一次函数特殊三角形存在性
一次函数中(特殊三角形)的存在性问题优秀教学设计
辅助策略：借助几何画板，使学生直观形象地观察、操作。
2、教法
演示法：通过几何画板演示两圆一中垂线和外K全等，使学生直观、形象的感知因动点的移动，在何时会出现等腰三角形和等腰直角三角形，思考在没有几何画板的时候，我们自己该如何作图，快速确定动点的位置。
《一次函数中特殊三角形的存在性问题》教学设计
【教学目标】
1、知识与技能
（1）使学生体会定点与动点之间的关系，做到以静制动。
（2）通过数形结合，利用几何法和代数法求一次函数中特殊三角形的存在性问题。
2、过程与方法
（1）借助几何画板探究一次函数中特殊三角形的存在性问题，使学生初步形成正确、科学的分析解决问题的方法。
①设点：设点P（0，m）A（3，0），B（0，4）
②表示三条边：
③列方程：
三、小组讨论
已知A（2，0），B（0，4），在第一象限内是否存在一点P，使得△PAB是等腰直角三角形，若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
讨论目标：①这样的动点P可能有多少个？如何分类？
②你能不能画出等腰直角三角形？
等腰三角形可以是两条边相等或者两个角相等，在我们所学的知识中，是边好表示，还是角好表示呢？
探究一：用几何法确定动点的位置——两圆一中垂线
例1、已知，A（3，0），B（0，4），在y轴上是否存在一点P，使得△PAB是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由
探究二：用代数法确定动点的位置——设点法
实验法：让学生自己动手、在探究过程中，自己发现动点的规律
八年级下册数学重难点题型(人教版)专题 动点与特殊三角形存在性问题大视野(原卷版)
专题动点与特殊三角形存在性问题大视野【例题精讲】题型一、等腰三角形存在性问题例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形．例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．例3. 【2019·乐亭县期末】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为______．题型二、直角三角形存在性问题例1. 【2019·厦门六中月考】如图，在RtΔABC中，△B=90°，AC=60，△A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15)．过点D作DF△BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，ΔDEF为直角三角形？请说明理由．题型三、等腰直角三角形存在性问题例1. 【2019·株洲市期末】（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点（1，2）处．则△OA的长为______；△点B的坐标为______．（直接写结果）（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰Rt△ACB如图放置，直角顶点C（-1，0），点A（0，4），试求直线AB的函数表达式．（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点B（4，3），过点B作BA△y轴，垂足为点A，作BC△x轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y=2x-6上一动点．问是否存在以点P为直角顶点的等腰Rt△APQ，若存在，请求出此时P的坐标，若不存在，请说明理由．【刻意练习】1. 【2019·大连市期末】如图，直线x=t与直线y=x和直线y=12-x+2分别交于点D、E（E在D的上方）．（1）直线y=x和直线y=12-x+2交于点Q，点Q的坐标为______；（2）求线段DE的长（用含t的代数式表示）；（3）点P是y轴上一动点，且△PDE为等腰直角三角形，求t的值及点P的坐标．2. 【2019·兴城市期末】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b 的图象经过点A （-2，6），且与x 轴交于点B ，与正比例函数y =3x 的图象相交于点C ，点C 的横坐标是1．（1）求此一次函数的解析式；（2）请直接写出不等式（k -3）x +b ＞0的解集；（3）设一次函数y =kx +b 的图象与y 轴交于点M ，点N 在坐标轴上，当△CMN 是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标．3. 【2019·泉州市晋江区期中】如图，在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足（a ﹣2）2+0．（1）求直线AB 的解析式；（2）若点M 为直线y ＝mx 上一点，且△ABM 是等腰直角三角形，求m 值；（3）过A 点的直线y ＝kx ﹣2k 交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为﹣1，过N 点的直线y ＝2k x ﹣2k 交AP 于点M ，试证明PM PN AM-的值为定值．4. 【2019·厦门大学附中期末】如图（1），Rt △AOB 中，△A ＝90°，△AOB ＝60°，OB ＝，△AOB 的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）当t＝1时，求△CPQ的面积；（3）当P在OC上，Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．5. 【2019·潮州市期末】如图，在△ABC中，△A=120°，AB=AC=4，点P、Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿折线B→A→C，射线BC运动，连接PQ. 当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动. 设BQ=x，△BPQ和△ABC重叠部分的面积为S.（1）求BC的长；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）请直接写出△PCQ为等腰三角形时，x的值.6. 【2019·南宁市期末】如图，在四边形ABCD中，AD△BC，△B=90°，AD=8cm，BC=10cm，AB=6cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为t（s）.（1）直接写出：QD=，PC=；（用含t的式子表示）（2）当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形？（3）若点P与点C不重合，且DQ≠DP，当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？7. 【2019·涟源市期末】如图，已知矩形ABCD，AB=8，AD=4，E为CD边上一点，CE=5，动点P从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接EP，设点P的运动时间为t秒，则当t为何值时，△P AE为等腰三角形.8. 【2019·重庆外国语月考】如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△A＝30°，AB＝12，点F是AB的中点，过点F作FD△AB交AC于点D．若△AFD以每秒2个单位长度的速度沿射线FB向右移动，得到△A1F1D1，当F1与点B重合时停止移动．设移动时间为t秒，如果D1，B，F构成的△D1BF为等腰三角形，求出t值．9. 【2019·平潭期中】如图，在平面直角坐标系中，A(0,8)，B（4,0），AB的垂直平分线交y轴与点D，连接BD，M(a，1)为第一象限内的点.（1）求点D坐标；（2）当S△DBC=S△DBM时，求a的值；（3）点E为y轴上的一个动点，当△CDE为等腰三角形时，直接写出点E的坐标.。
中考数学专题复习《特殊三角形存在性问题+将军饮马问题》
特殊三角形存在性问题+将军饮马问题1.如图1，已知长方形OABC的顶点O在坐标原点，A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B(8，6)，直线y= -x+b经过点A交BC于D、交y轴于点M，点P是AD的中点，直线OP交AB于点E．(1)求点D的坐标及直线OP的解析式；(2)点N是直线AD上的一动点(不与A重合)，设点N的横坐标为a，请写出△AEN的面积S和a之间的函数关系式，并请求出a为何值时S=12；(3)在x轴上有一点T(t，0)(5<t<8)，过点T作x轴的垂线，分别交直线OE、AD于点F、G，在线段AE上是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，若存在，请写出点Q的坐标及相应的t的值；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+4交坐标轴于A、B两点，过x轴负半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且△AOB≌△DOC．(1)OC= ，OD= ；(2)点M(-1，a)是线段CD上一点，作ON⊥OM交AB于点N，连接MN，则点N的坐标为 ；(3)若E(1，b)为直线AB上的点，P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得△EPQ是以E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知：在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；与点P同时，点Q从D点出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s；过点Q作QE∥AC，交DC于点E，设运动时间为t(s)，(0<t<2)，解答下列问题：(1)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(2)设五边形APCEQ的面积为y，求y与t的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．4.如图，已知直线l1经过点(5，6)，交x轴于点A(-3，0)，直线l2：y=3x交直线l1于点B．(1)求直线l1的函数表达式和点B的坐标；(2)求△AOB的面积；(3)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线l1经过A(6，0)、B(0，8)两点，点C从B出发沿线段BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点D从A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒(t>0)，(1)求直线l1的表达式；(2)当t= 时，BC=BD；(3)将直线l1沿x轴向右平移3个单位长度后，与x轴，y轴分别交于E、F两点，求四边形BAEF的面积；(4)在第一象限内，是否存在点P，使A、B、P三点构成等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y=-54x+74与x轴交于点C，且点A(-1，m)，B(n，-2)．(1)求点C的坐标；(2)求原点O到直线AB的距离；(3)在x轴上是否存在一点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B(0，-1)，与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D．(1)若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积；(2)若点D的横坐标为1，在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴上，∠OAB=90°，点A(3，3)．(1)求点B的坐标；(2)点P从点O出发沿x轴以每秒2个单位的速度向x轴正方向运动，设点P运动时间为t秒，求t为何值时，OP=2PB；(3)在(2)的条件下，当OP=2PB时，在第一象限内是否存在点Q，使△BPQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；(写出四个即可)若不存在，请说明理由．