§3旋转曲面的面积
旋转曲面的面积
等于各个小区间上的局部量之和，
（2）局部量可用 f (i )xi 近似表示 它们之间只相差一个 xi 的高阶无穷小
不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得
这是建立所求量的积分式的基本方法
1 求微元
写出典型小区间 [ x, x dx] [a, b]
上的局部量 U 的近似值
dU f ( x)dx 这就是局部量的微元
一 定积分的元素法(或微元法)
通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线 运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、 取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象 出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不 均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量 可以通过定积分来求值呢？
为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形 面积转化为定积分的计算过程。
t 3a cos2
t( sin t)dt
2
12
2 a2[sin4 t sin6 t]dt
3 a2.
0
8
20 设弧长为 L. 由对称性,有
L 4 2 ( x)2 ( y)2dt 4 2 3a cos t sin tdt 6a.
0
0
30 设旋转体的表面积为S, 体积为V .
step3: 计算 A
b
f ( x)dx
a
这种方法称为定积分的元素法或微元法。
一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:
1。Q是与某一变量x的变化区间[a,有关的量；
2。Q对于[a,b]区间具有可加性；
微 元
3。局部量Qi f (i )xi .
法
那么，将Q用积分来表达的步骤如下:
计算旋转曲面面积的公式及几种证法
加强曲线、曲面积分概念讲解,标准化曲线、曲面积分的计算程序,沟通有关积分之间关系,以消除学生对斯托克斯等公式的深奥感,有效地突破了曲 线、曲面积分教学中的几个难点.
4.期刊论文 赵清波.李文潮.赵东涛.张辉 曲线积分与曲面积分的一题多解 -数理医药学杂志2008,21(3)
8.期刊论文 纪荣芳.娄本平 对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用 -泰山学院学报2004,26(3)
给出了利用对称性简化曲线积分和曲面积分计算的一些定理和方法,并对定理的结论予以证明.
9.期刊论文 彭一鸣.马新科.宁荣健 第一型曲面积分转为第一型曲线积分的算法 -高等数学研究2010,13(2)
2.期刊论文 刘富贵.鲁凯生.Liu Fugui.Lu Kaisheng 利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 -武汉理
工大学学报（交通科学与工程版）2006,30(6)
由于第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题,因此利用对称性来计算较为困难.文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 ,并证明了方法的可行性,并通过实例表明,此方法有时能起到简化计算的作用.
＝ｌ。ｉｒａ石乏｛［，（参）＋，（最）】√ｌ＋，”（参）△ｘｉ＋
∑口ｆ Ａ ｘ。｝
砌烛喜聪）Ｆ丽
＝２ｎ ｅ，（ｘ）√ｌ＋，“∽ｄｘ＝２兀ｅｆ（ｘ）ｄｓ．
１．２用微元法证明计算旋转曲面面积公式 证：在［ａ．ｂ】上的任意小区间【ｘ，ｘ＋ｄｘ］的
小截锥面积近似于小旋转曲面的面积． 从而得面积元素ｄＡ＝２矽（石）ｄｓ所以旋
6.期刊论文 李育强.石瑞民 曲线积分在曲面积分中的应用 -大学数学2003,19(3)
华东师范大学数学系《数学分析》(上)笔记和课后习题(含真题)详解(定积分的应用)
第10章 定积分的应用10.1 复习笔记一、平面图形的面积由连续曲线()(0)y f x =≥，以及直线,()x a x b a b ==<和x 轴所围曲边梯形的面积为()b baaA f x dx ydx ==⎰⎰如果()f x 在[,]a b 上不都是非负的，则所围图形的面积为()b baaA f x dx y dx ==⎰⎰一般地，由上、下两条连续曲线2()y f x =与1()y f x =以及两条直线,()x a x b a b ==<所围的平面图形(图l0-1)，它的面积计算公式为21[()()]baA f x f x dx =⎰－图10-1二、由平行截面面积求体积 1．