜率之积为1-,以及两点的距离公式,分析问题和解决问题的能力,考查运算能力,属于中档题.19.(16分)设函数()()()()f x x a x b x c =---,a ,b ,c R ∈,()f x '为()f x 的导函数. (1)若a b c ==,f (4)8=,求a 的值;(2)若a b ≠,b c =,且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-,1,3}中,求()f x 的极小值;(3)若0a =,01b <„,1c =,且()f x 的极大值为M ,求证:427M „.【思路分析】(1)由a b c ==,可得3()()f x x a =-,根据f (4)8=,可得3(4)8a -=,解得a .(2)a b ≠,b c =,设2()()()f x x a x b =--.令2()()()0f x x a x b =--=,解得x a =,或x b =.()()(32)f x x b x b a '=---.令()0f x '=,解得x b =,或23a bx +=.根据()f x 和()f x '的零点均在集合{3A =-,1,3}中,通过分类讨论可得:只有3a =,3b =-,可得263133a b A +-==∈,可得:2()(3)(3)f x x x =-+.利用导数研究其单调性可得1x =时,函数()f x 取得极小值.(3)0a =,01b <„,1c =,()()(1)f x x x b x =--.2()3(22)f x x b x b '=-++.△0>.令2()3(22)0f x x b x b '=-++=.解得:21111(0,]3b b b x +--+,2211b b b x ++-+.12x x <,可得1x x =时,()f x 取得极大值为M ,通过计算化简即可证明结论.【解析】:(1)a b c ==Q ,3()()f x x a ∴=-, f Q (4)8=,3(4)8a ∴-=, 42a ∴-=,解得2a =.(2)a b ≠,b c =,设2()()()f x x a x b =--. 令2()()()0f x x a x b =--=,解得x a =,或x b =.2()()2()()()(32)f x x b x a x b x b x b a '=-+--=---.令()0f x '=,解得x b =,或23a bx +=.()f x Q 和()f x '的零点均在集合{3A =-,1,3}中,若:3a =-,1b =,则2615333a b A +-+==-∉,舍去.1a =,3b =-,则2231333a b A +-==-∉,舍去. 3a =-,3b =,则263133a b A +-+==-∉,舍去.. 3a =,1b =,则2617333a b A ++==∉,舍去.1a =,3b =,则2533a b A +=∉,舍去.3a =,3b =-,则263133a b A +-==∈,. 因此3a =,3b =-,213a bA +=∈,可得:2()(3)(3)f x x x =-+.()3[(3)](1)f x x x '=---.可得1x =时,函数()f x 取得极小值,f (1)22432=-⨯=-. (3)证明:0a =,01b <„,1c =, ()()(1)f x x x b x =--.2()()(1)(1)()3(22)f x x b x x x x x b x b x b '=--+-+-=-++.△22214(1)124444()332b b b b b =+-=-+=-+….令2()3(22)0f x x b x b '=-++=.解得:11(0,]3x =,2x =.12x x <,12223b x x ++=,123b x x =, 可得1x x =时,()f x 取得极大值为M ,2111()3(22)0f x x b x b '=-++=Q ,可得:2111[(22)]3x b x b =+-,1111()()(1)M f x x x b x ==--222211111111(22)1()()()()[(21)2]33b x b x b x x x b x b x b x b +-=--=--=--+2222111(22)11[(21)2][(222)]339b x b b b x b b b x b b +-=--+=-+-++g , 22132222()022b b b -+-=---<Q ,M ∴在1(0x ∈,1]3上单调递减,2221252524()932727b b b b M b b -+-+-∴++=剟. 427M ∴„. 【归纳与总结】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 20.(16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.(1)已知等比数列*{}()n a n N ∈满足:245a a a =,321440a a a -+=,求证:数列{}n a 为“M -数列”;(2)已知数列*{}()n b n N ∈满足:11b =,1122n n n S b b +=-,其中n S 为数列{}n b 的前n 项和. ①求数列{}n b 的通项公式;②设m 为正整数,若存在“M -数列” *{}()n c n N ∈,对任意正整数k ,当k m „时,都有1k k k c b c +剟成立,求m 的最大值.【思路分析】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,然后根据245a a a =,321440a a a -+=列方程求解,在根据新定义判断即可;(2)求出2b ,3b ,4b 猜想n b ,然后用数学归纳法证明;(3)设{}n c 的公比为q ,将问题转化为[][]1max min lnk lnk k k -„,然后构造函数()(3)lnxf x x x=…,()(3)1lnxg x x x =-„,分别求解其最大值和最小值,最后解不等式331ln lnmm -„,即可. 【解析】:(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则 由245a a a =,321440a a a -+=,得244112111440a q a qa q a q a ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩∴112a q =⎧⎨=⎩, ∴数列{}n a 首项为1且公比为正数即数列{}n a 为“M -数列”; (2)①11b =Q ,1122n n n S b b +=-,∴当1n =时,11121122S b b b ==-,22b ∴=, 当2n =时,212231122S b b b b ==-+,33b ∴=,当3n =时,3123341122S b b b b b ==-++,44b ∴=, 猜想n b n =,下面用数学归纳法证明; ()i 当1n =时,11b =,满足n b n =,()ii 假设n k =时,结论成立,即k b k =,则1n k =+时, 由1122k k k S b b +=-,得 1(1)2221(1)222k k k k k k k k b S b k k k S b k++===++--gg , 故1n k =+时结论成立,根据()()i ii 可知,n b n =对任意的*n N ∈都成立. 故数列{}n b 的通项公式为n b n =; ②设{}n c 的公比为q ,存在“M -数列” *{}()n c n N ∈,对任意正整数k ,当k m „时,都有1k k k c b c +剟成立,即1k kq k -剟对k m „恒成立,当1k =时,1q …,当2k =2,当3k …,两边取对数可得,1lnk lnkk k -剟对k m „有解, 即[][]1max min lnk lnk k k -„,令()(3)lnx f x x x =…,则21()lnxf x x -'=, 当3x …时,()0f x '<,此时()f x 递增,∴当3k …时,3[]3max lnk ln k =, 令()(3)1lnx g x x x =-„,则211()lnxx g x x --'=, 令1()1x lnx x φ=--,则21()xx xφ-'=,当3x …时,()0x φ'<,即()0g x '<, ()g x ∴在[3,)+∞上单调递减,即3k …时,[]11min lnk lnmk m =--,则 331ln lnmm -„, 下面求解不等式331ln lnmm -„, 化简,得3(1)30lnm m ln --„,令()3(1)3h m lnm m ln =--,则3()3h m ln m'=-, 由3k …得3m …,()0h m '<,()h m ∴在[3,)+∞上单调递减, 又由于h (5)3543125810ln ln ln ln =-=->,h (6)36532162430ln ln ln ln =-=-<,∴存在0(5,6)m ∈使得0()0h m =,m ∴的最大值为5,此时13[3q ∈,145].【归纳与总结】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立,考查了数学归纳法和构造法,是数列、函数和不等式的综合性问题,属难题.【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)21.(10分)已知矩阵3122A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. (1)求2A ;(2)求矩阵A 的特征值.【思路分析】(1)根据矩阵A 直接求解2A 即可; (2)矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--,解方程()0f λ=即可.【解析】:(1)3122A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Q231312222A ⎡⎤⎡⎤∴=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 115106⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(2)矩阵A 的特征多项式为: 231()5422f λλλλλ--==-+--,令()0f λ=,则由方程2540λλ-+=,得1λ=或4λ=,∴矩阵A 的特征值为1或4.【归纳与总结】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识,考查运算与求解能力,属基础题.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)22.(10分)在极坐标系中,已知两点(3,)4A π,B ,)2π,直线1的方程为sin()34πρθ+=.(1)求A ,B 两点间的距离; (2)求点B 到直线l 的距离.【思路分析】(1)设极点为O ,则由余弦定理可得2222?cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠,解出AB ;(2)根据直线l 的方程和点B 的坐标可直接计算B 到直线l 的距离. 【解析】:(1)设极点为O ,则在OAB ∆中,由余弦定理,得 2222?cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠,AB ∴=(2)由直线1的方程sin()34πρθ+=,知直线l过)2π,倾斜角为34π,又B )2π,∴点B 到直线l的距离为3?()242sin ππ-=.【归纳与总结】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离,属基础题. C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分) 23.设x R ∈,解不等式|||21|2x x +->.【思路分析】对|||21|x x +-去绝对值,然后分别解不等式即可. 【解析】:131,21|||21|1,0231,0x x x x x x x x ⎧->⎪⎪⎪+-=-+⎨⎪-+<⎪⎪⎩剟, |||21|2x x +->Q ,∴31212x x ->⎧⎪⎨>⎪⎩或12102x x -+>⎧⎪⎨⎪⎩剟或3120x x -+>⎧⎨<⎩, 1x ∴>或x ∈∅或13x <-,∴不等式的解集为1{|3x x <-或1}x >.【归纳与总结】本题考查了绝对值不等式的解法,属基础题.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.(10分)设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+,4n …,*n N ∈.已知23242a a a =. (1)求n 的值;(2)设(1n a =+a ,*b N ∈,求223a b -的值.【思路分析】(1)运用二项式定理,分别求得2a ,3a ,4a ,结合组合数公式,解方程可得n 的值;(2)方法一、运用二项式定理,结合组合数公式求得a ,b ,计算可得所求值; 方法二、由于a ,*b N ∈,求得5(1a =-【解析】:(1)由0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=+++⋯+,4n …,可得22(1)2n n n a C -==,33(1)(2)6n n n n a C --==,44(1)(2)(3)24n n n n n a C ---==, 23242a a a =,可得2(1)(2)(1)(1)(2)(3)()26224n n n n n n n n n ------=g g, 解得5n =;(2)方法一、502233445555555(1C C C C C C a +=++++=+ 由于a ,*b N ∈,可得024555391304576a C C C =++=++=,1355553944b C C C =++=, 可得222237634432a b -=-⨯=-;方法二、502233445555555(1C C C C C C a +=++++=+50122334455555555(1(((((C C C C C C -=+++++02233445555555C C C C C C =-+-+-,由于a ,*b N ∈,可得5(1a =-可得225553(1(1(13)32a b -=+-=-=-g .【归纳与总结】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用,考查运算能力和分析问题能力,属于中档题.25.(10分)在平面直角坐标系xOy 中,设点集{(0,0)n A =,(1,0),(2,0),⋯,(,0)}n ,{(0,1)n B =,(,1)}n ,{(0,2)n C =,(1,2),(2,2),⋯⋯,(,2)}n ,*n N ∈.令n n n n M A B C =U U .从集合n M 中任取两个不同的点,用随机变量X 表示它们之间的距离. (1)当1n =时,求X 的概率分布;(2)对给定的正整数(3)n n …,求概率()P X n „(用n 表示). 【思路分析】(1)当1n =时,X 的所有可能取值为1,2,由古典概率的公式,结合组合数可得所求值; (2)设(,)A a b 和(,)B c d 是从n M 中取出的两个点,因为()1()P X n P X n =->„,所以只需考虑X n >的情况,分别讨论b ,d 的取值,结合古典概率的计算公式和对立事件的概率,即可得到所求值.【解析】:(1)当1n =时,X 的所有可能取值为1,2,2,5,X 的概率分布为2677(1)15P X C ===;2644(2)15P X C ===; 2622(2)15P X C ===;2622(5)15P X C ===; (2)设(,)A a b 和(,)B c d 是从n M 中取出的两个点,因为()1()P X n P X n =->„,所以只需考虑X n >的情况,①若b d =,则AB n „,不存在X n >的取法;②若0b =,1d =,则22()11AB a c n =-++„,所以X n >当且仅当21AB n =+, 此时0a =.c n =或a n =,0c =,有两种情况;③若0b =,2d =,则22()44AB a c n =-++„,所以X n >当且仅当24AB n =+, 此时0a =.c n =或a n =,0c =,有两种情况;④若1b =,2d =,则22()11AB a c n =-++„,所以X n >当且仅当21AB n =+, 此时0a =.c n =或a n =,0c =,有两种情况;综上可得当X n >,X 的所有值是21n +或24n +,且22244(1)n P X n C +=+=,22242(4)n P X n C +=+=, 可得222246()1(1)(4)1n P X n P X n P X n C +=-=+-=+=-„.【归纳与总结】本题考查随机变量的概率的分布,以及古典概率公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及化简运算能力,属于难题.———————————————————————————————————— 《高中数学教研微信系列群》简介:目前有6个群,共2000多优秀、特、高级教师,省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成,是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨:脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研!特别说明:1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题;2.由于本群是集“研究—写作—发表(出版)”于一体的“桥梁”,涉及业务合作,特强调真诚交流,入群后立即群名片:教师格式:省+市+真实姓名,如:四川成都张三编辑格式:公司或者刊物(简写)+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研(不喜欢研究的谢绝)的教师好友(学生谢绝)加入,大家共同研究,共同提高!群主二维码:见右图————————————————————————————————————。

2019年江苏高考数学试题及答案

2019年江苏高考数学试题及答案

普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题及答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.........1.已知集合{}123A =,,,{}245B =,,,则集合A B 中元素的个数为_______. 【答案】52.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________. 【答案】63.设复数z 满足234z i =+(i 是虚数单位),则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为________. 【答案】75.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】566.已知向量()21a =,,()2a =-1,,若()()98ma nb mn R +=-∈,,则m-n 的值为______. 【答案】-37.不等式224x x -<的解集为________. 【答案】(-1,2)8.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β的值为_______.【答案】39.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为________.10.在平面直角坐标系xOy 中,以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 【答案】22(1)2x y -+=11.数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*N n ∈),则数列}1{na 的前10项和为 .【答案】201112.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点.若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立,则是实数c 的最大值为 .13.已知函数|ln |)(x x f =,⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ,则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 .【答案】414.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ,则∑=+111)(k k k a a 的值为 .【答案】二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内........作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(第4题图)15.(本小题满分14分)在ABC 中,已知2,3,60.AB AC A === (1)求BC 的长; (2)求sin2C 的值.解:(1)由余弦定理得,7BC =(2)由正弦定理得,43sin 2C =16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,已知1,AC BC BC CC ⊥=,设1AB 的中点为D,11.B C BC E ⋂= 求证:(1)11//DE AACC 平面 (2)11BC AB ⊥ 证明:(1)只需证明DE//AC;(2)需先证AC ⊥平面11BCC B ,再证1BC ⊥平面1AB C .17.(本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为12l l ,,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N 为C 的两个端点,测得点M 到12l l ,的距离分别为5千米和40千米,点N 到12l l ,的距离分别为20千米和2.5千米,以12l l ,所在的直线分别为x,y 轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C 符合函数2ay x b=+(其中a,b 为常数)模型. (I)求a,b 的值;(II)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ,并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度. 解:(1)由题意知,点,M N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入2ay x b =+中得,10000a b =⎧⎨=(2)由勾股定理得,62410()3,[5,20]4tf t t t =+∈ 由基本不等式可知,当102t =时,min ()153f t =Ml 1y CPl18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()222210x y a b a b +=>>且右焦点F 到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC=2AB ,求直线AB 的方程.解:(1)2212x y += (2)分AB 与x 轴垂直和不垂直两种情况讨论, 得直线AB 的方程为10x y --=或10x y +-=19.(本小题满分16分)已知函数32()(,)f x x ax b a b =++∈R ; (1)试讨论)(x f 的单调性;(2)若a c b -=(实数c 是与a 无关常数),当函数)(x f 有三个不同零点时,a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞求c 的值 解:(1)当0a <时,()f x 在2(0,)3a -上递减,在2(,0),(,)3a-∞-+∞上递增; 当0a =时,()f x 在(,)-∞+∞上递增; 当0a >时,()f x 在2(,0)3a -上递减,在2(,),(0,)3a-∞-+∞上递增. (2)1c =20.(本小题满分16分)设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 (1)证明:31242,2,2,2a a a a依次成等比数列(2)是否存在1,a d ,使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列,并说明理由(3)是否存在1,a d 及正整数,n k ,使得351234,,,n n k n kn k a a a a +++依次成等比数列,并说明理由 解:(1)证明:因为11222(1,2,3)2n n n na a a da n ++-===是同一个常数,所以31242,2,2,2a a a a 构成等比数列.(2)用假设法,可证不存在1,a d ,使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列.(3)用假设法,可证不存在1,a d 及正整数,n k ,使得351234,,,n n k n kn k a a a a +++依次成等比数列.附加题21、(选做题)本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A 、[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,在ABC ∆中,AC AB =,ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D 求证:ABD ∆≈AEB ∆ 证明:只需证ABD E ∠=∠,而BAE ∠为公共角,易证.B 、[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分) 已知R y x ∈,,向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量,矩阵A 以及它的另一个特征值. 解:1120A ⎡-⎤=⎢⎥⎦⎣,另一个特征值为1C.[选修4-4:坐标系与参数方程]已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=,求圆C 的半径. 解:r =D .[选修4-5:不等式选讲]解不等式|23|3x x ++≥ 解:1(,5][,)3-∞--+∞22.如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值;(2)点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成角最小时,求线段BQ 的长 BQ =23.已知集合*{1,2,3},{1,2,3,,}()n X Y n n N ==∈,设},,|),{(n n Y b X a a b b a b a S ∈∈=整除或整除,令()f n表示集合n S 所含元素个数.A第21——AP A BC DQ 第22题(1)写出(6)f 的值; (6)13f =(2)当6n ≥时,写出()f n 的表达式,并用数学归纳法证明. 略。

2019年高考真题江苏卷数学试卷(详解版)(加密版)

2019年高考真题江苏卷数学试卷(详解版)(加密版)

2019 年高考真题江苏卷数学试卷一、填空题(本大题共14 小题,每小题5 分,共70 分)1.已知集合A = {−1,0,1,6},B = {x|x > 0, x∈R},则A∩ B = .【答案】{1,6}【解析】A = {−1,0,1,6},B = {x|x > 0, x∈ R},∴A∩ B = {1,6}.2.已知复数(a + 2i)(1 + i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.【答案】2【解析】复数(a + 2i)(1+i)的实部是0,∵(a + 2i)(1+i)= a− 2 + (a + 2)i,∴a− 2 = 0,∴a = 2.3.如图是一个算法流程图,则输出的S的值是.【答案】5【解析】执行第一次,S = S + x= 1 , x = 1 ⩾ 4不成立,继续循环,x = x + 1 = 2;2 2执行第二次,S = S + x= 3 , x = 2 ⩾ 4不成立,继续循环,x = x + 1 = 3;2 25执行第三次,S = S + x = 3, x = 3 ⩾ 4不成立,继续循环,x = x + 1 = 4;2 执行第四次,S = S + x= 5, x = 4 ⩾ 4成立,输出S = 5.24.函数y = √7 + 6x − x 2的定义域是.【答案】[−1,7]【解析】 y = √7 + 6x − x 2的定义域,7 + 6x − x 2 ⩾ 0, −(x − 7)(x + 1) ⩾ 0,∴−1 ⩽ x ⩽ 7,定义域为[−1,7]. 故答案为:[−1,7].5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 .【答案】5 3【解析】 由题意,该组数据的平均数为6+7+8+8+9+10= 8,6所以该组数据的方差是1[(6 − 8)2 + (7 − 8)2 + (8 − 8)2 + (8 − 8)2 + (9 − 8)2 +6(10 − 8)2] = 5.36.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动,则选出的2人中至少有1名女同学的概率为 (结果用数值表示). 【答案】710【解析】 学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动,基本事件总数n = C 2 = 10. 选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m = C 1C 1 + C 2 = 7,3 2 2则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p = m = 7.n 10故答案为: 7.107.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2 − y 2= 1(b > 0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程b 2是.【答案】 y = ±√2x【解析】 双曲线x 2 − y 2= 1(b > 0)经过点(3,4),b 2∴9 − 16= 1,b 2∴b 2 = 2, ∴双曲线方程x 2 −y 2 = 1,2∴渐近线方程y =±√2x . 故答案为:y = ±√2x .8.已知数列{a n }(n ∈ N ∗)是等差数列,S n 是其前n 项和,若a 2a 5 + a 8 = 0,S 9 = 27,则S 8的值是 .【答案】 16【解析】 数列{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和,设公差为d ,a 2a 5 + a 8 = 0,S 9 = 27,(a 1 + d )(a 1 + 4d ) + a 1 + 7d = 0∴{ q (a 1+a 1+8d )= 27, 2解得a 1 = −5,d = 2,S 8 = 8(a 1+a 1+7d )2=8(−10+14)2= 16.9.如图,长方体ABCD − A 1B 1C 1D 1的体积是120,E 为CC 1的中点,则三棱锥E − BCD 的体积是 .【答案】 10【解析】 因为长方体ABCD − A 1B 1C 1D 1的体积为120,所以AB ⋅ BC ⋅ CC 1 = 120, 因为E 为CC 1的中点,所以 1,CE = 2 CC 1由长方体的性质知CC 1 ⊥底面ABCD ,所以CE 是三棱锥E − BCD 的底面BCD 上的高, 所以三棱锥E − BCD 的体积:V = 1 × 13 2 AB ⋅ BC ⋅ CE1 1 1 1= 3 × 2 AB ⋅ BC ⋅ 2 CC 1 = 12 × 120 = 10.10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线y = x + 距离的最小值是.4(x > 0)上的一个动点,则点P 到直线x + y = 0的 x【答案】 4【解析】 P 是曲线y = x +4 (x > 0)上的一个动点,x则点P 到直线x + y = 0的距离的最小值,设P (x 0 , x 0 + 4 ),x 0|x 0+x 0+ 4|2x 0+ 4P 到直线x + y = 0的距离d =x 0= x 0,设g (x ) = 2x + √2√24(x > 0),xg ′(x ) = 2 −4x 2= 2x 2−4,x 2令g ′(x ) = 0,则x = √2,∴g (x )在(0, √2)单减,在(√2, +∞)上单增,∴g (x )min = g (√2) = 4√2, ∴d min = 4.11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y = ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(−e, −1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是 .【答案】(e, 1)【解析】 点A 在曲线y = ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(−e, −1),。

