最新三棱锥的几个重要性质,!
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直角三棱锥的几个性质
1 2
3 有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这
4 种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。
5 循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱
6 锥的有趣的相应性质。
7
8 我们已经学习过的直角三角形的性质有： 9 性质1：Rt Δ的垂心就是直角顶点。 10 性质2：Rt Δ的两个锐角互余。
11 性质3：Rt Δ两直角边的平方和等于斜边的平方。
12 性质4：Rt Δ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直13 角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，Rt Δ两条直角边的平方比14 等于它们在斜边上的射影比。
15 性质5：Rt Δ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。 16 性质6：Rt Δ斜边上的中线等于斜边的一半。
17
(所以Rt Δ的外接圆半径R ＝
21c ＝2122b a +)。
18 性质7：Rt Δ的内切圆半径r ＝2
2b a b a ab +++＝
2
1
(a ＋b －c)。 19
20
现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如21 图所示，在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB 、22 PC 两两垂直，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c 。 23 ∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴PA ⊥面PBC ，24 PB ⊥面PCA ，PC ⊥面PAB ， ∴面PAB 、面PBC 、
25 面PCA 两两垂直。作PH ⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于D ，连PD ，则PH 26 ⊥AB ，PH ⊥CD ，面PCD ⊥面ABC ；而PC ⊥面PAB ⇒PC ⊥AB ，所以AB ⊥面PCD ，∴27 AB ⊥PD ，AB ⊥CH 。同理，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 。 28 由AB ⊥面PCD 知CD ⊥AB ，而PD ⊥AB 且∠APB ＝
29 90°，∴∠ABC 、∠CAB 为锐角。同理，∠BCA 也是锐角，从而有： 30 性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。
31 由AB ⊥CH ，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 易知，H 是ΔABC 的垂心，由此可得： 32 性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。
33
在Rt ΔPAB 中，PD ·AB ＝PA ·PB ⇒PD ＝
2
2b a ab +；在Rt ΔPCD 中，CD 2＝PD 2
34 ＋PC 2
＝(22b
a ab
+)2
＋c 2
＝22222222b a a c c b b a +++；在Rt ΔPCD 中，PH ⊥CD ，∴35
PD ·PC ＝CD ·PH ⇒PH 2
＝222CD PC PD ⋅＝2
22222222
22)(
b a a
c c b b a c b a ab
+++⋅+＝2
22222222a
c c b b a c b a ++，36
∴21PH ＝222222222c b a a c c b b a ++＝21a ＋21b ＋2
1
c 。因此有：
37 性质2：②直角三棱锥顶点到底面的距离为h 满足关系式
21h ＝21a ＋21b ＋2
1
c 。 38
因PH ⊥面ABC ， ∴侧棱PC 与底面ABC 所成角为∠PCH ＝α，则有sin 2∠PCH
39 ＝sin 2
α＝2
2CD
PD ＝2
22222222
22)(
b a a
c c b b a b a ab
++++＝22222222a c c b b a b a ++。 同理,侧棱PB 40
与底面ABC 所成角为∠PBH ＝β,sin 2
∠PBH ＝sin 2
β＝2
222222
2a
c c b b a a c ++，侧41 棱PA 与底面ABC 所成角为∠PAH ＝γ，sin
2
∠PBH ＝sin
2
γ＝
42 2
2222222a
c c b b a a c ++，所以sin 2α＋sin 2β＋sin 2
γ＝1。因此， 43
性质3：①直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1。三条44 侧棱与底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。
45 由AB ⊥PD,AB ⊥CD ，∴侧面PAB 与底面ABC 所成角为∠PDC ＝θ,由PC ⊥PD 知46 θ＋α＝90°,∴sin 2α＝sin 2(90°－θ)＝cos 2θ。类似推理，由sin 2α＋47 sin 2β＋sin 2γ＝1。易得：sin 2θ＋sin 2δ＋sin 2ϕ＝1。 另外，tan(P-AB-C)48 ＝tan ∠PDC ＝
PD
PC
＝2
2b a ab c +＝c
2
211b a +，同理，tan(P-BC-A)＝49
a
2211c b + ，tan(P-CA-B)＝b 2
211a c +。所以， 50 性质3：②直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。各角51 的正切值：tan(P-AB-C)＝c
2211b a +，tan(P-BC-A)＝a 2
211c b + ，tan(P-CA-B)52
＝b
2
21
1a c +。 53