立体体积的一般计算公式 设为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x 轴的两平面x ＝a 与x ＝b 之间（a ＜b ），称为位于[a，b]上的立体，若在任意一点x∈[a，b]处作垂直于x轴的平面，它截得的截面面积是关于x的函数，记为A（x），并称之为的截面面积函数（见图10-2），设A（x）是连续函数．图10-2 图10-3对[a，b]作分割过各个分点作垂直于x轴的平面x＝xi，i＝1,2,…，n，它们把分割成n个薄片,i＝1，2，…，n任取那么每一薄片的体积（见图10-3）于是由定积分的定义和连续函数的可积性，当时，上式右边的极限存在，即为函数A （x）在[a，b]上的定积分，于是立体的体积定义为2．旋转体的体积a b上的连续函数，Ω是由平面图形设f是[,]≤≤≤≤0|||f(x)|,ay x b绕x轴旋转一周所得的旋转体，那么易知截面面积函数为2()[()],[,]A x f x x a b π=∈得到旋转体Ω的体积公式为2=[()]baV f x dxπ⎰三、平面曲线的弧长与曲率 1．平面曲线的弧长 （1）定义①如果存在有限极限ss T T =→0||||lim即任给0ε>，恒存在0δ>，使得对C 的任意分割T ，只要||||T δ<，就有|s |T s ε-<则称曲线C 是可求长的，并把极限s 定义为曲线C 的弧长．②设曲线AB 是一条没有自交点的闭的平面曲线．在AB 上任取点P ,将AB 分成两段非闭曲线，如果AP 和PB 都是可求长的，则称AB 是可求长的，并把AP 的弧长和PB 的弧长的和定义为AB 的弧长．③设曲线C 由参数方程(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈给出．如果(t)x 与()y t 在[,]αβ上连续可微，且'()x t 与'()y t 不同时为零,即''()()0x t y t +≠，],[βα∈t ，则称C 为一条光滑曲线．（2）定理设曲线C 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，由参数方程(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈ （10-1）给出．若()x t 与()y t 在[,]αβ上连续可微，则C 是可求长的，且弧长为'2'2[()][()]s x t y t dt βα=+⎰ （10-2）（3）性质设AB 是一条没有自交点的非闭的可求长的平面曲线．如果D 是AB 上一点，则和AD 和DB 也是可求长的，并且AB 的弧长等于AD 的弧长与DB 的弧长的和．2．曲率 （1）定义如图10-4，设()t α表示曲线在点((),())P x t y t 处切线的倾角，==()()t t t ααα∆+∆-表示动点由P 沿曲线移至))(),((t t y x t x Q ∆+∆+时切线倾角的增量，若PQ 之长为s ∆，则称||K sα-∆=∆为弧段PQ 的平均曲率．如果存在有限极限|||lim ||lim |00dsd s s K s t ααα=∆∆=∆∆=→∆→∆则称此极限K 为曲线C 在点P 处的曲率．图10-4（2）计算公式设曲线C 是一条光滑的平面曲线，由参数方程（10-1）给出，则曲率的计算公式为2322)(||''''''''y x y x y x K +-=若曲线由()y f x =表示,则相应的曲率公式为2''3'2||(1+y )y K =四、旋转曲面的面积1．设平面光滑曲线C 的方程为(),[,]y f x x a b =∈（不妨设()0f x ≥），这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面的面积为2(baS f x π=⎰2．如果光滑曲线C 由参数方程(),(),[,]x x ty y t t αβ==∈给出，且()0y t ≥，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为2(S y t βαπ=⎰五、定积分的近似计算 1．梯形法公式121()(...)22bn n ay y b a f x dx y y y n --=+++++⎰2．抛物线法公式（辛普森Simpsom 公式）021*******()[4(...y )2(...)]6bn n n ab af x dx y y y y y y y n---≈+++++++++⎰10.2 课后习题详解§1 平面图形的面积1．求由抛物线y ＝x 2与y ＝2－x 2所围图形的面积．解：该平面图形如图10-1所示．两条曲线的交点为（－1，1）和（1，1），所围图形的面积为图10-12．求由曲线与直线所围图形的面积．解：该平面图形如图10-2所示．所围图形的面积为。
平面曲线的弧长与曲率旋转曲面的面积
11
若 r( )在 [ , ] 上连续,且 r( ) 与 r( ) 不同时为零,
则弧长为
s r 2( ) r2( ) d
2022年9月29日10时14分