(精校版)2019年江苏卷数学高考试题文档版(含答案)_最新修正版

(精校版)2019年江苏卷数学高考试题文档版(含答案)_最新修正版

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。

本卷满分为160分,考试时间为120分钟。

考试结束后,请将本试卷和答题卡一片交回。

2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。

5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式:样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑.柱体的体积V Sh =,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高. 锥体的体积13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1.已知集合{1,0,1,6}A =-,{|0,}B x x x =>∈R ,则AB = ▲ .2.已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是 ▲ . 3.下图是一个算法流程图,则输出的S 的值是 ▲ .4.函数276y x x =+-的定义域是 ▲ .5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 ▲ .6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是▲ .8.已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列,n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==,则8S 的值是 ▲ .9.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ .10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是 ▲ .12.如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅,则ABAC的值是 ▲ .13.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲.14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数,()f x 的周期为4,()g x 的周期为2,且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时,2()1(1)f x x =--,(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩,其中k >0.若在区间(0,9]上,关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根,则k 的取值范围是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . (1)若a =3c ,b =2,cos B =23,求c 的值; (2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值. 16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别为BC ,AC 的中点,AB =BC . 求证:(1)A 1B 1∥平面DEC 1; (2)BE ⊥C 1E .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1.已知DF 1=52. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)求点E 的坐标.18.(本小题满分16分)如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA .规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆....O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C 、D 为垂足),测得AB =10,AC =6,BD =12(单位:百米). (1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d (单位:百米).求当d 最小时,P 、Q 两点间的距离.19.(本小题满分16分)设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f (x )的导函数. (1)若a =b =c ,f (4)=8,求a 的值;(2)若a ≠b ,b =c ,且f (x )和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中,求f (x )的极小值;(3)若0,01,1a b c =<=…,且f (x )的极大值为M ,求证:M ≤427. 20.(本小满分16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.(1)已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足:245324,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为“M -数列”;(2)已知数列{b n }*()n ∈N 满足:111221,n n n b S b b +==-,其中S n 为数列{b n }的前n 项和. ①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数,若存在“M -数列”{c n }*()n ∈N ,对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有1k k k c b c +剟成立,求m 的最大值.2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ·参考答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分. 1.{1,6}2.23.54.[1,7]-5.536.7107.2y x =±8.16 9.10 10.4 11.(e, 1) 12.313.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.满分14分.解:(1)因为23,2,cos 3a cb B ===, 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=,得2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯,即213c =.所以33c =. (2)因为sin cos 2A Ba b =, 由正弦定理sin sin a b A B =,得cos sin 2B Bb b=,所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =. 因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而25cos 5B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明:(1)因为D ,E 分别为BC ,AC 的中点, 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ∥A 1B 1, 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1,A 1B 1⊄平面DEC 1, 所以A 1B 1∥平面DEC 1.(2)因为AB =BC ,E 为AC 的中点,所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直棱柱,所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ,所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1,AC ⊂平面A 1ACC 1,C 1C ∩AC =C , 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1,所以BE ⊥C 1E .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解:(1)设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1F 2=2,c =1. 又因为DF 1=52,AF 2⊥x 轴,所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=, 因此2a =DF 1+DF 2=4,从而a =2.由b 2=a 2-c 2,得b 2=3.因此,椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)解法一:由(1)知,椭圆C :22143x y +=,a =2,因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16,解得y =±4.因为点A 在x 轴上方,所以A (1,4). 又F 1(-1,0),所以直线AF 1:y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩,得256110x x +-=, 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+,得 125y =-, 因此1112(,)55B --.又F 2(1,0),所以直线BF 2:3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪,得276130x x --=,解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-,得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二:由(1)知,椭圆C :22143x y +=.如图,连结EF 1.因为BF 2=2a ,EF 1+EF 2=2a ,所以EF 1=EB , 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ,所以∠A =∠B , 所以∠A =∠BF 1E ,从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴,所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1,0),由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩,得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解:解法一:(1)过A 作AE BD ⊥,垂足为E .由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ,所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B ,E )到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知2210AD AE ED =+=,从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅,所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此,Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B =15, 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=; 当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=. 由上可知,d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,2222156321CQ QA AC =-=-=.此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径. 综上,当PB ⊥AB ,点Q 位于点C 右侧,且CQ =321时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+321(百米). 解法二:(1)如图,过O 作OH ⊥l ,垂足为H.以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系.因为BD =12,AC =6,所以OH =9,直线l 的方程为y =9,点A ,B 的纵坐标分别为3,−3. 因为AB 为圆O 的直径,AB =10,所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A (4,3),B (−4,−3),直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ,所以直线PB 的斜率为43-, 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P (−13,9),22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,取线段BD 上一点E (−4,0),则EO =4<5,所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知D (−4,9),又A (4,3), 所以线段AD :36(44)4y x x =-+-剟. 在线段AD 上取点M (3,154),因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭,所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B =15,此时1P (−13,9); 当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=. 由上可知,d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,设Q (a ,9),由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>,得a =4321+,所以Q (4321+,9),此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当P (−13,9),Q (4321+,9)时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离4321(13)17321PQ =+--=+.因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17321+(百米).19.本小题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.解:(1)因为a b c ==,所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-. 因为(4)8f =,所以3(4)8a -=,解得2a =. (2)因为b c =,所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-, 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.令()0f 'x =,得x b =或23a bx +=. 因为2,,3a ba b +,都在集合{3,1,3}-中,且a b ≠, 所以21,3,33a b a b +===-.此时2()(3)(3)f x x x =-+,()3(3)(1)f 'x x x =+-. 令()0f 'x =,得3x =-或1x =.列表如下:x (,3)-∞-3-(3,1)-1 (1,)+∞()f 'x + 0 – 0 + ()f x极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-.(3)因为0,1a c ==,所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++,2()32(1)f 'x x b x b =-++.因为01b <≤,所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>, 则()f 'x 有2个不同的零点,设为()1212,x x x x <.由()0f 'x =,得22121111,33b b b b b b x x +--+++-+==.列表如下:x 1(,)x -∞1x()12,x x2x2(,)x +∞()f 'x+ 0 – 0 + ()f x极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =. 解法一:()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()()23221(1)(1)2127927b b b b b b b --+++=++-+23(1)2(1)(1)2((1)1)272727b b b b b b +-+=-+-+(1)24272727b b +≤+≤.因此427M ≤. 解法二:因为01b <≤,所以1(0,1)x ∈.当(0,1)x ∈时,2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-. 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈,则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 令()0g'x =,得13x =.列表如下: x 1(0,)3131(,1)3()g'x + 0 – ()g x极大值所以当13x =时,()g x 取得极大值,且是最大值,故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以当(0,1)x ∈时,4()()27f x g x ≤≤,因此427M ≤. 20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分. 解:(1)设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩,得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩,解得112a q =⎧⎨=⎩.因此数列{}n a 为“M —数列”.(2)①因为1122n n n S b b +=-,所以0n b ≠. 由1111,b S b ==,得212211b =-,则22b =. 由1122n n n S b b +=-,得112()n n n n n b b S b b ++=-, 当2n ≥时,由1n n n b S S -=-,得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---,整理得112n n n b b b +-+=.所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知,b k =k ,*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1,所以1k k q k q -≤≤,其中k =1,2,3,…,m .当k =1时,有q ≥1; 当k =2,3,…,m 时,有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-. 设f (x )=ln (1)x x x >,则21ln ()xf 'x x-=. 令()0f 'x =,得x =e.列表如下:x (1,e)e (e ,+∞) ()f 'x+0 –f (x )极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=,所以max ln 3()(3)3f k f ==. 取33q =,当k =1,2,3,4,5时,ln ln kq k…,即k k q ≤,经检验知1k qk -≤也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k =3,6,得3≤q 3,且q 5≤6,从而q 15≥243,且q 15≤216,所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上,所求m 的最大值为5.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答......................若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A(1)求A 2;(2)求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在极坐标系中,已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离. C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分) 设x ∈R ,解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N ….已知23242a a a =.(1)求n 的值;(2)设(13)3na b +=+,其中*,a b ∈N ,求223a b -的值.23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯,{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N令n nn n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点,用随机变量X 表示它们之间的距离.(1)当n =1时,求X 的概率分布;(2)对给定的正整数n (n ≥3),求概率P (X ≤n )(用n 表示).数学Ⅱ(附加题)参考答案21.【选做题】A .[选修4–2:矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力.满分10分. 解:(1)因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A , 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=,解得A 的特征值121,4λλ==. B .[选修4–4:坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分. 解:(1)设极点为O .在△OAB 中,A (3,4π),B (2,2π), 由余弦定理,得AB =223(2)232cos()524ππ+-⨯⨯⨯-=. (2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=,则直线l 过点(32,)2π,倾斜角为34π. 又(2,)2B π,所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242ππ-⨯-=. C .[选修4–5:不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.满分10分.解:当x <0时,原不等式可化为122x x -+->,解得x <-13; 当0≤x ≤12时,原不等式可化为x +1–2x >2,即x <–1,无解; 当x >12时,原不等式可化为x +2x –1>2,解得x >1. 综上,原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力,满分10分.解:(1)因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥,, 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====, 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==. 因为23242a a a =,所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯,解得5n =.(2)由(1)知,5n =.5(13)(13)n +=+0122334455555555C C 3C (3)C (3)C (3)C (3)=+++++ 3a b =+.解法一:因为*,a b ∈N ,所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=,从而222237634432a b -=-⨯=-. 解法二:50122334455555555(13)C C (3)C (3)C (3)C (3)C (3)-=+-+-+-+-+- 0122334455555555C C C (3)C (3)C (3)(3C 3)=-+-+-.因为*,a b ∈N ,所以5(13)3a b -=-.因此225553(3)(3)(13)(13)(2)32a b a b a b -=+-=+⨯-=-=-.23.【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.满分10分.解:(1)当1n =时,X 的所有可能取值是1225,,,.X 的概率分布为22667744(1),(2)C 15C 15P X P X ======, 22662222(2),(5)C 15C 15P X P X ======. (2)设()A a b ,和()B c d ,是从n M 中取出的两个点. 因为()1()P X n P X n ≤=->,所以仅需考虑X n >的情况. ①若b d =,则AB n ≤,不存在X n >的取法;②若01b d ==,,则22()11AB a c n =-+≤+,所以X n >当且仅当21AB n =+,此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法;③若02b d ==,,则22()44AB a c n =-+≤+,因为当3n ≥时,2(1)4n n -+≤,所以X n >当且仅当24AB n =+,此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法; ④若12b d ==,,则22()11AB a c n =-+≤+,所以X n >当且仅当21AB n =+,此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法.综上,当X n >时,X 的所有可能取值是21n +和24n +,且2222242442(1),(4)C C n n P X n P X n ++=+==+=.因此,222246()1(1)(4)1C n P X n P X n P X n +≤=-=+-=+=-.。

2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析

2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学一、填空题:本大题共14 小题,每小题5分,共计70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.(5 分)已知集合A={﹣1,0,1,6} ,B={x|x>0,x∈R},则A∩B=.2.(5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是3.(5 分)如图是一个算法流程图,则输出的S的值是.5.(5 分)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.6.(5分)从 3 名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有 1 名女同学的概率是.27.(5分)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.8.(5 分)已知数列{ a n} (n∈N*)是等差数列,S n是其前n 项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8 的值是.9.(5分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E 为CC 1的中点,则三棱锥E﹣BCD 的体积是.xOy 中, P 是曲线 y = x+ ( x > 0)上的一个动点,则点 P 到直线x+y =0 的距离的最小值是11.(5分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在曲线 y =lnx 上,且该曲线在点 A 处的切线经过点(﹣ e ,﹣ 1)(e 为自然对数的底数) ,则点 A 的坐标是D 是 BC 的中点,E 在边 AB 上, BE = 2EA ,AD 与 CE 交于其中 k > 0.若在区间( 0, 9]上,关于 x 的方程 f (x )= g (x )有 8 个不同的实数根,则 k 的取值范围是 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤15.(14 分)在△ ABC 中,角 A , B ,C 的对边分别为 a , b ,c .(1)若 a =3c ,b = , cosB = ,求 c 的值; ( 2)若= ,求 sin ( B+ )的值.16.(14分)如图,在直三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1中, D ,E 分别为 BC ,AC 的中点, AB = BC .求证:( 1) A 1B 1∥平面 DEC 1;12.( 5 分)如图,在△ ABC 中, 点 O .若 ? = 6 ? ,则 的值是13.(5 分) =﹣ ,则 sin (2α+ )的值是=﹣ ,则 sin (2α+ )的值是14.( 5 分) f (x ), g ( x )是定义在 R 上的两个周期函数, f ( x )的周期为 4, g ( x )的周期为 2, 且 f ( x )是奇函数.当 x ∈(0, 2]时, f ( x )= ,g ( x )=已知22F 1(﹣1,0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线 l ,在x 轴的上方, 1与圆 F 2:(x ﹣1)2+y2=4a 2交于点A ,与椭圆 C 交于点 D .连结AF 1并延长交圆 F 2于点B ,连结BF 2交椭圆 C 于点 E ,连结 DF 1.已知 DF 1= .11( 1)求椭圆 C 的标准方程;18.( 16 分)如图,一个湖的边界是圆心为 O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路 l ,湖上有桥 AB ( AB 是圆 O 的直径).规划在公路 l 上选两个点 P ,Q ,并修建两段直线型道路PB , QA ,规划要求: 线段 PB ,QA 上的所有点到点 O 的距离均不.小.于.圆O 的半径.已知点A ,B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD ( C ,D 为垂足),测得 AB =10,AC = 6,BD =12(单 位:百米).(1)若道路 PB 与桥 AB 垂直,求道路 PB 的长;(2)在规划要求下, P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路 PB 和 QA 的长度均为 d (单位:百米) ,求当 d 最小时, P 、Q 两点间的距离.17.( 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆= 1( a >b > 0)的焦点为2)求点 E 的坐标.19.( 16 分)设函数 f (x )=( x ﹣ a )( x ﹣ b )( x ﹣ c ), a , b , c ∈R , f ′( x )为 f (x )的导 函数.(1)若 a =b =c ,f (4)= 8,求 a 的值;(2)若 a ≠ b , b = c ,且 f (x )和 f ′( x )的零点均在集合 { ﹣3,1,3}中,求 f (x )的 极小值;( 3)若 a = 0, 0<b ≤1,c =1,且 f (x )的极大值为 M ,求证: M ≤ .20.(16 分)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“ M ﹣数列”.( 1)已知等比数列 {a n }(n ∈N *)满足: a 2a 4=a 5,a 3﹣4a 2+4a 1=0,求证:数列 {a n } 为 “M ﹣数列”;*(2)已知数列 {b n }(n ∈N *)满足: b 1= 1, =项和.① 求数列 { b n } 的通项公式;②设m 为正整数,若存在“ M ﹣数列” {c n } ( n ∈N * ),对任意正整数 k ,当k ≤m 时,都 有 c k ≤ b k ≤ c k+1 成立,求 m 的最大值.选做题】本题包括 A 、 B 、 C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答 若多做,则按作答的前两小题评分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .A.[ 选修4-2:矩阵与变换 ](本小题满分 10 分) 21.( 10 分)已知矩阵 A =( 1)求 A 2;2)求矩阵 A 的特征值.B.[选修 4-4 :坐标系与参数方程 ](本小题满分1)求 A ,B 两点间的距离;2)求点 B 到直线 l 的距离.,其中 S n 为数列 {b n }的前 n10 分)22.( 10 分)在极坐标系中,已知两点 A ( 3, ),B ( , ),直线 1 的方程为ρsinθ+)= 3.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0 分)23.设x∈R,解不等式|x|+|2x﹣1|>2.【必做题】第24题、第25题,每题10 分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.(10 分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n,n≥4,n∈N*.已知a32=2a2a4.(1)求n 的值;(2)设(1+ )n=a+b ,其中a,b∈N*,求a2﹣3b2的值.25.(10 分)在平面直角坐标系xOy 中,设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),⋯,(n,0)},B n={(0,1),(n,1)},?n={(0,2),(1,2),(2,2),⋯⋯,(n,2)},n∈N* .令M n =A n∪ B n∪?n.从集合M n中任取两个不同的点,用随机变量X 表示它们之间的距离.(1)当n= 1 时,求X 的概率分布;(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n 表示).2019 年江苏省高考数学答案解析一、填空题:本大题共14 小题,每小题5分,共计70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.【分析】直接利用交集运算得答案.【解答】解:∵ A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R} ,∴A∩B={﹣1,0,1,6}∩{x|x>0,x∈R} ={1,6}.故答案为:{1,6} .【点评】本题考查交集及其运算,是基础题.2.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0求的 a 值.【解答】解:∵(a+2i)(1+i)=(a﹣2)+(a+2)i 的实部为0,∴ a﹣2=0,即a=2.故答案为:2.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.3.【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:模拟程序的运行,可得x=1,S=0S=0.5不满足条件x≥4,执行循环体,x=2,S=1.5不满足条件x ≥4,执行循环体,x=3,S=3不满足条件x≥4,执行循环体,x=4,S=5此时,满足条件x≥4,退出循环,输出S 的值为5.故答案为:5.【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.4.【分析】由根式内部的代数式大于等于0 求解一元二次不等式得答案.【解答】解:由7+6x﹣x2≥0,得x2﹣6x﹣7≤0,解得:﹣1≤x≤7.∴函数y=的定义域是[﹣1,7].故答案为:[﹣1,7].【点评】本题考查函数的定义域及其求法,考查一元二次不等式的解法,是基础题.5.【分析】先求出一组数据6,7,8,8,9,10 的平均数,由此能求出该组数据的方差.【解答】解:一组数据6,7,8,8,9,10 的平均数为:=(6+7+8+8+9+10 )=8,∴该组数据的方差为:2 2 2 2 2 2 2S =[(6﹣8)+(7﹣8)+(8﹣8)+(8﹣8)+(9﹣8)+(10﹣8)]=.故答案为:.【点评】本题考查一组数据的方差的求法,考查平均数、方差等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.6.【分析】基本事件总数n==10,选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学包含的基本事件个数m=+ =7,由此能求出选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率.【解答】解:从3名男同学和2名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务,基本事件总数n==10 ,选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学包含的基本事件个数:m=+ =7,∴选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是p=.故答案为:.【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.7.【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程,求得b,则双曲线的渐近线方程可求.【解答】解:∵双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),∴ ,解得b2=2,即b=.又a=1,∴该双曲线的渐近线方程是y=.故答案为:y=.【点评】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的简单性质,是基础题.8.【分析】设等差数列{ a n} 的首项为a1,公差为d,由已知列关于首项与公差的方程组,求解首项与公差,再由等差数列的前n项和求得S8 的值.解答】解:设等差数列{a n} 的首项为a1,公差为d,解得∴=6×(﹣5)+15× 2=16.故答案为:16.点评】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的前n 项和,是基础题.9.【分析】推导出=AB×BC×DD 1=120,三棱锥E﹣BCD 的体积:V E﹣BCD===×AB×BC× DD 1,由此能求出结果.【解答】解:∵长方体ABCD ﹣A1B1C1D 1的体积是120,E为CC1的中点,∴=AB× BC×DD 1=120,1∴三棱锥E﹣BCD 的体积:V E﹣BCD===× AB×BC×DD 11=10.点评】本题考查三棱锥的体积的求法,考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.第8 页(共22页)10.【分析】利用导数求平行于x+y=0 的直线与曲线y=x+ (x>0)的切点,再由点到直线的距离公式求点P 到直线x+y=0 的距离的最小值.【解答】解:由y=x+ (x> 0),得y′=1﹣,设斜率为﹣ 1 的直线与曲线y=x+ (x> 0)切于(x0,),由,解得(x0> 0).∴曲线y=x+ (x> 0)上,点P()到直线x+y=0 的距离最小,最小值为.故答案为:4.【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查点到直线距离公式的应用,是中档题.11.【分析】设A(x0,lnx0),利用导数求得曲线在 A 处的切线方程,代入已知点的坐标求解x0 即可.【解答】解:设A(x0,lnx0),由y=lnx,得y′=,∴ ,则该曲线在点 A 处的切线方程为y﹣lnx0=,∵切线经过点(﹣e,﹣1),∴,即,则x0=e.∴A 点坐标为(e,1).故答案为:(e,1).【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,区分过点处与在点处的不同,是中档题.12.【分析】首先算出=,然后用、表示出、,结合? = 6 ? 得=,进一步可得结果.【解解:设=λ =(),答】=+ =+μ =+ μ()=( 1﹣μ) +μ = +μ∴ = = ==﹣+ ,6 ? = 6 × ( )×(﹣ + )= ( + + ) = + + , ∵ ? = + + ,= ,∴ = 3 ,=. 故答案为:点评】 13.【分析】 弦求sin解答】 ),本题考查向量的数量积的应用,考查向量的表示以及计算,考查计算能力.由已知求得 tan α,分类利用万能公式求得 sin2α,cos2α的值,展开两角和的正 2α+ )的值. 解:由,得,解得 tan α= 2 或tan当 tan α= 2 时,sin2,cos2α=∴ sin ( 2 α+)= = ; 当 tanα=时,sin2 α=, cos2α= , , cos2α=,∴ sin ( 2α+ )=综上, sin ( 2α+ )的值是 . 故答案为: .点评】 本题考查三角函数的恒等变换与化简求值,考查两角和的三角函数及万能公式 的应用,是基础题.14.【分析】 由已知函数解析式结合周期性作出图象,数形结合得答案.要使关于 x 的方程 f (x )= g ( x )有 8 个不同的实数根,则 f (x )= ,x ∈(0,2]与 g (x )= k ( x+2), x ∈( 0,1]的图象有 2 个不同 交点,由( 1, 0)到直线 kx ﹣y+2k =0 的距离为 1,得 ,解得 k = (k >0),∵两点(﹣ 2, 0),( 1, 1)连线的斜率 k = , ∴ ≤ k <.即 k 的取值范围为 [ , ). 故答案为: [ , ).点评】 本题考查函数零点的判定,考查分段函数的应用,体现了数形结合的解题思想解答】 解:作出函数 f ( x )与 g ( x )的图象如图,5<x ≤6,7< x ≤ 8)仅有 2个实数根;方法,是中档题.二、解答题:本大题共 6 小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【分析】(1)由余弦定理得:cosB===,由此能求出 c 的值.(2)由=,利用正弦定理得2sinB=cosB,再由sin2B+cos2B=1,能求出sinB=,cosB=,由此利用诱导公式能求出sin(B+ )的值.【解答】解:(1)∵在△ ABC 中,角A,B, C 的对边分别为a,b,c.a=3c,b=,cosB=,∴由余弦定理得:解得c=.sin2B+cos2B=1,∴ sinB =,cosB=,∴ sin(B+ )=cosB =.点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法,考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于中档题.16.【分析】(1)推导出DE∥AB,AB∥A1B1,从而DE∥A1B1,由此能证明A1B1∥平面DEC 1.(2)推导出BE⊥AA1,BE⊥ AC,从而BE⊥平面ACC1A1,由此能证明BE⊥C1E.【解答】证明:(1)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC 的中点,∴DE∥AB,AB∥A1B1,∴DE ∥A1B1,∵DE? 平面DEC1,A1B1?平面DEC1,∴ A1B1∥平面DEC 1.∴由正弦定理得:,,∵=∴ 2sinB=cosB,解:(2)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E是AC的中点,AB=BC.∴BE⊥AA1,BE⊥AC,又AA1∩AC=A,∴ BE⊥平面ACC1A1,∵C1E? 平面ACC 1A1,∴ BE⊥ C1E.点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.17.【分析】(1)由题意得到F1D∥ BF2,然后求AD,再由AD=DF1=求得a,则椭圆方程可求;(2)求出 D 的坐标,得到可求得点 E 的坐标.【解答】解:(1)如图,∵ F2A=F2B,∴∠ F 2AB=∠ F2BA,∵F2A=2a=F2D+DA=F2D+F1D,∴ AD=F1D,则∠ DAF 1=∠ DF1A,∴∠ DF 1A=∠ F2BA,则F1D∥BF2,∵ c=1,∴ b2=a2﹣1,则椭圆方程为,取x=1,得,则AD=2a﹣=.又DF 1=,∴ ,解得a=2(a> 0).∴椭圆 C 的标准方程为;(2)由(1)知,D(1,), F 1(﹣1,0),∴ =,则BF2:y=,2联立,得21x2﹣18x﹣39=0.=,写出BF2 的方程,与椭圆方程联立即解得x1=﹣1或(舍).即点 E 的坐标为(﹣1,﹣).【点评】本题考查直线与圆,圆与椭圆位置关系的应用,考查计算能力,证明DF 1∥BF2是解答该题的关键,是中档题.18.【分析】(1)设BD与圆O交于M,连接AM,以C为坐标原点,l为x轴,建立直角坐标系,则A(0,﹣6),B(﹣8,﹣12),D(﹣8,0)设点P(x1,0),PB⊥ AB,运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,求得P 的坐标,可得所求值;(2)当QA⊥AB 时,QA 上的所有点到原点O 的距离不小于圆的半径,设此时Q(x2,0),运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,求得Q 的坐标,即可得到结论;(3)设P(a,0),Q(b,0),则a≤﹣17,b≥﹣,结合条件,可得 b 的最小值,由两点的距离公式,计算可得PQ.【解答】解:设BD 与圆O 交于M,连接AM ,AB 为圆O 的直径,可得AM⊥BM ,即有DM =AC=6,BM=6,AM=8,以 C 为坐标原点,l 为x 轴,建立直角坐标系,则A(0,﹣6),B(﹣8,﹣12),D (﹣8,0)(1)设点P(x1,0),PB⊥AB,则k BP?k AB=﹣1,即? =﹣1,解得x1=﹣17,所以P(﹣17,0),PB==15;(2)当QA⊥AB 时,QA 上的所有点到原点O 的距离不小于圆的半径,设此时Q(x2,0),则k QA?k AB=﹣1,即? =﹣1,解得x2=﹣,Q(﹣,0),由﹣17<﹣8<﹣,在此范围内,不能满足PB,QA 上所有点到O 的距离不小于圆的半径,所以P,Q中不能有点选在 D 点;(3)设P(a,0),Q(b,0),则a≤﹣17,b≥﹣,PB2=(a+8 )2+144≥225,QA2=b2+36≥225,则b≥3 ,当 d 最小时,PQ=17+3 .【点评】本题考查直线和圆的位置关系,考查直线的斜率和两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,以及两点的距离公式,分析问题和解决问题的能力,考查运算能力,属于中档题.3319.【分析】(1)由a=b=c,可得f(x)=(x﹣a),根据f(4)=8,可得(4﹣a)=8,解得a.222)a≠b,b=c,设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2.令f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2=0,解得x=a,或x=b.f′(x)=(x﹣b)(3x﹣b﹣2a).令f′(x)=0,解得x=b,或x=.根据f(x)和f′(x)的零点均在集合A={ ﹣3,1,3}中,通过分类讨论可得:只有a=3,b=﹣3,可得=1∈A,可得:f(x)=(x﹣3)(x+3 )2.利用导数研究其单调性可得x=1 时,函数f(x)取得极小值..x 1<x 2,可得 x =x 1 时, f ( x )取得极大值为 M ,通过计算化简即可证 明结论.3解答】 解:(1)∵a =b =c ,∴f (x )=( x ﹣a )3,3∵f (4)= 8,∴( 4﹣a )3=8, ∴ 4 ﹣ a = 2,解得 a = 2 .2)a ≠b ,b =c ,设 f ( x )=( x ﹣a )(x ﹣b ) 2令 f ( x )=( x ﹣a )(x ﹣b )2= 0,解得 x =a ,或 x =b .f ′( x )=( x ﹣b )2+2(x ﹣a )(x ﹣b )=( x ﹣b )(3x ﹣b ﹣2a ).令f ′(x )=0,解得 x =b ,或 x =∵f (x )和 f ′( x )的零点均在集合 A ={﹣3,1,3} 中,因此 a =3,b =﹣ 3, =1∈A , 可得: f (x )=( x ﹣3)( x+3) 2 f ′( x )= 3[x ﹣(﹣ 3)](x ﹣1).可得 x =1 时,函数 f (x )取得极小值, f (1)=﹣ 2×42=﹣ 32. ( 3)证明: a =0, 0<b ≤1,c =1,f ( x )= x ( x ﹣ b )( x ﹣1).2f ′( x )=( x ﹣b )(x ﹣1)+x (x ﹣1)+x (x ﹣b )= 3x ﹣( 2b+2)x+b .> 0.令 f ′2x )= 3x 2﹣( 2b+2)x+b = 0.解得:= ∈ ,x 2=若: a =﹣ 3, b = 1,则 = =﹣ ?A ,舍去.a =1,b =﹣ 3,则 = =﹣ ?A ,舍去. a =﹣ 3,b =3,则==﹣ 1? A ,舍去..b = 1,则 = = ?A ,舍去. b =3,则 = ? A ,舍去. b =﹣ 3,则 ==1∈A ,.a = 3,a = 1,a = 3,2x )= 3x 2﹣( 2b+2) x+b =0.x 1+x 2=, x 1x 2= ,可得 x =x 1时, f (x )取得极大值为 M ,M =f (x 1)= x 1(x 1﹣ b )( x 1﹣1)=( x 1﹣b )( ﹣ x 1)=( x 1﹣ b )( ﹣x 1) = = ,∵﹣ 2b 2+2b ﹣ 2=﹣ 2﹣ <0,∴M 在 x 1∈(0, ] 上单调递减, ∴ M ≤ = ≤∴ M ≤ .点评】 本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、 等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.20.【分析】( 1)设等比数列 {a n }的公比为 q ,然后根据 a 2a 4=a 5,a 3﹣4a 2+4a 1=0 列方程求解,在根据新定义判断即可;(2)求出 b 2, b 3, b 4 猜想 b n ,然后用数学归纳法证明; (3)设{c n }的公比为 q ,将问题转化为 ,然后构造函数 f ( x )=, g (x )=,分别求解其最大值和最小值,最后解不等式 ,即可. 【解答】 解:(1)设等比数列 { a n } 的公比为 q ,则 由 a 2a 4=a 5, a 3﹣4a 2+4a 1=0,得∴,∴数列 { a n }首项为 1 且公比为正数△=422b+1)2﹣12b = 4b 2﹣4b+4=4 +3≥3.解得: x 1=∈ ,x 2=.x 1<x 2,∵ f ′( x 1)= ﹣( 2b+2) x 1+b = 0, 可得:=[2b+2)x 1﹣b ],= [(2b ﹣ 1) ﹣2b 2x 1+b 2]即数列{a n}为“ M﹣数列”;(2)① ∵b1=1,=﹣,∴当n=1 时,,∴ b2=2,2当n=2 时,,∴ b3=3,当n=3 时,,∴ b4=4,猜想b n=n,下面用数学归纳法证明;(i)当n=1 时,b1=1,满足b n=n,(ii )假设n=k时,结论成立,即b k=k,则n=k+1 时,由,得=k+1,故n=k+1 时结论成立,根据(i)(ii )可知,b n=n 对任意的n∈N*都成立.故数列{ b n}的通项公式为b n=n;②设{c n} 的公比为q,存在“ M﹣数列” {c n} (n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,k﹣1 k即q k 1≤k≤k对k≤m 恒成立,当k=1时,q≥1,当k=2时,,当k≥3,两边取对数可得,对k≤m 有解,令f(x)=,则,当x≥3时,f'(x)<0,此时f(x)递增,∴当k≥3 时,令g(x)=,则,令,则,当x≥3时,?'(x)<0,即g'(x)<0,∴g(x)在[3,+∞)上单调递减,即k≥3 时,,则,,下面求解不等式,化简,得3lnm ﹣(m﹣1)ln3≤0,令h(m)=3lnm﹣(m﹣1)ln3,则h'(m)=﹣ln3,由k≥3得m≥3,h'(m)<0,∴h(m)在[3,+∞)上单调递减,又由于h(5)=3ln5﹣4ln3=ln125﹣ln81>0,h(6)=3ln6﹣5ln3=ln216﹣ln243<0,∴存在m0∈(5,6)使得h(m0)=0,∴m 的最大值为5,此时q∈,.【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立,考查了数学归纳法和构造法,是数列、函数和不等式的综合性问题,属难题.选做题】本题包括A、B、 C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[ 选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10 分)21.【分析】(1)根据矩阵 A 直接求解A 2即可;2)矩阵 A 的特征多项式为f(λ)2=λ2﹣5λ+4,解方程f(λ)=0 即解答】解:(1)∵ A=∴A2=2)矩阵 A 的特征多项式为:f(λ)=2=λ﹣5λ+4,令 f ( λ)= 0,则由方程 λ2﹣ 5λ+4 =0,得λ=1或 λ= 4,∴矩阵 A 的特征值为 1 或 4.【点评】 本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识,考查运算与求解能力,属基础题.B.[选修 4-4 :坐标系与参数方程 ](本小题满分 10 分) 22.【分析】(1)设极点为 O ,则由余弦定理可得,解出 AB ;( 2)根据直线 l 的方程和点 B 的坐标可直接计算 B 到直线 l 的距离. 【解答】 解:( 1)设极点为 O ,则在△ OAB 中,由余弦定理,得2 2 2AB2=OA 2+OB 2﹣ 2OA ,∴ AB == ;(2)由直线 1 的方程 ρsin (θ+ )=3,知 直线 l 过( 3 , ),倾斜角为 , 又 B ( , ),∴点 B 到直线 l 的距离为 .【点评】 本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离,属基础题.C.[选修 4-5:不等式选讲 ](本小题满分 0 分)23.【分析】 对 |x|+|2x ﹣ 1|去绝对值,然后分别解不等式即可.,或∴ x > 1 或 x ∈?或 x <﹣ ,∴不等式的解集为 { x|x <﹣ 或 x > 1} .点评】 本题考查了绝对值不等式的解法,属基础题.第 20 页(共 22 页)解答】 解: |x|+|2x ﹣ 1|=∵|x|+|2x ﹣1|>2,或【必做题】第24题、第25题,每题10 分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.【分析】(1)运用二项式定理,分别求得a2,a3,a4,结合组合数公式,解方程可得n 的值;(2)方法一、运用二项式定理,结合组合数公式求得a,b,计算可得所求值;方法二、由于a,b∈N *,求得(1﹣)5=a﹣b ,再由平方差公式,计算可得所求值.【解答】解:(1)由(1+x)n=C +C x+C x2+⋯+C x n,n≥4,可得a2= C =,a3=C =,a4=C =,a32=2a2a4,可得()2=2? ? ,解得n=5;(2)方法一、(1+ )5=C +C +C ()2+C ()3+C ()4+C ()5=a+b ,由于a,b∈N* ,可得a=C +3C +9C =1+30+45 =76,b= C +3C +9C =44,可得a2﹣3b2=762﹣3×442=﹣32;方法二、(1+ )5=C +C +C ()2+C ()3+C ()4+C ()5=a+ b ,(1﹣)5=C +C (﹣)+C (﹣)2+C (5=C ﹣ C +C ()2﹣C ()3+C ()4﹣C ()5,由于a,b∈N* ,可得(1﹣)5=a﹣b ,可得 a ﹣3b =(1+ )?(1﹣)=(1﹣3)=﹣32.【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用,考查运算能力和分析问题能力,属于中档题.25.【分析】(1)当n=1时,X 的所有可能取值为1,,2,,由古典概率的公式,结合组合数可得所求值;(2)设A(a,b)和B(c,d)是从M n中取出的两个点,因为P(X≤n)=1﹣P(X>n),所以只需考虑X>n 的情况,分别讨论b,d 的取值,结合古典概率的计算公式和对立事件的概率,即可得到所求值.【解答】解:(1)当n=1时,X 的所有可能取值为1,,2,,X 的概率分布为P(X=1)=;P(X=)=P(X=2)==;P(X=)==;(2)设A(a,b)和B(c,d)是从M n中取出的两个点,因为P(X≤n)=1﹣P(X>n),所以只需考虑X>n 的情况,①若b=d,则AB≤n,不存在X>n的取法;②若b=0,d=1,则AB=≤,所以X> n当且仅当AB=,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;③若b=0,d=2,则AB=≤,所以X> n当且仅当AB=,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;④若b=1,d=2,则AB=≤,所以X> n当且仅当AB=,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;综上可得当X>n,X 的所有值是或,P(X=)=,可得P(X≤n)=1﹣P(X=)﹣P(X=)=1【点评】本题考查随机变量的概率的分布,以及古典概率公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及化简运算能力,属于难题.。