9.如图，在平面直角坐标系中A(a，0)，B(0，b)，满足a2-4a+4+|b-4|=0．(1)求A，B两点的坐标；(2)∠OBA的平分线BC与∠OAB的外角平分线AM交于点C，求点∠C的度数；(3)在平面内是否存在点P，使△ABP为等腰直角三角形．若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由．10.问题探究(1)如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E是边BC上一点，AB=EC，BE=CD，连接AE，DE，判断△AED的形状，并说明理由．(2)如图2，在△ABC中，∠C=90°，点D为边CA的延长线上一点，且AD=2BC，过点A作AE⊥AB且AE=AB，连接DE，求证：DE=AE．(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，2)，连接OA，在x轴上方是否存在一点B，使得△OAB是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=11cm，BC=8cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿BC向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．(1)当t=1时，直接写出P，Q两点间的距离．(2)是否存在t，使得△BPQ是等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．(3)是否存在t，使得△BPQ的面积等于10cm2，若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由．12.如图，在平面直角坐标中，把长方形OABC沿对角线OB所在的直线折叠，点A落在点D处，OD与BC交于点E．已知OA=6，OC=3．(1)求出过点A，E的直线的函数表达式．(2)在x轴上是否存在点F，使△OBF为等腰三角形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．13.如图，等腰直角△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为(0，3)，点C坐标为(9，0)．过点A作AD⊥x轴，垂足为D．(1)求OD的长及点A的坐标；(2)取AB中点E，连接OE、DE，请你判定OE与DE的关系，并证明你的结论；(3)连接OA，已知OA=15，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，直线l1：y=x+3与过点A(3，0)的直线l2交于点C(1，m)，与x轴交于点B，CD⊥x轴于点D．(1)求点B和点C的坐标；(2)求直线l2的函数表达式；(3)在x轴上是否存在点P，使得以B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15.在平面直角坐标系xOy中，直线l过(1，3)和(3，1)两点，且与x轴，y轴分别交于A、B两点．(1)求直线l对应的函数解析式；(2)求△AOB的面积；(3)在x轴上是否存在一点C，使△ABC为等腰三角形，若存在，直接写出点C坐标；若不存在，请说明理由．16.古罗马时代，亚历山大有一个著名的学者叫海伦，一天罗马的一位将军专程跑去问海伦这样一个问题：每天从军营A出发，先到河边给马喝水，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？海伦思考后便给出了答案，也就是现在著名的“将军饮马”问题．其实“将军饮马”实质要解决的问题是：要在直线l上找一点P使得PA+PB的值最小．(1)如图1，点A到直线l的距离AO1=2，点B到直线l的距离BO2=3，O1O2=4，要解决该最小值问题，如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连结A'B交直线l于点P，此时P即为所求点，则PA+PB的最小值为 ；(2)如图3，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 ；(3)如图4，正方形ABCD的边长是6，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为 ．17.【情景回顾】在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”(唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题--“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点C'，连结AC'，BC'，B'C'，∵点B，B'关于直线l对称，点C，C'在l上，∴CB= ，C'B= ，∴AC+CB=AC+CB'= ．在△AC'B'中，∵AB'<AC'+C'B'，∴AC+CB<AC'+C'B'，即AC+CB最小．【问题解决】(1)请将证明过程补充完整．(直接填在横线上)(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线/同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使PB-PA的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．(3)如图，平面直角坐标系中，M(2，2)，N(4，-1)，MN=13，P是坐标轴上的点，则|PM-PN|的最大值为 ，此时P点坐标为 ．(直接写答案)18.龙岗区八年级某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：(1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点A、B，直线l与A、B的位置如图所示，点P是直线l上一动点，则PA+PB的最小值为 ；(2)几何应用：如图3，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为 ；(3)代数应用：代数式x2+4+6-x2+36(0≤x≤6)的最小值为 ．19.古罗马时代，亚历山大有一个著名的学者叫海伦，一天罗马的一位将军专程跑去问海伦这样一个问题：每天从军营A出发，先到河边给马喝水，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？海伦思考后便给出了答案，也就是现在著名的“将军饮马”问题．其实“将军饮马”实质要解决的问题是：要在直线l上找一点P使得PA+PB的值最小．(1)如图1，点A到直线l的距离AO1=1，点B到直线l的距离BO2=3，O1O2=3，要解决该最小值问题，如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交直线l于点P，此时P即为所求点，则PA+PB的最小值为 ；(2)如图3，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 ；(3)如图4，在正△ABC中，AB=4，P、M、N分别是BC、CA、AB上的动点，①PM+MN的最小值为 ；②求PM+MN+NP的最小值．(4)如图5，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是边AB和BC上的动点且始终满足AE=BF，连结DE、DF，求DE+DF的最小值．20.【源模：模型建立】白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．--《古从军行》唐李欣诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距离和最短的一类问题．“将军饮马”问题的数学模型如图4所示：【新模1：模型应用】如图1，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE=1，F为对角线AC上一动点，欲使△BFE周长最小．(1)在图中确定点F的位置(要有必要的画图痕迹，不用写画法)；(2)△BFE周长的最小值为 ．【新模2：模型变式】(3)如图2，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，在矩形ABCD内部有一动点P，满足S△PAB=14S，矩形ABCD 则点P到A，B两点的距离和PA+PB的最小值为 ．【超模：模型拓广】(4)如图3，∠ABD=∠BDE=90°，AB=2，BD=DE=3．请构造合理的数学模型，并借助模型求x2+4+3-x2+9(x>0)的最小值．21.古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB= ，C′B= ，∴AC+CB=AC+CB′= ．在△AC′B′，∵AB′<AC′+C′B′，∴AC+CB<AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线)．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．拓展应用：如图4，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC+PM的值最小时P的位置．(可用三角尺)22.李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题．“将军饮马”问题的探究与拓展八年级三班李明“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”(唐•李颀《古从军行》)，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．【问题解决】作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则点P即为所求．此时，PA+PB的值最小，且PA+PB=A'P+PB=A'B．【模型应用】问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为AC=300米，BD=900米，且CD=900米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长．问题2．如图3，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是 ．问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点A(-2，4)，点B(4，2)．(1)请在x轴上确定一点P，使PA+PB的值最小，并求出点P的坐标；(2)请直接写出PA+PB的最小值．【模型迁移】问题4．如图5，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12，BD=16．点P和点E分别为BD，CD上的动点，求PE+PC的最小值．23.【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点P，连接PB，则AP+BP的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l上另取任一点P′，连接AP′，BP′，B′P′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点P，P′在l上，∴PB= ，P′B= ，∴AP+PB=AP+PB′= ．在△AP′B′中，∵AB′<AP′+P′B′，∴AP+PB<AP+P′B′，即AP+BP最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中点P为AB′与l的交点，即A，P，B′三点共线)．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】(1)如图④，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B与D关于直线AC对称，连接DE交AC于点F，则EF+FB的最小值就是线段ED的长度，则EF+FB的最小值是 ．(2)如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为 cm．