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12
例1. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解 因为 x(t) a(1 cos t) ,
y(t) a sin t
2
x
2
s 2 1 y2 d x
2
( y cos x )
2 2 0
1 ( cos x )2 d x
(1 cos
x
2 cos 2
x )
2
2 2
2 cos x d x
0
2
2
2
2 sin
x 2
2
0
4
2022年9月29日10时14分
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16
设光滑曲线 C
25
例6. 我国铁路常用立方抛物线 y 1 x3 作缓和曲线, 6Rl
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
求此缓和曲线在其两个端点
解: 当 x [0,l ]时,
y 1 x2 l 0 2 Rl 2 R
y 1 x Rl
K y 1 x Rl
显然
K x0 0;
o
x
2022年9月29日10时14分
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2
设平面曲线 C 由参数方程
x x(t), y y(t), t
给出，如果 x(t), y(t) 在[, ] 连续，且 [ x(t)]2 [ y(t )]2 0, t [ , ] ,
双纽线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积
双纽线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积双纽线绕极轴旋转所形成的曲面称为旋转曲面。
旋转曲面是微分几何学中一个重要的主题，广泛应用于数学、物理、机械制造等领域。
在利用数学方法计算旋转曲面的面积时，我们先要获得旋转曲面的参数方程，其次再通过计算极限以及微积分的方法来确定旋转曲面的面积。
一般来说，双纽线绕极轴旋转而形成的旋转曲面，其参数方程由公式$${\vec {r}}(u,v)=\left(r\left(u,v\right) {\cos v} {\cos u},r\left(u,v\right) {\cos v} {\sin u},r\left(u,v\right){\sin v}\right)$$ 来表示，其中，r(u,v) 为双参数函数； u 为方向角，v 为极角，取值范围分别为：$$-\pi <u <\pi,0\leqslant v <2\pi$$旋转曲面的面积可以通过积分的方法求解，即：$$S=\int _A^B\int _C^D{r\left(u,v\right) {\cos v}\,du\,dv}$$其中，A 、 B 、 C 、 D 分别表示 u 、 v 的取值范围。
一般情况下，参数方程r(u,v)是一个复杂的函数，因此，在求解此种椭圆旋转曲面的面积时，就需要利用极限、微积分的方法，去证明此旋转曲面的面积的存在及其具体的数值。
在计算双纽线绕极轴旋转所形成的旋转曲面面积时，最先要获得此曲面的参数方程，其次再根据此参数方程计算出体积积分，然后用极限、微积分的方法运算其所表示的旋转曲面的面积。
简单来说，可以先找到参数上界和参数下界，再对参数进行变化，将曲面分成若干小部分，将小部分曲面的面积之和为整体曲面的面积。
此外，有时候也会使用古典的椭圆积分和旋转曲面的几何特性（例如平面积公式），求解双纽线绕极轴旋转所形成的旋转曲面的面积。
以上就是旋转曲面面积计算的算法汇总。
计算双纽线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积需要利用古典数学方法，微积分方法，多元函数的极限等方法，来证明旋转曲面的面积的存在与数值确定。
旋转曲面知识点总结
旋转曲面知识点总结一、旋转曲面的概念旋转曲面是通过将一个曲线或者一个封闭曲线绕着某个轴进行旋转而形成的曲面。
简单来说，就是用一个曲线或者曲线围成的区域来绕着一条直线或者曲线旋转，就可以得到一个旋转曲面。
通常来说，绕直线旋转得到的曲面称为旋转抛物面，绕曲线旋转得到的曲面称为旋转曲线面。
二、旋转曲面的性质1. 旋转曲面是旋转对称的。
这意味着旋转曲面上的每一点都具有旋转对称性，即曲面上的任意一点和以曲面为轴的旋转曲面上的另一点关于曲面旋转中心对称。
2. 旋转曲面具有定向性。
这表示曲线或者曲线围成的区域旋转后得到的曲面具有确定的方向。
3. 旋转曲面是连续的。
这就是说曲线或者曲线围成的区域绕着轴旋转后，曲面上的点是连续的，并且形成了一个完整的曲面。
三、旋转曲面的参数方程求解旋转曲面的参数方程通常可以分为两种情况：一种是绕直线旋转得到的旋转抛物面，一种是绕曲线旋转得到的旋转曲线面。
1. 绕直线旋转得到的旋转抛物面设直线为z轴，旋转曲面为曲线y=f(x)绕z轴旋转得到的曲面。