2019年高考真题——数学(江苏卷)+Word版含解析

2019年高考真题——数学(江苏卷)+Word版含解析

2019 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。

本卷满分为160分,考试时间为120分钟。

考试结束后,请将本试卷和答题卡一片交回。

2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。

5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式:样本数据x1, x2 ,⋯, x n 的方差n12s x xini 12,其中n1x xn .ii 1柱体的体积V Sh,其中S 是柱体的底面积,h是柱体的高.锥体的体积1V Sh,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.3一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题..卡.相.应.位.置.上.1.已知集合A={ -1,0,1,6} ,B x | x 0,x R ,则A∩B=_____.【答案】{1,6}.【解析】【分析】由题意利用交集的定义求解交集即可.【详解】由题知, A B { 1,6} .【点睛】本题主要考查交集的运算,属于基础题.2.已知复数(a 2i)(1 i) 的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数 a 的值是_____.【答案】2【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ,然后根据复数的概念,令实部为0 即得 a 的值.【详解】 2(a 2i )(1 i) a ai 2i 2i a 2 (a2)i ,令a 2 0得a 2.- 1 -【点睛】本题主要考查复数的运算法则,虚部的定义等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.下图是一个算法流程图,则输出的S 的值是_____.【答案】5【解析】【分析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可.【详解】执行第一次,x 1S S ,x 1 4不成立,继续循环,x x 1 2;2 2执行第二次,x 3S S , x 2 4 不成立,继续循环,x x 1 3;2 2x执行第三次,3, 3 4S S x 不成立,继续循环,x x 1 4 ;2x执行第四次,5, 4 4S S x 成立,输出S 5.2【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路:(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.(2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题.(3)按照题目的要求完成解答并验证.4.函数y 7 6x x2 的定义域是_____.【答案】[ -1,7]【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式,解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得 27 6x x 0 ,即 2 6 7 0x x- 2 -解得 1 x 7,故函数的定义域为[-1,7].【点睛】求函数的定义域,其实质就是以函数解析式有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集即可.5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是____.【答案】【解析】5 3【分析】由题意首先求得平均数,然后求解方差即可.【详解】由题意,该组数据的平均数为67 8 8 9 1068 ,所以该组数据的方差是1 52 2 2 2 2 2 [(6 8) (7 8) (8 8) (8 8) (9 8) (10 8) ]6 3.【点睛】本题主要考查方差的计算公式,属于基础题.6.从3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务,则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是_____.【答案】【解析】7 10【分析】先求事件的总数,再求选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的事件数,最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿服务,共有 2C5 10 种情况.若选出的 2 名学生恰有 1 名女生,有 1 1C3C2 6 种情况,若选出的 2 名学生都是女生,有 2C2 1种情况,所以所求的概率为6 1 710 10.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容,考查的形式有两种,一是独立考查,二是与古典概型结合考查,由于古典概型概率的计算比较明确,所以,计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中,应注意审清题意,明确“分类”“分步”,根据顺序有无,明确“排列”组“合”.7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2y2x bb2 1( 0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y 2x- 3 -【解析】 【分析】根据条件求 b ,再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得24231,2b解得 b2或b2,因为 b 0,所以 b2 .因为 a 1,所以双曲线的渐近线方程为y 2x .【点睛】双曲线的标准方程与几何性质,往往以小题的形式考查,其难度一般较小,是高考 必得分题 .双曲线渐近线与双曲线标准方程中的 a,b 密切相关,事实上,标准方程中化1 为 0,即得渐近线方程 .8.已知数列 { a n } *(n N ) 是等差数列, S n 是其前 n 项和.若 a 2a 5 a 8 0, S 9 27 ,则 S 8 的值是_____. 【答案】 16 【解析】 【分析】由题意首先求得首项和公差,然后求解前 8 项和即可 .a aaad a4d a 7d0 2 58111【详解】由题意可得:9 8S9ad 27 912,解得:a 15 d 2 ,则8 7S 8a d 40 28 2 16.8 12【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题,是高考必考内容,解题过程中要注意应用函 数方程思想,灵活应用通项公式、求和公式等,构建方程(组),如本题,从已知出发,构建a , d 的方程组 .19.如图,长方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的体积是 120,E 为 CC 1 的中点,则三棱锥 E-BCD 的体积是 _____.- 4 -【答案】10【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】因为长方体ABCD A1B1C1D1 的体积为120,所以AB BC CC1 120 ,因为E 为C C1 的中点,所以1CE CC ,12由长方体的性质知CC1 底面ABCD ,所以C E是三棱锥E BCD 的底面BCD上的高,所以三棱锥E BCD 的体积1 1 1 1 1 1V AB BC CE AB BC CC1 120 10 .3 2 3 2 2 12【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中,往往需要注意理清整体和局部的关系,灵活利用“割”与“补”的方法解题.10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线的距离的最小值是_____.4y x (x0)x上的一个动点,则点P 到直线x+ y=0【答案】4【解析】【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离,然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线2gR2r平移到与曲线y x4x相切位置时,切点Q 即为点P 到直线2gR2r的距离最小.由y41 1,得x 2( 2舍) ,y 32 ,2x即切点Q( 2,3 2) ,- 5 -WORD格式则切点Q 到直线2gR2r的距离为2 3 22 21 14,故答案为:4.【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离,渗透了直观想象和数学运算素养. 采取导数法和公式法,利用数形结合和转化与化归思想解题.11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y=ln x 上,且该曲线在点 A 处的切线经过点(-e,-1)(e 为自然对数的底数),则点 A 的坐标是____.【答案】(e,1)【解析】【分析】设出切点坐标,得到切线方程,然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点 A x0 ,y0 ,则y0 ln x0 .又y 1 x,当x x0 时,y 1x,点A 在曲线y ln x上1y y (x x ) 切线为0 0x,x即0 ,y ln x 1xe代入点e, 1 ,得01 ln x 1,x的WORD格式即x0 ln x0 e ,考查函数H x xln x,当x 0,1 时,H x 0,当x 1, 时,H x 0,且H ' x ln x 1,当x 1时,H ' x 0,H x 单调递增,注意到H e e,故x0 ln x0 e 存在唯一的实数根x0 e,此时y0 1,故点A的坐标为A e,1 .【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题:一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.12.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点, E 在边AB 上,BE=2EA,AD 与CE 交于点O.若- 6 -AB ACAO EC ,则6AB AC的值是 _____. 【答案】 3 【解析】 【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积,然后利用几何性质可得比值.【详解】如图,过点 D 作DF // CE ,交AB 于点 F ,由 BE=2EA ,D 为BC 中点,知BF =FE =EA ,AO =OD .36AO EC 3AD AC AEAB ACAC AE231 311 22AB ACACABAB ACAB ACAB AC2 3233 3 2 1 2 2123 2 AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC , 2 332 2得1 3AB2 2AB AC , 即 AB 3 AC ,故322AC. 【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运 算素养 .采取几何法,利用数形结合和方程思想解题.tan2 π3 4,则 sin 2π 4的值是 _____.13.已知tan【答案】210- 7 -【解析】 【分析】 由题意首先求得tan 的值,然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题,最后切化弦求得三角函数式的值即可.tantan tan 1 tan 2 【详解】由tan4tan 1 tan 1 3 1 tan, 得3tan 25tan 2 0,解得tan 2,或 tan1 3.sin 2 sin 2 cos cos 2 sin444222 2 2sin coscos sinsin 2 cos2 =222 2sin cos= 22 2tan 1 tan22 tan1,当t an 2 时,上式22 2 2 1 22 = =; 222 110当 tan1 3时,上式 =21 1 212 3 32= 22 101 13. 综上,2 sin2.410【点睛】本题考查三角函数的化简求值,渗透了逻辑推理和数学运算素养 .采取转化法,利用分类讨论和转化与化归思想解题.14.设 f(x),g(x)是定义在 R 上的两个周期函数, f(x)的周期为 4,g(x)的周期为 2,且 f (x)是奇函k(x 2),0 x 1数.当 x (0,2] 时, f (x)1 (x 1)2 , g (x)12,1 x 2,其中 k>0.若在区间 (0, 9]上,关于 x 的方程 f( x )= g (x)有 8 个不同的实数根,则 k 的取值范围是 _____. 【答案】 1 2,3 4- 8 -【解析】【分析】分别考查函数 f x 和函数g x 图像的性质,考查临界条件确定k 的取值范围即可.【详解】当x 0,2 时,2f (x) 1 x 1 , 即2 2x 1 y 1,y 0.又 f (x) 为奇函数,其图象关于原点对称,其周期为4,如图,函数 f (x) 与g( x) 的图象,要使f (x) g (x) 在(0,9] 上有8 个实根,只需二者图象有8 个交点即可.当1g( )x 时,函数 f (x) 与g(x) 的图象有2 个交点;2当g(x) k(x 2) 时,g( x) 的图象为恒过点(-2,0)的直线,只需函数 f ( x) 与g( x) 的图象有6 个交点.当f (x) 与g(x) 图象相切时,圆心(1,0)到直线kx y 2k 0的距离为1,即k 2k 1 2 k 1 ,得 2k ,函数 f ( x) 与g( x) 的图象有3 个交点;当g(x) k(x 2) 过点(1,1)4时,函数 f ( x) 与g(x) 的图象有6 个交点,此时1 3k ,得1 k .3综上可知,满足 f (x) g(x) 在(0,9]上有8 个实根的k 的取值范围为1 2 ,.3 4【点睛】本题考点为参数的取值范围,侧重函数方程的多个实根,难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误,根据函数的周期性平移图象,找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数,从而确定参数的取值范围.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答.题.卡.指.定.区.域.内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.(1)若a=3 c,b= 2 ,cosB= 23,求c的值;- 9 -(2)若s in A cos Ba 2b ,求s in( B ) 的值.2【答案】(1) 3c ;(2)3 2 5 5.【解析】【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于 c 的方程,解方程可得边长 c 的值;(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cosB的值,然后由诱导公式可得sin( B ) 的值.2【详解】(1)因为2 a 3c, b 2,cos B ,3由余弦定理cos B2 2 2a c b2ac,得2 2 22 (3 c) c ( 2)3 2 3c c,即 21c .3所以3 c .3(2)因为s in A cosB a 2b,由正弦定理a bsin A sin B,得c os B sin B2b b ,所以cosB 2sin B .从而 2 2cos B (2sin B) ,即2 2cos B 4 1 cos B ,故2 4cos B .5因为s in B 0,所以cosB 2sin B 0,从而cos 2 5B .5因此π 2 5 sin B cosB .2 5【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.16.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,D,E 分别为BC,AC 的中点,AB=BC.- 10 -求证:(1)A1B1∥平面DEC 1;(2)BE⊥C1E.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论;(2)由题意首先证得线面垂直,然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【详解】(1)因为D,E 分别为BC,AC 的中点,所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,AB∥A1B1,所以A1B1∥ED.又因为ED ? 平面DEC1,A1B1 平面DEC1,所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB=BC,E 为AC 的中点,所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1 是直棱柱,所以CC1⊥平面ABC .又因为BE? 平面ABC,所以CC1⊥BE.因为C1C? 平面A1ACC1,AC? 平面A1ACC1,C1C∩AC= C,所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E? 平面A1ACC1,所以BE⊥C1E.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.17.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C:2 2x y2 2 1( 0)a ba b的焦点为F1(–1、0),- 11 -F2(1,0).过F2 作x 轴的垂线l,在x 轴的上方,l 与圆F2: 2 2 2(x1) y 4a 交于点A,与椭圆 C 交于点 D.连结AF1 并延长交圆F2于点B,连结BF2 交椭圆 C 于点E,连结DF1.已知DF1= 5 2 .(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)求点 E 的坐标.【答案】(1)2 2x y4 31 ;(2)3 E( 1, ) .2【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b 的值即可确定椭圆方程;(2)解法一:由题意首先确定直线AF1 的方程,联立直线方程与圆的方程,确定点 B 的坐标,联立直线BF2 与椭圆的方程即可确定点 E 的坐标;解法二:由题意利用几何关系确定点 E 的纵坐标,然后代入椭圆方程可得点 E 的坐标.【详解】(1)设椭圆 C 的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因为DF 1= 52,AF 2⊥x 轴,所以DF 2=5 32 2 2 2DF F F ( ) 2 ,1 1 22 2因此2a= D F 1+DF 2=4,从而a=2 2=a2-c2,得b2=3.由b因此,椭圆 C 的标准方程为2 2x y4 31 .(2)解法一:由(1)知,椭圆C:2 2x y4 31 ,a=2,因为AF2⊥x 轴,所以点 A 的横坐标为 1.- 12 -将x=1 代入圆F2的方程(x-1) 2 2+y =16,解得y=±4.因为点 A 在x 轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.y 2x 2由 22x 1 y 16 ,得 25x 6x11 0 ,解得x 1或11 x .5将11x 代入y 2x 2,得512y ,5因此11 12B( , ) .又F2(1,0),所以直线BF2:5 53y (x1) .4 3y (x 1)4由 2 2x y4 31 ,得 27x 6x 13 0,解得x 1或13x .7又因为 E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以x 1 .将x1代入解法二:3y (x1) ,得43y .因此23E( 1, ) .2由(1)知,椭圆C:2 2x y4 31 .如图,连结EF1.- 13 -因为BF2=2a,EF1+ E F2=2a,所以EF1=EB,从而∠BF 1E=∠B.因为F2A= F2B,所以∠A=∠B,所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x 轴,所以EF1⊥x 轴.x 1因为F1(-1,0),由 2 2x y ,得14 33 y .2又因为 E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以3 y .2因此3 E( 1, ) .2【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.18.如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路PB、QA.规划要求: 线段PB、QA 上的所有点到点O 的距离均不.小.于.圆.O 的半径.已知点A、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD(C、D 为垂足),测得AB=10,AC =6,BD =12(单位:百米).(1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在 D 处?并说明理由;(3)对规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d(单位:百米).求当 d 最小时,P、Q 两点间的距离.【答案】(1)15(百米);(2)见解析;(3)17+ 3 21(百米).【解析】【分析】解:解法一:(1)过 A 作AE BD ,垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB 的长;(2)分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在 D 处即可.(3)先讨论点P 的位置,然后再讨论点Q 的位置即可确定当 d 最小时,P、Q 两点间的距离.解法二:(1)建立空间直角坐标系,分别确定点P 和点 B 的坐标,然后利用两点之间距离公式可得道- 14 -路PB 的长;(2)分类讨论P和Q 中能否有一个点选在 D 处即可.(3)先讨论点P 的位置,然后再讨论点Q 的位置即可确定当 d 最小时,P、Q 两点间的距离.【详解】解法一:(1)过A作AE BD ,垂足为 E.由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,DE BE AC 6, AE CD 8 .因为PB⊥AB,所以8 4 cos PBD sin ABE .10 5所以PBBD 12154cos PBD .5因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,由(1)可得 E 在圆上,则线段B E 上的点(除B,E)到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连结AD,由(1)知AD AE2 ED2 10 ,从而2 2 2 7AD AB BDcos BAD 02AD AB 25,所以∠BAD 为锐角.所以线段A D 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此,Q 选在 D 处也不满足规划要求.综上,P 和Q 均不能选在 D 处.(3)先讨论点P 的位置.当∠OBP<90°时,线段P B 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段P B 上任意一点F,OF ≥OB,即线段P B 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设P1为l 上一点,且P1B AB ,由(1)知,P1B 15 ,此时3PD PB sin PBD PB cos EBA 15 9 ;1 1 1 15当∠OBP>90°时,在△PPB 中,PB P1B 15.1由上可知,d≥15.再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q 只有位于点 C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15 时,- 15 -2 2 152 623 21CQ QA AC .此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB⊥AB,点Q 位于点 C 右侧,且CQ= 3 21时,d 最小,此时P,Q 两点间的距离PQ=PD+CD +CQ =17+ 3 21.因此,d 最小时,P,Q 两点间的距离为17+ 3 21(百米).解法二:(1)如图,过O 作OH⊥l,垂足为H.以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系.因为BD =12,AC=6,所以OH =9,直线l 的方程为y=9,点A,B 的纵坐标分别为3,- 3. 2+y2=25. 因为AB 为圆O 的直径,AB=10,所以圆O 的方程为x从而A(4,3),B(- 4,- 3),直线AB 的斜率为3 4 .因为PB⊥AB,所以直线PB 的斜率为43,直线PB 的方程为4 25 y x .3 3所以P(- 13,9),PB ( 13 4)2 (9 3)2 15.因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,取线段BD 上一点E(- 4,0),则EO =4<5,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连结AD,由(1)知D(- 4,9),又A(4,3),所以线段AD:3y x 6( 4 x 4) .4在线段AD 上取点M(3,154 ),因为22 15 2 2OM 3 3 4 5 ,4所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在 D 处也不满足规划要求.综上,P 和Q 均不能选在 D 处.(3)先讨论点P 的位置.- 16 -当∠OBP<90°时,线段P B 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段P B 上任意一点F,OF ≥OB,即线段P B 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B AB ,由(1)知,P1B 15 ,此时P1 13,9 ;当∠OBP>90°时,在△PP1B 中,PB P1B 15.由上可知,d≥15.再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q 只有位于点 C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15 时,设Q(a,9),由AQ (a 4)2 (9 3)2 15( a4) ,得a= 4 3 21,所以Q(4 3 21,9),此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当P(- 13,9),Q(4 3 21,9)时,d 最小,此时P,Q 两点间的距离PQ 4 3 21 ( 13) 17 3 21 .因此,d 最小时,P,Q 两点间的距离为17 3 21(百米).【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19.设函数 f (x) (x a)( x b)( x c), a,b,c R ,f '( x)为f(x)的导函数.(1)若a=b= c,f(4)=8,求 a 的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和 f '( x) 的零点均在集合{-3,1,3} 中,求f(x)的极小值;(3)若a 0,0 b 1, c 1 ,且f(x)的极大值为M,求证:M≤【答案】(1)a 2;(2)见解析;4 27.(3)见解析.【解析】【分析】(1)由题意得到关于 a 的方程,解方程即可确定 a 的值;(2)由题意首先确定a, b,c 的值从而确定函数的解析式,然后求解其导函数,由导函数即可确定函数的极小值.(3)由题意首先确定函数的极大值M 的表达式,然后可用如下方法证明题中的不等式:解法一:由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式;解法二:由题意构造函数,求得函数在定义域内的最大值,因为0 b 1,所以x1 (0,1).- 17 -当x (0,1) 时, f ( x) x(x b)( x1) x( x 1)2 .令 2g(x) x(x 1) , x (0,1) ,则1g' (x) 3 x (x 1) .3令g'( x) 0 ,得 1x .列表如下:3x (0, 1)3 131( ,1)3g' x + 0 –( )g(x) ↗极大值↘所以当1 1 4 x 时,g(x) 取得极大值,且是最大值,故g( x)max g .3 3 27所以当x (0,1) 时,4f (x) g(x) ,因此274M .27【详解】(1)因为a b c,所以 3f ( x) (x a)( x b)( x c) (x a) .因为 f (4) 8,所以(4 a)3 8 ,解得a 2.(2)因为 b c ,所以 2 3 2 2f (x) (x a)( x b) x (a2b) x b(2 a b)x ab ,从而2a bf '(x) 3(x b) x .令 f '(x) 0 ,得x=b 或32a bx .3因为2a ba b ,都在集合{ 3,1,3} 中,且 a b,, ,3所以2a b31,a 3,b 3.此时 2f x x x ,f'(x) 3(x 3)( x1).( ) ( 3)( 3)令 f '(x) 0 ,得x 3或x1.列表如下:x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+ ∞) + 0 –0 +- 18 -f (x) ↗极大值↘极小值↗所以 f (x) 的极小值为 2f (1) (1 3)(1 3) 32 .(3)因为 a 0,c 1,所以 f (x) x(x b)( x 1) x3 (b 1)x2 bx ,2f '( x) 3x 2(b 1)x b .因为0 b 1,所以 2 24(b 1) 12b (2b 1) 3 0 ,则有2 个不同的零点,设为x1 ,x2 x1 x2 .由 f '(x) 0 ,得2 2b 1 b b 1 b 1 b b 1 x ,x.1 23 3列表如下:x ( , x ) x1 x1, x2 x2 (x2,)1+ 0 –0 +f (x) ↗极大值↘极小值↗所以 f (x) 的极大值M f x1 .解法一:3 2M f x1 x1 (b 1)x1 bx122 b b 1x b 1 b(b 1) 213x 2(b 1)x b x1 1 13 9 9 922 b b 1 (b 1) b(b 1) 227 9 272b b 132b(b 1) 2(b 1) (b 1) 227 27 27( b(b 1) 1) 3b(b 1) 2 4 27 27 27 .因此4M .27解法二:因为0 b 1,所以x1 (0,1).- 19 -当x (0,1) 时, f ( x) x(x b)( x1) x( x 1)2 .令12g' (x) 3 x (x 1) .g(x) x(x 1) , x (0,1) ,则3令g'( x) 0 ,得 1x .列表如下:3x (0, 1)3 131( ,1)3g'( x) + 0 –g(x) ↗极大值↘所以当1 1 4x 时,g(x) 取得极大值,且是最大值,故m axg( x) g .3 3 27所以当x (0,1) 时,4f (x) g(x) ,因此274M .27【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.20.定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M-数列”.(1)已知等比数列{ a n} 满足:a2a4 a5 ,a3 4a2 4a1 0 ,求证:数列{ a n} 为“M-数列”;b (2)已知数列{ b n} 满足: 11,1 2 2S b bn n n1,其中S n 为数列{ b n} 的前n 项和.①求数列{ b n}的通项公式;②设m为正整数,若存在“M-数列”{c n}( n∈N * ),对任意正整数k,当k≤m 时,都有c b ck k k1 成立,求m 的最大值.【答案】(1)见解析;(2)①b n=n *n N;②5.【解析】【分析】(1)由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论;(2)①由题意利用递推关系式讨论可得数列{ b n} 是等差数列,据此即可确定其通项公式;②由①确定b k 的值,将原问题进行等价转化,构造函数,结合导函数研究函数的性质即可求得m 的最大值.- 20 -【详解】(1)设等比数列{ a n} 的公比为q,所以a1≠0,q≠0.由a a a2 4 5,得a3 4a2 4a1 02 4 4a q a q1 12a1q 4a1q 4a1 0,解得a1 1q 2.因此数列{ }a 为“M—数列”.n(2)①因为1 2 2S b bn n n1,所以0b .n由b1 1, S1 b1 得1 2 21 1 b2,则b2 2 .由1 2 2S b bn n n1,得Snb bn n12(b b )n 1 n,当n 2 时,由b n S n S n 1 ,得bnb b b bn n 1 n 1 n2 b b 2 b bn 1 n n n 1,整理得b 1 b 1 2b .n n n所以数列{ b n}是首项和公差均为 1 的等差数列.因此,数列{ b n} 的通项公式为b n=n *n N .②由①知,b k=k,k N* .因为数列{ c n} 为“M –数列”,设公比为q,所以c1=1,q>0.因为c k≤b k≤c k+1,所以k 1 kq k q ,其中k=1,2,3,⋯,m.当k=1 时,有q≥1;ln k ln k当k=2,3,⋯,m 时,有l n qk k 1.设f(x)= l nxx(x 1) f '(x),则1ln2xx.令f '( x) 0 ,得x=e.列表如下:x (1,e) e (e,+∞) f '( x) + 0 –f(x)↗极大值↘- 21 -ln 2 ln8 ln9 ln 3 ln3 f (k) f (3) .因为,所以max2 6 63 3取q ,当k=1,2,3,4,5 时,3 33 3 lnkkln q ,即kk q ,经检验知k 1q k 也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥24,3且q15≤216,所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上,所求m 的最大值为5.【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括21、22、23 三小题,请.选.定.其.中.两.小.题.,.并.在.相.应.的.答.题.区.域.内.作.答..若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证过程或演算步骤.21.已知矩阵 A 3 1 2 2(1)求 A2;(2)求矩阵 A 的特征值.【答案】(1)11 5 10 6;(2) 1 1, 2 4 .【解析】【分析】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算A的值即可;2(2)首先求得矩阵的特征多项式,然后利用特征多项式求解特征值即可.3 1【详解】(1)因为A,2 2所以2 3 1 3 1 A2 2 2 2= 3 3 1 2 3 1 1 22 3 2 2 2 1 2 2=11 510 6.(2)矩阵 A 的特征多项式为- 22 -3 12f ( ) 5 4.2 2令 f ( ) 0,解得A的特征值 1 1, 2 4 .【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力.A B ,直线l 的方程为sin 322.在极坐标系中,已知两点3, , 2,4 2 4.(1)求A,B 两点间的距离;(2)求点 B 到直线l 的距离.【答案】(1) 5 ;(2)2.【解析】【分析】(1)由题意,在△OAB 中,利用余弦定理求解AB 的长度即可;(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标,然后结合点 B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离.【详解】(1)设极点为O.在△OAB 中,A(3,),B( 2 ,),4 2由余弦定理,得AB= 32 ( 2) 2 2 3 2 cos( ) 52 4.(2)因为直线l 的方程为sin( ) 34,则直线l 过点(3 2, )2 ,倾斜角为34.又B( 2, ) ,所以点B 到直线l 的距离为23(3 2 2) sin( ) 24 2.【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.23.设x R,解不等式| x|+|2 x 1|>2 .【答案】1 { x|x或x 1} .3【解析】【分析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集.- 23 -【详解】当 x<0 时,原不等式可化为 x 1 2x 2 ,解得 x<– 13:当 0≤ x ≤ 1 2时,原不等式可化为x+1–2x>2,即 x<–1,无解;当 x> 1 2时,原不等式可化为x+2 x –1>2,解得 x>1.综上,原不等式的解集为1 {x |x或x 1} .3【点睛】本题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力. 【必做题】第24 题、第25 题,每题 10 分,共计 20 分 . 请 在 答.题.卡.指.定.区.域. 内 作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. n2n*(1 x)aa x a xa x ,n ⋯ 4,n N .已知 24.设12n2a32a 2a 4 .(1)求 n 的值;na b,其中 (2)设(1 3)3*a, b N ,求23 2ab 的值 .【答案】(1) n 5; (2) -32. 【解析】 【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定a 2 ,a 3, a 4 的值,然后求解关于n 的方程可得 n 的值;(2)解法一: 利用 (1)中求得的 n 的值确定有理项和无理项从而可得 a,b 的值,然后计算23 2ab的值即可;解法二:利用 (1)中求得的 n 的值,由题意得到51 3 的展开式,最后结合平方差公式即可确定 a 23b 2 的值 .n12 2n n【详解】(1)因为(1 x)CC x C xC x ,n 4 ,nnnn所以n(n 1)n(n 1)( n 2) 23aC,aC,2n3n26n(n 1)( n 2)( n 3) 4 aC.4n242因为a 3 2a 2a 4 ,所以n(n 1)(n 2) n(n 1) n(n 1)(n 2)( n 3)2[ ] 26 2 24,解得n 5.(2)由(1)知,n 5 .- 24 -n 5(1 3) (1 3)0 1 2 2 3 3 4 4 5 5C C 3 C ( 3) C ( 3) C ( 3) C ( 3)5 5 5 5 5 5a b 3 .解法一:因为*a,b N,所以0 2 4 1 3 5a C 3C 9C 76,b C 3C 9C 44 ,5 5 5 5 5 5从而a2 3b2 762 3 442 32 .解法二:5 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 (1 3) C C ( 3) C ( 3) C ( 3) C ( 3) C ( 3)5 5 5 5 5 50 1 2 2 3 3 4 4 5 5C C 3 C ( 3) C ( 3) C ( 3) C ( 3) .5 5 5 5 5 5因为*a,b N,所以5(1 3) a b 3 .因此 2 3 2 ( 3)( 3) (1 3)5 (1 3) 5 ( 2)5 32a b a b a b .【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力.25.在平面直角坐标系x Oy 中,设点集A n {(0,0),(1,0),(2,0), ,( n,0)} ,B (0,1),(n,1)},C {(0,2),(1 ,2),(2,2), ,( n,2)}, n N .令M n A n B n C n .从集n n合M n 中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1 时,求X 的概率分布;(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n 表示).【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】(1)由题意首先确定X 可能的取值,然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列;(2)将原问题转化为对立事件的问题求解P X n 的值,据此分类讨论①. b d ,②.b 0,d 1,③. b 0,d 2 ,④.b 1,d 2 四种情况确定X 满足X n的所有可能的取值,然后求解相应的概率值即可确定P X ≤n 的值.【详解】(1)当n 1时,X 的所有可能取值是1,2 ,2,5 .- 25 -7 7 4 4P(X 1) , P(X2) ,X 的概率分布为2 2C 15 C 156 62 2 2 2P(X 2) ,P(X 5) .2 2C 15 C 156 6(2)设A(a ,b) 和B(c ,d)是从M n 中取出的两个点.因为P(X n) 1 P(X n) ,所以仅需考虑X n的情况.①若b d ,则AB n ,不存在X n的取法;②若b 0,d 1,则AB (a c)2 1 n2 1,所以X n当且仅当 2 1AB n ,此时a 0,c n 或a n ,c 0 ,有2 种取法;③若b 0,d 2 ,则AB (a c)2 4 n2 4 ,因为当n 3时, 2(n1) 4 n ,所以X n当且仅当AB n2 4 ,此时a 0,c n 或a n ,c 0 ,有 2 种取法;④若b 1,d 2,则AB (a c)2 1 n2 1,所以X n当且仅当 2 1AB n ,此时a 0,c n 或a n ,c 0 ,有2 种取法.综上,当X n时,X 的所有可能取值是n2 +1 和 2 4n ,且2 24 2P(X n 1) , P(X n 4) .2 2C n C n2 4 2 4因此,62 2P( X n) 1 P( X n 1) P( X n 4) 1 .2C n2 4【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.- 26 -。