(3)如图⑥，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿射线BD的方向平移，得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C+B′C的最小值为 ．24.早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB=CB′，C′B=C′B′，∴AC+CB=AC+ = ．在△AC′B′中，∵AB′<AC′+C′B′∴AC+CB<AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线)．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．【简单应用】(1)如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，EM+MC的最小值就是线段 的长度，则EM+MC的最小值是 ；(2)如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM= °．【拓展应用】如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．25.某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：(1)几何应用：如图2，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为 ；(2)代数应用：求代数式x2+1+3-x2+9(0≤x≤3)的最小值；(3)几何拓展：如图3，△ABC中，AC=2，∠A=30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的值最小，最小值是 ．参考答案1.解：(1)∵四边形OABC 为长方形，点B 的坐标为(8，6)，∴点A 的坐标为(8，0)，BC ∥x 轴．∵直线y =-x +b 经过点A ，∴0=-8+b ，∴b =8，∴直线AD 的解析式为y =-x +8．当y =6时，有-x +8=6，解得：x =2，∴点D 的坐标为(2，6)．∵点P 是AD 的中点，∴点P 的坐标为(2+82，6+02)，即(5，3)，设直线OP 的解析式为y =kx ，∴3=5k ，解得k =35，∴直线OP 的解析式为y =35x ；(2)当x =8时，y =35x =245，∴点E 的坐标为(8，245)，设点N 的坐标为(a ，-a +8)，∴S =12×245×|8-a |=125|8-a |，当a <8时，S =125|8-a |=-125a +965，当a >8时，S =125|8-a |=125a -965，∴S =-125a +965(a <8)125a -965(a >8)，当S =12时，125|8-a |=12，解得：a =3或a =13；(3)∵点T 的坐标为(t ，0)(5<t <8)，∴点F 的坐标为(t ，35t )，点G 的坐标为(t ，-t +8)．分三种情况考虑：①当∠FGQ =90°时，如图1所示．∵△FGQ 为等腰直角三角形，∴FG =GQ ，即35t -(-t +8)=8-t ，解得：t =8013，此时点Q 的坐标为(8，2413)；②当∠GFQ =90°时，如图2所示．∵△FGQ 为等腰直角三角形，∴FG =FQ ，即35t -(-t +8)=8-t ，解得：t =8013，此时点Q 的坐标为(8，4813)；③当∠FQG =90°时，过点Q 作QS ⊥FG 于点S ，如图3所示．∵△FGQ 为等腰直角三角形，∴FG =2QS ，即35t -(-t +8)=2(8-t )，解得：t =203，此时点F 的坐标为(203，4)，点G 的坐标为(203，43)，此时点Q 的坐标为(8，4+432)，即(8，83)．综上所述：在线段AE 上存在一点Q ，使得△FGQ 为等腰直角三角形，当t =8013时点Q 的坐标为(8，2413)或(8，4813)，当t =203时点Q 的坐标为(8，83)．2.解：(1)把x =0代入y =-2x +4得：y =4，∴点B (0，4)，∴OB =4，把y =0代入y =-2x +4得：x =2，∴点A (2，0)，∴OA =2，∵△AOB ≌△DOC ，∴OC =OB =4，OD =OA =2，故答案为：4，2；(2)设直线CD 对应的函数表达式为：y =kx +b ，∵OC =4，OD =2，∴C (-4，0)，D (0，2)，把C (-4，0)，D (0，2)代入y =kx +b 得-4k +b =0b =2，解得k =12b =2，∴直线CD 对应的函数表达式为y =12x +2，∴M (-1，32)，∵△AOB ≌△DOC ，∴∠OBA =∠OCD ，OB =OC ，又∵ON ⊥OM ，即∠MOD +∠BON =90°，∵∠COD =90°，即∠COM +∠MOD =90°，∴∠BON =∠COM ，∴△OBN ≌△OCM (ASA )，∴OM =ON ，分别过点M 、N 作ME ⊥x 轴于点E ，NF ⊥y 轴于点F ，∴∠OFN =∠OEM ，∵∠BON =∠COM ，OM =ON ，∴△OFN ≌△OEM (AAS )，∴OF =OE =1，FN =EM =32，∴点N 的坐标为(32，1)，故答案为：(32，1)；(3)直线CD 上存在点Q ，使△EPQ 得是以E 为直角顶点的等腰三角形．∵E (1，b )为直线AB 上的点，∴b =-2×1+4=2，∴E (1，2)，①当点P 在点B 下方时，如图，连接DE ，过点Q 作QM ⊥DE ，交DE 的延长线于M 点，∵D (0，2)，∴DE ⊥y 轴，DE =1，点M 的纵坐标为2，∠M =∠EDP =90°，∵△EPQ 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，∴EP =EQ ，∠PEQ =90°，∴∠QEM +∠PED =90°=∠QEM +∠EQM ，∴∠DEP =∠EQM ，∴△DEP ≌△MQE (AAS )，∴MQ =DE =1，∴Q 点的纵坐标为3，把y =3代入y =12x +2中得：x =2，∴点Q (2，3)；②当点P 在点B 上方时，如图，过E 点作EM ∥y 轴，过点Q 作QM ⊥EM 于M 点，过P 点作PN ⊥EM 交ME 的延长线于N 点．则∠M =∠N =90°，∴N 点的橫坐标为1，则PN =1，∵△EPQ 是以E 为直角顶点的等腰三角形，∴EP =EQ ，∠PEQ =90°，∴∠QEM +∠PEN =90°=∠PEN +∠NPE ，∴∠MEQ =∠NPE ，∴△EQM ≌△PEN (AAS )，∴M 点的纵坐标为1，∴Q 点的纵坐标为1，把y =1代入y =12x +2中得：x =-2，∴Q (-2，1)；综上所述，直线CD 上存在点Q ，使得△EPQ 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，Q 点的坐标为(2，3)或(-2，1)．3.解：(1)如图1，当PQ 平分∠APC ，有∠APQ =∠CPQ ，∵矩形ABCD 中，AB =3cm ，BC =4cm ，∴AD ∥BC ，AD =BC =4cm ，AB =CD =3cm ，∠B =90°，∴∠CPQ =∠AQP ，∴∠APQ =∠AQP =∠CPQ ，∴AP =AQ ，∴AP 2=AQ 2，由题意知：BP =2t cm ，DQ =t cm ，∴AQ =AD -DQ =(4-t )cm ，∵∠B =90°，∴AP 2=AB 2+BP 2=32+(2t )2，∴32+(2t )2=(4-t )2，解得：t 1=-4+423，t 2=-4-423，∵0<t <2，∴t =-4+423，∴当t =-4+423秒时，PQ 平分∠APC ；(2)如图2，当P 、Q 运动时间为ts 时，BP =2t cm ，DQ =t cm ，∵QE ∥AC ，∴△DQE ∽△DAC ，∴DQDA =DE DC，∴t 4=DE 3，∴DE =34t cm ，∴S △ABP =12AB •BP =12×3×2t =3t (cm 2)，S △QDE =12t ×34t =38t 2(cm 2)，∵S 矩形ABCD =AB •BC =3×4=12(cm 2)，∴y =S 五边形APCEQ =S 矩形ABCD -S △ABP -S △QDE =12-3t -38t 2(0<t <2)，∴y 与t 的函数关系式为：y =-38t 2-3t +12(0<t <2)；(3)①当∠QEP =90°，如图3，∵∠QED +∠EQD =90°，∠QED +∠EQD =90°，∴∠CEP =∠DQE ，∵∠QDE =∠ECP =90°，∴△QDE ∽△ECP ，当运动时间为ts 时，∵QD =t cm ，由(2)可知，DE =34t cm ，∴EC =DC -DE =(3-34t )cm ，∵BP =2t cm ，∴CP =(4-2t )cm ，∴QDEC =DE CP ，∴t 3-34t =34t4-2t，解得：t =2823或t =0(舍去)，∴t =2823；②当∠PQE =90°时，如图4，过点P 作线段PI ⊥AD 于点I ，∵∠EQD +∠PQI =90°，∠QED +∠EQD =90°，∴∠PQI =∠QED ，∵∠QDE =∠PIQ =90°，∴△QDE ∽△PIQ ，当运动时间为ts 时，∵QD =t cm ，由(2)可知，DE =34t cm ，∵BP =AI =2t cm ，∴QI =AD -QD -AI =4-t -2t =(4-3t )cm ，∵PI =AB =3cm ，∴PI QD =IQDE ，∴3t =4-3t34t ，解得：t =712或t =0(舍去)，∴t =712；③当∠QPE =90°，不满足题意，综上所述，t 的值为2823或712时，△PQE 是直角三角形．4.(1)解：设直线l 1的函数表达式为y =kx +b (k ≠0)．∵图象经过点(5，6)，A (-3，0)，∴5k +b =6-3k +b =0 ，解得k =34b =94 ，∴直线l 1的函数表达式为y =34x +94．联立y =34x +94y =3x，解得：x =1y =3 ，∴点B 的坐标为(1，3)；(2)解：∵A (-3，0)，B (1，3)，∴S △AOB =12×3×3=92；(3)解：∵点C 在x 轴上，∴∠BAC ≠90°，∴当△ABC 是直角三角形时，需分∠ACB =90°和∠ABC =90°两种情况．①当∠ACB =90°时，点C 在图中C 1的位置：∵点A 和点C 1均在x 轴上，∴BC 1⊥x 轴．∵B (1，3)，∴C 1(1，0)；②当∠ABC =90°时，点C 在图中C 2的位置：设C 2(m ，0)，(m >0)∵A (-3，0)，B (1，3)，C 1(1，0)，∴AC 1=4，BC 1=3，C 1C 2=m -1，AC 2=m +3，∴AB =AC 12+BC 21=42+32=5．在Rt △ABC 2中，AC 22-AB 2=BC 12，在Rt △BC 1C 2中，BC 12+C 1C 22=BC 22，∴AC 22-AB 2=BC 12+C 1C 22，即(m +3)2-52=32+(m -1)2，解得m =134，∴C 2134,0 ．综上可知，在x 轴上存在点C ，使得△ABC 是直角三角形，点C 的坐标为(1，0)或134,0．5.解：(1)设直线l 1的表达式为y =kx +b ，将A (6，0)、B (0，8)代入得：6k +b =0b =8 ，解得：k =-43b =8，∴直线l 1的表达式为y =43x +8；(2)由点A 、B 的坐标知，OA =6，OB =8，则AB =10，t 秒时，BC =t ，BD =BA -AD =10-2t ，当BC =BD 时，则t =10-2t ，解得：t =103；故答案为：103．(3)由平移可得：直线EF 的关系式为：y =43x -3 +8=-43x +12，当x =0时，y =12，F (0，12)，当y =0时，x =9，E (9，0)，四边形BAEF 的面积=S △EFO -S △ABO ，即S 四边形BAEF =12×9×12-12×6×8=30，答：四边形BAEF 的面积是30．(4)存在．当∠ABP =90°，AB =BP 时，如图所示：过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，可证△AOB ≌△BMP (AAS )，∴AO =BM =6，BO =MP =8，∴OM =14，∴P (8，14)．