同济六版高等数学第三章第二节 2PPT课件

x 0x 0
例 例9 9 求 l ( x i t s x ) m a e ,n c
x 2
解 解 解 解 解 x l x l x l x l i i ( i ( ( i (m m m m s x s x s x s x t t t t e e e e a x a x a x a ) x ) ) ) c c c c x l x l x n l n x n l n i i i 1 1 i 1 1 c c c c m s m s m s m s x x x x x x x o o x o i i o i i x l x l n x l n n x l n s s s s i i i i s s s c c s c m c m m m x x x x x x i x i i x i o o o o 0 0 n n 0 n 0 n s s s s
例 例4 4求 x l i 2 m 1
x
解 解 x l i2 m a 1rx c x l t i a m 1 1 1 x 2 n x l i1 m x 2 x 2 1
x
x 2
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v“无穷比无穷”型未定式的定值法 型
例 例5 5 求 x l l x n x i ( n > 0 n ) m
xa,则 f(x),F(x)在以 x, a 为端点的区间上满足柯
西定理条件, 故
f(x)f(x)f(a) f ( ) ( 在 x , a 之间) F(x) F(x)F(a) F ( )
lim f (x) lim f () 3 ) lim f (x)
xa F(x) xa F()
xa F (x)
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3) lim f (x) 时, 结论仍然成立. ( 证明略 ) xa F(x)
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v“零比零”型未定式的定值法 0 型
0
例 例1 1． 求 l s a i ( b 0 ) i m x n x 0 s b ix n
解 解 l x 0 s s i b a l m x i i 0 ( ( i x x n n b a ) ) s s m l x 0 a b x x c c i i i b a m n n b a o o x x s s
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v“零比零”型未定式的定值法
例 例3 3 求 l x 0 x x s 3 i x m in
解 解 lx i s x m l i 1 i c n x m l o s i x 1 m i s n x 0 x 3x 0 3 x 2 x 0 6 x 6
ax r ctan
微分中值定理
函数的性态 导数的性态
本节研究:
函数之商的极限 lim
f (x) 0
(
或
型)
g(x) 0
转化 洛必达法则
导数之商的极限 lim f ( x) g ( x )
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v定理(洛必达法则) 如果函数f(x)和g(x)满足如下条件 (1) f(x)和g(x)都是当xa时的无穷小(或无穷大) (2) f(x)和g(x)在点a的某去心邻域内都可导且g(x)0 ( 3 ) l x a g f ( ( x x ) ) 存 i 在 ( 或 为 无 m 穷 大 )
例 例2 2． 求 l x 1 x 3 x 3 x 3 2 i x x 2 1 m 解 解 l x 1 x 3 x 3 i x 3 2 x x 2 1 m l x 1 ( x ( 3 x 3 i x 3 2 x x 2 ) 1 m ) l 3 x 2 i 3 l m 6 x i 3 m x 1 3 x 2 2 x 1 x 1 6 x 2 2
x l n n e ! x 0 i m
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v其它类型未定式的定值法 未定式0、、00、1、0都可以转化为 “零
比零” 型或 “无穷比无穷” 型未定式
解决Fra Baidu bibliotek法:
0
00
通分
0
取倒数
取对数
0
转化
转化
转化
1
0
0型
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例 例7 7 求 l x n l i x ( n > n m 0 ) 0,
x 0
1
解 解 x l 0 i x n l m x n x l 0 i l x x n m n x l 0 i n m x n 1 x x l 0 i n x n m 0
例 例8 8 求 x l 0 x x i m 0 0 ,
解 解lx i x l m e x i l x n e m 0 1 ( 根 据 例 7 )
1lim f(x)lim F(x) x aF(x) x af(x)
从而
limf(x)limf(x) xaF(x) xaF(x)
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2) lim f (x) 0 的情形. 取常数 k 0, xa F(x) lim f (x)k limf(x)kF(x) xa F(x) xa F(x) limf(x)kF(x) k0,可用 1) 中结论 xa F(x) xl im af(x)F(kxF )(x)xl imaFf((xx))k lim f(x)lim f(x) x aF(x) x aF(x)
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证:
1)
lim f (x) 0的情形
xa F(x)
1
lim f ( x) lim F ( x ) x a F ( x) xa 1
f (x)
0型
0
1 F2(x)
F(x)
lim
xa
f
1 2(x)
f
(x)
xl im aFf((xx))2Ff((xx)) xl im aFf((xx))2xl im aFf
1
解 解x l i l x n x m n x l i n x n m 1 x x l i n 1 n m 0 x
例 例6 6 求 x l e x n x i ( n 为 正 m 整 数 > 0 )
解 解 x l e x n i x x l m n i e n x 1 x m l x n ( i n 2 1 e ) x x n m 2
那 么 l x a g f ( ( x x ) ) i l x a g f ( ( m x x ) ) i m
说明： 把定理中的“ xa ”换成“ x ” 把条件(2)换成
“当|x|>N时f(x)和g(x)都可导且g(x)0” 结论仍然成立
定理证明
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证: 0
0
无妨假设 f(a )F (a ) 0 ,在指出的邻域内任取