则可得到参数方程如下：x = r*cosθy = r*sinθz = f(r)其中，r为y轴到曲线f(x)的距离（注意r与polar coordinates中的r不同，不要混淆），θ为极角。
2. 绕曲线旋转得到的旋转曲线面如果是曲线y=f(x)绕曲线y=g(x)旋转得到的曲面，则参数方程如下：x = g(x)*cosθy = g(x)*sinθz = f(x)其中，g(x)是旋转曲线的参数方程，f(x)是曲面的参数方程，θ为极角。
四、旋转曲面的表面积和体积1. 旋转曲面的表面积计算旋转曲面的表面积通常可以使用定积分进行求解。
对于绕x轴旋转得到的曲面，表面积的计算公式如下：S = 2π∫a^b f(x)*sqrt(1+(f'(x))^2)dx对于绕y轴旋转得到的曲面，表面积的计算公式如下：S = 2π∫c^d x*g(x)*sqrt(1+(g'(x))^2)dx2. 旋转曲面的体积计算旋转曲面的体积同样可以使用定积分进行求解。
旋转曲面的面积
§4 旋转曲面的面积教学目的与要求：1. 理解并掌握在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式.2. 理解并掌握微元法的思想及应用.教学重点，难点：1. 在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式.2. 微元法的思想及应用.教学内容：定积分的所有应用问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形式。
但为简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”。
本节和下一节将采用此法来处理。
一 微元法为了介绍微元法，我们首先回顾一下在讲定积分定义时引入的例子——求曲边梯形的面积问题。
设f 为闭区间[a ，b]上的连续函数，且f （x ）≥0。
由曲线y=f (x)，直线x=a,x=b 以及x 轴所围成的平面图形（图9-1），称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积作法：（ｉ）分割 在区间[ a ，b]内任取n-1个分点，它们依次为a=x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －１＜x n =b,这些点把[a,b]分割成n 个小区间[x ｉ－１, x ｉ],I=1,2,…n.再用直线x= x ｉ, ｉ=1,2,…，n-1把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形（图9-2）。
（ii ）近似求和 在每个小区间[x i-1,x i ]上任取一点i ξ，作以f (i ξ)为高，[x i-1,x i ]为底的小矩形.当分割[a,b]的点分点较多,又分割得较细密时,由于f 为连续函数,它在每个小区间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积.于是, n 个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S 的近似值,即1()n i i i S f x ξ=≈∆∑ ).(1--=∆i i i x x x（iii ）取极限 注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a,b]的分割，又与所有中间点i ξ（i=1,2,…，n ）的取法有关。
可以想象，当分点无限增多，且对[a,b]无限细分时，如果此和式与某一常数无限接近，而且与分点x i和中间点i ξ的选取无关，则就把此常数定义作为曲边梯形的面积S.S=01()().lim n bi i a T i f x f x dx ξ→=∆=∑⎰ 引入问题：这个过程显然是比较繁琐的，那么遇到一个实际问题如何直接利用定积分表示呢？ 我们看出，在引出Φ的积分表达式的步骤中，关键是第二步。
绕y轴旋转曲面面积公式
绕y轴旋转曲面面积公式
曲面面积是模拟空间物体表面积的重要方法，我们可以采用绕y轴
旋转曲面面积公式来计算曲面的面积。
一、定义：
绕y轴旋转曲面面积公式是一个求解空间物体表面积的积分方程。
它
的定义是，若y=f(x)是一条曲线，它的曲面积由空间中一段曲线y=f(x)
绕y轴旋转所而形成。
它的曲面积公式是：
∫Ax^2 f(x)dx
二、计算原理
求绕y轴旋转曲面面积的方法：首先，我们求出参数方程：y=f(x)；求
出每条曲线的极限；再使用积分方程结合以上三个条件，求出曲面积。
求绕y轴旋转曲面面积的积分represents方程起原点于空间，它的形式
为∫Ax^2 f (x)dx ；式中，A 代表椭圆轴线长度，其范围为a≤x≤b；x 代
表椭圆轴短轴坐标，y 代表椭圆轴长轴坐标，f (x)代表当x 固定，y 的
函数。
三、实际应用