当∠BAP =90°，AB =AP 时，如图所示：过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，可证△AOB ≌△PMA (AAS )，∴AO =PM =6，BO =AM =8，∴OM =14，∴P (14，6)．当∠APB =90°，BP =AP 时，如图所示：过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，可证△AMP ≌△BNP (AAS )，∴AM =BM ，PM =PN ，∴6+AM =8-BN ，∴AM ==BN =1，∴OM =7=PN =PM ，∴P (7，7)，∴P (8，14)．综上，点P (8，14)或(14，6)或(7，7)．6.解：(1)令y =54x +74=0，解得：x =75，∴点C 的坐标为75,0 ；(2)由(1)知OC =75；代入点A (-1，m )，B (n ，-2)两点可得：m =54+74,-2=-54n +74，解得：m =3，n =3，∴A (-1，3)，B (3，-2)，∴S △AOC =12×75×3=2110，AC =75+1 2+32=3415，设原点O 到直线AB 的距离为d ，∴S △AOC =12×3415d =2110，解得：d =741=74141；(3)存在，理由如下：设点P 的坐标为(x ，0)，∵∠ACP 为锐角，∴△ACP 是直角三角形，而分两种情况分析：①若∠APC =90°，此时点P 的坐标为(-1，0)；②若∠PAC =90°，AC 2+AP 2=CP 2，故75+1 2+32+x +1 2+32=75-x 2，解得：x =-194，此时点P 的坐标为(-6，0)；综上所述，存在满足条件的点P 的坐标为(-1，0)或-194,0．7.解：(1)把D 坐标(1，n )代入y =x +1中得：n =2，即D (1，2)，把B (0，-1)与D (1，2)代入y =kx +b 中得：b =-1k +b =2 ，解得：k =3b =-1 ，∴直线BD 解析式为y =3x -1，对于直线y =x +1，令y =0，得到x =-1，即E (-1，0)；令x =0，得到y =1，对于直线y =3x -1，令y =0，得到x =13，即C (13，0)，则S 四边形AOCD =S △DEC -S △AEO =12×43×2-12×1×1=56；(2)存在．如图，当∠DPC =90°时，P (1，0)．当∠CDP ′=90°时，△DPC ∽△P ′PD ，∴PD 2=CP •PP ′，∴22=23×PP ′，∴PP ′=6，∴OP =OP +PP ′=1+6=7，∴P ′(7，0)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为(1，0)或(7，0)．8.解：(1)如图1中，过点A 作AH ⊥OB 于点H ，∵A(3，3)，∴AH=OH=3，∵OA=AB，AH⊥OB，∴HB=OH=3，∴OB=6，∴B(6，0)；(2)当点P在线段OB上时，2t=2(6-2t)，∴t=2．当点P在线段OB的延长线上时，2t=2(2t-6)，∴t=6．综上所述，满足条件的t的值为2或6．(3)存在．如图2中，当P(4，0)时，满足条件的点Q的坐标为(5，1)或(6，2)或(4，2)．如图3中，当P(12，0)时，点Q的坐标为(9，3)或(12，6)或(6，6)．综上所述，满足条件的点Q的坐标为(5，1)或(6，2)或(4，2)或(9，3)或(12，6)或(6，6)．9.解：(1)∵a2-4a+4+|b-4|=0，∴(a-2)2+|b-4|=0，∵(a-2)2≥0，|b-4|≥0，∴a=2，b=4，∴A(2，0)，B(0，4)；(2)∵BC平分∠OBA，AM平分∠BAD，∴∠CBA=12∠OBA,∠BAM=12∠BAD，∵∠C+∠CBA=∠BAM，∠AOB=∠BAD-∠OBA，∴∠C=∠BAM-∠CBA=12∠BAD-12∠OBA=12∠AOB=12×90°=45°；(3)存在，满足条件的点共有6个，如图所示，P 1(6，2)，P 2(-2，-2)，P 3(4，6)，P 4(-4，2)，P 5(3，3)，P 6(-1，1)．10.(1)解：结论：△AED 是等腰直角三角形．理由：在△ABE 和△ECD 中，AB =EC∠B =∠C BE =CD，∴△ABE ≌△ECD (SAS )，∴AE =DE ，∠BAE =∠CED ，∵∠BAE +∠AED =90°，∴∠CED +∠AEB =90°，∴∠AED =90°，∴△AED 是等腰直角三角形；(2)证明：过点E 作EF ⊥AD 于F ，由(1)可知△EFA ≌△ACB ，∴AF =BC ，∵AD =2BC ，∴AD =2AF ，∴AF =DF ，又∵EF ⊥AD ，∴DE =AE ；(3)解：存在．分三种情况，①若点O 为直角顶点，如图3，∵A (3，2)，∴OF =3，AF =2，过点A 作AF ⊥x 轴于F ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，由(1)知△BEO ≌△OFA ，∴BE =OF =3，OE =AF =2，∴B (-2，3)；②若点A 为直角顶点，如图4，过点A 作AF ⊥x 轴于F ，过点B 作BE ⊥AF ，交FA 的延长线于E ，由(1)知△BEA ≌△AFO ，∴BE =OF =2，AE =PF =5，∴B (1，5)；③若点B 为直角顶点，如图5，过点B 作BE ⊥y 轴于E ，过点A 作AF ⊥BE ，交EB 的延长线于F ，由(1)知△BEO ≌△AFB ，∴BE =AF ，OE =BF ，设BE =AF =a ，则OE =2+a，∴a +2+a =3，∴a =12，∴OE =a +2=12+2=52，∴B (12，52)；综上所述，存在点B ，使得△OAB 是等腰直角三角形，点B 的坐标为(-2，3)或(1，5)或B (12，52)．11.解：(1)当t =1时，由题意可知：AP =1cm ，BQ =2cm ，∵AB =11cm ，∴PB =10cm ，∵∠B =90°，∴PQ =PB 2+BQ 2=102+22=226cm ；(2)∵∠B =90°，∴△BPQ 是等腰三角形时，只有BP =BQ ，由题意可知：BP =(11-t )cm ，∵Q 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿BC 向点C 匀速运动，到达点C 后返回点B ，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，∴当0≤t ≤4时，BQ =2t cm ；当4<t ≤8时，BQ =(16-2t )cm ；当8<t ≤11时，BQ =(2t -16)cm ；∵BP =BQ ，∴11-t =2t ，解得：t =113>4，故不符合题意；11-t =16-2t ，解得：t =5，符合题意；11-t =2t -16，解得：t =9，符合题意；综上所述：t =5或t =9；(3)假设存在t 使得△BPQ 的面积等于10cm 2，由(2)可知：BP =(11-t )cm ，当0≤t ≤4时，BQ =2t cm ；当4<t ≤8时，BQ =(16-2t )cm ；当8<t ≤11时，BQ =(2t -16)cm ；∴当0≤t ≤4时，12×11-t ×2t =10；解得：t =1或t =10(舍去)；当4<t ≤8时，12×11-t ×16-2t =10；，解得：t =6或t =13(舍去)；当8<t ≤11时，12×11-t ×2t -16 =10，因为Δ<0，故无解，综上所述，当t =1或t =6时△BPQ 的面积等于10cm 2．12.解：(1)∵四边形OABC 是矩形，∴OA ∥BC ，∴∠CBO =∠AOB ，根据翻折的性质可知：∠EOB =∠AOB ，∴∠EOB =∠EBO ，∴EO =EB ，设EO=EB=x，在Rt△ECO中，EO2=OC2+CE2，∴x2=32+(6-x)2，解得x=15 4，∴CE=BC-EB=6-154=94，∴E(94，3)，设直线AE的解析式为y=kx+b，∴6k+b=094k+b=3 ，解得k=-45b=245，∴直线AE的函数解析式为y=-45x+245；(2)如图，OB=32+62=35．设F(n，0)．①当OB=OF时，F(35，3)或(-35，0)；②当OB=BF时，∴OB2=BF2，∴45=9+(6-n)2，解得n=12或0(舍去)，∴F(12，0)，③当OF=BF时，∴OF2=BF2，∴n2=9+(6-n)2，解得n=15 4，∴F(154，0)，综上所述，在x轴上是存在点F，使△OBF为等腰三角形，点F的坐标为(35，3)或(-35，0)或(12，0)或(154，0)．13.(1)解：∵点B坐标为(0，3)，点C坐标为(9，0)，∴OB=3，OC=9，∵∠ACB=90°，∴∠BCO+∠ACD=90°，且∠BCO+∠OBC=90°，∴∠ACD=∠OBC，且AC=BC，∠BOC=∠ADC=90°，∴△BOC≌△CDA(AAS)，∴CD=OB=3，∴OD=OC+CD=12，AO=OC=9，∴点A的坐标(12，9)；(2)OE =DE 且OE ⊥DE ；证明：过E 作EF ⊥y 轴于F ，并交AD 于G ，则FG =OD =12且FG ⊥AD ，∵B (0，3)，A (12，9)，E 为AB 中点，∴E (6，6)，∴EF =EG =6，OF =DG =6，又∵∠EFO =∠EGD =90°，∴△EFO ≌△EGD ，且△EFO 和△EGD 都为等腰直角三角形，∴OE =DE ，∠FEO =∠GED =45°，∴∠OED =180°-∠FEO -∠GED =90°，∴OE ⊥DE ；(3)解：①当以点A 为顶角顶点时，且OA 是腰，∵AD ⊥x 轴，∴点Q 1，O 关于直线AD 对称，即：Q 1(24，0)；②当以点A 为底角顶点时，且OA 是腰，形成锐角三角形时，则OQ 2=OA =15，∴Q 2(15，0)；③当以点A 为底角顶点时，且OA 是腰，形成钝角三角形时，则OQ 3=OA =15，∴Q 3(-15，0)，综上所述：Q 的坐标为：(24，0)或(15，0)或(-15，0)．14.解：(1)在y =x +3中，令y =0，得x =-3，∴B (-3，0)．将C (1，m )代入y =x +3得m =4，∴C (1，4)；(2)设直线l 2的函数表达式为y =kx +b (k ≠0)，将C (1，4)，A (3，0)代入得，k +b =43k +b =0 ，解得k =-2b =6 ，∴直线l 2的函数表达式为y =-2x +6；(3)∵C (1，4)，CD ⊥x 轴于点D ，∴D (1，0)．又∵B (-3，0)，∴CD =4,BD =4,BC =CD 2+BD 2=42．①当点B 为等腰△BCP 的顶点，即BC =BP 时，∵BC =42,B -3,0 ，∴此时点P 的坐标为-3-42,0 或42-3,0 ；②当点P 为等腰△BCP 的顶点，即PB =PC 时，。
考点10一次函数(解析版)