2019年江苏省高考数学试卷

2019年江苏省高考数学试卷

2019年江苏省高考数学试卷试题数:25.满分:2001.(填空题.5分)已知集合A={-1.0.1.6}.B={x|x>0.x∈R}.则A∩B=___ .2.(填空题.5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0.其中i为虚数单位.则实数a的值是___ .3.(填空题.5分)如图是一个算法流程图.则输出的S的值是___ .4.(填空题.5分)函数y= $\sqrt{7+6x-{x}^{2}}$ 的定义域是___ .5.(填空题.5分)已知一组数据6.7.8.8.9.10.则该组数据的方差是___ .6.(填空题.5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务.则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是___ .7.(填空题.5分)在平面直角坐标系xOy中.若双曲线x2- $\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1(b>0)经过点(3.4).则该双曲线的渐近线方程是___ .8.(填空题.5分)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列.S n是其前n项和.若a2a5+a8=0.S9=27.则S8的值是___ .9.(填空题.5分)如图.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120.E为CC1的中点.则三棱锥E-BCD的体积是 ___ .10.(填空题.5分)在平面直角坐标系xOy中.P是曲线y=x+ $\frac{4}{x}$ (x>0)上的一个动点.则点P到直线x+y=0的距离的最小值是___ .11.(填空题.5分)在平面直角坐标系xOy中.点A在曲线y=lnx上.且该曲线在点A处的切线经过点(-e.-1)(e为自然对数的底数).则点A的坐标是___ .12.(填空题.5分)如图.在△ABC中.D是BC的中点.E在边AB上.BE=2EA.AD与CE交于点O.若 $\overrightarrow{AB}$ • $\overrightarrow{AC}$ =6 $\overrightarrow{AO}$ •$\overrightarrow{EC}$ .则 $\frac{AB}{AC}$ 的值是 ___ .13.(填空题.5分)已知 $\frac{tanα}{tan(α+\frac{π}{4})}$ =- $\frac{2}{3}$ .则sin(2α+ $\frac{π}{4}$)的值是___ .14.(填空题.5分)设f(x).g(x)是定义在R上的两个周期函数.f(x)的周期为4.g(x)的周期为2.且f(x)是奇函数.当x∈(0.2]时.f(x)= $\sqrt{1-(x-1)^{2}}$ .g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{k(x+2).}&{0<x≤1.}\\{-\frac{1}{2}.}&{1<x≤2.}\end{array}\right.$ 其中k>0.若在区间(0.9]上.关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根.则k的取值范围是___ .15.(问答题.14分)在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c.(1)若a=3c.b= $\sqrt{2}$ .cosB= $\frac{2}{3}$ .求c的值;(2)若 $\frac{sinA}{a}$ = $\frac{cosB}{2b}$ .求sin(B+ $\frac{π}{2}$)的值.16.(问答题.14分)如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.D.E分别为BC.AC的中点.AB=BC.求证:(1)A1B1 || 平面DEC1;(2)BE⊥C1E.17.(问答题.14分)如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆C: $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$ + $\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1(a>b>0)的焦点为F1(-1.0).F2(1.0).过F2作x轴的垂线l.在x轴的上方.l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A.与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B.连结BF2交椭圆C于点E.连结DF1.已知DF1= $\frac{5}{2}$ .(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.18.(问答题.16分)如图.一个湖的边界是圆心为O的圆.湖的一侧有一条直线型公路l.湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P.Q.并修建两段直线型道路PB.QA.规划要求:线段PB.QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A.B到直线l的距离分别为AC和BD(C.D为垂足).测得AB=10.AC=6.BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直.求道路PB的长;(2)在规划要求下.P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下.若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时.P、Q两点间的距离.19.(问答题.16分)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c).a.b.c∈R.f′(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c.f(4)=8.求a的值;(2)若a≠b.b=c.且f(x)和f′(x)的零点均在集合{-3.1.3}中.求f(x)的极小值;(3)若a=0.0<b≤1.c=1.且f(x)的极大值为M.求证:M≤ $\frac{4}{27}$ .20.(问答题.16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5.a3-4a2+4a1=0.求证:数列{a n}为“M-数列”;(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1. $\frac{1}{{S}_{n}}$ = $\frac{2}{{b}_{n}}$ -$\frac{2}{{b}_{n+1}}$ .其中S n为数列{b n}的前n项和.① 求数列{b n}的通项公式;② 设m为正整数.若存在“M-数列”{c n}(n∈N*).对任意正整数k.当k≤m时.都有c k≤b k≤c k+1成立.求m的最大值.21.(问答题.10分)已知矩阵A= $\left[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{2}&{2}\end{array}\right]$ .(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值.22.(问答题.10分)在极坐标系中.已知两点A(3. $\frac{π}{4}$).B( $\sqrt{2}$ .$\frac{π}{2}$).直线l的方程为ρsin(θ+ $\frac{π}{4}$)=3.(1)求A.B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.23.(问答题.10分)设x∈R.解不等式|x|+|2x-1|>2.24.(问答题.10分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n.n≥4.n∈N*.已知a32=2a2a4.(1)求n的值;(2)设(1+ $\sqrt{3}$ )n=a+b $\sqrt{3}$ .其中a.b∈N*.求a2-3b2的值.25.(问答题.10分)在平面直角坐标系xOy中.设点集A n={(0.0).(1.0).(2.0).….(n.0)}.B n={(0.1).(n.1)}.C n={(0.2).(1.2).(2.2).…….(n.2)}.n∈N*.令M n=A n∪B n∪C n.从集合M n中任取两个不同的点.用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时.求X的概率分布;(2)对给定的正整数n(n≥3).求概率P(X≤n)(用n表示).2019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析试题数:25.满分:2001.(填空题.5分)已知集合A={-1.0.1.6}.B={x|x>0.x∈R}.则A∩B=___ .【正确答案】:[1]{1.6}【解析】:直接利用交集运算得答案.【解答】:解:∵A={-1.0.1.6}.B={x|x>0.x∈R}.∴A∩B={-1.0.1.6}∩{x|x>0.x∈R}={1.6}.故答案为:{1.6}.【点评】:本题考查交集及其运算.是基础题.2.(填空题.5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0.其中i为虚数单位.则实数a的值是___ .【正确答案】:[1]2【解析】:利用复数代数形式的乘除运算化简.再由实部为0求的a值.【解答】:解:∵(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的实部为0.∴a-2=0.即a=2.故答案为:2.【点评】:本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.是基础题.3.(填空题.5分)如图是一个算法流程图.则输出的S的值是___ .【正确答案】:[1]5【解析】:由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值.模拟程序的运行过程.分析循环中各变量值的变化情况.可得答案.【解答】:解:模拟程序的运行.可得x=1.S=0S=0.5不满足条件x≥4.执行循环体.x=2.S=1.5不满足条件x≥4.执行循环体.x=3.S=3不满足条件x≥4.执行循环体.x=4.S=5此时.满足条件x≥4.退出循环.输出S的值为5.故答案为:5.【点评】:本题考查了程序框图的应用问题.解题时应模拟程序框图的运行过程.以便得出正确的结论.是基础题.4.(填空题.5分)函数y= $\sqrt{7+6x-{x}^{2}}$ 的定义域是___ .【正确答案】:[1][-1.7]【解析】:由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案.【解答】:解:由7+6x-x2≥0.得x2-6x-7≤0.解得:-1≤x≤7.∴函数y= $\sqrt{7+6x-{x}^{2}}$ 的定义域是[-1.7].故答案为:[-1.7].【点评】:本题考查函数的定义域及其求法.考查一元二次不等式的解法.是基础题.5.(填空题.5分)已知一组数据6.7.8.8.9.10.则该组数据的方差是___ .【正确答案】:[1] $\frac{5}{3}$【解析】:先求出一组数据6.7.8.8.9.10的平均数.由此能求出该组数据的方差.【解答】:解:一组数据6.7.8.8.9.10的平均数为:$\overline{x}$ = $\frac{1}{6}$ (6+7+8+8+9+10)=8.∴该组数据的方差为:S2= $\frac{1}{6}$ [(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=$\frac{5}{3}$ .故答案为: $\frac{5}{3}$ .【点评】:本题考查一组数据的方差的求法.考查平均数、方差等基础知识.考查运算求解能力.是基础题.6.(填空题.5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务.则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是___ .【正确答案】:[1] $\frac{7}{10}$【解析】:基本事件总数n= ${C}_{5}^{2}$ =10.选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m= ${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}$ + ${C}_{2}^{2}$ =7.由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率.【解答】:解:从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务.基本事件总数n= ${C}_{5}^{2}$ =10.选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数:m= ${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}$ + ${C}_{2}^{2}$ =7.∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p= $\frac{m}{n}=\frac{7}{10}$ .故答案为: $\frac{7}{10}$ .【点评】:本题考查概率的求法.考查古典概型、排列组合等基础知识.考查运算求解能力.考查数形结合思想.是基础题.7.(填空题.5分)在平面直角坐标系xOy中.若双曲线x2- $\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1(b>0)经过点(3.4).则该双曲线的渐近线方程是___ .【正确答案】:[1]y= $±\sqrt{2}x$【解析】:把已知点的坐标代入双曲线方程.求得b.则双曲线的渐近线方程可求.【解答】:解:∵双曲线x2- $\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1(b>0)经过点(3.4).∴ ${3}^{2}-\frac{16}{{b}^{2}}=1$ .解得b2=2.即b= $\sqrt{2}$ .又a=1.∴该双曲线的渐近线方程是y= $±\sqrt{2}x$ .故答案为:y= $±\sqrt{2}x$ .【点评】:本题考查双曲线的标准方程.考查双曲线的简单性质.是基础题.8.(填空题.5分)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列.S n是其前n项和.若a2a5+a8=0.S9=27.则S8的值是___ .【正确答案】:[1]16【解析】:设等差数列{a n}的首项为a1.公差为d.由已知列关于首项与公差的方程组.求解首项与公差.再由等差数列的前n项和求得S8的值.【解答】:解:设等差数列{a n}的首项为a1.公差为d.则$\left\{\begin{array}{l}{({a}_{1}+d)({a}_{1}+4d)+{a}_{1}+7d=0}\\{9{a}_{1}+\frac{9×8}{2}d =27}\end{array}\right.$ .解得 $\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-5}\\{d=2}\end{array}\right.$ .∴ ${S}_{8}=8{a}_{1}+\frac{8×7d}{2}$ =8×(-5)+56=16.故答案为:16.【点评】:本题考查等差数列的通项公式.考查等差数列的前n项和.是基础题.9.(填空题.5分)如图.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120.E为CC1的中点.则三棱锥E-BCD的体积是 ___ .【正确答案】:[1]10【解析】:推导出 ${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$ =AB×BC×DD1=120.三棱锥E-BCD的体积:V E-BCD= $\frac{1}{3}×{S}_{△ BCD}×CE$ =$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BC×DC×CE$ = $\frac{1}{12}$ ×AB×BC×DD1.由此能求出结果.【解答】:解:∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120.E为CC1的中点.∴ ${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$ =AB×BC×DD1=120.∴三棱锥E-BCD的体积:V E-BCD= $\frac{1}{3}×{S}_{△ BCD}×CE$= $\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BC×DC×CE$= $\frac{1}{12}$ ×AB×BC×DD1=10.故答案为:10.【点评】:本题考查三棱锥的体积的求法.考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查数形结合思想.是中档题.10.(填空题.5分)在平面直角坐标系xOy中.P是曲线y=x+ $\frac{4}{x}$ (x>0)上的一个动点.则点P到直线x+y=0的距离的最小值是___ .【正确答案】:[1]4【解析】:利用导数求平行于x+y=0的直线与曲线y=x+ $\frac{4}{x}$ (x>0)的切点.再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y=0的距离的最小值.【解答】:解:由y=x+ $\frac{4}{x}$ (x>0).得y′=1- $\frac{4}{{x}^{2}}$ .设斜率为-1的直线与曲线y=x+ $\frac{4}{x}$ (x>0)切于(x0.${x}_{0}+\frac{4}{{x}_{0}}$ ).由 $1-\frac{4}{{{x}_{0}}^{2}}=-1$ .解得 ${x}_{0}=\sqrt{2}$ (x0>0).∴曲线y=x+ $\frac{4}{x}$ (x>0)上.点P( $\sqrt{2}.3\sqrt{2}$ )到直线x+y=0的距离最小.最小值为 $\frac{|\sqrt{2}+3\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=4$ .故答案为:4.【点评】:本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程.考查点到直线距离公式的应用.是中档题.11.(填空题.5分)在平面直角坐标系xOy中.点A在曲线y=lnx上.且该曲线在点A处的切线经过点(-e.-1)(e为自然对数的底数).则点A的坐标是___ .【正确答案】:[1](e.1)【解析】:设A(x0.lnx0).利用导数求得曲线在A处的切线方程.代入已知点的坐标求解x0即可.【解答】:解:设A(x0.lnx0).由y=lnx.得y′= $\frac{1}{x}$ .∴ $y′{|}_{x={x}_{0}}=\frac{1}{{x}_{0}}$ .则该曲线在点A处的切线方程为y-lnx0=$\frac{1}{{x}_{0}}(x-{x}_{0})$ .∵切线经过点(-e.-1).∴ $-1-ln{x}_{0}=-\frac{e}{{x}_{0}}-1$ .即 $ln{x}_{0}=\frac{e}{{x}_{0}}$ .则x0=e.∴A点坐标为(e.1).故答案为:(e.1).【点评】:本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程.区分过点处与在点处的不同.是中档题.12.(填空题.5分)如图.在△ABC中.D是BC的中点.E在边AB上.BE=2EA.AD与CE交于点O.若 $\overrightarrow{AB}$ • $\overrightarrow{AC}$ =6 $\overrightarrow{AO}$ •$\overrightarrow{EC}$ .则 $\frac{AB}{AC}$ 的值是 ___ .【正确答案】:[1] $\sqrt{3}$【解析】:首先算出 $\overrightarrow{AO}$ = $\frac{1}{2}$ $\overrightarrow{AD}$ .然后用$\overrightarrow{AB}$ 、 $\overrightarrow{AC}$ 表示出 $\overrightarrow{AO}$ 、$\overrightarrow{EC}$ .结合 $\overrightarrow{AB}$ • $\overrightarrow{AC}$ =6$\overrightarrow{AO}$ • $\overrightarrow{EC}$ 得$\frac{1}{2}$ ${\overrightarrow{AB}}^{2}$ = $\frac{3}{2}$ ${\overrightarrow{AC}}^{2}$ .进一步可得结果.【解答】:解:设 $\overrightarrow{AO}$ =λ $\overrightarrow{AD}$ =$\frac{λ}{2}$( $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ ).$\overrightarrow{AO}$ = $\overrightarrow{AE}$ + $\overrightarrow{EO}$ =$\overrightarrow{AE}$ +μ $\overrightarrow{EC}$ = $\overrightarrow{AE}$ +μ( $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}$ )=(1-μ) $\overrightarrow{AE}$ +μ $\overrightarrow{AC}$ = $\frac{1-μ}{3}$ $\overrightarrow{AB}$ +μ $\overrightarrow{AC}$∴ $\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{2}=\frac{1-μ}{3}}\\{\frac{λ}{2}=μ}\end{array}\right.$ .∴ $\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{2}}\\{μ=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$ .∴ $\overrightarrow{AO}$ = $\frac{1}{2}$ $\overrightarrow{AD}$ =$\frac{1}{4}$ ( $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ ).$\overrightarrow{EC}$ = $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}$ =-$\frac{1}{3}$ $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AC}$ .6 $\overrightarrow{AO}$ • $\overrightarrow{EC}$ =6×$\frac{1}{4}$ ( $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ )•(-$\frac{1}{3}$ $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AC}$ )= $\frac{3}{2}$ ( $-\frac{1}{3}$ ${\overrightarrow{AB}}^{2}$ +$\frac{2}{3}$ $\overrightarrow{AB}\bullet \overrightarrow{AC}$ +${\overrightarrow{AC}}^{2}$ )= $-\frac{1}{2}$ ${\overrightarrow{AB}}^{2}$ + $\overrightarrow{AB}\bullet\overrightarrow{AC}$ + $\frac{3}{2}$ ${\overrightarrow{AC}}^{2}$ .∵ $\overrightarrow{AB}$ • $\overrightarrow{AC}$ = $-\frac{1}{2}$ ${\overrightarrow{AB}}^{2}$ + $\overrightarrow{AB}\bullet\overrightarrow{AC}$ + $\frac{3}{2}$ ${\overrightarrow{AC}}^{2}$ .∴ $\frac{1}{2}$ ${\overrightarrow{AB}}^{2}$ = $\frac{3}{2}$ ${\overrightarrow{AC}}^{2}$ .∴ $\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{{\overrightarrow{AC}}^{2}}$ =3.∴ $\frac{AB}{AC}$ = $\sqrt{3}$ .故答案为: $\sqrt{3}$【点评】:本题考查向量的数量积的应用.考查向量的表示以及计算.考查计算能力.13.(填空题.5分)已知 $\frac{tanα}{tan(α+\frac{π}{4})}$ =- $\frac{2}{3}$ .则sin(2α+ $\frac{π}{4}$)的值是___ .【正确答案】:[1] $\frac{\sqrt{2}}{10}$【解析】:由已知求得tanα.分类利用万能公式求得sin2α.cos2α的值.展开两角和的正弦求sin (2α+ $\frac{π}{4}$)的值.【解答】:解:由 $\frac{tanα}{tan(α+\frac{π}{4})}$ =- $\frac{2}{3}$ .得$\frac{tanα}{\frac{tanα+tan\frac{π}{4}}{1-tanαtan\frac{π}{4}}}=-\frac{2}{3}$ .∴ $\frac{tanα(1-tanα)}{1+tanα}=-\frac{2}{3}$ .解得tanα=2或tan $α=-\frac{1}{3}$ .当tanα=2时.sin2α= $\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}=\frac{4}{5}$ .cos2α= $\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}=-\frac{3}{5}$ .∴sin(2α+ $\frac{π}{4}$)= $sin2αcos\frac{π}{4}+cos2αsin\frac{π}{4}$ =$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$ ;当tanα= $-\frac{1}{3}$ 时.sin2α= $\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$ = $-\frac{3}{5}$ .cos2α= $\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}=\frac{4}{5}$ .∴sin(2α+ $\frac{π}{4}$)= $sin2αcos\frac{π}{4}+cos2αsin\frac{π}{4}$ = $-\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$ .综上.sin(2α+ $\frac{π}{4}$)的值是 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ .故答案为: $\frac{\sqrt{2}}{10}$ .【点评】:本题考查三角函数的恒等变换与化简求值.考查两角和的三角函数及万能公式的应用.是中档题.14.(填空题.5分)设f(x).g(x)是定义在R上的两个周期函数.f(x)的周期为4.g(x)的周期为2.且f(x)是奇函数.当x∈(0.2]时.f(x)= $\sqrt{1-(x-1)^{2}}$ .g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{k(x+2).}&{0<x≤1.}\\{-\frac{1}{2}.}&{1<x≤2.}\end{array}\right.$ 其中k>0.若在区间(0.9]上.关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根.则k的取值范围是___ .【正确答案】:[1][ $\frac{1}{3}$ . $\frac{\sqrt{2}}{4}$ )【解析】:由已知函数解析式结合周期性作出图象.数形结合得答案.【解答】:解:作出函数f(x)与g(x)的图象如图.由图可知.函数f(x)与g(x)=- $\frac{1}{2}$ (1<x≤2.3<x≤4.5<x≤6.7<x≤8)仅有2个实数根;要使关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根.则f(x)= $\sqrt{1-(x-1)^{2}}$ .x∈(0.2]与g(x)=k(x+2).x∈(0.1]的图象有2个不同交点.由(1.0)到直线kx-y+2k=0的距离为1.得 $\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$ .解得k= $\frac{\sqrt{2}}{4}$ (k>0).∵两点(-2.0).(1.1)连线的斜率k= $\frac{1}{3}$ .∴ $\frac{1}{3}$ ≤k< $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .即k的取值范围为[ $\frac{1}{3}$ . $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ).故答案为:[ $\frac{1}{3}$ . $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ).【点评】:本题考查函数零点的判定.考查分段函数的应用.体现了数形结合的解题思想方法.是中档题.15.(问答题.14分)在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c.(1)若a=3c.b= $\sqrt{2}$ .cosB= $\frac{2}{3}$ .求c的值;(2)若 $\frac{sinA}{a}$ = $\frac{cosB}{2b}$ .求sin(B+ $\frac{π}{2}$)的值.【正确答案】:【解析】:(1)由余弦定理得:cosB= $\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$ =$\frac{10{c}^{2}-2}{6{c}^{2}}$ = $\frac{2}{3}$ .由此能求出c的值.(2)由 $\frac{sinA}{a}$ = $\frac{cosB}{2b}$ .利用正弦定理得2sinB=cosB.再由sin2B+cos2B=1.能求出sinB= $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .cosB= $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ .由此利用诱导公式能求出sin(B+ $\frac{π}{2}$)的值.【解答】:解:(1)∵在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c.a=3c.b= $\sqrt{2}$ .cosB= $\frac{2}{3}$ .∴由余弦定理得:cosB= $\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$ = $\frac{10{c}^{2}-2}{6{c}^{2}}$ =$\frac{2}{3}$ .解得c= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .(2)∵ $\frac{sinA}{a}$ = $\frac{cosB}{2b}$ .∴由正弦定理得: $\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{cosB}{2b}$ .