绕y轴旋转曲面面积公式非常重要，它可以用于几何学，物理学，结
构反载荷计算，产品设计等众多领域。
在几何学中，可以使用这个公
式来计算曲面的面积，以确定曲面的真实大小。
在物理学中，这个公
式可用于求解空间形状物体的质量、体积，以及容积等量纲。
同样，
绕y轴旋转曲面面积公式也可用于产品设计，结构反载荷计算等领域。
四、总结
绕y轴旋转曲面面积公式是一个求解空间物体表面积的积分方程。
它
的计算原理是求参数方程 y=f (x)，求出每条曲线的极限，再使用积分
方程结合三个条件来求出曲面积。
它可以应用于几何学，物理学，结
构反载荷计算，产品设计等众多领域，广泛地使用于日常科学研究之中。
旋转曲面侧面积 -回复
旋转曲面侧面积-回复题目：旋转曲面的侧面积计算方法引言：在几何学中，旋转曲面是曲线绕某条轴旋转所形成的三维图形。
它具有许多实际应用，如汽车轮胎、瓶子等物体的形状。
而计算旋转曲面的表面积是一个重要的问题，它在工程、建筑以及数学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍如何计算旋转曲面的侧面积，以及数学推导过程，并提供一个实际应用的例子。
第一步：确定曲线方程旋转曲面的形状由一条曲线绕着某条轴旋转而成，首先我们需要确定这条曲线的方程。
假设曲线由函数y=f(x)表示，其中x和y是曲线上的任意点坐标。
曲线上的点通过绕轴旋转时的角度θ来定义，我们可以用参数方程表示：x = g(θ)y = f(g(θ))其中，g(θ)是关于θ的函数，它决定了曲线的位置和形状。
确定了曲线方程后，我们就可以进一步计算旋转曲面的侧面积。
第二步：推导旋转曲面侧面积公式为了计算旋转曲面的侧面积，我们将曲线分成无数个微小的线段，然后将每个线段绕轴旋转所形成的微小曲面元素相加。
而这个微小曲面元素的面积可以通过计算微小线段的长度和绕轴旋转所形成的圆弧的弧长来求得。
设微小线段的长度为ds，绕轴旋转形成的圆弧的弧长为dl。
由于圆弧的长短和半径相关，我们可以通过微小线段的长度和函数f(x)的导数来表示：dl = 2πydx = 2πf(g(θ))g'(θ)dθ其中，g'(θ)是函数g(θ)的导数。
由于微小线段的长度可以表示为：ds = √[dx^2 + dy^2] = √[g'^2(θ)dθ^2 + f'^2(g(θ))g'^2(θ)dθ^2]将上述两个公式代入旋转曲面的侧面积计算公式：dA = dl * ds = 2πf(g(θ))g'(θ) * √[g'^2(θ)dθ^2 + f'^2(g(θ))g'^2(θ)d θ^2]第三步：求解积分旋转曲面的侧面积等于将微小曲面元素的面积相加，即对整个曲线进行积分。
,旋转曲面的面积 物理应用
§4 旋转曲面的面积(一> 教案目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式．(二> 教案内容：旋转曲面的面积计算公式．基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式．(三> 教案建议：要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积．————————————————————一微元法用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量是一个与某变量(设为x>的变化区间有关的量，且关于区间具有可加性. 我们就设想把分成n个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐，然后就寻求相应于这个小区间的部分量的近似值<做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到的形如近似表达式<其中为上的一个连续函数在点x处的值，为小区间的长度>,那么就把称为量的元素并记做，即以量的元素作为被积表达式在上进行积分，就得到所求量的积分表达式：例如求由两条曲线 (其中>及直线所为成图形的面积A.容易看出面积元素于是得平面图形的面积为采用微元法应注意一下两点：1）所求量关于分布区间具有代数可加性.2）对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：二旋转曲面的面积§5 定积分在物理中的某些应用(一> 教案目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法．(二> 教案内容：液体静压力；引力；功与平均功率．基本要求：(1>要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(2> 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(三> 教案建议：要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．