第四章一次函数考点类型大总结【知识点及考点类型梳理】一、正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．二、一次函数1.一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．2.一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数. 3.注意（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.三、一次函数的图象及性质1．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．k的符号函数图象图象的位置性质k>0图象经过第一、三象限y随x的增大而增大k<0图象经过第二、四象限y随x的增大而减小2.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象一次函数的图象一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-bk，0)的一条直线图象关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度图象确定因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可（2）一次函数的性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y =kx +b (k ≠0)k >0，b >0一、二、三y 随x 的增大而增大k >0，b <0一、三、四y =kx +b (k ≠0)k <0，b >0一、二、四y 随x 的增大而减小k <0，b <0二、三、四3.k ，b 的符号与直线y =kx +b （k ≠0）的关系在直线y =kx +b （k ≠0）中，令y =0，则x =-b k ，即直线y =kx +b 与x 轴交于（–bk，0）．①当–bk>0时，即k ，b 异号时，直线与x 轴交于正半轴．②当–bk=0，即b =0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k ，b 同号时，直线与x 轴交于负半轴．4.两直线y =k 1x +b 1（k 1≠0）与y =k 2x +b 2（k 2≠0）的位置关系：①当k 1=k 2，b 1≠b 2，两直线平行；②当k 1=k 2，b 1=b 2，两直线重合；③当k 1≠k 2，b 1=b 2，两直线交于y 轴上一点；④当k 1·k 2=–1时，两直线垂直．四、待定系数法1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤（1）设含有待定系数的函数解析式为y =kx （k ≠0）．（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系数k ．（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．（3）解二元一次方程组，求出k，b．（4）将求得的k，b的值代入解析式．五、一次函数与正比例函数的区别与联系正比例函数一次函数区别一般形式y=kx+b（k是常数，且k≠0）y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）图象经过原点的一条直线一条直线k，b符号的作用k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限求解析式的条件只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标需要两对x，y的对应值或两个点的坐标联系比例函数是特殊的一次函数．②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．④一次函数与正比例函数有着共同的性质：a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．六、一次函数与方程（组）、不等式1．一次函数与一元一次方程任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．2．一次函数与一元一次不等式任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．3．一次函数与二元一次方程组一般地，二元一次方程mx +ny =p （m ，n ，p 是常数，且m ≠0，n ≠0）都能写成y =ax +b （a ，b 为常数，且a ≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．七、一次函数图象与图形面积解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．考点类型一、一次函数与正比例函数的定义1.在下列函数中：①8y x =-；②312y x =+；③1y =；④285y x =-+；⑤0.51y x =--，一次函数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】一般地，形如y =kx +b （k ≠0，k 、b 是常数）的函数，叫做一次函数，据此进行判断即可．【详解】解：①8y x =-属于一次函数；②312y x =+属于一次函数；③1y =不属于一次函数；④285y x =-+属于二次函数；⑤0.51y x =--属于一次函数；∴一次函数有3个，故选：C ．2.下列问题中，两个变量之间是正比例函数关系的是（）A ．汽车以80km/h 的速度匀速行驶，行驶路程(km)y 与行驶时间(h)x 之间的关系B ．圆的面积()2cm y 与它的半径(cm)x 之间的关系C ．某水池有水315m ，现打开进水管进水，进水速度35m /h ，h x 后水池有水3m yD ．有一个边长为x 的正方体，则它的表面积S 与边长x 之间的函数关系【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义逐个判断即可求解【详解】选项A:y=80x,属于正比例函数，两个变量之间成正比例函数关系，符合题意;选项B:2y x π=属于二次函数，两个变量之间不是成正比例函数关系，不合题意;选项C:y=15+5x ，属于一次函数，两个变量之间不是成正比例函数关系，不合题意;选项D:S=6x 2，属于二次函数，两个变量之间不是成正比例函数关系，不合题意;故选:A 【点睛】本题考查正比例函数的定义，正确理解正比例函数的定义是关键3.在①8y x =-；②8y x=-；③1y =；④286y x =-+；⑤0.51y x =--，一次函数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】一般地，形如y =kx +b （k ≠0，k 、b 是常数）的函数，叫做一次函数，据此进行判断即可．【详解】解：①y =-8x 属于一次函数；②y =8x-属于反比例函数；③y不属于一次函数；④y =-8x 2+6属于二次函数；⑤y =-0.5x -1属于一次函数，∴一次函数有2个，故选：B ．举一反三4.下列函数中是一次函数的是（）A ．y ＝2x B ．2y x=C ．y ＝x 2D ．y ＝kx +b （k ，b 为常数）【答案】A 【分析】利用一次函数定义进行解答即可．【详解】解：A 、y ＝2x是一次函数，故此选项符合题意；B 、y ＝2x是反比例函数，不是一次函数，故此选项不合题意；C 、y ＝x 2是二次函数，故此选项不符合题意；D 、当k ＝0时，y ＝kx +b （k ，b 为常数）不是一次函数，故此选项不合题意；故选：A ．5.下列函数是正比例函数的是（）A ．2x y =B ．2y x=C ．2y x =D ．2(1)y x =+【答案】A 【分析】根据用x 表示成y 的函数后，若符合()0y kx k =≠的形式，是正比例函数解答即可．【详解】A 、2xy =是正比例函数；B 、2y x=是反比例函数；C 、2y x =是二次函数；D 、()21y x =+是一次函数．故选：A ．考点类型二、一次函数的图像6.函数2y x =-的图象经过的象限是（）A ．第一，二，三象限B ．第一，二，四象限C ．第一，三，四象限D ．第二，三，四象限【答案】C【分析】根据一次函数k=1＞0，b=-2＜0，即可得到答案．【详解】y x=-中，k=1＞0，b=-2＜0，解：∵函数2y x=-的图象经过的象限是：第一，三，四象限，∴2故选C．【点睛】本题主要考查一次函数图像所经过的象限，掌握一次函数图像与一次函数中的系数k，b的关系，是解题的关键．7.若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而减小，则（）A．k＜2B．k＞2C．k＜0D．k＞0【答案】A【分析】根据一次函数的性质，可得答案．【详解】解：由题意，得k-2＜0，解得k＜2，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的性质，y=kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，当k＜0时，函数值y随x 的增大而减小．8.若一次函数的y＝kx+b（k＜0）图象上有两点A（﹣2，y1）、B（1，y2），则下列y大小关系正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2【答案】B【分析】首先观察一次函数的x项的系数，当x项的系数大于0，则一次函数随着x的增大而增大，当x小于0，则一次函数随着x的减小而增大．因此只需要比较A、B点的横坐标即可．【详解】解：根据一次函数的解析式y ＝kx +b （k <0）可得此一次函数随着x 的增大而减小因为A （﹣2，y 1）、B （1，y 2），根据-2<1，可得12y y >故选B ．9.已知直线32y x b =-+经过点A (1m ，-2)，B (2m ，-1)两点，则1m ______2m 【答案】＞【分析】根据一次函数增减性可得，k ＜0，y 随x 的增大而减小，k ＞0，y 随x 的增大而增大即可判断得出答案.【详解】解：∵直线的解析式为32y x b=-+∴k ＜0∴y 随x 的增大而减小∵直线32y x b =-+经过点A (1m ，-2)，B (2m ，-1)两点，21-<-∴12m m >故答案为：>.10.在一次函数23y x =-+中，当05x ≤≤时，y 的最小值为________．【答案】-7【分析】根据一次函数的性质得y 随x 的增大而减小，则当x =5时，y 有最小值，然后计算x =-5时的函数值即可．【详解】解：∵k =-2＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x =5时，y 有最小值，把x =5代入y =-2x +3得y =-10+3=-7．故答案为：-7．11.关于一次函数y ＝﹣2x +4，下列结论正确的是（）A ．图象过点（0，-2）B ．图象经过一、三、四象限C．y随x的增大而增大D．图象与x轴交于点（2，0）【答案】D【分析】根据一次函数的性质对各项进行逐一判断即可．【详解】A、当x=0时，y=4，过点（0，4），故A选项错误；B、因为k=-2<0，图象经过第一、二、四象限，故B错误；C、因为k=-2<0，y随x的增大而减小，故C错误；D、当y=0时，x=2，即图象与x轴交于点（2，0），故D正确．故选：D12.下图中表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝nx（m，n是常数，且mn＜0）图象的是（）A．B．C．D．【答案】B解：A、根据图中正比例函数y＝nx的图象知，n＜0；∵m，n是常数，且mn＜0，∴m＞0，∴一次函数y ＝mx+n的图象经过第一、三、四象限；故本选项错误；B、根据图中正比例函数y＝nx的图象知，n＞0；∵m，n是常数，且mn＜0，∴m＜0，∴一次函数y＝mx+n 的图象经过第一、二、四象限；故本选项正确；C、根据图中正比例函数y＝nx的图象知，n＜0；∵m，n是常数，且mn＜0，∴m＞0，∴一次函数y＝mx+n 的图象经过第一、三、四象限；故本选项错误；D、根据图中正比例函数y＝nx的图象知，n＞0；∵m，n是常数，且mn＜0，∴m＜0，∴一次函数y＝mx+n 的图象经过第一、二、四象限；故本选项错误；故选：B ．【点睛】本题综合考查了正比例函数、一次函数图象与系数的关系．解题的关键是掌握一次函数(0)y kx b k =+≠的图象有四种情况：①当0k >，0b >，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限；②当0k >，0b <，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限；③当0k <，0b >时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限；④当0k <，0b <时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限．13.一次函数52y x =-的图象过点()11,x y ，()()12131,,2,x y x y ++，则（）A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．213y y y <<D ．312y y y <<【答案】A 【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据x 1＜x 1＋1＜x 1＋2即可得出结论．【详解】解：∵一次函数52y x =-中，k ＝5＞0，∴y 随着x 的增大而增大．∵一次函数52y x =-的图象过点()11,x y ，()()12131,,2,x y x y ++，且x 1＜x 1＋1＜x 1＋2，∴123y y y ＜＜，故选：A ．14.若直线y ＝kx ＋b 不经过第一象限，则（）A ．k ＞0，b ＜0B ．k ＜0，b ≤0C ．k ＜0，b ≥0D ．k ＜0，b ＞0【答案】B 【分析】由题意，结合一次函数图象特点，直线必过第二、三、四象限或经过原点和第二、四象限，由此讨论求解即可．