∴2sinB=cosB.∵sin2B+cos2B=1.∴sinB= $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .cosB= $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ .∴sin(B+ $\frac{π}{2}$)=cosB= $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ .【点评】:本题考查三角形边长、三角函数值的求法.考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识.考查推理能力与计算能力.属于中档题.16.(问答题.14分)如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.D.E分别为BC.AC的中点.AB=BC.求证:(1)A1B1 || 平面DEC1;(2)BE⊥C1E.【正确答案】:【解析】:(1)推导出DE || AB.AB || A1B1.从而DE || A1B1.由此能证明A1B1 || 平面DEC1.(2)推导出BE⊥AA1.BE⊥AC.从而BE⊥平面ACC1A1.由此能证明BE⊥C1E.【解答】:证明:(1)∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中.D.E分别为BC.AC的中点.∴DE || AB.AB || A1B1.∴DE || A1B1.∵DE⊂平面DEC1.A1B1⊄平面DEC1.∴A1B1 || 平面DEC1.解:(2)∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中.E是AC的中点.AB=BC.∴BE⊥AC.∵直三棱柱ABC-A1B1C1中.AA1⊥平面ABC.BE⊂平面ABC.∴BE⊥AA1.又AA1∩AC=A.∴BE⊥平面ACC1A1.∵C1E⊂平面ACC1A1.∴BE⊥C1E.【点评】:本题考查线面平行、线线垂直的证明.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.考查数形结合思想.是中档题.17.(问答题.14分)如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆C: $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$ + $\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1(a>b>0)的焦点为F1(-1.0).F2(1.0).过F2作x轴的垂线l.在x轴的上方.l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A.与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B.连结BF2交椭圆C于点E.连结DF1.已知DF1= $\frac{5}{2}$ .(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.【正确答案】:【解析】:(1)由题意得到F1D || BF2.然后求AD.再由AD=DF1= $\frac{5}{2}$ 求得a.则椭圆方程可求;(2)求出D的坐标.得到 ${k}_{B{F}_{2}}={k}_{D{F}_{1}}$ =$\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$ .写出BF2的方程.与椭圆方程联立即可求得点E的坐标.【解答】:解:(1)如图.∵F2A=F2B.∴∠F2AB=∠F2BA.∵F2A=2a=F2D+DA=F2D+F1D.∴AD=F1D.则∠DAF1=∠DF1A.∴∠DF1A=∠F2BA.则F1D || BF2.∵c=1.∴b2=a2-1.则椭圆方程为 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$ .取x=1.得 ${y}_{D}=\frac{{a}^{2}-1}{a}$ .则AD=2a- $\frac{{a}^{2}-1}{a}$ =$\frac{{a}^{2}+1}{a}$ .又DF1= $\frac{5}{2}$ .∴ $\frac{{a}^{2}+1}{a}=\frac{5}{2}$ .解得a=2(a>0).∴椭圆C的标准方程为 $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$ ;(2)由(1)知.D(1. $\frac{3}{2}$ ).F1(-1.0).∴ ${k}_{B{F}_{2}}={k}_{D{F}_{1}}$ = $\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$ .则BF2:y=$\frac{3}{4}(x-1)$ .联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}(x-1)}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$ .得21x2-18x-39=0.解得x1=-1或 ${x}_{2}=\frac{13}{7}$ (舍).∴ ${y}_{1}=-\frac{3}{2}$ .即点E的坐标为(-1.- $\frac{3}{2}$ ).【点评】:本题考查直线与圆.圆与椭圆位置关系的应用.考查计算能力.证明DF1 || BF2是解答该题的关键.是中档题.18.(问答题.16分)如图.一个湖的边界是圆心为O的圆.湖的一侧有一条直线型公路l.湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P.Q.并修建两段直线型道路PB.QA.规划要求:线段PB.QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A.B到直线l的距离分别为AC和BD(C.D为垂足).测得AB=10.AC=6.BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直.求道路PB的长;(2)在规划要求下.P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下.若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时.P、Q两点间的距离.【正确答案】:【解析】:(1)设BD与圆O交于M.连接AM.以C为坐标原点.l为x轴.建立直角坐标系.则A (0.-6).B(-8.-12).D(-8.0)设点P(x1.0).PB⊥AB.运用两直线垂直的条件:斜率之积为-1.求得P的坐标.可得所求值;(2)当QA⊥AB时.QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径.设此时Q(x2.0).运用两直线垂直的条件:斜率之积为-1.求得Q的坐标.即可得到结论;(3)设P(a.0).Q(b.0).则a≤-17.b≥- $\frac{9}{2}$ .结合条件.可得b的最小值.由两点的距离公式.计算可得PQ.【解答】:解:设BD与圆O交于M.连接AM.AB为圆O的直径.可得AM⊥BM.即有DM=AC=6.BM=6.AM=8.以C为坐标原点.l为x轴.建立直角坐标系.则A(0.-6).B(-8.-12).D(-8.0)(1)设点P(x1.0).PB⊥AB.则k BP•k AB=-1.即 $\frac{0-(-12)}{{x}_{1}-(-8)}$ • $\frac{-6-(-12)}{0-(-8)}$ =-1.解得x1=-17.所以P(-17.0).PB= $\sqrt{(-17+8)^{2}+(0+12)^{2}}$ =15;(2)当QA⊥AB时.QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径.设此时Q(x2.0).则k QA•k AB=-1.即 $\frac{0-(-6)}{{x}_{2}-0}$ • $\frac{-6-(-12)}{0-(-8)}$ =-1.解得x2=-$\frac{9}{2}$ .Q(- $\frac{9}{2}$ .0).由-17<-8<- $\frac{9}{2}$ .在此范围内.不能满足PB.QA上所有点到O的距离不小于圆的半径. 所以P.Q中不能有点选在D点;(3)设P(a.0).Q(b.0).由(1)(2)可得a≤-17.b≥- $\frac{9}{2}$ .由两点的距离公式可得PB2=(a+8)2+144≥225.当且仅当a=-17时.d=|PB|取得最小值15.又QA2=b2+36≥225.则b≥3 $\sqrt{21}$ .当d最小时.a=-17.b=3 $\sqrt{21}$ .PQ=17+3$\sqrt{21}$ .【点评】:本题考查直线和圆的位置关系.考查直线的斜率和两直线垂直的条件:斜率之积为-1.以及两点的距离公式.分析问题和解决问题的能力.考查运算能力.属于中档题.19.(问答题.16分)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c).a.b.c∈R.f′(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c.f(4)=8.求a的值;(2)若a≠b.b=c.且f(x)和f′(x)的零点均在集合{-3.1.3}中.求f(x)的极小值;(3)若a=0.0<b≤1.c=1.且f(x)的极大值为M.求证:M≤ $\frac{4}{27}$ .【正确答案】:【解析】:(1)由a=b=c.可得f(x)=(x-a)3.根据f(4)=8.可得(4-a)3=8.解得a.(2)a≠b.b=c.设f(x)=(x-a)(x-b)2.令f(x)=(x-a)(x-b)2=0.解得x=a.或x=b.f′(x)=(x-b)(3x-b-2a).令f′(x)=0.解得x=b.或x= $\frac{2a+b}{3}$ .根据f (x)和f′(x)的零点均在集合A={-3.1.3}中.通过分类讨论可得:只有a=3.b=-3.可得$\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{6-3}{3}$ =1∈A.可得:f(x)=(x-3)(x+3)2.利用导数研究其单调性可得x=1时.函数f(x)取得极小值.(3)a=0.0<b≤1.c=1.f(x)=x(x-b)(x-1).f′(x)=3x2-(2b+2)x+b.△>0.令f′(x)=3x2-(2b+2)x+b=0.解得:x1= $\frac{b+1-\sqrt{{b}^{2}-b+1}}{3}$ ∈$(0.\frac{1}{3}]$ .x2= $\frac{b+1+\sqrt{{b}^{2}-b+1}}{3}$ .x1<x2.可得x=x1时.f(x)取得极大值为M.f′(x1)= $3{x}_{1}^{2}$ -(2b+2)x1+b=0.令x1=t∈ $(0.\frac{1}{3}]$ .可得:b= $\frac{3{t}^{2}-2t}{2t-1}$ .M=f(x1)=x1(x1-b)(x1-1)=t(t-b)(t-1)= $\frac{-{t}^{4}+2{t}^{3}-{t}^{2}}{2t-1}$ .利用导数研究函数的单调性即可得出.【解答】:解:(1)∵a=b=c.∴f(x)=(x-a)3.∵f(4)=8.∴(4-a)3=8.∴4-a=2.解得a=2.(2)a≠b.b=c.设f(x)=(x-a)(x-b)2.令f(x)=(x-a)(x-b)2=0.解得x=a.或x=b.f′(x)=(x-b)2+2(x-a)(x-b)=(x-b)(3x-b-2a).令f′(x)=0.解得x=b.或x= $\frac{2a+b}{3}$ .∵f(x)和f′(x)的零点均在集合A={-3.1.3}中.若:a=-3.b=1.则 $\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{-6+1}{3}$ =- $\frac{5}{3}$ ∉A.舍去.a=1.b=-3.则 $\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{2-3}{3}$ =- $\frac{1}{3}$ ∉A.舍去.a=-3.b=3.则 $\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{-6+3}{3}$ =-1∉A.舍去..a=3.b=1.则 $\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{6+1}{3}$ = $\frac{7}{3}$ ∉A.舍去.a=1.b=3.则 $\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{5}{3}$ ∉A.舍去.a=3.b=-3.则 $\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{6-3}{3}$ =1∈A.因此a=3.b=-3. $\frac{2a+b}{3}$ =1∈A.可得:f(x)=(x-3)(x+3)2.f′(x)=3[x-(-3)](x-1).可得x=1时.函数f(x)取得极小值.f(1)=-2×42=-32.(3)证明:a=0.0<b≤1.c=1.f(x)=x(x-b)(x-1).f′(x)=(x-b)(x-1)+x(x-1)+x(x-b)=3x2-(2b+2)x+b.△=4(b+1)2-12b=4b2-4b+4=4 $(b-\frac{1}{2})^{2}$ +3≥3.令f′(x)=3x2-(2b+2)x+b=0.解得:x1= $\frac{b+1-\sqrt{{b}^{2}-b+1}}{3}$ ∈ $(0.\frac{1}{3}]$ .x2=$\frac{b+1+\sqrt{{b}^{2}-b+1}}{3}$ .x1<x2.x1+x2= $\frac{2b+2}{3}$ .x1x2= $\frac{b}{3}$ .可得x=x1时.f(x)取得极大值为M.∵f′(x1)= $3{x}_{1}^{2}$ -(2b+2)x1+b=0.令x1=t∈ $(0.\frac{1}{3}]$ .可得:b= $\frac{3{t}^{2}-2t}{2t-1}$ .∴M=f(x1)=x1(x1-b)(x1-1)=t(t-b)(t-1)= $\frac{-{t}^{4}+2{t}^{3}-{t}^{2}}{2t-1}$ . M′= $\frac{-6{t}^{4}+12{t}^{3}-8{t}^{2}+2t}{(2t-1)^{2}}$ .令g(t)=-6t3+12t2-8t+2.g′(t)=-18t2+24t-8=-2(3t-2)2<0.∴函数g(t)在t∈ $(0.\frac{1}{3}]$ 上单调递减. $g(\frac{1}{3})$ = $\frac{4}{9}$ >0.∴t•g(t)>0.∴M′>0.∴函数M(t)在t∈ $(0.\frac{1}{3}]$ 上单调递增.∴M(t)≤ $M(\frac{1}{3})$ = $\frac{4}{27}$ .【点评】:本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法.考查了推理能力与计算能力.属于难题.20.(问答题.16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5.a3-4a2+4a1=0.求证:数列{a n}为“M-数列”;(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1. $\frac{1}{{S}_{n}}$ = $\frac{2}{{b}_{n}}$ -$\frac{2}{{b}_{n+1}}$ .其中S n为数列{b n}的前n项和.① 求数列{b n}的通项公式;② 设m为正整数.若存在“M-数列”{c n}(n∈N*).对任意正整数k.当k≤m时.都有c k≤b k≤c k+1成立.求m的最大值.【正确答案】:【解析】:(1)设等比数列{a n}的公比为q.然后根据a2a4=a5.a3-4a2+4a1=0列方程求解.在根据新定义判断即可;(2)求出b2.b3.b4猜想b n.然后用数学归纳法证明;(3)设{c n}的公比为q.将问题转化为 $[\frac{lnk}{k}]_{max}≤[\frac{lnk}{k-1}]_{min}$ .然后构造函数f(x)= $\frac{lnx}{x}(x≥3)$ .g(x)= $\frac{lnx}{x-1}(x≤3)$ .分别求解其最大值和最小值.最后解不等式 $\frac{ln3}{3}≤\frac{lnm}{m-1}$ .即可.【解答】:解:(1)设等比数列{a n}的公比为q.则由a2a4=a5.a3-4a2+4a1=0.得$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{1}}^{2}{q}^{4}={a}_{1}{q}^{4}}\\{{a}_{1}{q}^{2}-4{a}_{1}q+4{a}_{1}=0}\end{array}\right.$ ∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$ .∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M-数列”;(2)① ∵b1=1. $\frac{1}{{S}_{n}}$ = $\frac{2}{{b}_{n}}$ - $\frac{2}{{b}_{n+1}}$ .∴当n=1时. $\frac{1}{S_1}=\frac{1}{b_1}=\frac{2}{b_1}-\frac{2}{b_2}$ .∴b2=2.当n=2时. $\frac{1}{S_2}=\frac{1}{b_1+b_2}=\frac{2}{b_2}-\frac{2}{b_3}$ .∴b3=3.当n=3时. $\frac{1}{S_3}=\frac{1}{b_1+b_2+b_3}=\frac{2}{b_3}-\frac{2}{b_4}$ .∴b4=4.猜想b n=n.下面用数学归纳法证明;(i)当n=1时.b1=1.满足b n=n.(ii)假设n=k时.结论成立.即b k=k.则n=k+1时.由 $\frac{1}{S_{k}}=\frac{2}{b_{k}}-\frac{2}{b_{k+1}}$ .得$b_{k+1}=\frac{2b_kS_k}{2S_k-b_k}$ = $\frac{2k\bullet \frac{k(k+1)}{2}}{2\bullet\frac{k(k+1)}{2}-k}$ =k+1.故n=k+1时结论成立.根据(i)(ii)可知.b n=n对任意的n∈N*都成立.故数列{b n}的通项公式为b n=n;② 设{c n}的公比为q.存在“M-数列”{c n}(n∈N*).对任意正整数k.当k≤m时.都有c k≤b k≤c k+1成立.即q k-1≤k≤q k对k≤m恒成立.当k=1时.q≥1.当k=2时. $\sqrt{2}≤q≤2$ .当k≥3.两边取对数可得. $\frac{lnk}{k}≤lnq≤\frac{lnk}{k-1}$ 对k≤m有解.即$[\frac{lnk}{k}]_{max}≤lnq≤[\frac{lnk}{k-1}]_{min}$ .令f(x)= $\frac{lnx}{x}(x≥3)$ .则 $f'(x)=\frac{1-lnx}{x^2}$ .当x≥3时.f'(x)<0.此时f(x)递减.∴当k≥3时. $[\frac{lnk}{k}]_{max}=\frac{ln3}{3}$ .令g(x)= $\frac{lnx}{x-1}(x≤3)$ .则 $g'(x)=\frac{1-\frac{1}{x}-lnx}{x^2}$ .令 $ϕ(x)=1-\frac{1}{x}-lnx$ .则 $ϕ'(x)=\frac{1-x}{x^2}$ .当x≥3时.ϕ'(x)<0.即g'(x)<0.∴g(x)在[3.+∞)上单调递减.即k≥3时. $[\frac{lnk}{k-1}]_{min}=\frac{lnm}{m-1}$ .则 $\frac{ln3}{3}≤\frac{lnm}{m-1}$ .下面求解不等式 $\frac{ln3}{3}≤\frac{lnm}{m-1}$ .化简.得3lnm-(m-1)ln3≥0.令h(m)=3lnm-(m-1)ln3.则h'(m)= $\frac{3}{m}$ -ln3.由k≥3得m≥3.h'(m)<0.∴h(m)在[3.+∞)上单调递减.又由于h(5)=3ln5-4ln3=ln125-ln81>0.h(6)=3ln6-5ln3=ln216-ln243<0.∴存在m0∈(5.6)使得h(m0)=0.∴m的最大值为5.此时q∈ $[3^{\frac{1}{3}}$ . $5^{\frac{1}{4}}]$ .【点评】:本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立.考查了数学归纳法和构造法.是数列、函数和不等式的综合性问题.属难题.21.(问答题.10分)已知矩阵A= $\left[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{2}&{2}\end{array}\right]$ .(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值.【正确答案】:【解析】:(1)根据矩阵A直接求解A2即可;(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)= $\left|\b egin{array}{l}{λ-3}&{-1}\\{-2}&{λ-2}\end{array}\right|$ =λ2-5λ+4.解方程f(λ)=0即可.【解答】:解:(1)∵A= $\left[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{2}&{2}\end{array}\right]$∴A2=$\left[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{2}&{2}\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{ 2}&{2}\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{l}{11}&{5}\\{10}&{6}\end{array}\right]$(2)矩阵A的特征多项式为:f(λ)= $\left|\begin{array}{l}{λ-3}&{-1}\\{-2}&{λ-2}\end{array}\right|$ =λ2-5λ+4.令f(λ)=0.则由方程λ2-5λ+4=0.得λ=1或λ=4.∴矩阵A的特征值为1或4.【点评】:本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识.考查运算与求解能力.属基础题.22.(问答题.10分)在极坐标系中.已知两点A(3. $\frac{π}{4}$).B( $\sqrt{2}$ .$\frac{π}{2}$).直线l的方程为ρsin(θ+ $\frac{π}{4}$)=3.(1)求A.B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.【正确答案】:【解析】:(1)设极点为O.则由余弦定理可得 $AB^2=OA^2+OB^2-2OA\bulletOBcos\angleAOB$ .解出AB;(2)根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离.【解答】:解:(1)设极点为O.则在△OAB中.由余弦定理.得AB2=OA2+OB2-2OA $\bulletOBcos\angleAOB$ .∴AB= $\sqrt{{3}^{2}+(\sqrt{2})^{2}-2×3×\sqrt{2}×cos(\frac{π}{2}-\frac{π}{4})}$ =$\sqrt{5}$ ;(2)由直线l的方程ρsin(θ+ $\frac{π}{4}$)=3.知直线l过(3 $\sqrt{2}$ . $\frac{π}{2}$).倾斜角为 $\frac{3π}{4}$ .又B( $\sqrt{2}$ . $\frac{π}{2}$).∴点B到直线l的距离为 $(3\sqrt{2}-\sqrt{2})\bulletsin(\frac{3π}{4}-\frac{π}{2})=2$.【点评】:本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离.属基础题.23.(问答题.10分)设x∈R.解不等式|x|+|2x-1|>2.【正确答案】:【解析】:对|x|+|2x-1|去绝对值.然后分别解不等式即可.【解答】:解:|x|+|2x-1|= $\left\{\begin{array}{l}{3x-1.x>\frac{1}{2}}\\{-x+1.0≤x≤\frac{1}{2}}\\{-3x+1.x<0}\end{array}\right.$ .∵|x|+|2x-1|>2.∴ $\left\{\begin{array}{l}{3x-1>2}\\{x>\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{-x+1>2}\\{0≤x≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{-3x+1>2}\\{x<0}\end{array}\right.$ .∴x>1或x∈∅或x<- $\frac{1}{3}$ .∴不等式的解集为{x|x<- $\frac{1}{3}$ 或x>1}.【点评】:本题考查了绝对值不等式的解法.属基础题.24.(问答题.10分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n.n≥4.n∈N*.已知a32=2a2a4.(1)求n的值;(2)设(1+ $\sqrt{3}$ )n=a+b $\sqrt{3}$ .其中a.b∈N*.求a2-3b2的值.【正确答案】:【解析】:(1)运用二项式定理.分别求得a2.a3.a4.结合组合数公式.解方程可得n的值;(2)方法一、运用二项式定理.结合组合数公式求得a.b.计算可得所求值;方法二、由于a.b∈N*.求得(1- $\sqrt{3}$ )5=a-b $\sqrt{3}$ .再由平方差公式.计算可得所求值.【解答】:解:(1)由(1+x)n=C ${}_{n}^{0}$ +C ${}_{n}^{1}$ x+C ${}_{n}^{2}$ x2+…+C ${}_{n}^{n}$ x n.n≥4.可得a2=C ${}_{n}^{2}$ = $\frac{n(n-1)}{2}$ .a3=C ${}_{n}^{3}$ = $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ .a4=C ${}_{n}^{4}$ = $\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$ .a32=2a2a4.可得( $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ )2=2• $\frac{n(n-1)}{2}$ • $\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$ .解得n=5;(2)方法一、(1+ $\sqrt{3}$ )5=C ${}_{5}^{0}$ +C ${}_{5}^{1}$ $\sqrt{3}$ +C${}_{5}^{2}$ ( $\sqrt{3}$ )2+C ${}_{5}^{3}$ ( $\sqrt{3}$ )3+C ${}_{5}^{4}$ ( $\sqrt{3}$ )4+C ${}_{5}^{5}$ ( $\sqrt{3}$ )5=a+b $\sqrt{3}$ .由于a.b∈N*.可得a=C ${}_{5}^{0}$ +3C ${}_{5}^{2}$ +9C ${}_{5}^{4}$ =1+30+45=76.b=C ${}_{5}^{1}$ +3C ${}_{5}^{3}$ +9C ${}_{5}^{5}$ =44.可得a2-3b2=762-3×442=-32;方法二、(1+ $\sqrt{3}$ )5=C ${}_{5}^{0}$ +C ${}_{5}^{1}$ $\sqrt{3}$ +C${}_{5}^{2}$ ( $\sqrt{3}$ )2+C ${}_{5}^{3}$ ( $\sqrt{3}$ )3+C ${}_{5}^{4}$ ( $\sqrt{3}$ )4+C ${}_{5}^{5}$ ( $\sqrt{3}$ )5=a+b $\sqrt{3}$ .(1- $\sqrt{3}$ )5=C ${}_{5}^{0}$ +C ${}_{5}^{1}$ (- $\sqrt{3}$ )+C ${}_{5}^{2}$ (-$\sqrt{3}$ )2+C ${}_{5}^{3}$ (- $\sqrt{3}$ )3+C ${}_{5}^{4}$ (- $\sqrt{3}$ )4+C${}_{5}^{5}$ (- $\sqrt{3}$ )5=C ${}_{5}^{0}$ -C ${}_{5}^{1}$ $\sqrt{3}$ +C ${}_{5}^{2}$ ( $\sqrt{3}$ )2-C${}_{5}^{3}$ ( $\sqrt{3}$ )3+C ${}_{5}^{4}$ ( $\sqrt{3}$ )4-C ${}_{5}^{5}$ ( $\sqrt{3}$ )5.由于a.b∈N*.可得(1- $\sqrt{3}$ )5=a-b $\sqrt{3}$ .可得a2-3b2=(1+ $\sqrt{3}$ )5•(1- $\sqrt{3}$ )5=(1-3)5=-32.【点评】:本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用.考查运算能力和分析问题能力.属于中档题.25.(问答题.10分)在平面直角坐标系xOy中.设点集A n={(0.0).(1.0).(2.0).….(n.0)}.B n={(0.1).(n.1)}.C n={(0.2).(1.2).(2.2).…….(n.2)}.n∈N*.令M n=A n∪B n∪C n.从集合M n中任取两个不同的点.用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时.求X的概率分布;(2)对给定的正整数n(n≥3).求概率P(X≤n)(用n表示).【正确答案】:【解析】:(1)当n=1时.X的所有可能取值为1. $\sqrt{2}$ .2. $\sqrt{5}$ .由古典概率的公式.结合组合数可得所求值;(2)设A(a.b)和B(c.d)是从M n中取出的两个点.因为P(X≤n)=1-P(X>n).所以只需考虑X>n的情况.分别讨论b.d的取值.结合古典概率的计算公式和对立事件的概率.即可得到所求值.【解答】:解:(1)当n=1时.X的所有可能取值为1. $\sqrt{2}$ .2. $\sqrt{5}$ .X的概率分布为P(X=1)= $\frac{7}{{C}_{6}^{2}}$ = $\frac{7}{15}$ ;P(X= $\sqrt{2}$ )= $\frac{4}{{C}_{6}^{2}}$ = $\frac{4}{15}$ ;P(X=2)= $\frac{2}{{C}_{6}^{2}}$ = $\frac{2}{15}$ ;P(X= $\sqrt{5}$ )=$\frac{2}{{C}_{6}^{2}}$ = $\frac{2}{15}$ ;(2)设A(a.b)和B(c.d)是从M n中取出的两个点.因为P(X≤n)=1-P(X>n).所以只需考虑X>n的情况.① 若b=d.则AB≤n.不存在X>n的取法;② 若b=0.d=1.则AB= $\sqrt{(a-c)^{2}+1}$ ≤ $\sqrt{{n}^{2}+1}$ .所以X>n当且仅当AB= $\sqrt{{n}^{2}+1}$ .此时a=0.c=n或a=n.c=0.有两种情况;③ 若b=0.d=2.则AB= $\sqrt{(a-c)^{2}+4}$ ≤ $\sqrt{{n}^{2}+4}$ .所以X>n当且仅当AB= $\sqrt{{n}^{2}+4}$ .此时a=0.c=n或a=n.c=0.有两种情况;④ 若b=1.d=2.则AB= $\sqrt{(a-c)^{2}+1}$ ≤ $\sqrt{{n}^{2}+1}$ .所以X>n当且仅当AB= $\sqrt{{n}^{2}+1}$ .此时a=0.c=n或a=n.c=0.有两种情况;综上可得当X>n.X的所有值是 $\sqrt{{n}^{2}+1}$ 或 $\sqrt{{n}^{2}+4}$ .且P(X= $\sqrt{{n}^{2}+1}$ )= $\frac{4}{{C}_{2n+4}^{2}}$ .P(X= $\sqrt{{n}^{2}+4}$ )= $\frac{2}{{C}_{2n+4}^{2}}$ .可得P(X≤n)=1-P(X= $\sqrt{{n}^{2}+1}$ )-P(X= $\sqrt{{n}^{2}+4}$ )=1-$\frac{6}{{C}_{2n+4}^{2}}$ .【点评】:本题考查随机变量的概率的分布.以及古典概率公式的运用.考查分类讨论思想方法.以及化简运算能力.属于难题.。