——————————————————————————1 变力沿直线所作的功从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力F作用，并且力F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体移动了距离s时,力F 对物体所作的功是如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例1说明如何计算变力所作的功例1把一个带电量为的点电荷放在轴的原点处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为的地方，那么电场对它的作用力的大小为<是常数），如图，当这个单位正电荷在电场中从处沿轴移动到处时，计算电场力对它所做得功.解在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的，取为积分变量，它的变化区间为，在上任取一小区间，当单位正电荷从移动到时，电场力对它所作的功近似于，从而得功元素为于是所求的为例2 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长10m和6m,高为20m,较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。
教学课题3旋转曲面的面积
教学课题：§３旋转曲面的面积教学目的：通过学习使学生掌握微元法。
教学重点：掌握微元法，会求旋转体的面积。
教学过程：一微元法我们已经知道，利用定级分解决实际问题时，往往可按"分割"，"近似代替"，"作和"，"取极限"四个步骤来完成。
但在实际应用中，可将上述过程合并，即"微元法"这种方法简单易行。
实际问题中我们要求分布在区间上的总体量，可在中任取一个小区间，把在该区间上的增量表示成的线性形式其中为一连续函数，而且当时，是较高阶无穷小，亦即从而这种方法称为微员法。
二旋转曲面的面积设平面光滑曲线C的方程为（不妨设f（x）非负）这段曲线绕x轴旋转一周得一旋转曲面。
则该旋转曲面的面积为：事实上，在上任取一个小区间，过垂直于x轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带，当很小时，狭带的面积近似于一圆台的面积，即其中。
由于的连续性知是较高阶无穷小，所以如果光画滑曲线C由参数方程给出，且，则曲线绕x轴旋转所得旋转体的面积S=2例1 在上的弧段绕x轴旋转所得求带的面积。
解对曲线在区间上应用旋转曲面的面积公式得S=2特别当时，则得球的表面积例2 计算由内摆线绕x轴旋转所得旋转曲面的面积。
解由曲线关于y轴的对称性得S=4=12习题1 求下列平面曲线绕指定轴旋转得旋转曲面的面积（1）绕x轴；（2）＞0），绕x轴；（3）绕y轴；（4）＜绕x轴。
2 设平面光滑曲线由极坐标方程给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式。
2 试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积：（1）心形线＞0）；（2）双纽线＞0）。
3 试求下列极坐标曲线饶极轴旋转所得旋转曲面的面积：（1）心形线＞0）；（2）双纽线＞0）????????。
绕y轴旋转表面积公式
绕y轴旋转表面积公式
旋转曲面的表面积的计算公式：
（1）一阶积分计算公式：
设曲线过点P(u,f(u))，以y轴旋转曲面L，则曲面表面积为：
S=2π∫abf(u)du
（2）二阶积分计算公式：
设曲面由二元可微函数F(x, y)描述，y轴旋转曲面L，则曲面的表面积为：
S=2π∫ab∫cdF(x,y)dxdy
（3）三阶积分计算公式：
设曲面由三元可微函数G(x, y, z)描述，y轴旋转曲面L，则曲面表面积为：
S=2π∫ab∫cd∫efG(x,y,z)dxdydz
（4）椭圆柱面公式：
设椭圆柱面的焦点分别为F1和F2，长轴长为2a，短轴长为2b，以y
轴旋转椭圆柱面，则椭圆柱面的表面积为：
S=2π∫ab(-F1-F2)dx
（5）参数方程表面积公式：
设曲面由参数方程描述：x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)，以y轴旋转参数方程曲面，则曲面表面积为：
S=2π∫ab∫cd(([∂y/∂u]*[∂z/∂v]-
[∂z/∂u]*[∂y/∂v])|[∂(x,y,z)/∂(u,v)]|)dudv
以上就是以y轴旋转表面积公式的详细计算方法。
借助上述公式，学生可以更加准确地计算曲面的表面积，从而体现其思维能力和学习成果。
第6讲 旋转曲面的面积
§4 旋转曲面的面积
微元法
旋转曲面的面积
例1
求将椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=
1 (a
>
b)
绕
x
轴旋转所得
椭球面的面积.
