高中立体几何证明题精选

1、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.

求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1

AC ⊥面11AB D ．

2、正方体''''ABCD A B C D -中，

求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面.

3、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． D 1O

D

B A

C 1

B 1

A 1

C

A 1

A

B 1

B

C 1

D 1

D

G

E

F

N M

P

C B

A

4、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2

2

EF AC =

， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD

5、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，

3AN NB =

（1）求证：MN AB ⊥；

6、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .

7、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .

8、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．

求证：DE ⊥平面PAE ；

9、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0

60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．

（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；

10、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1

AO ⊥平面MBD ．

D 1 C 1 A 1 B 1

D C

A B

11、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，

作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥．

∵AD BD =，∴DF AB ⊥．

又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B ⋂=， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．

∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E ⋂=，

∴ AH ⊥平面BCD ． 考点：线面垂直的判定

12、证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D

证明：连结AC

BD AC ∵⊥∴ AC 为A 1C 在平面AC 上的射影

∴⊥⊥⎫

⎬⎭

⇒⊥BD A C

A C BC A C BC D

11111同理可证平面

考点：线面垂直的判定，三垂线定理

13、如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ． 证明∵SB=SA=SC ，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取BC 的中点O ，连AO 、SO ，则AO ⊥BC ，SO ⊥BC ，

∴∠AOS 为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a ，又∠BSC=90°，∴BC=2a ，SO=22

a ，

AO 2=AC 2－OC 2=a 2－21a 2=21

a 2，∴SA 2=AO 2+OS 2

，∴∠AOS=90°，从而平面ABC ⊥平面BSC ．

考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）

高三数学立体几何证明题训练

1、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，a AB 2=，E 、F 分别为11C D 、11D A 的中点． （Ⅰ）求证：⊥DE 平面BCE ； （Ⅱ）求证：//AF 平面BDE ．

2、如图，已知棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，且⊥1AA 面ABCD ， 60=∠DAB ，1AA AD =，F 为棱1

AA 的中点，M 为线段1BD 的中点，

（1）求证：//MF 面ABCD ； （2）求证：⊥MF 面11B BDD ；

3、如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AC ⊥CD ，∠DAC=60°，AB=BC=AC ，E 是PD 的中点，F 为ED 的中点。 （I ）求证：

平面PAC ⊥平面PCD ；（II ）求证：CF//平面BAE 。

4、如图，

1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。

（1）求证：//1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积.

A

B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1

F

M

C

1

C

A

B

D

1

A

1

B 1

D E

F 1

D 1

C 1

B 1

A D