高中数学-平面向量专题.doc
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第一部分:平面向量的概念及线性运算
一. 基础知识 自主学习
1.向量的有关概念
名称
定义
既有
又有
的量;向量的大小叫做向量
向量
的(
)
或称 零向量
长度为 的向量;其方向是任意的
长度等于
的
单位向量
向量
平行向量 方向
或 的非零向量
共线向量
的非零向量又叫做共线向量
相等向量 长度 且方向 的向量
相反向量
长度 且方向 的向量
2. 向量的线性运算
法则 ( 或几何
向量运算
定义
意义 )
加法
求两个向量和的运算
备注
平面向量是自由向量
记作 0
a
非零向量 a 的单位向量为± |a |
0 与任一向量 或共线
两向量只有相等或不等, 不能比
较大小
0 的相反向量为 0
运算律
(1) 交换律:
a +
b = b +a .
(2) 结合律:
( a + b ) +c = a + ( b + c ) .
求 a 与 b 的相反向量- b 减法
的和的运算叫做 a 与 b
a -
b = a +( - b )
的差
法则
(1)| λ a
λ
||
a
λ μa
) = λμ a
;
| = |
|.
(
求实数 λ 与向量 a 的积
λa
a
a
λa
数乘
(2) 当 λ >0 时,
的方向与
的方
(
λ +
) = + ;
的运算
μ μa
向
;
λ( a +b ) = λa + λb .
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当 λ<0 时, λ a 的方向与 a 的方向 ;
当 λ= 0 时, λa = 0.
3. 共线向量定理
向量 ( a ≠0) 与 b 共线的
条件是存在唯一一个实数
λ ,使得 =.
a
b λ a
二. 难点正本
疑点清源
1.向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素.
用有向线段表示向量时, 与有向线段起点的位置没有关系. 同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,
即向量不能比较大小.
2.向量平行与直线平行的区别
向量平行包括向量共线
( 或重合 ) 的情况,而直线平行不包括共线的情况. 因而要利用向量平行证明向量所在直线
平行,必须说明这两条直线不重合.
三.基础自测
→ → → →
1.化简 OP - QP + MS - MQ 的结果等于 ________ .
2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量;
④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是
_______.
→ → → → →
3.在△ ABC 中, AB = c ,AC = b . 若点 D 满足 BD = 2DC ,则 AD = ________( 用 b 、c 表示 ) .
4.如图,向量 a - b 等于 (
)
A .- 4e 1- 2e 2
B .- 2e 1- 4e 2
C . e 1- 3e 2
D
.3e 1- e 2
→ →
→
5.已知向量
a , ,且
=+2,=-5
a +6 , = 7 - 2 ,则一定共线的三点是
(
)
b
AB a b BC
b CD a b
A .A 、
B 、D
B .A 、B 、
C C .B 、C 、D
D
.A 、C 、 D
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四.题型分类
深度剖析
题型一
平面向量的有关概念
例 1
给出下列命题:
→ →
①若 | a | = | b | ,则 a = b ;②若 A , B , C , D 是不共线的四点,则 AB =DC 是四边形 A BCD 为平行四边形的充要条件;③
若 = ,= ,则 a = ;④ = b 的充要条件是 | a | = | | 且 ∥ ;⑤若 a ∥ , ∥ ,则 a ∥ . 其中正确的序号是 ________.
a b b c
c a b a b b b c
c
变式训练 1
判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由.
(1) 若向量 a 与 b 同向,且 | a | = | b | ,则 a>b ;
(2) 若 | a | =| b | ,则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反;
(3) 若 | a | =| b | ,且 a 与 b 方向相同,则
a =
b ;
(4) 由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5) 若向量 a 与向量 b 平行,则向量 a 与 b 的方向相同或相反;
→
→
(6) 若向量 AB 与向量 CD 是共线向量,则 A , B , C ,D 四点在一条直线上; (7) 起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量;
(8) 任一向量与它的相反向量不相等
题型二 平面向量的线性运算
→
→
→
1→→1→
→ → → 例 2 如图,以向量 OA =a , OB = b 为边作 ? OADB , BM = 3BC , CN =3CD ,用 a 、b 表示 OM 、 ON 、 MN .
→
2→
→ →
变式训练 2 △ABC 中, AD = 3AB , DE ∥ BC 交 AC 于 E , BC 边上的中线
AM 交 DE 于 N . 设AB = a ,AC = b ,用 a 、
b 表示向
→ → → → → →
量 AE 、BC 、 DE 、DN 、 AM 、 AN .
题型三
平面向量的共线问题