【详解】解：由直线y kx b =+不经过第一象限，可分两种情况：当直线经过第二、三、四象限时，∵直线必过第二、四象限，∴k ＜0，∵直线还经过第三象限，即直线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴b ＜0；当直线经过原点和第二、四象限时，k ＜0，b =0，综上，k ＜0，b ≤0，故选：B ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象在直角坐标系中的位置与系数k 、b 的关系是解答的关键．15.将直线23y x =-向上平移2个单位长度，所得的直线解析式为________．【答案】y =2x -1【分析】根据k 值不变，b 值加2可得出答案．【详解】解：平移后的解析式为：y =2x -3+2=2x -1．故答案为：y =2x -1．【点睛】本题考查的是关于一次函数的图象与它平移后图象的变换的题目，在解题过程中只要抓住平移后直线方程的斜率不变这一性质，就能很容易解答了．16.在平面直角坐标系中，要得到函数y ＝2x ﹣1的图象，只需要将函数y ＝2x 的图象（）A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位【答案】B【分析】根据“上加下减”的原则写出新直线解析式．【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数2y x =的图象向下平移1个单位长度所得函数的解析式为21y x =-．故选：B ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．17.点P （a ，b ）在函数3y x =的图象上，则代数式622021a b -+的值等于_________．【答案】2021.【分析】把点P 的坐标代入一次函数解析式，得出3b a =，将3b a =代入622021a b -+中计算即可．【详解】解：∵点P （a ，b ）在函数3y x =的图象上，∴3b a =，∴62202162320212021a b a a -+=-+= 故答案为：2021．【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质，结合代数式求值是解题的关键．18.已知函数y 1＝（m +1）x ﹣m 2+1（m 是常数）．（1）m 为何值时，y 1随x 的增大而减小；（2）m 满足什么条件时，该函数是正比例函数？（3）若该函数的图象与另一个函数y 2＝x +n （n 是常数）的图象相交于点（m ，3），求这两个函数的图象与y 轴围成的三角形的面积．【答案】（1）m ＜﹣1；（2）m ＝1；（3）4【分析】（1）根据题意10+<m ，解得即可；（2）根据正比例函数的定义得到10m +≠，210m -+＝，解得1m =；（3）由函数()2111y m x m =+-+经过点(),3m 求得2m =，得到交点为()2,3，根据交点坐标求得函数1y 的解析式，即可求得与y 轴的交点坐标，把交点坐标代入2y x n =+，求得解析式，即可求得与y 轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得两个函数的图象与y 轴围成的三角形的面积．【详解】解：（1）由题意：10+<m ，1m ∴<-，即1m <-时，1y 随x 的增大而减小；（2）若该函数是正比例数，则10m +≠，210m -+=，1m ∴=，即1m =时，该函数是正比例数；（3） 两个的图象相交于点(),3m ，()2113m m m ∴+-+=，2m ∴=，∴交点坐标为()2,3，∴该点到y 轴的距离为2，将2m =代入()2111y m x m =+-+，得：133y x =-，将交点坐标()2,3代入2y x n =+，得：1n =，21y x ∴=+，∴两个函数图象与y 轴的交点坐标分别为()0,3-和()0,1，∴所围成的三角形的面积为：()13224--⨯÷=⎡⎤⎣⎦．【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正比例函数的定义，一次函数图象与系数的关系，三角形的面积等，熟练掌握一次函数的性质以及求得交点坐标是解题的关键．考点类型三、求一次函数表达式19.已知3y +与x 成正比例，且2x =时，1y =．求y 关于x 的函数表达式；【答案】y 关于x 的函数表达式为23y x =-．【分析】设3y kx +=（0k ≠），再把2x =，1y =代入求出y 关于x 的关系式即可．【详解】设3y kx +=（k 是常数且0k ≠），把2x =，1y =代入，得132k +=，解得2k =，所以32y x +=，所以y 关于x 的函数表达式为23y x =-．【点睛】本题考查正比例函数的定义，根据题意求出k 的值是解题的关键．20.已知y ﹣2与x ＋1成正比例，且x ＝2时，y ＝8（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当x ＝﹣4时，求y 的值．【答案】（1）y ＝2x ＋4，（2）-4【分析】（1）设y ﹣2＝k （x ＋1）（k 为常数，k≠0），把x ＝2，y ＝8代入求出k 即可；（2）把x ＝﹣4代入y ＝2x ＋4计算即可求出答案．【详解】解：（1）∵y ﹣2与x ＋1成正比例，∴设y ﹣2＝k （x ＋1）（k 为常数，k≠0），把x ＝2，y ＝8代入得：8﹣2＝k （2＋1），解得：k ＝2，即y ﹣2＝2（x ＋1），即y ＝2x ＋4，∴y 与x 之间的函数关系式是y ＝2x ＋4；（2）当x ＝﹣4时，y ＝2×（﹣4）＋4＝﹣4．21.某物流公司引进A 、B 两种机器人用来搬运某种货物．这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B 种机器人也开始搬运，如图，线段OG 表示A 种机器人的搬运量y A （千克）与时间x （时）的函数图象，线段EF 表示B 种机器人的搬运量y B （千克）与时间x （时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）P 点的含义是；（2）求y B 关于x 的函数解析式；（3）如果A 、B 两种机器人连续运5小时，那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了多少千克？【答案】（1）A 种机器人搬运3小时时，A 、B 两种机器人的搬运量相等，且都为180千克；（2）y ＝90x ﹣90（1≤x ≤6）；（3）如果A 、B 两种机器人连续运5小时，那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了150千克【分析】（1）观察函数图象，根据点P 为线段OG 、EF 的交点结合题意即可找出点P 的含义；（2）根据点E 、P 的坐标利用待定系数法即可求出y B 关于x 的函数解析式；（3）根据工作总量＝工作效率×工作时间，分别求出A 、B 两种机器人连续运5小时的云货量，二者做差即可得出结论．【详解】解：（1）P 点的含义是：A 种机器人搬运3小时时，A 、B 两种机器人的搬运量相等，且都为180千克．故答案为：A 种机器人搬运3小时时，A 、B 两种机器人的搬运量相等，且都为180千克．（2）设y B 关于x 的函数解析式为y B ＝kx +b ，将（1，0）、（3，180）代入y B ＝kx +b ，03180k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：9090k b =⎧⎨=-⎩，∴y B 关于x 的函数解析式为y ＝90x ﹣90（1≤x ≤6）．（3）连续工作5小时，A 种机器人的搬运量为（180÷3）×5＝300（千克），连续工作5小时，B 种机器人的搬运量为[180÷（3﹣1）]×5＝450（千克），B 种机器人比A 种机器人多搬运了450﹣300＝150（千克）．答：如果A 、B 两种机器人连续运5小时，那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了150千克．22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且经过点()2,6D -，与正比例函数3y x =的图象相交于点C ，点C 的横坐标为1.（1）求一次函数y kx b =+的解析式（2）求BOC 的面积【答案】（1）4y x =-+；（2）2【分析】（1）求出点C 的坐标，将,C D 坐标代入到y kx b =+中，求出即可；（2）求出点B 的坐标，根据三角形的面积公式即可求出；【详解】解：（1）当1x =时，3y =设直线y kx b =+过()()1,32,6-，∴623k b k b=-+⎧⎨=+⎩解得：14k b =-⎧⎨=⎩∴函数解析式为4y x =-+（2）当0x =时，4y =∴14122BOC S =⨯⨯= 考点类型四、一次函数与一元一次方程23.画出函数33y x =-+的图象，根据图象回答下列问题：求方程330x -+=的解【答案】图像见详解；1x =．【分析】利用两点法画出函数的图象，然后令0y =，即直线与x 轴的交点的横坐标就是方程330x -+=的解．【详解】解：∵函数33y x =-+，令0y =，则1x =；令0x =，则3y =，33y x =-+的图像如图所示：由图可知，方程330x -+=的解是1x =；【点睛】本题考查了画一次函数的图像，由图像求一元一次方程的解，解题的关键是掌握一次函数的性质进行解题．考点类型五、一次函数的综合24.如图，在平面直角坐标系中，一次函数6y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，与正比例函数12y x =的图象交于点A ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求OAC 的面积；（3）若动点M 在射线AC 上运动，当OMC 的面积是OAC 的面积的12时，求出此时点M 的坐标．【答案】（1）()4,2A ，()6,0B ，()0,6C ；（2）12；（3）()2,4或()2,8-．【分析】（1）在一次函数6y x =-+中，分别令0y =，0x =，即可求出B 、C 的坐标，再联立一次函数和正比例函数即可求出交点A 的坐标；（2）利用（1）中，找到OC ，A x 的长即可求出OAC 的面积；（3）根据OMC 的面积是OAC 的面积的12时，求出M 的横坐标，再分情况讨论即可找到M 的坐标．【详解】解：（1）∵一次函数6y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，∴令0x =，则6y =，故()0,6C ，令0y =，则6x =，故()6,0B ，而A 为一次函数6y x =-+和正比例函数12y x =图象的交点，联立方程得：612y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：42x y =⎧⎨=⎩，∴A 的坐标为()4,2．故答案为：()4,2A ，()6,0B ，()0,6C ．（2）由（1）可知：6OC =，4A x =，∴12OAC A S OC x =⨯⨯△164122=⨯⨯=．故答案为：12．（3）由题意得：12OMC OAC S S =△△11262=⨯=，而116622OMC M M S OC x x =⨯⨯=⨯⨯=△∴2M x =|，∴2M x =±，分情况讨论：①当2M x =时，6264y x =-+=-+=，故此时M 点的坐标为()2,4，②若2M x =-时，6268y x =-+=+=，故此时M 点的坐标为()2,8-，综上，M 点的坐标为()2,4或()2,8-；故答案为：()2,4或()2,8-．25.如图，直线l 分别与x 轴，y 轴相交于点A （5，0），B （0，4），点E （2.5，m ）在l 上，直线y ＝kx +b经过点E ，并与x 轴相交于点F ．若EF 将△AOB 分割为左右两部分，且四边形OFEB 与△FEA 的面积之比为3：2，则线段OF 的长为（）A ．0.5B ．1C ．1.5D ．2【答案】B【分析】利用待定系数法求直线AB 的解析式，然后根据一次函数图象上点的坐标特点求得E 点坐标，从而确定点E 为AB 的中点，从而结合三角形面积比计算求解．