【2019年整理】复变函数积分计算公式

l f (z)dz 0
证明：
l f (z)dz l [u(x, y)dx v(x, y)dy]
i l [v(x, y)dx u(x, y)dy]
应用格林公式：
l
Pdx
Qdy
S
( Q x
P )dxdy y
故将回路的积分，转化成面积分：
l f (z)dz
S
(
v x
u y
)dxdy
i
S
(
u x
l f (z)dz l[u(x, y)dx v(x, y)dy] il [v(x, y)dx u(x, y)dy]
复变函数积分计算公式
l f (z)dz l[u(x, y)dx v(x, y)dy] il [v(x, y)dx u(x, y)dy]
该公式将复变函数的路积分转 化为两个实变函数的线积分.
0
(1)
I i0 d 2 i (n 1) (2)
综上所述:
(1)n=-1且不包围a点时,则 l
dz
z
0
也可以写成 1
2 i
l
dz
z
0
(2)n=-1且包围a点时,则 l
dz
z
2 i
即1
2 i
l
dz
z
1
(3)n -1,则 (z )ndz 0 l
பைடு நூலகம்
也可以写成 1
2 i
l
dz
z
第二章 复变函数的积分
设在复数平面的某分段光滑曲线l上 定义了连续函数f (z)在l上取一系列 的分点z0 (即起点A)，z1z2 zn (即终 点B),把l分成 n 个小段,在每个小段
zK 1, zK 上任取一点 K ,作和:
n
f ( K ) zK zK 1
K 1
y
B zn
K zK
f (z)dz f (z)dz f (z)dz
l1l 2
l1
l2
例：计算以下积分：
（1）I1
Re zdz,
L1
（2）I2
Re zdz
L2
L2
1+i
o
L1
I1
[u(x, y)dx v(x, y)dy]
l
il [v(x, y)dx u(x, y)dy]
1
1
1
0 xdx i01dy 2 i
一些常用的性质： (1)常数因子可以移到积分号外；
l cf (z)dz cl f (z)dz
(2)函数的和的积分等于各个函数积分的和；
[ l
f1(z)
f2 (z)]dz
l f1(z)dz
l f2 (z)dz
(3)反转积分路径，积分变号；
B
A
A f (z)dz B f (z)dz
(4)全路径上的积分等于各段上积分之和；
DC
复通区域内虽然包含奇点，但是 已经用闭合的曲线将这些奇点挖 去，所以，原来的复通区域已经 变成了单通区域，那么按单通区 域的柯西定理有：
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
l
AB
l1
B/ A/
f (z)dz f (z)dz f (z)dz 0
v y
)dxdy
按照C R条件，u u ，v u ， x y x y
所以积分项为零。
（2）闭复通区域情形 所谓复通区域，即函数在其中某些 点处并不解析，这些点称为奇点，为 了将这些点排除在外，常做一些适当 的闭合曲线将这些奇点挖去，形成带 “孔”的区域，即复通区域。
l
AB
D
A
C
B
l2
l1
I2
[u(x, y)dx v(x, y)dy]
l
il [v(x, y)dx u(x, y)dy]
1 xdx 1
0
2
可见,复变函数的积分值 不仅和积分的起点与终点有关 ，而且与积分路径有关，可以 用柯西定理来描述积分值与路 径的关系。
柯西定理
（1）闭单通区域上的解析函数沿境界线的积 分值为零。
1 z1
A z0
0
x
于n 而且每一小段都无限缩短 时,如果这个和的极限存在,而且其
值与各个
的选取无关,则这个和
K
的极限称为函数f (z)沿曲线l从A到B
的路积分,记作：l f (z)dz,即:
n
l
f
( z )dz
lim n K 1
f
( K )
zK zK 1
把zK和f (z)都用实部和虚部表示出来： zK xK iyK , f (z) u(x, y) iv(x, y) 则：
f ( ) d
2 i l ( z)n1
即解析函数可以求导任意多次。
根据柯西定理的推论：
f (n) n!
2 i
l
(
f ( )
z)n1
d
，可有
( x )
e 1
n
t n
n!
2 i
l
1 ( )n1
d
t0
区域内仍解析，只有当n 0时才成为奇点，
现做一圆将点包围，圆心为，半径为C， 则在圆周上，z- =Rei
n
I l (z ) dz
Rnein d ( Rei ) C
2 Rnein Reiid 0
iRn1 e d 2 i(n1) 0
I
iRn1
2
2 ei(n1) d 0 (n 1)
CD
l2
D/C/
其中，沿割线两条边上的积分值相互抵消，故：
f (z)dz f (z)dz f (z)dz 0
l
l1
l2
2-3 不定积分
由柯西定理可知：若函数f (z)在单通区域B
上解析，则沿B上任一路径l的积分l f (z)dz
值只跟起点与终点有关,而与路径无关,因
此当起点z0固定时,这个不定积分就定义了
0
总结起来：
1
2 i
l
dz
z
0 1
(l不包围 ) (l包围 )
1 (z )ndz 0 （n -1）
2 i l
2-4 柯西公式
-
若（f z）在闭单通区域 B 上解析，
-
-
l为B的境界线，为B内任一点，
则有柯西公式：
f
(z)=
1
2i
l
f (z)dz
z
柯西定理的重要推论：
f (n) n!
单值函数,记作：F (z)
Z
f ( )d
Z0
若F (z)在B上解析,且F / (z) f (z),则F (z)
是f (z)的一个原函数。
Z2 f ( )d F (z2 ) F (z1)
例：计算下式积分： I (z- )ndz l
分析：若l不包含点，则积分值为零，若 包含点，则当n 0时，被积函数在l所围
（2）闭复通区域上的解析函数沿所有内外境 界线正方向的积分和为零。
（3）闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆 时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时 针方向积分之和。
（1）单通区域情况 所谓单通区域，即在其中作任何简 单的闭和围线，围线内的点都属于 该区域内的点。如果f（z）在单通 区域上解析，则沿该区域内任一光 滑闭合曲线积分有：