2019年江苏省高考数学试卷(含参考答案)

2019年江苏省高考数学试卷(含参考答案)

2019年江苏省高考数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(5分)已知集合A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B=.2.(5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.3.(5分)如图是一个算法流程图,则输出的S的值是.4.(5分)函数y=的定义域是.5.(5分)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.6.(5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.7.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.8.(5分)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.9.(5分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E﹣BCD的体积是.10.(5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(﹣e,﹣1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.12.(5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若•=6•,则的值是.13.(5分)已知=﹣,则sin(2α+)的值是.14.(5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=,g(x)=其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值;(2)若=,求sin(B+)的值.16.(14分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,1与圆F2:(x﹣1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C 于点E,连结DF1.已知DF1=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.18.(16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于...圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P、Q两点间的距离.19.(16分)设函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c),a,b,c∈R,f′(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零点均在集合{﹣3,1,3}中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤.20.(16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,求证:数列{a n}为“M﹣数列”;(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1,=﹣,其中S n为数列{b n}的前n 项和.①求数列{b n}的通项公式;②设m为正整数,若存在“M﹣数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,求m的最大值.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)21.(10分)已知矩阵A=.(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)22.(10分)在极坐标系中,已知两点A(3,),B(,),直线1的方程为ρsin (θ+)=3.(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)23.设x∈R,解不等式|x|+|2x﹣1|>2.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.(10分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,n≥4,n∈N*.已知a32=2a2a4.(1)求n的值;(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2﹣3b2的值.25.(10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},B n={(0,1),(n,1)},∁n={(0,2),(1,2),(2,2),……,(n,2)},n∈N*.令M n=A n∪B n∪∁n.从集合M n中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时,求X的概率分布;(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).2019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(5分)已知集合A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B={1,6}.解:∵A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},∴A∩B={﹣1,0,1,6}∩{x|x>0,x∈R}={1,6}.故答案为:{1,6}.2.(5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是2.解:∵(a+2i)(1+i)=(a﹣2)+(a+2)i的实部为0,∴a﹣2=0,即a=2.故答案为:2.3.(5分)如图是一个算法流程图,则输出的S的值是5.解:模拟程序的运行,可得x=1,S=0S=0.5不满足条件x≥4,执行循环体,x=2,S=1.5不满足条件x≥4,执行循环体,x=3,S=3不满足条件x≥4,执行循环体,x=4,S=5此时,满足条件x≥4,退出循环,输出S的值为5.故答案为:5.4.(5分)函数y=的定义域是[﹣1,7].解:由7+6x﹣x2≥0,得x2﹣6x﹣7≤0,解得:﹣1≤x≤7.∴函数y=的定义域是[﹣1,7].故答案为:[﹣1,7].5.(5分)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.解:一组数据6,7,8,8,9,10的平均数为:=(6+7+8+8+9+10)=8,∴该组数据的方差为:S2=[(6﹣8)2+(7﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2]=.故答案为:.6.(5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.解:从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,基本事件总数n==10,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数:m=+=7,∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p=.故答案为:.7.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是y=.解:∵双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),∴,解得b2=2,即b=.又a=1,∴该双曲线的渐近线方程是y=.故答案为:y=.8.(5分)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是16.解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则,解得.∴=6×(﹣5)+15×2=16.故答案为:16.9.(5分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E﹣BCD的体积是10.解:∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,∴=AB×BC×DD 1=120,∴三棱锥E﹣BCD的体积:V E﹣BCD===×AB×BC×DD1=10.故答案为:10.10.(5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.解:由y=x+(x>0),得y′=1﹣,设斜率为﹣1的直线与曲线y=x+(x>0)切于(x0,),由,解得(x 0>0).∴曲线y=x+(x>0)上,点P()到直线x+y=0的距离最小,最小值为.故答案为:4.11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(﹣e,﹣1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是(e,1).解:设A(x0,lnx0),由y=lnx,得y′=,∴,则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0=,∵切线经过点(﹣e,﹣1),∴,即,则x0=e.∴A点坐标为(e,1).故答案为:(e,1).12.(5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若•=6•,则的值是.解:设=λ=(),=+=+μ=+μ()=(1﹣μ)+μ=+μ∴,∴,∴==(),==﹣+,6•=6×()×(﹣+)=(++)=++,∵•=++,∴=,∴=3,∴=.故答案为:13.(5分)已知=﹣,则sin(2α+)的值是.解:由=﹣,得,∴,解得tanα=2或tan.当tanα=2时,sin2α=,cos2α=,∴sin(2α+)==;当tanα=时,sin2α==,cos2α=,∴sin(2α+)==.综上,sin(2α+)的值是.故答案为:.14.(5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=,g(x)=其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是[,).解:作出函数f(x)与g(x)的图象如图,由图可知,函数f(x)与g(x)=﹣(1<x≤2,3<x≤4,5<x≤6,7<x≤8)仅有2个实数根;要使关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则f(x)=,x∈(0,2]与g(x)=k(x+2),x∈(0,1]的图象有2个不同交点,由(1,0)到直线kx﹣y+2k=0的距离为1,得,解得k=(k>0),∵两点(﹣2,0),(1,1)连线的斜率k=,∴≤k<.即k的取值范围为[,).故答案为:[,).二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值;(2)若=,求sin(B+)的值.解:(1)∵在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=3c,b=,cos B=,∴由余弦定理得:cos B===,解得c=.(2)∵=,∴由正弦定理得:,∴2sin B=cos B,∵sin2B+cos2B=1,∴sin B=,cos B=,∴sin(B+)=cos B=.16.(14分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.证明:(1)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,∴DE∥AB,AB∥A1B1,∴DE∥A1B1,∵DE⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,∴A1B1∥平面DEC1.解:(2)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E是AC的中点,AB=BC.∴BE⊥AA1,BE⊥AC,又AA1∩AC=A,∴BE⊥平面ACC1A1,∵C1E⊂平面ACC1A1,∴BE⊥C1E.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,1与圆F2:(x﹣1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C 于点E,连结DF1.已知DF1=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.解:(1)如图,∵F2A=F2B,∴∠F2AB=∠F2BA,∵F2A=2a=F2D+DA=F2D+F1D,∴AD=F1D,则∠DAF1=∠DF1A,∴∠DF1A=∠F2BA,则F1D∥BF2,∵c=1,∴b2=a2﹣1,则椭圆方程为,取x=1,得,则AD=2a﹣=.又DF1=,∴,解得a=2(a>0).∴椭圆C的标准方程为;(2)由(1)知,D(1,),F1(﹣1,0),∴=,则BF2:y=,联立,得21x2﹣18x﹣39=0.解得x1=﹣1或(舍).∴.即点E的坐标为(﹣1,﹣).18.(16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于...圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P、Q两点间的距离.解:设BD与圆O交于M,连接AM,AB为圆O的直径,可得AM⊥BM,即有DM=AC=6,BM=6,AM=8,以C为坐标原点,l为x轴,建立直角坐标系,则A(0,﹣6),B(﹣8,﹣12),D(﹣8,0)(1)设点P(x1,0),PB⊥AB,则k BP•k AB=﹣1,即•=﹣1,解得x1=﹣17,所以P(﹣17,0),PB==15;(2)当QA⊥AB时,QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径,设此时Q(x2,0),则k QA•k AB=﹣1,即•=﹣1,解得x2=﹣,Q(﹣,0),由﹣17<﹣8<﹣,在此范围内,不能满足PB,QA上所有点到O的距离不小于圆的半径,所以P,Q中不能有点选在D点;(3)设P(a,0),Q(b,0),则a≤﹣17,b≥﹣,PB2=(a+8)2+144≥225,QA2=b2+36≥225,则b≥3,当d最小时,PQ=17+3.19.(16分)设函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c),a,b,c∈R,f′(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零点均在集合{﹣3,1,3}中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤.解:(1)∵a=b=c,∴f(x)=(x﹣a)3,∵f(4)=8,∴(4﹣a)3=8,∴4﹣a=2,解得a=2.(2)a≠b,b=c,设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2.令f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2=0,解得x=a,或x=b.f′(x)=(x﹣b)2+2(x﹣a)(x﹣b)=(x﹣b)(3x﹣b﹣2a).令f′(x)=0,解得x=b,或x=.∵f(x)和f′(x)的零点均在集合A={﹣3,1,3}中,若:a=﹣3,b=1,则==﹣∉A,舍去.a=1,b=﹣3,则==﹣∉A,舍去.a=﹣3,b=3,则==﹣1∉A,舍去..a=3,b=1,则==∉A,舍去.a=1,b=3,则=∉A,舍去.a=3,b=﹣3,则==1∈A,.因此a=3,b=﹣3,=1∈A,可得:f(x)=(x﹣3)(x+3)2.f′(x)=3[x﹣(﹣3)](x﹣1).可得x=1时,函数f(x)取得极小值,f(1)=﹣2×42=﹣32.(3)证明:a=0,0<b≤1,c=1,f(x)=x(x﹣b)(x﹣1).f′(x)=(x﹣b)(x﹣1)+x(x﹣1)+x(x﹣b)=3x2﹣(2b+2)x+b.△=4(b+1)2﹣12b=4b2﹣4b+4=4+3≥3.令f′(x)=3x2﹣(2b+2)x+b=0.解得:x1=∈,x2=.x1<x2,x1+x2=,x1x2=,可得x=x1时,f(x)取得极大值为M,∵f′(x1)=﹣(2b+2)x1+b=0,可得:=[(2b+2)x1﹣b],M=f(x1)=x1(x1﹣b)(x1﹣1)=(x1﹣b)(﹣x1)=(x1﹣b)(﹣x1)=[(2b﹣1)﹣2b2x1+b2]==,∵﹣2b2+2b﹣2=﹣2﹣<0,∴M在x1∈(0,]上单调递减,∴M≤=≤.∴M≤.20.(16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,求证:数列{a n}为“M﹣数列”;(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1,=﹣,其中S n为数列{b n}的前n 项和.①求数列{b n}的通项公式;②设m为正整数,若存在“M﹣数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,求m的最大值.解:(1)设等比数列{a n}的公比为q,则由a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,得∴,∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”;(2)①∵b1=1,=﹣,∴当n=1时,,∴b2=2,当n=2时,,∴b3=3,当n=3时,,∴b4=4,猜想b n=n,下面用数学归纳法证明;(i)当n=1时,b1=1,满足b n=n,(ii)假设n=k时,结论成立,即b k=k,则n=k+1时,由,得==k+1,故n=k+1时结论成立,根据(i)(ii)可知,b n=n对任意的n∈N*都成立.故数列{b n}的通项公式为b n=n;②设{c n}的公比为q,存在“M﹣数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立,当k=1时,q≥1,当k=2时,,当k≥3,两边取对数可得,对k≤m有解,即,令f(x)=,则,当x≥3时,f'(x)<0,此时f(x)递增,∴当k≥3时,,令g(x)=,则,令,则,当x≥3时,ϕ'(x)<0,即g'(x)<0,∴g(x)在[3,+∞)上单调递减,即k≥3时,,则,下面求解不等式,化简,得3lnm﹣(m﹣1)ln3≤0,令h(m)=3lnm﹣(m﹣1)ln3,则h'(m)=﹣ln3,由k≥3得m≥3,h'(m)<0,∴h(m)在[3,+∞)上单调递减,又由于h(5)=3ln5﹣4ln3=ln125﹣ln81>0,h(6)=3ln6﹣5ln3=ln216﹣ln243<0,∴存在m0∈(5,6)使得h(m0)=0,∴m的最大值为5,此时q∈,.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)21.(10分)已知矩阵A=.(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值.解:(1)∵A=∴A2==(2)矩阵A的特征多项式为:f(λ)==λ2﹣5λ+4,令f(λ)=0,则由方程λ2﹣5λ+4=0,得λ=1或λ=4,∴矩阵A的特征值为1或4.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)22.(10分)在极坐标系中,已知两点A(3,),B(,),直线1的方程为ρsin (θ+)=3.(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.解:(1)设极点为O,则在△OAB中,由余弦定理,得AB2=OA2+OB2﹣2OA,∴AB==;(2)由直线1的方程ρsin(θ+)=3,知直线l过(3,),倾斜角为,又B(,),∴点B到直线l的距离为.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)23.设x∈R,解不等式|x|+|2x﹣1|>2.解:|x|+|2x﹣1|=,∵|x|+|2x﹣1|>2,∴或或,∴x>1或x∈∅或x <﹣,∴不等式的解集为{x|x <﹣或x>1}.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.(10分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,n≥4,n∈N*.已知a32=2a2a4.(1)求n的值;(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2﹣3b2的值.解:(1)由(1+x)n=C+C x+C x2+…+C x n,n≥4,可得a2=C =,a3=C =,a4=C =,a32=2a2a4,可得()2=2••,解得n=5;(2)方法一、(1+)5=C+C+C ()2+C ()3+C ()4+C ()5=a+b,由于a,b∈N*,可得a=C+3C+9C=1+30+45=76,b=C+3C+9C=44,可得a2﹣3b2=762﹣3×442=﹣32;方法二、(1+)5=C+C+C ()2+C ()3+C ()4+C ()5=a+b,(1﹣)5=C+C (﹣)+C (﹣)2+C (﹣)3+C (﹣)4+C (﹣)5=C﹣C+C ()2﹣C ()3+C ()4﹣C ()5,由于a,b∈N*,可得(1﹣)5=a﹣b,第21页(共22页)可得a2﹣3b2=(1+)5•(1﹣)5=(1﹣3)5=﹣32.25.(10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},B n={(0,1),(n,1)},∁n={(0,2),(1,2),(2,2),……,(n,2)},n∈N*.令M n=A n∪B n∪∁n.从集合M n中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时,求X的概率分布;(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).解:(1)当n=1时,X的所有可能取值为1,,2,,X的概率分布为P(X=1)==;P(X =)==;P(X=2)==;P(X =)==;(2)设A(a,b)和B(c,d)是从M n中取出的两个点,因为P(X≤n)=1﹣P(X>n),所以只需考虑X>n的情况,①若b=d,则AB≤n,不存在X>n的取法;②若b=0,d=1,则AB =≤,所以X>n当且仅当AB =,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;③若b=0,d=2,则AB =≤,所以X>n当且仅当AB =,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;④若b=1,d=2,则AB =≤,所以X>n当且仅当AB =,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;综上可得当X>n,X 的所有值是或,且P(X =)=,P(X =)=,可得P(X≤n)=1﹣P(X =)﹣P(X =)=1﹣.第22页(共22页)。

2019年高考真题数学(江苏卷)Word版含解析

2019年高考真题数学(江苏卷)Word版含解析
1
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2
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【点睛】此题考察在三角形中平面向量的数目积运算,浸透了直观想象、逻辑推理和数学运
x
2
x
1
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,此中

i
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1
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柱体的体积VSh,此中S是柱体的底面积,h是柱体的高.
1
3
一、填空题:本大题共14小题,每题5分,合计70分.请把答案填写在答题
..
卡相应地点上
......
1.已知会合A={-1,0,1,6},Bx | x0, xR,则A∩B=_____.
【答案】{1,6}.
【分析】
【剖析】
由题意利用交集的定义求解交集即可.
【详解】由题知,AI B{1,6}.
【点睛】此题主要考察交集的运算,属于基础题.
2.已知复数(a
2i)(1
i)的实部为
0,此中i为虚数单位,则实数
a的值是_____.
【答案】2
【分析】
【剖析】
此题依据复数的乘法运算法例先求得
z,而后依据复数的观点,令实部为
0即得a的值.