【详解】解：设直线AB 的解析式为y kx b =+，将(5,0)A ，(0,4)B 代入，504k b b +=⎧⎨=⎩，解得：454k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为：4y x 45=-+，又 点(2.5,)E m 在AB 上，4 2.5425m ∴=-⨯+=，E ∴点坐标为(2.5,2)，又 50 2.52+=，0422+=，∴点E 是线段AB 的中点，FEA FEB S S ∆∆∴=，又 四边形OFEB 与FEA ∆的面积之比为3:2，FBA S ∆∴与AOB S ∆的面积之比为4:5，∴45 AF OA=4 AF∴=，1OF OA AF∴=-=，故选：B．【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式的步骤，理解一次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．26.如图，已知一次函数y＝12x＋3的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．点C（4，n）在该函数的图象上，连接OC．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）求△OAC的面积．【答案】（1）A（﹣6，0），B（0，3）；（2）15【分析】（1）根据一次函数y＝12x＋3，分别令x=0，y=0即可求出A，B的坐标；（2）根据点C（4，n）在该函数的图象上，将之代入一次函数解析式求出C点的坐标，根据三角形的面积公式即可求得三角形面积．【详解】解：（1）∵一次函数y＝12x＋3的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，令x=0，则y=3，令y=0，则x=-6，∴A（﹣6，0），B（0，3）；（2）把点C （4，n ）代入y ＝12x ＋3得14352n =⨯+=，∴点C 的坐标为（4，5），∴11651522AOC C S OA y ∆=⨯⨯=⨯=．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．27.如图，直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点E 、点F ，点E 的坐标为()8,0-，点A 的坐标为()6,0-．（1）求一次函数的解析式；（2）若点(),P x y 是线段EF （不与点E 、F 重合）上的一点，试写出OPA ∆的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的条件下探究：当点P 在什么位置时，OPA ∆的面积为278，并说明理由．【答案】（1）364y x =+；（2）9184s x =+；80x -<<；（3）当P 的坐标为139,28⎛⎫- ⎪⎝⎭时，OPA ∆的面积为278，见解析【分析】（1）把点E 的坐标为（-8，0）代入6y kx =+求出k 即可解决问题；（2）△OPA 是以OA 长度6为底边，P 点的纵坐标为高的三角形，根据1••2PAO y S OA P =，列出函数关系式即可；（3）利用（2）的结论，列出方程即可解决问题；【详解】解：（1）把()8,0E -代入6y kx =+中有086k =-+∴34k =∴一次函数解析式为364y x =+（2）如图：∵OPA ∆是以OA 为底边，P 点的纵坐标为高的三角形∵()6,0A -∴6OA =∴1139666182244s y x x ⎛⎫=⨯⨯=⨯+=+ ⎪⎝⎭自变量x 的取值范围：80x -<<（3）当OPA ∆的面积为278时，有9271848x +=解得132x =-把132x =-代入一次函数364y x =+中，得98y =∴当P 的坐标为139,28⎛⎫- ⎪⎝⎭时，OPA ∆的面积为27828.如图，直线AB 的解析式为2y x =+，直线AC 的解析式为4y x =-+，两条直线交于点A ，且分别与x 轴交于点B 、点C ．（1）求ABC 的面积；（2）点D 为线段AC 上一点，连接BD ，若BD =D 的坐标．【答案】（1）9ABC S = ；（2）()3,1D ．【分析】（1）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，联立两直线解析式求交点坐标()1,3A ，可得3AE =，再求直线与x 轴两交点坐标()2,0B -，()4,0C ，可求()426BC =--=，利用三角形面积公式求即可；（2）过点D 作DF x ⊥轴于点F ，设点D 的横坐标为m ，(),4D m m -+，根据勾股定理222BD DF BF =+，即()()22242m m =-+++解方程即可．【详解】解：（1）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，由题意联立方程组24y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得：13x y =⎧⎨=⎩，∴()1,3A ，∴3AE =.当0y =时，20x +=，∴2x =-，∴()2,0B -，当0y =时，40x -+=，∴4x =，∴()4,0C ，∴()426BC =--=，∴1163922ABC S BC AE =⋅=⨯⨯=△；（2）过点D 作DF x ⊥轴于点F ，设点D 的横坐标为m ，∵点D 在直线AC 上，∴4y m =-+，∴(),4D m m -+，∴4DF m =-+，∴()22BF m m =--=+，在Rt DBF △中，90DFB ∠=︒，根据勾股定理222BD DF BF =+，∴()()22242m m =-+++，整理得2230m m --=，解得：13m =，21m =-（不合题意，舍去），∴()3,1D ．29.如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD 各顶点的坐标分别为A （1，﹣1），B （2，﹣3），C （4，﹣3），D（3，﹣1），若直线y ＝﹣3x +b 与▱ABCD 有交点，则b 的取值范围是（）A ．3≤b ≤8B ．2≤b ≤8C ．2≤b ≤9D ．﹣3≤b ≤9【答案】C【分析】根据A 、B 的坐标求出直线AB 的解析式，然后与直线3y x b =-+进行比较k 的值，最后进行分析计算即可得到答案.【详解】解:设直线AB 解析式为y mx n=+∵A 点坐标为（1，-1），B 点的坐标为（2，-3）∴132m n m n-=+⎧⎨-=+⎩∴解得21m n =-⎧⎨=⎩∴直线AB 解析式为21y x =-+∵23->-∴直线3y x b =-+的倾斜程度比直线21y x =-+的倾斜程度更厉害即为下图所示的情况时，直线3y x b =-+与平行四边ABCD 有交点当直线3y x b =-+经过A （1，-1）时∴1131b -=-⨯+，解得12b =当直线3y x b =-+经过C （4，-3）时∴2334b -=-⨯+，解得29b =综上所述29b ≤≤故选C.【点睛】本题主要考查了一次函数图像与图形的交点问题，解题的关键在于能够找到临界直线进行求解计算.30.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点30A （，），点04B （，），点D 在y 轴的负半轴上，若将DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处．（1）直接写出结果：线段AB 的长__________，点C 的坐标__________；（2）求直线CD 的函数表达式；（3）点P 在直线CD 上，使得2PAC OAB S S = ，求点P 的坐标．【答案】（1）5AB =，()80，C ；（2）直线CD 的函数表达式为364y x =-；（3）P 点坐标为7224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或824,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）运用勾股定理即可求出线段AB 的长；根据折叠得AC AB =，可得点C 的坐标；（2）设点D 的坐标为：()0,m ，而CD BD =，根据222OC OD CD +=，即可求出点D 的坐标，运用待定系数法设直线CD 的表达式为y kx b =+，将点C 、点D 代入即可求出答案；（3））设ACP △边AC 上的高为h ，根据2PAC OAB S S = ，求出h ，即可知道点P 的纵坐标，最后代入直线CD 的函数表示式中，即可求出答案．【详解】解：（1）()3,0A ，()0,4B ，3OA ∴=,4OB =，90AOB ∠=︒Q ，5AB ∴==；由折叠得：5AC AB ==，358OC OA AC ∴=+=+=，∴点C 的坐标为()8,0；故答案为：5AB =，80C （，）；（2）设点()0,D m ，则OD m =-，由折叠可知，4CD BD m ==-，在Rt OCD △中，222=+CD OD OC ，()222(4)8m m ∴-=-+，解得：6m =-，0,6D ∴-（），设直线CD 的函数表达式为y kx b =+，将()8,0C 、0,6D -（）代入，得806k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，34k =，6b =-，∴直线CD 的函数表达式为364y x =-．（3）设ACP △边AC 上的高为h ，则1134622OAB S OA OB =⋅⋅=⨯⨯= ，1522PAC S AC h h =⋅⋅= ，且2PAC OAB S S = ，245h ∴=，因此点P的纵坐标为245或245-，当245y=时，即324645x-=，解得725x=；当245y=-时，即324645x-=-，解得85x=，因此，点P坐标为7224,55⎛⎫⎪⎝⎭或824,55⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，勾股定理，三角形面积公式等．课后巩固1．一次函数y＝﹣3x﹣2的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【分析】k＜0，函数一定经过第二，四象限，b＜0，直线与y轴交于负半轴，所以函数图象过第三象限，所以函数图象不过第一象限．【详解】解：∵k＝﹣3＜0，b＝﹣2＜0，∴函数的图象不经过第一象限，故选：A．2．一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点A（2，y1），B（﹣1，y2），则y1与y2的大小关系正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定【答案】A【分析】在y=kx+b中，当k＜0时，y随x的增大而减小，当k＞0时，y随x的增大而增大；利用一次函数的增减性进行判断即可．【详解】解：在一次函数y=-2x+b中，。
八年级一次函数特殊三角形点坐标解法
一、概述在初中数学中，一次函数是一个非常基础且重要的概念。
它不仅仅在数学中有着广泛的应用，同时也在实际生活中有着丰富的应用场景。
其中，一次函数特殊三角形点坐标解法是一个较为常见的题型，对于八年级的学生来说，了解并掌握这一解法对于理解一次函数的性质和特点是至关重要的。
二、一次函数特殊三角形点坐标解法的定义一次函数特殊三角形点坐标解法是指通过一次函数的方程，求出满足一定条件的特殊三角形的顶点坐标。
通常情况下，给定一次函数的方程及特殊三角形的一些条件，要求学生计算出特殊三角形各个顶点的坐标。
三、解题步骤解题步骤主要包括以下几个方面：1. 理解一次函数的方程在开始解答一次函数特殊三角形点坐标解法之前，学生首先需要对一次函数的方程有一个清晰的理解。
一次函数的一般方程可表示为y = kx + b，其中k和b分别代表函数的斜率和截距。
2. 确定特殊三角形的条件通常情况下，给定的一次函数特殊三角形点坐标解法题目会附带一些特殊的条件，比如顶点在何地、边长有多长等等。
学生需要准确理解这些条件，以便在后续的计算中能够正确地运用。
3. 列出方程并求解根据所给一次函数的方程和特殊三角形的条件，学生需要先列出相应的方程，并通过解方程的方法计算出特殊三角形各个顶点的坐标。
四、案例分析以下通过一个实际案例来说明一次函数特殊三角形点坐标解法的具体过程。
已知一次函数方程为y = 2x + 3，且特殊三角形ABC中，A(-1, 1)、BC为x轴上的线段，且AB = 3，BC = 4。
根据已知条件，我们可以按照以下步骤来解题：1. 确定特殊三角形的条件：- A(-1, 1)表示A点的坐标为(-1, 1)- AB = 3表示AB的边长为3- BC = 4表示BC的边长为42. 求解特殊三角形顶点B和C的坐标：由于B点在x轴上，所以其纵坐标为0，设B点的横坐标为x，则B 点的坐标为(x, 0)根据AB = 3，可得到AB的斜率为2由y = kx + b，将A点的坐标代入，可得到3 = 2*(-1) + b，解得b = 5B点的坐标为(1, 0)同理，根据BC = 4，可得到BC的斜率为-2由y = kx + b，将B点的坐标代入，可得到4 = -2x + 5，解得x = 0.5C点的坐标为(0.5, 0)3. 验证结果：将求得的B点和C点的坐标代入一次函数方程y = 2x + 3中，验证是否符合题意。
