§3旋转曲面的面积

2 R
3
例 12 求以半径为 R的圆为底、平行且等于底
圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.
解 取坐标系如图
y
底圆方程为
x2 y2 R2,
o x Rx
垂直于x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 A( x) h y h R2 x2
立体体积
V
R
h R
R2 x2dx 1 R2h. 2
• 习题7.3 3，5，6
63a3.
2 平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立
体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.
A( x) 表示过点 o a x 且垂直于x 轴
x x dx
b
x
的截面面积， A( x)为x 的已知连续函数
dV A( x)dx,
立体体积 V
习题7.Байду номын сангаас 1（3），2
作业
b
A( x)dx.
a
例 11 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中
心，并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所
得立体的体积.
解 取坐标系如图
R
底圆方程为 x2 y2 R2
o
y
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积 A( x) 1 (R2 x2 )tan ,
2
立体体积 V 1 R (R2 x2 )tandx 2 R3 tan .
绕x轴旋转一周,得到旋转 o
x x dx
x
曲面.
S [ f ( x) f ( x x)] x2 y2
[2 f ( x) y]
1
y x
2
x
dS 2f ( x) 1 f 2 ( x)dx,
S侧
b
2f ( x)
a
1 f 2 ( x)dx
§4 旋转体的体积
1 旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
3
x [a, a]
a
o
ax
旋转体的体积
V
aa
a
2 3
2
x3
3
dx
32 105
a3 .
类似地，
如果旋转体是由连续曲线 x ( y)、直线
y c 、y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴
旋转一周而成的立体，体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c
d
x ( y) c
o
x
例 9 求摆线 x a(t sin t)，y a(1 cos t)的 一拱与 y 0所围成的图形分别绕 x轴、 y 轴旋
为体积元素，dV [ f ( x)]2 dx
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
例 7 连接坐标原点O 及点 P(h, r)的直线、直线
x h及 x轴围成一个直角三角形．将它绕 x轴旋
转构成一个底半径为r 、高为h的圆锥体，计算
圆锥体的体积．
y
解 直线 OP方程为 y r x
x x1( y)
o
分别绕y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
x x2( y) A
2a x
Vy
2a
x
2
2
(
y
)dy
0
2
a
x
2
1
(
y
)dy
0
a2 (t sin t)2 a sin tdt a2 (t sin t)2 a sin tdt
2
0
a3 2 (t sin t )2 sin tdt 0
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x) 、 直线x a 、x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，x [a,b] y y f (x)
在[a, b]上任取小区间 [ x, x dx]，
o
x x dx
x
dx 为底的小曲边梯形绕 x轴旋转而成的薄片体积的近似
转构成旋转体的体积.
解 绕x 轴旋转的旋转体体积
y( x)
Vx
2a y2 ( x)dx
0
a
2a
2 a2 (1 cos t)2 a(1 cos t)dt 0
a3
2
(1
3cos t
3 cos2
t
cos3
t )dt
52a3 .
0
绕 y轴旋转的旋转体体积
y
2a C B
可看作平面图OABC 与OBC
§3 旋转曲面的面积
由平面上的曲线绕着平面内一条直线旋转得到的 曲面称为旋转曲面.
现在求S
:
y a
= f x≥
≤x≤b
0
绕x轴旋转一周得到的曲面的面积,
其中f x有连续的导数.
y
y f (x)
l1
r1 l
r2
oa
bx
设平面光滑曲线C的方程为 : y
y f ( x) 0, a x b
y f (x)
ho
x
取积分变量为x ， x [0, h]
P
r hx
dV
r h
x
2
dx
V
h 0
r h
x
2
dx
r 2 h2
x3 h
3
0
hr2 3
.
2
2
2
例 8 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)绕 x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
2 a 3
2
x3