2019年江苏省高考数学试卷(原卷版)

2019年江苏省高考数学试卷(原卷版)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。

本卷满分为160分,考试时间为120分钟。

考试结束后,请将本试卷和答题卡一片交回。

2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。

5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式:样本数据12,,,n x x x ⋯的方差()2211n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑. 柱体的体积V Sh =,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高. 锥体的体积13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置.......上.. 1.已知集合{1,0,1,6}A =-,{|0,}B x x x =>∈R ,则A B =I _____.2.已知复数(2i)(1i)a ++实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是_____.3.下图是一个算法流程图,则输出的S 的值是_____.4.函数276y x x =+-的定义域是_____.5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是____.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b -=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是_____. 8.已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列,n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==,则8S 的值是_____.9.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是_____.10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x =+>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是____.12.如图,在ABC V 中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,则AB AC的值是_____.13.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____. 14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数,()f x 的周期为4,()g x 的周期为2,且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时,2()1(1)f x x =--,(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩,其中0k >.若在区间(0]9,上,关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根,则k 的取值范围是_____. 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若a =3c ,b 2,cos B =23,求c 的值; (2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值. 16.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别为BC ,AC 的中点,AB =BC .求证:(1)A 1B 1∥平面DEC 1;(2)BE ⊥C 1E .17.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1.已知DF 1=52.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)求点E 的坐标.18.如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA .规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆....O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C 、D 为垂足),测得AB =10,AC =6,BD =12(单位:百米).(1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;(3)对规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d (单位:百米).求当d 最小时,P 、Q 两点间的距离.19.设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈,()f 'x 为f (x )的导函数.(1)若a =b =c ,f (4)=8,求a 的值;(2)若a ≠b ,b =c ,且f (x )和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中,求f (x )的极小值;(3)若0,01,1a b c =<=…,且f (x )的极大值为M ,求证:M ≤427. 20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.(1)已知等比数列{a n }满足:245132,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为“M -数列”;(2)已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-,其中S n 为数列{b n }的前n 项和. ①求数列{b n }的通项公式; ②设m 为正整数,若存在“M -数列”{c n }θ,对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有1k k k c b c +剟成立,求m 的最大值.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括21、22、23三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答......................若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A (1)求A 2;(2)求矩阵A 的特征值.22.在极坐标系中,已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离.23.设x ∈R ,解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L ….已知23242a a a =. (1)求n 的值;(2)设(1n a =+*,a b ∈N ,求223a b -的值.25.在平面直角坐标系xOy 中,设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯,{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n N *==∈L 令n n n n M A B C =U U .从集合M n 中任取两个不同的点,用随机变量X 表示它们之间的距离.(1)当n =1时,求X 的概率分布;(2)对给定的正整数n (n ≥3),求概率P (X ≤n )(用n 表示).。

2019年江苏省高考数学试卷(解析版)

2019年江苏省高考数学试卷(解析版)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。

本卷满分为160分,考试时间为120分钟。

考试结束后,请将本试卷和答题卡一片交回。

2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。

5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式:样本数据12,,,n x x x ⋯的方差()2211n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑. 柱体的体积V Sh =,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高. 锥体的体积13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置.......上.. 1.已知集合{1,0,1,6}A =-,{|0,}B x x x =>∈R ,则A B =I _____.【答案】{1,6}.【解析】【分析】由题意利用交集的定义求解交集即可.【详解】由题知,{1,6}A B =I .【点睛】本题主要考查交集的运算,属于基础题.2.已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是_____.【答案】2.【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ,然后根据复数的概念,令实部为0即得a 的值.【详解】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++Q ,令20a -=得2a =.【点睛】本题主要考查复数的运算法则,虚部的定义等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.下图是一个算法流程图,则输出的S 的值是_____.【答案】5.【解析】【分析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可. 【详解】执行第一次,1,1422x S S x =+==≥不成立,继续循环,12x x =+=;执行第二次,3,2422x S S x =+==≥不成立,继续循环,13x x =+=; 执行第三次,3,342x S S x =+==≥不成立,继续循环,14x x =+=; 执行第四次,5,442x S S x =+==≥成立,输出 5.S = 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路:(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.(2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题.(3)按照题目的要求完成解答并验证.4.函数y =_____.【答案】[1,7]-.【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式,解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤解得17x -≤≤,故函数的定义域为[1,7]-.【点睛】求函数的定义域,其实质就是以函数解析式有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集即可.5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是____. 【答案】53. 【解析】【分析】由题意首先求得平均数,然后求解方差即可. 【详解】由题意,该组数据的平均数为678891086+++++=, 所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=.【点睛】本题主要考查方差的计算公式,属于基础题.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.【答案】7 10.【解析】【分析】先求事件的总数,再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数,最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务,共有2510C=种情况.若选出的2名学生恰有1名女生,有11326C C=种情况,若选出的2名学生都是女生,有221C=种情况,所以所求的概率为617 1010 +=.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容,考查的形式有两种,一是独立考查,二是与古典概型结合考查,由于古典概型概率的计算比较明确,所以,计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中,应注意审清题意,明确“分类”“分步”,根据顺序有无,明确“排列”“组合”.7.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y=.【解析】【分析】根据条件求b,再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得222431b-=,解得b=b=因为0b>,所以b=因为1a=,所以双曲线的渐近线方程为2y x=±.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质,往往以小题的形式考查,其难度一般较小,是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关,事实上,标准方程中化1为0,即得渐近线方程.8.已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列,n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==,则8S 的值是_____.【答案】16.【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差,然后求解前8项和即可.【详解】由题意可得:()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩, 解得:152a d =-⎧⎨=⎩,则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题,是高考必考内容,解题过程中要注意应用函数方程思想,灵活应用通项公式、求和公式等,构建方程(组),如本题,从已知出发,构建1,a d 的方程组.9.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是_____.【答案】10.【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120,所以1120AB BC CC ⋅⋅=,因为E 为1CC 的中点, 所以112CE CC =, 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ,所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高,所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中,往往需要注意理清整体和局部的关系,灵活利用“割”与“补”的方法解题.10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x =+>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.【答案】4.【解析】【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离,然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x =+相切位置时,切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小. 由2411y x'=-=-,得)x =,y =即切点Q ,则切点Q 到直线0x y +=4=,故答案为4. 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离,渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法,利用数形结合和转化与化归思想解题.11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是____.【答案】(e, 1).【解析】【分析】设出切点坐标,得到切线方程,然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点()00,A x y ,则00ln y x =.又1y x '=,当0x x =时,01y x '=, 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-, 即00ln 1x y x x -=-, 代入点(),1e --,得001ln 1e x x ---=-, 即00ln x x e =,考查函数()ln H x x x =,当()0,1x ∈时,()0H x <,当()1,x ∈+∞时,()0H x >,且()'ln 1H x x =+,当1x >时,()()'0,H x H x >单调递增,注意到()H e e =,故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =,此时01y =,故点A 的坐标为(),1A e .【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题:一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.12.如图,在ABC V 中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,则AB AC的值是_____.【答案】3.【解析】【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积,然后利用几何性质可得比值.【详解】如图,过点D作DF//CE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC中点,知BF=FE=EA,AO=OD.()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE=-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC⎛⎫=-+=-+=⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g,得2213,22AB AC=u u u r u u u r即3,AB=u u u r u u r故3ABAC=【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法,利用数形结合和方程思想解题.13.已知tan2π3tan4αα=-⎛⎫+⎪⎝⎭,则πsin24α⎛⎫+⎪⎝⎭的值是_____.2.【解析】【分析】由题意首先求得tanα的值,然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题,最后切化弦求得三角函数式的值即可.【详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭, 得23tan 5tan 20αα--=,解得tan 2α=,或1tan 3α=-. sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭, 当tan 2α=时,上式22221221⎫⨯+-⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时,上式22112133113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上,sin 2410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查三角函数的化简求值,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法,利用分类讨论和转化与化归思想解题.14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数,()f x 的周期为4,()g x 的周期为2,且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时,()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩,其中0k >.若在区间(0]9,上,关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根,则k 的取值范围是_____.【答案】1,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】【分析】分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质,考查临界条件确定k 的取值范围即可.【详解】当(]0,2x ∈时,()2()11,f x x =--即()2211,0.x y y -+=≥ 又()f x 为奇函数,其图象关于原点对称,其周期为4,如图,函数()f x 与()g x 的图象,要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根,只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时,函数()f x 与()g x 的图象有2个交点; 当g()(2)x k x =+时,()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线,只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时,圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为12211k k k +=+,得2k =数()f x 与()g x 的图象有3个交点;当g()(2)x k x =+过点1,1()时,函数()f x 与()g x 的图象有6个交点,此时13k =,得13k =. 综上可知,满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为123⎡⎢⎣⎭,. 【点睛】本题考点为参数的取值范围,侧重函数方程的多个实根,难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误,根据函数的周期性平移图象,找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数,从而确定参数的取值范围.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若a =3c ,b 2,cos B =23,求c 的值; (2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值.【答案】(1)c =(2. 【解析】 【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c 的方程,解方程可得边长c 的值;(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值,然后由诱导公式可得sin()2B π+的值.【详解】(1)因为23,3a cb B ===,由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=,得23=,即213c =.所以3c =. (2)因为sin cos 2A Ba b =, 由正弦定理sin sin a b A B=,得cos sin 2B Bb b =,所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =.因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而cos 5B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.16.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别为BC ,AC 的中点,AB =BC .求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论;(2)由题意首先证得线面垂直,然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【详解】(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,所以A1B1∥ED. 又因为ED⊂平面DEC1,A1B1 平面DEC1,所以A1B1∥平面DEC1. (2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以CC1⊥平面ABC. 又因为BE⊂平面ABC,所以CC1⊥BE.因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1,AC ⊂平面A 1ACC 1,C 1C ∩AC =C , 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1,所以BE ⊥C 1E .【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.17.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1.已知DF 1=52.(1)求椭圆C 的标准方程; (2)求点E 的坐标.【答案】(1)22143x y +=;(2)3(1,)2E --. 【解析】 【分析】(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程;(2)解法一:由题意首先确定直线1AF 的方程,联立直线方程与圆的方程,确定点B 的坐标,联立直线BF 2与椭圆的方程即可确定点E 的坐标;解法二:由题意利用几何关系确定点E 的纵坐标,然后代入椭圆方程可得点E 的坐标. 【详解】(1)设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1F 2=2,c =1.又因为DF1=52,AF2⊥x轴,所以DF2=222211253()222DF F F-=-=,因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,椭圆C的标准方程为22143x y+=.(2)解法一:由(1)知,椭圆C:22143x y+=,a=2,因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16,解得y=±4.因为点A在x轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.由()2222116y xx y=+⎧⎪⎨-+=⎪⎩,得256110x x+-=,解得1x=或115x=-.将115x=-代入22y x=+,得125y=-,因此1112(,)55B--.又F2(1,0),所以直线BF2:3(1)4y x=-.由223(1)4143y xx y⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得276130x x--=,解得1x=-或137x=.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以1x=-.将1x =-代入3(1)4y x =-,得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二:由(1)知,椭圆C :22143x y +=.如图,连结EF 1.因为BF 2=2a ,EF 1+EF 2=2a ,所以EF 1=EB , 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ,所以∠A =∠B , 所以∠A =∠BF 1E ,从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴,所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1,0),由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以32y =-. 因此3(1,)2E --.【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.18.如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA .规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆....O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C 、D 为垂足),测得AB =10,AC =6,BD =12(单位:百米).(1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;(3)对规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d (单位:百米).求当d 最小时,P 、Q 两点间的距离. 【答案】(1)15(百米); (2)见解析;(3)17+321. 【解析】 【分析】 解:解法一:(1)过A 作AE BD ⊥,垂足为E .利用几何关系即可求得道路PB 的长; (2)分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.(3)先讨论点P 的位置,然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时,P 、Q 两点间的距离. 解法二:(1)建立空间直角坐标系,分别确定点P 和点B 的坐标,然后利用两点之间距离公式可得道路PB 的长; (2)分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.(3)先讨论点P 的位置,然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时,P 、Q 两点间的距离. 【详解】解法一:(1)过A 作AE BD ⊥,垂足为E .由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,6, 8DE BE AC AE CD =====. 因为PB ⊥AB ,所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠== 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B ,E )到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知2210AD AE ED =+=,从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅,所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此,Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,115PB =, 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=; 当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=. 由上可知,d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,2222156321CQ QA AC =-=-=此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB ⊥AB ,点Q 位于点C 右侧,且CQ =321d 最小,此时P ,Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+321.解法二:(1)如图,过O 作OH ⊥l ,垂足为H.以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系.因为BD =12,AC =6,所以OH =9,直线l 的方程为y =9,点A ,B 的纵坐标分别为3,−3. 因为AB 为圆O 的直径,AB =10,所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A (4,3),B (−4,−3),直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ,所以直线PB 的斜率为43-, 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P (−13,9),22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,取线段BD 上一点E (−4,0),则EO =4<5,所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知D (−4,9),又A (4,3), 所以线段AD :36(44)4y x x =-+-剟. 在线段AD 上取点M (3,154),因为22221533454OM⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭,所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)先讨论点P 位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,115PB =,此时()113,9P -; 当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=. 由上可知,d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求. 当QA =15时,设Q (a ,9),由15(4)AQ a ==>,得a=4+Q(4+9),此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径. 综上,当P (−13,9),Q(4+9)时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此,d 最小时,P ,Q两点间的距离为17+.【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19.设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈,()f 'x 为f (x )的导函数. (1)若a =b =c ,f (4)=8,求a 的值;(2)若a ≠b ,b =c ,且f (x )和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中,求f (x )的极小值; (3)若0,01,1a b c =<=…,且f (x )的极大值为M ,求证:M ≤427. 【答案】(1)2a =; (2)()f x 的极小值为32- (3)见解析. 【解析】 【分析】(1)由题意得到关于a 的方程,解方程即可确定a 的值;(2)由题意首先确定a ,b ,c 的值从而确定函数的解析式,然后求解其导函数,由导函数即可确定函数的极小值.(3)由题意首先确定函数的极大值M 的表达式,然后可用如下方法证明题中的不等式: 解法一:由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式;解法二:由题意构造函数,求得函数在定义域内的最大值, 因为01b <≤,所以1(0,1)x ∈.当(0,1)x ∈时,2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-. 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈,则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.令()0g'x =,得1x =.列表如下:所以当13x =时,()g x 取得极大值,且是最大值,故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以当(0,1)x ∈时,4()()27f x g x ≤≤,因此427M ≤. 【详解】(1)因为a b c ==,所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-.因为(4)8f =,所以3(4)8a -=,解得2a =.(2)因为b c =,所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-, 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.令()0f 'x =,得x b =或23a bx +=. 因2,,3a ba b +,都在集合{3,1,3}-中,且a b ¹, 所以21,3,33a ba b +===-. 此时2()(3)(3)f x x x =-+,()3(3)(1)f 'x x x =+-.令()0f 'x =,得3x =-或1x =.列表如下:x(,3)-∞-3-(3,1)-1 (1,)+∞+0 –0 +()f xZ 极大值] 极小值Z所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-.(3)因为0,1a c ==,所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++,2()32(1)f 'x x b x b =-++.因为01b <≤,所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>, 则有2个不同的零点,设为()1212,x x x x <.由()0f 'x =,得22121111,33b b b b b b x x +--+++-+==. 列表如下:x1(,)x -∞1x()12,x x2x2(,)x +∞+–+()f xZ极大值]极小值Z所以()f x 的极大值()1M f x =. 解法一:()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()(23221(1)(1)2127927b b b b b b b --+++=++-+23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤.因此427M ≤. 解法二:因为01b <≤,所以1(0,1)x ∈.当(0,1)x ∈时,2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-. 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈,则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.令()0g'x =,得1x =.列表如下:所以当13x =时,()g x 取得极大值,且是最大值,故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以当(0,1)x ∈时,4()()27f x g x ≤≤,因此427M ≤. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.(1)已知等比数列{a n }满足:245132,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为“M -数列”; (2)已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-,其中S n 为数列{b n }的前n 项和. ①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数,若存在“M -数列”{c n }θ,对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有1k k k c b c +剟成立,求m的最大值.【答案】(1)见解析;(2)①b n =n ()*n ∈N ;②5.【解析】 【分析】(1)由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论;(2)①由题意利用递推关系式讨论可得数列{b n }是等差数列,据此即可确定其通项公式;②由①确定k b 的值,将原问题进行等价转化,构造函数,结合导函数研究函数的性质即可求得m 的最大值. 【详解】(1)设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩,得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩,解得112a q =⎧⎨=⎩.因此数列{}n a 为“M —数列”.(2)①因为1122n n n S b b +=-,所以0n b ≠. 由1111,b S b ==得212211b =-,则22b =. 由1122n n n S b b +=-,得112()n n n n n b b S b b ++=-,当2n ≥时,由1n n n b S S -=-,得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---,整理得112n n n b b b +-+=.所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知,b k =k ,*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1,所以1k k q k q -≤≤,其中k =1,2,3,…,m .当k =1时,有q ≥1;当k =2,3,…,m 时,有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-. 设f (x )=ln (1)x x x >,则21ln ()xf 'x x-=. 令()0f 'x =,得x =e .列表如下:x (1,e)e (e ,+∞) ()f 'x+0 –f (x )极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=,所以max ln 3()(3)3f k f ==. 取33q =k =1,2,3,4,5时,ln ln kq k…,即k k q ≤, 经检验知1k qk -≤也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k =3,6,得3≤q 3,且q 5≤6,从而q 15≥243,且q 15≤216, 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上,所求m 的最大值为5.【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括21、22、23三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答......................若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A(1)求A 2;(2)求矩阵A 的特征值.【答案】(1)115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(2)121,4λλ==.【解析】 【分析】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算2A 的值即可;(2)首先求得矩阵的特征多项式,然后利用特征多项式求解特征值即可. 【详解】(1)因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A , 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (2)矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=,解得A 的特征值121,4λλ==.【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力.22.在极坐标系中,已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)求A ,B 两点间的距离; (2)求点B 到直线l 的距离.【答案】(1 (2)2. 【解析】 【分析】(1)由题意,在OAB V 中,利用余弦定理求解AB 的长度即可;(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标,然后结合点B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离.【详解】(1)设极点为O .在△OAB 中,A (3,4π),B ,2π),由余弦定理,得AB =(2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=,则直线l 过点)2π,倾斜角为34π.又)2B π,所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. 【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力. 23.设x ∈R ,解不等式||+|2 1|>2x x -. 【答案】1{|1}3x x x <->或. 【解析】 【分析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集. 【详解】当x <0时,原不等式可化为122x x -+->,解得x <–13: 当0≤x ≤12时,原不等式可化为x +1–2x >2,即x <–1,无解; 当x >12时,原不等式可化为x +2x –1>2,解得x >1. 综上,原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.【点睛】本题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L ….已知23242a a a =. (1)求n 的值;(2)设(1n a =+*,a b ∈N ,求223a b -的值. 【答案】(1)5n =; (2)-32. 【解析】 【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定234,,a a a 的值,然后求解关于n 的方程可得n 的值;(2)解法一:利用(1)中求得的n 的值确定有理项和无理项从而可得a ,b 的值,然后计算223a b -的值即可;解法二:利用(1)中求得的n 的值,由题意得到(51-的展开式,最后结合平方差公式即可确定223ab -的值.【详解】(1)因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥L ,,所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====, 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==. 因为23242a a a =,所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯,解得5n =.(2)由(1)知,5n =.5(1(1n =+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一:因为*,a b ∈N ,所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=,从而222237634432a b -=-⨯=-. 解法二:50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-.因为*,a b ∈N ,所以5(1a =-.因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-.【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力. 25.在平面直角坐标系xOy 中,设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯,{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n N *==∈L 令n n n n M A B C =U U .从集合M n 中任取两个不同的点,用随机变量X 表示它们之间的距离. (1)当n =1时,求X 的概率分布;(2)对给定的正整数n (n ≥3),求概率P (X ≤n )(用n 表示). 【答案】(1)见解析; (2)22461C n +-【解析】 【分析】(1)由题意首先确定X 可能的取值,然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列; (2)将原问题转化为对立事件的问题求解()P X n >的值,据此分类讨论①.b d =,②.0,1b d ==,③.0,2b d ==,④.1,2b d ==四种情况确定X 满足X n >的所有可能的取值,然后求解相应的概率值即可确定()P X n ≤的值.【详解】(1)当1n =时,X的所有可能取值是12X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======,22662222(2),(C 15C 15P X P X ======. (2)设()A a b ,和()B c d ,是从n M 中取出的两个点. 因为()1()P X n P X n ≤=->,所以仅需考虑X n >的情况. ①若b d =,则AB n ≤,不存在X n >的取法;②若01b d ==,,则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法; ③若02b d ==,,则AB ≤3n ≥n ≤,所以X n >当且仅当AB =0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法; ④若12b d ==,,则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法. 综上,当X n >时,X,且22242442(,(C C n n P X P X ++====.因此,2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-.【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.。

2019年江苏卷数学高考试题文档版(含答案)