解 将上半椭圆写成参数方程
=x a co= s t , y bsin t , 0 ≤ t ≤ π.
令 c2 =a2 − b2 , e =c , 则
a
∫ S
2π
π
bsin t
绕 x 轴旋转
π
∫ ( ) ( ) S=2 ⋅ 2 π 2 a sin3 t ⋅
−3a cos2 t sin t
2
+
3a sin2 t cos t
2
dt
0
π
y
∫ = 12 π a2 2 sin4 t cos t dt 0
π
=
12
π
a
2
1 5
sin5
t
2 0
O
x
=S
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
微元法
旋转曲面的面积
=
4πab
1 2
u
1 − e2u2
+
1 2e
arcsin
eu
1 0
=
2πab
b a
+
a c
arcsin
c a
a2
a2 − b2
=
2πb b +
arcsin a2 − b2
a
.
特别当 a = b 时,即半径为 a 的球面的面积:
π
0
∫ S = 4πa2 2 sin tdt = 4πa2 cos t = 4πa2 .
用曲线积分求旋转曲面的面积PPT课件
6.2 定积分的几何应用 20
L l
第20页/共27页
设直线 l 的方程为 ax+by+c=0。
在曲线L的(x,y)处取一弧微分
ds
它到直线 l 的距离是 ：
ax by c d
a2 b2
该弧微分绕 l 旋转而成的旋转曲面的面积约为：
dA 2 d ds
于是整个曲线L绕直线 l 旋转而成的旋转曲面的面积为：
L
ds
x
(x, y)
L
6.2 定积分的几何应用 6
第6页/共27页
下面针对不同的曲线方程 将曲线积分化为定积分 得到熟悉的旋转曲面的面积公式
6.2 定积分的几何应用 7
第7页/共27页
直角坐标方程
6.2 定积分的几何应用 8
第8页/共27页
6.2 定积分的几何应用 9 如果
则 ds 1 [ y(x)]2 dx
作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。 本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。 将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。
6.2 定积分的几何应用 1
第1页/共27页ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
先看特殊的情形 旋转轴为坐标轴
6.2 定积分的几何应用 2
第2页/共27页
设L是上半平面内的一条平面曲线。 将L绕x轴旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积Ax。
由于其中积分较难 计算用数学软件Maple完成
6.2 定积分的几何应用 23
第23页/共27页
6.2 定积分的几何应用 24
例1 求曲线y=x2(0<x<2)绕直线 y=2x旋转的 旋转曲面的面积A。
高等数学第10章第4节旋转曲面的面积
§4 旋转曲面的面积一 微元法用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把称为量 的元素并记做，即 dx x f dU )(= 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式：⎰badx x f )(例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为⎰-=badx x f x f A |)()(|21采用微元法应注意一下两点：1）所求量 关于分布区间 具有代数可加性.2）)()(x o x x f U ∆=∆-∆对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：x y s xx S V xy S ∆'+≈∆∆≈∆∆≈∆21)(||二 旋转体的侧面积设y ＝y(x)于[a,b]上非负，且连续可微，该曲线绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积：2b aS π=⎰ 例1、 计算圆222R y x =+在],[],[21R R x x -⊂上的弧段绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积． 例2、 计算由内摆线t a y t a x 33sin ,cos ==绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积． 作业：P255 1（2）（3）， 3（2）。
y=sinx绕x轴旋转所得旋转曲面的面积
y=sinx绕x轴旋转所得旋转曲面的面积
要计算函数y = sin(x) 绕x 轴旋转所得的旋转曲面的面积，可以使用积分来求解。
以下是详细的步骤：
1.规定一个 x 的范围。
由于函数 y = sin(x) 在周期为2π 上重
复，我们可以选择一个完整的周期范围来计算整个旋转曲
面的面积。
通常可以选择 x 的范围为[0, 2π]。
2.在 x 范围内选择一个微小的宽度 dx，并计算对应的函数值
y = sin(x)。
该函数值将成为旋转曲面上线元素的半径。
3.计算旋转曲面上线元素的面积 dA。
线元素的长度为2πy，
因为旋转曲面是在 y = sin(x) 函数周围旋转而成的。
因此，
dA = 2πy * dx。
4.对于整个范围内的dx，累积所有线元素的面积dA，由于
是对线元素进行累积，因此需要求解定积分。
因此，旋转
曲面的面积 A 定义为A = ∫2πy * dx，积分范围是从 0 到2π。
5.将 y = sin(x) 代入计算上述积分，然后执行积分操作，得到
最终的面积 A。
因此，通过执行上述过程，可以计算出函数y = sin(x) 绕x 轴旋转所得的旋转曲面的面积 A。
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2 R
3
例 12 求以半径为 R的圆为底、平行且等于底
圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.
