高等数学测试4

高等数学（下册）考试试卷（四）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、由方程2222=+++z y x xyz 所确定的隐函数),(y x z z =在点（1，0，-1）处的全微分=dz 。

2、椭球面632222=++z y x 在点（1，1，1 ）处的切平面方程是 。

3、设D 是由曲线2,2+==x y x y 所围成，则二重积分⎰⎰=+=Ddxdy x I )1(2。

4、设Ω是由4,0,422===+z z y x 所围成的立体域，则三重积分⎰⎰⎰Ω+=dv y x I )(22= 。

5、设∑是曲面22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则曲面积分⎰⎰∑=+=ds y x I )(22 。

6、⎰⎩⎨⎧=++=++=022222z y x a z y x ds x 。

7、已知曲线)(x y y =上点M(0,4)处的切线垂直于直线052=+-y x ，且)(x y 满足微分方程02=+'+''y y y ，则此曲线的方程是 。

8、设)(x f 是周期T=π2的函数，则)(x f 的Fourier 系数为 。

二、选择题（每小题2分，共计16分）1、函数xy xyz +=arcsin的定义域是（ ） （A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ； （B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ； （C ）{}0,0|),(≠≥≥x y x y x {}0,0|),(≠≤≤x y x y x ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x 。

2、已知曲面224y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是（ ） （A ）（1，-1，2）； （B ）（-1，1，2）；（C ）（1，1，2）； （D ）（-1，-1，2）。

3、若积分域D 是由曲线2x y =及22x y -=所围成，则⎰⎰Dd y x f σ),(=（ ）（A ）⎰⎰--22211),(x x dy y x f dx ； （B ）⎰⎰--22211),(x x dy y x f dx ；（C ）⎰⎰-y ydx y x f dy 210),(； （D ）⎰⎰--112),(22dx y x f dy x x 。

4、设;0,:22221≥≤++Ωz R z y x 0,0,0,:22222≥≥≥≤++Ωz y x R z y x ， 则有（ ） （A ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xdv xdv ；（B ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124ydv ydv ；（C ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xyzdv xyzdv ； （D ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124zdv zdv 。

5、设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成的立体的表面，则曲面积分⎰⎰∑+ds y x)(22=（ ）（A ）π221+； （B ）2π； （C ）π22； （D ）0 。

６、设∑是球面2222a z y x =++表面外侧，则曲面积分⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333＝（ ）（A ）3512a π； （B ）5512a π； （C ）554a π； （D ）5512a π-。

７、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率xy x xx k ln ln +-=，则此曲线方程为（ ）（A ）)ln(ln x x e x y +=； （B ）x x exy ln +=； （C ）)ln(ln x x ex y +=； （D ）)ln(ln x exy +=。

８、幂级数∑∞=+1)1(n nxn 的收敛区间为（ ）（A ）（-1，1）； （B ）),(+∞-∞； （C ）（-1，1）； （D ）[-1，1]。

三、（１０分）已知函数)()(xy xg y xyf u +=，其中g f ,具有二阶连续导数，求y x uy xu x ∂∂∂+∂∂222的值。

四、（１０分）证明：曲面)0(3>=c c xyz 上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值。

五、（１４分）求抛物面224y x z ++=的切平面π，使得π与该抛物面间并介于柱面1)1(22=+-y x 内部的部分的体积为最小。

六、（１０分）计算⎰-++=Lx x dy x y e dx y y e I )cos ()sin (，其中Ｌ为24x y --=由Ａ（２，０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段。

七、（８分）求解微分方程212y yy '-+''=0 。

八、（８分）求幂级数∑∞=1n nnx 的和函数)(x S 。

高等数学（下册）考试试卷（四）参考答案一、1、dy dx 2-；2、632=++z y x ； 3、20153； 4、π32； 5、π22； 6、332a π； 7、xe x y -+=)2(2；8、⎰-=πππdx x f a 22)(10； ,,2,1cos )(1n k kxdxx f a k ==⎰-πππ,,2,1s i n )(1n k k x d xx f b k ==⎰-πππ二、1、C ； 2、C ； 3、A ； 4、D ； 5、A ； 6、B ； 7、A ； 8、C 三、)()()(xyg x y x y g y x f x u '-+'=∂∂)()()(12222x yg x y x y g x y y x f y x u '+'-''=∂∂∴)(32x y g x y ''+=)(1y xf y '')(32x yg xy ''+ )(1)(1)(22x yg x x y g x y x f yx y x u '-'+''-=∂∂∂)(2x y g x y ''-)(2y xf yx ''-=)(2x y g x y ''- 故0222=∂∂∂+∂∂y x uy xu x四、设),,(000z y x M 是曲面03=-=c xyz F 上的任意点，则3000c z y x =，在该='''=Mz y x F F F ),,(,(00z y ,00x z )00y x ,(03x c =,03y c )03z c )1,1,1(0003z y x c =于是曲面在M 点处的切平面方程为：)(100x x x -+)(100y y y -+)(100z z z -=0即03x x +03y y +03z z=1 因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为：3000000292933361c z y x z y x V ==⋅⋅=这是一个定值，故命题得证。

五、由于介于抛物面224y x z ++=，柱面1)1(22=+-y x 及平面0=z 之间的立体体积为定值，所以只要介于切平面π，柱面1)1(22=+-y x 及平面0=z 之间的立体体积V 为最大即可。

设π与224y x z ++=切于点),,(000z y x P ，则π的法向量为)1,2,2(00-=y x ，且202004y x z ++=，切平面方程为：0)()(2)(200000=---+-z z y y y x x x 即22000422y x y y x x z --++= 于是⎰⎰⎰-≤+---++=22202001)1()4sin 2cos 222ππρθρθρρσd y x yx zd V y x （极坐标)42(20200y x x --+=π则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂=-=∂∂000020)22(yy V x x Vππ，得驻点（1，0）且.5,50)0,1(==z Vπ由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（1，0，5）时，题中所求体积为最小。

此时的切平面π为：32+=x z 六、联接，并设由L 及所围成的区域为D ，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------=-+=+Dx x BABAL BABA Ldxdy y e y e Green I 0)1cos 1cos (公式 ππ422122=⋅⋅= 七、令)(y z y ='，则dydz zy =''，于是原方程可化为：0122=-+z y dy dz z即012=-+ydy dz ，其通解为21121)1(-=⎰=--y c e c z dy y21)1(-=∴y c dx dy 即dx c y dy 12)1(=- 故原方程通解为：2111c x c y +-=八、易求得该幂级数的收敛区间为).1,1(-)1,1(-∈∀x ，令∑∞==1)(n n n x x S ，则)()(1'='∑∞=n nn x x S x x n n -==∑∞=-1111 注意到0)0(=S ，=∴)(x S ⎰⎰--=-='x xx xdxdx x S 00)1ln(1)(。