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2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ参考公式:样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑.柱体的体积V Sh =,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高. 锥体的体积13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1.已知集合{1,0,1,6}A =-,{|0,}B x x x =>∈R ,则AB =▲ .2.已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是 ▲ . 3.下图是一个算法流程图,则输出的S 的值是 ▲ .4.函数y =的定义域是 ▲ .5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 ▲ .6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .8.已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列,n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==,则8S 的值是 ▲ .9.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ .10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是 ▲ .12.如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅,则ABAC的值是 ▲ .13.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ . 14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数,()f x 的周期为4,()g x 的周期为2,且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时,()f x =,(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩,其中k >0.若在区间(0,9]上,关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根,则k 的取值范围是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . (1)若a =3c ,b,cos B =23,求c 的值; (2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值. 16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别为BC ,AC 的中点,AB =BC . 求证:(1)A 1B 1∥平面DEC 1; (2)BE ⊥C 1E .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1. 已知DF 1=52.(1)求椭圆C 的标准方程; (2)求点E 的坐标.18.(本小题满分16分)如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA .规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆....O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C 、D 为垂足),测得AB =10,AC =6,BD =12(单位:百米).(1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d (单位:百米).求当d 最小时,P 、Q 两点间的距离.19.(本小题满分16分)设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f (x )的导函数. (1)若a =b =c ,f (4)=8,求a 的值;(2)若a ≠b ,b =c ,且f (x )和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中,求f (x )的极小值;(3)若0,01,1a b c =<=,且f (x )的极大值为M ,求证:M ≤427. 20.(本小满分16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.(1)已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足:245324,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为“M -数列”;(2)已知数列{b n }*()n ∈N 满足:111221,n n n b S b b +==-,其中S n 为数列{b n }的前n 项和. ①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数,若存在“M -数列”{c n }*()n ∈N ,对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有1k k k c b c +成立,求m 的最大值.2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ·参考答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分. 1.{1,6}2.23.54.[1,7]-5.536.7107.y =8.16 9.10 10.411.(e, 1)14.13⎡⎢⎣⎭二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.满分14分.解:(1)因为23,3a cb B ===, 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=,得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯,即213c =.所以3c =(2)因为sin cos 2A Ba b =, 由正弦定理sin sin a b A B =,得cos sin 2B Bb b=,所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =.因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而cos B =.因此π25 sin cos25B B⎛⎫+==⎪⎝⎭.16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明:(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC,所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1,AC⊂平面A1ACC1,C1C∩AC=C,所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1,所以BE⊥C1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.解:(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因为DF1=52,AF2⊥x轴,所以DF2=222211253()222DF F F-=-=,因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,椭圆C的标准方程为221 43x y+=.(2)解法一:由(1)知,椭圆C:22143x y+=,a=2,因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16,解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方,所以A (1,4). 又F 1(-1,0),所以直线AF 1:y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩,得256110x x +-=, 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+,得 125y =-, 因此1112(,)55B --.又F 2(1,0),所以直线BF 2:3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪,得276130x x --=,解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-,得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二:由(1)知,椭圆C :22143x y +=.如图,连结EF 1.因为BF 2=2a ,EF 1+EF 2=2a ,所以EF 1=EB , 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ,所以∠A =∠B , 所以∠A =∠BF 1E ,从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴,所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1,0),由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩,得32y =±. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解:解法一:(1)过A 作AE BD ⊥,垂足为E .由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ,所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B ,E )到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知10AD ==,从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅,所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此,Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B =15, 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=;当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=. 由上可知,d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,CQ ===此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB ⊥AB ,点Q 位于点C 右侧,且CQ =,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+. 解法二:(1)如图,过O 作OH ⊥l ,垂足为H.以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系.因为BD =12,AC =6,所以OH =9,直线l 的方程为y =9,点A ,B 的纵坐标分别为3,−3. 因为AB 为圆O 的直径,AB =10,所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A (4,3),B (−4,−3),直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ,所以直线PB 的斜率为43-, 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P (−13,9),15PB =. 因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,取线段BD 上一点E (−4,0),则EO =4<5,所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知D (−4,9),又A (4,3), 所以线段AD :36(44)4y x x =-+-.在线段AD 上取点M (3,154),因为5OM =<=,所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上,P 和Q 均不能选在D 处. (3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B =15,此时1P (−13,9); 当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=. 由上可知,d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,设Q (a ,9),由15(4)AQ a ==>,得a =4+所以Q (4+),此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当P (−13,9),Q (4+)时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+.19.本小题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.解:(1)因为a b c ==,所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-. 因为(4)8f =,所以3(4)8a -=,解得2a =. (2)因为b c =,所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-, 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=--⎪⎝⎭.令()0f 'x =,得x b =或23a bx +=.因为2,,3a ba b +,都在集合{3,1,3}-中,且a b ≠, 所以21,3,33a b a b +===-.此时2()(3)(3)f x x x =-+,()3(3)(1)f 'x x x =+-. 令()0f 'x =,得3x =-或1x =.列表如下:所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-.(3)因为0,1a c ==,所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++,2()32(1)f 'x x b x b =-++.因为01b <≤,所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>, 则()f 'x 有2个不同的零点,设为()1212,x x x x <.由()0f 'x =,得121133b b x x +++==.列表如下:所以()f x 的极大值()1M f x =. 解法一:()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤.因此427M ≤. 解法二:因为01b <≤,所以1(0,1)x ∈.当(0,1)x ∈时,2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-. 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈,则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 令()0g'x =,得1x =.列表如下: 所以当13x =时,()g x 取得极大值,且是最大值,故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以当(0,1)x ∈时,4()()27f x g x ≤≤,因此427M ≤. 20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分. 解:(1)设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩,得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩,解得112a q =⎧⎨=⎩.因此数列{}n a 为“M —数列”. (2)①因为1122n n n S b b +=-,所以0n b ≠.由1111,b S b ==,得212211b =-,则22b =. 由1122n n n S b b +=-,得112()n n n n n b b S b b ++=-, 当2n ≥时,由1n n n b S S -=-,得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---,整理得112n n n b b b +-+=.所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知,b k =k ,*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1,所以1k k q k q -≤≤,其中k =1,2,3,…,m .当k =1时,有q ≥1; 当k =2,3,…,m 时,有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-. 设f (x )=ln (1)x x x >,则21ln ()x f 'x x -=. 令()0f 'x =,得x =e.列表如下:因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=,所以max ln 3()(3)3f k f ==.取q =当k =1,2,3,4,5时,ln ln kq k,即k k q ≤,经检验知1k q k -≤也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k =3,6,得3≤q 3,且q 5≤6,从而q 15≥243,且q 15≤216, 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上,所求m 的最大值为5.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题........,.并在相应的答题区域内作答.............若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A (1)求A 2;(2)求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中,已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离. C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分) 设x ∈R ,解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.(1)求n 的值;(2)设(1na =+其中*,ab ∈N ,求223a b -的值.23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯,{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N令n nn n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点,用随机变量X 表示它们之间的距离.(1)当n =1时,求X 的概率分布;(2)对给定的正整数n (n ≥3),求概率P (X ≤n )(用n 表示).数学Ⅱ(附加题)参考答案21.【选做题】A .[选修4–2:矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:(1)因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (2)矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=,解得A 的特征值121,4λλ==.B .[选修4–4:坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:(1)设极点为O .在△OAB 中,A (3,4π),B ,2π),由余弦定理,得AB =(2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=,则直线l 过点)2π,倾斜角为34π.又)2B π,所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. C .[选修4–5:不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.满分10分. 解:当x <0时,原不等式可化为122x x -+->,解得x <-13;当0≤x ≤12时,原不等式可化为x +1–2x >2,即x <–1,无解; 当x >12时,原不等式可化为x +2x –1>2,解得x >1. 综上,原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力,满分10分.解:(1)因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥,, 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====, 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==. 因为23242a a a =,所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯, 解得5n =.(2)由(1)知,5n =.5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一:因为*,a b ∈N ,所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=,从而222237634432a b -=-⨯=-. 解法二:50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-.因为*,a b ∈N ,所以5(1a -=-.因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-.23.【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.满分10分.解:(1)当1n =时,X的所有可能取值是12X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======, 22662222(2),(C 15C 15P X P X ======. (2)设()A a b ,和()B c d ,是从n M 中取出的两个点. 因为()1()P X n P X n ≤=->,所以仅需考虑X n >的情况. ①若b d =,则AB n ≤,不存在X n >的取法;②若01b d ==,,则AB =,所以X n >当且仅当AB ,此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法;③若02b d ==,,则AB =≤,因为当3n ≥时,n ≤,所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法; ④若12b d ==,,则AB =,所以X n >当且仅当AB ,此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法.综上,当X n >时,X,且22242442(,(C C n n P X P X ++====.因此,2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-.。

2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析

2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(5分)已知集合A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B=.2.(5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.3.(5分)如图是一个算法流程图,则输出的S的值是.4.(5分)函数y=的定义域是.5.(5分)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.6.(5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.7.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.8.(5分)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.9.(5分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E﹣BCD 的体积是.10.(5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(﹣e,﹣1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.12.(5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若•=6•,则的值是.13.(5分)已知=﹣,则sin(2α+)的值是.14.(5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=,g(x)=其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值;(2)若=,求sin(B+)的值.16.(14分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,1与圆F2:(x﹣1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.已知DF1=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.18.(16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于...圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P、Q两点间的距离.19.(16分)设函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c),a,b,c∈R,f′(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零点均在集合{﹣3,1,3}中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤.20.(16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,求证:数列{a n}为“M ﹣数列”;(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1,=﹣,其中S n为数列{b n}的前n 项和.①求数列{b n}的通项公式;②设m为正整数,若存在“M﹣数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,求m的最大值.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)21.(10分)已知矩阵A=.(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)22.(10分)在极坐标系中,已知两点A(3,),B(,),直线1的方程为ρsin (θ+)=3.(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)23.设x∈R,解不等式|x|+|2x﹣1|>2.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.(10分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,n≥4,n∈N*.已知a32=2a2a4.(1)求n的值;(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2﹣3b2的值.25.(10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},B n={(0,1),(n,1)},∁n={(0,2),(1,2),(2,2),……,(n,2)},n∈N*.令M n=A n∪B n ∪∁n.从集合M n中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时,求X的概率分布;(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).2019年江苏省高考数学答案解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.【分析】直接利用交集运算得答案.【解答】解:∵A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},∴A∩B={﹣1,0,1,6}∩{x|x>0,x∈R}={1,6}.故答案为:{1,6}.【点评】本题考查交集及其运算,是基础题.2.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0求的a值.【解答】解:∵(a+2i)(1+i)=(a﹣2)+(a+2)i的实部为0,∴a﹣2=0,即a=2.故答案为:2.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.3.【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:模拟程序的运行,可得x=1,S=0S=0.5不满足条件x≥4,执行循环体,x=2,S=1.5不满足条件x≥4,执行循环体,x=3,S=3不满足条件x≥4,执行循环体,x=4,S=5此时,满足条件x≥4,退出循环,输出S的值为5.故答案为:5.【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.4.【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案.【解答】解:由7+6x﹣x2≥0,得x2﹣6x﹣7≤0,解得:﹣1≤x≤7.∴函数y=的定义域是[﹣1,7].故答案为:[﹣1,7].【点评】本题考查函数的定义域及其求法,考查一元二次不等式的解法,是基础题.5.【分析】先求出一组数据6,7,8,8,9,10的平均数,由此能求出该组数据的方差.【解答】解:一组数据6,7,8,8,9,10的平均数为:=(6+7+8+8+9+10)=8,∴该组数据的方差为:S2=[(6﹣8)2+(7﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2]=.故答案为:.【点评】本题考查一组数据的方差的求法,考查平均数、方差等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.6.【分析】基本事件总数n==10,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m=+=7,由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率.【解答】解:从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,基本事件总数n==10,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数:m=+=7,∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p=.故答案为:.【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.7.【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程,求得b,则双曲线的渐近线方程可求.【解答】解:∵双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),∴,解得b2=2,即b=.又a=1,∴该双曲线的渐近线方程是y=.故答案为:y=.【点评】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的简单性质,是基础题.8.【分析】设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由已知列关于首项与公差的方程组,求解首项与公差,再由等差数列的前n项和求得S8的值.【解答】解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则,解得.∴=6×(﹣5)+15×2=16.故答案为:16.【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的前n项和,是基础题.9.【分析】推导出=AB×BC×DD1=120,三棱锥E﹣BCD的体积:V E﹣BCD===×AB×BC×DD1,由此能求出结果.【解答】解:∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,∴=AB×BC×DD1=120,∴三棱锥E﹣BCD的体积:V E﹣BCD===×AB×BC×DD1=10.故答案为:10.【点评】本题考查三棱锥的体积的求法,考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.10.【分析】利用导数求平行于x+y=0的直线与曲线y=x+(x>0)的切点,再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y=0的距离的最小值.【解答】解:由y=x+(x>0),得y′=1﹣,设斜率为﹣1的直线与曲线y=x+(x>0)切于(x0,),由,解得(x0>0).∴曲线y=x+(x>0)上,点P()到直线x+y=0的距离最小,最小值为.故答案为:4.【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查点到直线距离公式的应用,是中档题.11.【分析】设A(x0,lnx0),利用导数求得曲线在A处的切线方程,代入已知点的坐标求解x0即可.【解答】解:设A(x0,lnx0),由y=lnx,得y′=,∴,则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0=,∵切线经过点(﹣e,﹣1),∴,即,则x0=e.∴A点坐标为(e,1).故答案为:(e,1).【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,区分过点处与在点处的不同,是中档题.12.【分析】首先算出=,然后用、表示出、,结合•=6•得=,进一步可得结果.【解答】解:设=λ=(),=+=+μ=+μ()=(1﹣μ)+μ=+μ∴,∴,∴==(),==﹣+,6•=6×()×(﹣+)=(++)=++,∵•=++,∴=,∴=3,∴=.故答案为:【点评】本题考查向量的数量积的应用,考查向量的表示以及计算,考查计算能力.13.【分析】由已知求得tanα,分类利用万能公式求得sin2α,cos2α的值,展开两角和的正弦求sin(2α+)的值.【解答】解:由=﹣,得,∴,解得tanα=2或tan.当tanα=2时,sin2α=,cos2α=,∴sin(2α+)==;当tanα=时,sin2α==,cos2α=,∴sin(2α+)==.综上,sin(2α+)的值是.故答案为:.【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值,考查两角和的三角函数及万能公式的应用,是基础题.14.【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象,数形结合得答案.【解答】解:作出函数f(x)与g(x)的图象如图,由图可知,函数f(x)与g(x)=﹣(1<x≤2,3<x≤4,5<x≤6,7<x≤8)仅有2个实数根;要使关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则f(x)=,x∈(0,2]与g(x)=k(x+2),x∈(0,1]的图象有2个不同交点,由(1,0)到直线kx﹣y+2k=0的距离为1,得,解得k=(k>0),∵两点(﹣2,0),(1,1)连线的斜率k=,∴≤k<.即k的取值范围为[,).故答案为:[,).【点评】本题考查函数零点的判定,考查分段函数的应用,体现了数形结合的解题思想方法,是中档题.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【分析】(1)由余弦定理得:cos B===,由此能求出c的值.(2)由=,利用正弦定理得2sin B=cos B,再由sin2B+cos2B=1,能求出sin B =,cos B=,由此利用诱导公式能求出sin(B+)的值.【解答】解:(1)∵在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=3c,b=,cos B=,∴由余弦定理得:cos B===,解得c=.(2)∵=,∴由正弦定理得:,∴2sin B=cos B,∵sin2B+cos2B=1,∴sin B=,cos B=,∴sin(B+)=cos B=.【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法,考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于中档题.16.【分析】(1)推导出DE∥AB,AB∥A1B1,从而DE∥A1B1,由此能证明A1B1∥平面DEC1.(2)推导出BE⊥AA1,BE⊥AC,从而BE⊥平面ACC1A1,由此能证明BE⊥C1E.【解答】证明:(1)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,∴DE∥AB,AB∥A1B1,∴DE∥A1B1,∵DE⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,∴A1B1∥平面DEC1.解:(2)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E是AC的中点,AB=BC.∴BE⊥AA1,BE⊥AC,又AA1∩AC=A,∴BE⊥平面ACC1A1,∵C1E⊂平面ACC1A1,∴BE⊥C1E.【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.17.【分析】(1)由题意得到F1D∥BF2,然后求AD,再由AD=DF1=求得a,则椭圆方程可求;(2)求出D的坐标,得到=,写出BF2的方程,与椭圆方程联立即可求得点E的坐标.【解答】解:(1)如图,∵F2A=F2B,∴∠F2AB=∠F2BA,∵F2A=2a=F2D+DA=F2D+F1D,∴AD=F1D,则∠DAF1=∠DF1A,∴∠DF1A=∠F2BA,则F1D∥BF2,∵c=1,∴b2=a2﹣1,则椭圆方程为,取x=1,得,则AD=2a﹣=.又DF1=,∴,解得a=2(a>0).∴椭圆C的标准方程为;(2)由(1)知,D(1,),F1(﹣1,0),∴=,则BF2:y=,联立,得21x2﹣18x﹣39=0.解得x1=﹣1或(舍).∴.即点E的坐标为(﹣1,﹣).【点评】本题考查直线与圆,圆与椭圆位置关系的应用,考查计算能力,证明DF1∥BF2是解答该题的关键,是中档题.18.【分析】(1)设BD与圆O交于M,连接AM,以C为坐标原点,l为x轴,建立直角坐标系,则A(0,﹣6),B(﹣8,﹣12),D(﹣8,0)设点P(x1,0),PB⊥AB,运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,求得P的坐标,可得所求值;(2)当QA⊥AB时,QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径,设此时Q(x2,0),运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,求得Q的坐标,即可得到结论;(3)设P(a,0),Q(b,0),则a≤﹣17,b≥﹣,结合条件,可得b的最小值,由两点的距离公式,计算可得PQ.【解答】解:设BD与圆O交于M,连接AM,AB为圆O的直径,可得AM⊥BM,即有DM=AC=6,BM=6,AM=8,以C为坐标原点,l为x轴,建立直角坐标系,则A(0,﹣6),B(﹣8,﹣12),D(﹣8,0)(1)设点P(x1,0),PB⊥AB,则k BP•k AB=﹣1,即•=﹣1,解得x1=﹣17,所以P(﹣17,0),PB==15;(2)当QA⊥AB时,QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径,设此时Q(x2,0),则k QA•k AB=﹣1,即•=﹣1,解得x2=﹣,Q(﹣,0),由﹣17<﹣8<﹣,在此范围内,不能满足PB,QA上所有点到O的距离不小于圆的半径,所以P,Q中不能有点选在D点;(3)设P(a,0),Q(b,0),则a≤﹣17,b≥﹣,PB2=(a+8)2+144≥225,QA2=b2+36≥225,则b≥3,当d最小时,PQ=17+3.【点评】本题考查直线和圆的位置关系,考查直线的斜率和两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,以及两点的距离公式,分析问题和解决问题的能力,考查运算能力,属于中档题.19.【分析】(1)由a=b=c,可得f(x)=(x﹣a)3,根据f(4)=8,可得(4﹣a)3=8,解得a.(2)a≠b,b=c,设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2.令f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2=0,解得x=a,或x=b.f′(x)=(x﹣b)(3x﹣b﹣2a).令f′(x)=0,解得x=b,或x=.根据f(x)和f′(x)的零点均在集合A={﹣3,1,3}中,通过分类讨论可得:只有a=3,b=﹣3,可得==1∈A,可得:f(x)=(x﹣3)(x+3)2.利用导数研究其单调性可得x=1时,函数f(x)取得极小值.(3)a=0,0<b≤1,c=1,f(x)=x(x﹣b)(x﹣1).f′(x)=3x2﹣(2b+2)x+b.△>0.令f′(x)=3x2﹣(2b+2)x+b=0.解得:x1=∈,x2=.x1<x2,可得x=x1时,f(x)取得极大值为M,通过计算化简即可证明结论.【解答】解:(1)∵a=b=c,∴f(x)=(x﹣a)3,∵f(4)=8,∴(4﹣a)3=8,∴4﹣a=2,解得a=2.(2)a≠b,b=c,设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2.令f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2=0,解得x=a,或x=b.f′(x)=(x﹣b)2+2(x﹣a)(x﹣b)=(x﹣b)(3x﹣b﹣2a).令f′(x)=0,解得x=b,或x=.∵f(x)和f′(x)的零点均在集合A={﹣3,1,3}中,若:a=﹣3,b=1,则==﹣∉A,舍去.a=1,b=﹣3,则==﹣∉A,舍去.a=﹣3,b=3,则==﹣1∉A,舍去..a=3,b=1,则==∉A,舍去.a=1,b=3,则=∉A,舍去.a=3,b=﹣3,则==1∈A,.因此a=3,b=﹣3,=1∈A,可得:f(x)=(x﹣3)(x+3)2.f′(x)=3[x﹣(﹣3)](x﹣1).可得x=1时,函数f(x)取得极小值,f(1)=﹣2×42=﹣32.(3)证明:a=0,0<b≤1,c=1,f(x)=x(x﹣b)(x﹣1).f′(x)=(x﹣b)(x﹣1)+x(x﹣1)+x(x﹣b)=3x2﹣(2b+2)x+b.△=4(b+1)2﹣12b=4b2﹣4b+4=4+3≥3.令f′(x)=3x2﹣(2b+2)x+b=0.解得:x1=∈,x2=.x1<x2,x1+x2=,x1x2=,可得x=x1时,f(x)取得极大值为M,∵f′(x1)=﹣(2b+2)x1+b=0,可得:=[(2b+2)x1﹣b],M=f(x1)=x1(x1﹣b)(x1﹣1)=(x1﹣b)(﹣x1)=(x1﹣b)(﹣x1)=[(2b﹣1)﹣2b2x1+b2] ==,∵﹣2b2+2b﹣2=﹣2﹣<0,∴M在x1∈(0,]上单调递减,∴M≤=≤.∴M≤.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.20.【分析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,然后根据a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0列方程求解,在根据新定义判断即可;(2)求出b2,b3,b4猜想b n,然后用数学归纳法证明;(3)设{c n}的公比为q,将问题转化为,然后构造函数f(x)=,g(x)=,分别求解其最大值和最小值,最后解不等式,即可.【解答】解:(1)设等比数列{a n}的公比为q,则由a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,得∴,∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”;(2)①∵b1=1,=﹣,∴当n=1时,,∴b2=2,当n=2时,,∴b3=3,当n=3时,,∴b4=4,猜想b n=n,下面用数学归纳法证明;(i)当n=1时,b1=1,满足b n=n,(ii)假设n=k时,结论成立,即b k=k,则n=k+1时,由,得==k+1,故n=k+1时结论成立,根据(i)(ii)可知,b n=n对任意的n∈N*都成立.故数列{b n}的通项公式为b n=n;②设{c n}的公比为q,存在“M﹣数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立,当k=1时,q≥1,当k=2时,,当k≥3,两边取对数可得,对k≤m有解,即,令f(x)=,则,当x≥3时,f'(x)<0,此时f(x)递增,∴当k≥3时,,令g(x)=,则,令,则,当x≥3时,ϕ'(x)<0,即g'(x)<0,∴g(x)在[3,+∞)上单调递减,即k≥3时,,则,下面求解不等式,化简,得3lnm﹣(m﹣1)ln3≤0,令h(m)=3lnm﹣(m﹣1)ln3,则h'(m)=﹣ln3,由k≥3得m≥3,h'(m)<0,∴h(m)在[3,+∞)上单调递减,又由于h(5)=3ln5﹣4ln3=ln125﹣ln81>0,h(6)=3ln6﹣5ln3=ln216﹣ln243<0,∴存在m0∈(5,6)使得h(m0)=0,∴m的最大值为5,此时q∈,.【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立,考查了数学归纳法和构造法,是数列、函数和不等式的综合性问题,属难题.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)21.【分析】(1)根据矩阵A直接求解A2即可;(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)==λ2﹣5λ+4,解方程f(λ)=0即可.【解答】解:(1)∵A=∴A2==(2)矩阵A的特征多项式为:f(λ)==λ2﹣5λ+4,令f(λ)=0,则由方程λ2﹣5λ+4=0,得λ=1或λ=4,∴矩阵A的特征值为1或4.【点评】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识,考查运算与求解能力,属基础题.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)22.【分析】(1)设极点为O,则由余弦定理可得,解出AB;(2)根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离.【解答】解:(1)设极点为O,则在△OAB中,由余弦定理,得AB2=OA2+OB2﹣2OA,∴AB==;(2)由直线1的方程ρsin(θ+)=3,知直线l过(3,),倾斜角为,又B(,),∴点B到直线l的距离为.【点评】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离,属基础题.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)23.【分析】对|x|+|2x﹣1|去绝对值,然后分别解不等式即可.【解答】解:|x|+|2x﹣1|=,∵|x|+|2x﹣1|>2,∴或或,∴x>1或x∈∅或x<﹣,∴不等式的解集为{x|x<﹣或x>1}.【点评】本题考查了绝对值不等式的解法,属基础题.【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.【分析】(1)运用二项式定理,分别求得a2,a3,a4,结合组合数公式,解方程可得n 的值;(2)方法一、运用二项式定理,结合组合数公式求得a,b,计算可得所求值;方法二、由于a,b∈N*,求得(1﹣)5=a﹣b,再由平方差公式,计算可得所求值.【解答】解:(1)由(1+x)n=C+C x+C x2+…+C x n,n≥4,可得a2=C=,a3=C=,a4=C=,a32=2a2a4,可得()2=2••,解得n=5;(2)方法一、(1+)5=C+C+C()2+C()3+C()4+C()5=a+b,由于a,b∈N*,可得a=C+3C+9C=1+30+45=76,b=C+3C+9C=44,可得a2﹣3b2=762﹣3×442=﹣32;方法二、(1+)5=C+C+C()2+C()3+C()4+C()5=a+b,(1﹣)5=C+C(﹣)+C(﹣)2+C(﹣)3+C(﹣)4+C(﹣)5=C﹣C+C()2﹣C()3+C()4﹣C()5,由于a,b∈N*,可得(1﹣)5=a﹣b,可得a2﹣3b2=(1+)5•(1﹣)5=(1﹣3)5=﹣32.【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用,考查运算能力和分析问题能力,属于中档题.25.【分析】(1)当n=1时,X的所有可能取值为1,,2,,由古典概率的公式,结合组合数可得所求值;(2)设A(a,b)和B(c,d)是从M n中取出的两个点,因为P(X≤n)=1﹣P(X>n),所以只需考虑X>n的情况,分别讨论b,d的取值,结合古典概率的计算公式和对立事件的概率,即可得到所求值.【解答】解:(1)当n=1时,X的所有可能取值为1,,2,,X的概率分布为P(X=1)==;P(X=)==;P(X=2)==;P(X=)==;(2)设A(a,b)和B(c,d)是从M n中取出的两个点,因为P(X≤n)=1﹣P(X>n),所以只需考虑X>n的情况,①若b=d,则AB≤n,不存在X>n的取法;②若b=0,d=1,则AB=≤,所以X>n当且仅当AB=,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;③若b=0,d=2,则AB=≤,所以X>n当且仅当AB=,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;④若b=1,d=2,则AB=≤,所以X>n当且仅当AB=,此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;综上可得当X>n,X的所有值是或,且P(X=)=,P(X=)=,可得P(X≤n)=1﹣P(X=)﹣P(X=)=1﹣.【点评】本题考查随机变量的概率的分布,以及古典概率公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及化简运算能力,属于难题.。

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