解 取坐标系如图
y
底圆方程为
x2 y2 R2,
o x Rx
垂直于x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 A( x) h y h R2 x2
立体体积
V
R
h R
R2 x2dx 1 R2h. 2
• 习题7.3 3，5，6
63a3.
2 平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立
体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.
A( x) 表示过点 o a x 且垂直于x 轴
x x dx
b
x
的截面面积， A( x)为x 的已知连续函数
dV A( x)dx,
立体体积 V
习题7.Байду номын сангаас 1（3），2
作业
b
A( x)dx.
a
例 11 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中
心，并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所
得立体的体积.
解 取坐标系如图
R
底圆方程为 x2 y2 R2
o
y
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积 A( x) 1 (R2 x2 )tan ,
2
立体体积 V 1 R (R2 x2 )tandx 2 R3 tan .
绕x轴旋转一周,得到旋转 o
x x dx
x
曲面.
S [ f ( x) f ( x x)] x2 y2
[2 f ( x) y]
1
y x
2
x
dS 2f ( x) 1 f 2 ( x)dx,
S侧
b
2f ( x)
a
1 f 2 ( x)dx
§4 旋转体的体积
1 旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
3
x [a, a]
a
o
ax
旋转体的体积
V
aa
a
2 3
2
x3
3
dx
32 105
a3 .
类似地，
如果旋转体是由连续曲线 x ( y)、直线
y c 、y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴
旋转一周而成的立体，体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c
d
x ( y) c
o
x
例 9 求摆线 x a(t sin t)，y a(1 cos t)的 一拱与 y 0所围成的图形分别绕 x轴、 y 轴旋
为体积元素，dV [ f ( x)]2 dx
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
例 7 连接坐标原点O 及点 P(h, r)的直线、直线
x h及 x轴围成一个直角三角形．将它绕 x轴旋
转构成一个底半径为r 、高为h的圆锥体，计算
圆锥体的体积．
y
解 直线 OP方程为 y r x
x x1( y)
o
分别绕y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
x x2( y) A
2a x
Vy
2a
x
2
2
(
y
)dy
0
2
a
x
2
1
(
y
)dy
0
a2 (t sin t)2 a sin tdt a2 (t sin t)2 a sin tdt
2
0
a3 2 (t sin t )2 sin tdt 0
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x) 、 直线x a 、x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，x [a,b] y y f (x)
在[a, b]上任取小区间 [ x, x dx]，
o
x x dx
x
dx 为底的小曲边梯形绕 x轴旋转而成的薄片体积的近似
转构成旋转体的体积.
解 绕x 轴旋转的旋转体体积
y( x)
Vx
2a y2 ( x)dx
0
a
2a
2 a2 (1 cos t)2 a(1 cos t)dt 0
a3
2
(1
3cos t
3 cos2
t
cos3
t )dt
52a3 .
0
绕 y轴旋转的旋转体体积
y
2a C B
可看作平面图OABC 与OBC
§3 旋转曲面的面积
由平面上的曲线绕着平面内一条直线旋转得到的 曲面称为旋转曲面.
现在求S
:
y a
= f x≥
≤x≤b
0
绕x轴旋转一周得到的曲面的面积,
其中f x有连续的导数.
y
y f (x)
l1
r1 l
r2
oa
bx
设平面光滑曲线C的方程为 : y
y f ( x) 0, a x b
y f (x)
ho
x
取积分变量为x ， x [0, h]
P
r hx
dV
r h
x
2
dx
V
h 0
r h
x
2
dx
r 2 h2
x3 h
3
0
hr2 3
.
2
2
2
例 8 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)绕 x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
2 a 3
2
x3