中考数学—锐角三角函数的综合压轴题专题复习及详细答案

中考数学—锐角三角函数的综合压轴题专题复习及详细答案

一、锐角三角函数

1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：BC2＝2CD•OE；

（3）若

314

cos,

53

BAD BE

∠==，求OE的长．

【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =35

6

．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；

（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；

（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．

试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：

连接OD，BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，

∴CE=DE=BE=BC，

∴∠C=∠CDE ，

∵OA=OD ，

∴∠A=∠ADO ，

∵∠ABC=90°，

∴∠C+∠A=90°，

∴∠ADO+∠CDE=90°，

∴∠ODE=90°，

∴DE ⊥OD ，又OD 为圆的半径，

∴DE 为⊙O 的切线；

（2）∵E 是BC 的中点，O 点是AB 的中点，

∴OE 是△ABC 的中位线，

∴AC=2OE ，

∵∠C=∠C ，∠ABC=∠BDC ，

∴△ABC ∽△BDC ， ∴，即BC 2=AC•CD ．

∴BC 2=2CD•OE ；

（3）解：∵cos ∠BAD=

， ∴sin ∠BAC=

， 又∵BE=

，E 是BC 的中点，即BC=， ∴AC=．

又∵AC=2OE ，

∴OE=AC=．

考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数

2．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）

已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5

AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．

（1）求证：AP OQ =；

（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13

x x y x x -+=<<；（3）8OP = 【解析】

【分析】

（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；

（2）根据PFC ∆∽PAO ∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5

AOC ∠=

、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去．

【详解】

（1）联结OD ，∵OC OD =，

∴OCD ODC ∠=∠，

∵//CD AB ，

∴OCD COA ∠=∠，

∴POA QDO ∠=∠．

在AOP ∆和ODQ ∆中， {OP DQ

POA QDO OA DO

=∠=∠=，

∴AOP ∆≌ODQ ∆，

∴AP OQ =；

（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=

， ∴4455OH OP x ==，35

PH x =，

∴132

AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ，

∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOP y

CP x S OP x

∆-==， ∴2360300x x y x

-+=，当F 与点D 重合时， ∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯

=， ∴101016x x =-，解得5013

x =， ∴2360300x x y x

-+=50(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4cos 1085

OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=o 时，1010254cos cos 25

OC CQ QCO AOC ====∠∠， ∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-

2571622=-=， ∵501013

OP <<， ∴72OP =

（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ，

∴AOQ DQO ∠=∠，

∵AOP ∆≌ODQ ∆，

∴DQO APO ∠=∠，

∴AOQ APO ∠=∠，

∴90AEO AOP ∠=∠=o ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段OP 的长为8．

3．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm ，AD 是斜边BC 上的高，垂足为D ，BE=1cm ．点M 从点B 出发沿BC 方向以1cm/s 的速度运动，点N 从点E 出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN 为边在BC 的上方作正方形MNGH ．点M 到达点D 时停止运动，点N 到达点C 时停止运动．设运动时间为t （s ）．