中考数学复习：专题3-7 例析一次函数图象截出的等腰三角形问题
例析一次函数图象截出的等腰三角形【专题综述】当一次函数图象与坐标轴围成的三角形是一个等腰直角三角形时，不仅仅考查一次函数的图象和性质，还会涉及等腰三角形一系列性质,的这个特殊的三角形能给我们解题带来许多的精彩. 【方法解读】例1 如图1，直线4y x =-+与两坐标轴分别相交于A 、B 两点，点M 是线段AB 上任意一点(A 、B 两点除外)，过点M 分别作MC OA ⊥于点C ，MD OB ⊥于点D .(1)当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化?并说明理由; (2)当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值?最大值是多少?(3)如图2,3当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为(04)a a <<，正方形OCMD 与AOB ∆重叠部分的面积为S .试求S 与a 的函数关系式，并画出该函数的图象.分析 第(1)问，要想确定四边形的周长在点的运动过程是如何变化的，首先要解决的就是结合图形表示出四边形的周长.根据矩形的性质，已知这里四边形的周长是2()OC MC +，四边形周长的变化规律就取决于线段和OC MC +的变化规律.结合题目条件，我们会有两种基本的思路:一是坐标法表示线段，线段OC 的长恰好是点M 的横坐标的绝对值，MC 的长恰好是点M 的纵坐标的绝对值，这是这一方法的精髓;二是转化线段和法，根据条件知道OAB ∆是一个等腰直角三角形，且腰4OA OB ==，因此MC CA =，所以线段MC OC +就转化成了OC AC OA +=，从而也能将所求化解.第(2)问，在探求周长的基础上，进一步探求四边形的面积变化规律.借鉴第(1)问的思路，解题的关键是先表示出四边形的面积，即OC MC ⨯，利用坐标法就可以将四边形的面积转化成二次函数的，最值自然就可以确定.第(3)问，解答时体现两种数学思想的灵活应用:一是数形结合的思想，初步判定重合部分图形的形状，确定面积的分割法表示;二是分类的思想，抓住a 的变化规律，立足正方形成立的条件，给出a 的正确分类也是解题的重要因素.解 (1)因为直线4y x =-+与两坐标轴分别相交于A 、B 两点，所以点A 的坐标为(4,0)，点B 的坐标为(0,4).所以4OA =,4OB =，所以ABO ∆是等腰直角三角形.因为MC OA ⊥，MD OB ⊥，所以四边形OCMD 是矩形，且MCA ∆是等腰直角三角形，所以MC AC =.因为矩形OCMD 的周长为2()2()28OC MC OC CA OA +=+==，所以四边形OCMD 的周长是定值，且为8;(2)设四边形OCMD 的面积为S ，根据题意，得22(4)4(2)4S MC MD x x x x x ==-+=-+=--+所以四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标(04)x x <<的二次函数，并且当2x =，即当点M 运动到线段AB 的中点时，四边形OCMD 的面积最大且最大面积为4;(3)设两个图形重合部分的面积为S ，正方形OCMD 与直线的交点Q ，如图2，当02a <≤时，2142S a =-. 如图3，当24a <<时，此时a 为正方形的边与直线交点的横坐标，所以交点的纵坐标为4a -+;纵坐标的绝对值恰好是重叠图形的等腰直角三角形的腰长，所以21(4)2s a =-;所以S 与a 函数的图象如图4所示.点评 这道题是知识与方法的盛宴.涉及的知识点广，有几何知识，一次函数知识，二次函数知识等;涉及的数学思想多，有数形结合的思想，转化的思想，分类的思想，平移的思想等，可谓是包罗万象，值得深思与探究.例2 (2013年长沙中考题)如图5，在平面直角坐标系中，直线2y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，动点(,)P a b 在第一象限，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN (垂足为M ，N )分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点(,)P a b 运动时，矩形PMON 的面积为定值2.(1)求OAB ∠的度数; (2)求证AOF ∆∽BEO ∆;(3)当点E ，F 都在线段AB 上时，由三条线段AE ，EF ，BF 组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为1S ，OEF ∆的面积为2S ，试探究:12S S +是否存在最小值?若存在，请求出该最小值;若不存在，请说明理由.分析 第(1)问的证明是比较容易的;第(2)问的证明抓住一个关键点:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;第(3)问的关键在判定三条线段组成的三角形的形状.解 (1)当0x =时，2y =，当0y =时，2x =，所以点A 坐标为(2,0)，点B 坐标为(0,2)，OA OB =，所以45OAB ∠=︒ ;(2)法 1 因为矩形OMPN 的面积是2，所以点P 坐标为2(,)a a，点E 坐标为(,2)a a -+，点F 坐标为222(,)a a a-22AF a=，2BE a =222OA BE a a==，2222AF a OB ==OA AFBE OB∴= 45OAF EBO ∠=∠=︒∴AOF ∆∽BEO ∆法2：(2,0)A ，(0,2)B2OA OB ∴== 4OA OB ∴=点P 的坐标为(,)a b(,2)E a a ∴-，(2,)F b b -，如图5在等腰直角三角形AFD 中，得2AF b =，在等腰直角三角形BEP 中，2BE a =，222AF BE b a ab ∴==因为矩形的面积是定值2，2ab ∴=4AF BE ∴=AF BE OA OB ∴=OA AFBE OB∴= 45OAF EBO ∠=∠=︒AOF ∴∆∽BEO ∆(3)根据(2)知，以BF EF AE ，，为边的三角形是直角三角形，且斜边是2(2)EF a b =+-，所以三角形的外接圆面积为212(2)(a b S π+-=2(2)2a b π=+-过点O 作EF 边上的高OD ，易求得高为2OD =，2122(2)2S a b ∴=+-2a b =+-212(2)(2)2S S a b a b π∴+=+-++-所以关于2a b +-的二次函数的开口向上，所以12S S +有最小值，当12a b π+-=-时，函数有最小值，但是此值不在取值范围内，因此取不到.因为a ，b 都是正数，222a b ab ∴+≥=12222a b π∴+-≥->-∴当2222a b +-=-时，12S S +的值最小，最小值为2(222)2222π-+-反思 此题可以引申出如下几个独立的新结论:结论1 如图5，在平面直角坐标系中，直线2y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ,动点(,)P a b 在第一象限，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN (垂足为M ，N )分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点(,)P a b 运动时，矩形PMON 的面积为定值2，若E ，F 都在直线AB 上，求证:EOF ∠是一个定值.第(2)问的三种证明方法都可以帮助你实现证明.结论2 如图5，在平面直角坐标系中，直线2y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ,动点(,)P a b 在第一象限，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN (垂足为M ，N )分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点(,)P a b 运动时，矩形PMON 的面积为定值2，若E ，F 都在直线AB 上，试判断以BF EF AE ，，为边的三角形的形状，并证明你的猜想.相信读者也会轻松解决.结论3 如图5，在平面直角坐标系中，直线2y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ,动点(,)P a b 在第一象限，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN (垂足为M ，N )分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点(,)P a b 运动时，矩形PMON 的面积为定值2，若E ，F 都在直线AB 上，设OBF ∆面积为1S ，OEF ∆的面积为2S ，OEA ∆的面积为3S ，试判断1S ，2S ，3S 之间的关系，并证明你的猜想.根据结论2，你同样能轻松解决.结论4 如图5，在平面直角坐标系中，直线2y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ,动点(,)P a b 在第一象限，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN (垂足为M ，N )分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点(,)P a b 运动时，矩形PMON 的面积为定值2，若E ，F 都在直线AB 上，设BNF ∆面积为1S ，PEF ∆的面积为2S ，MEA ∆的面积为3S ，试判断1S ，2S ，3S 之间的关系，并证明你的猜想.结论5 如图5，在平面直角坐标系中，直线2y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ,动点(,)P a b 在第一象限，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN (垂足为M ，N )分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点(,)P a b 运动时，矩形PMON 的面积为定值2，确定点P 所在函数的解析式. 上述结论的答案分别是: 结论1：45EOF ∠=︒. 结论2：直角三角形.结论3：222213S S S =+.结论4：213S S S =+. 结论5：2y x=. 【强化训练】1.（2016浙江省温州市）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A ，B 两点，P 是线段AB 上任意一点（不包括端点），过P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（ ）A ．y =x +5B ．y =x +10C ．y =﹣x +5D ．y =﹣x +102.（2016四川省内江市）如图所示，已知点C （1，0），直线y =﹣x +7与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是 ．3.（2017丽水）如图，在平面直角坐标系x Oy中，直线y=﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C （2，0）．（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是；（2）设点P为线段OB的中点，连结P A，PC，若∠CP A=∠ABO，则m的值是．4．如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）5．如图，直线l：y=x+1交y轴于点A1，在x轴正方向上取点B1，使OB1=OA1；过点B1作A2B1⊥x轴，交l 于点A2，在x轴正方向上取点B2，使B1B2=B1A2；过点B2作A3B2⊥x轴，交l于点A3，在x轴正方向上取点B3，使B2B3=B2A3；…记△OA1B1面积为S1，△B1A2B2面积为S2，△B2A3B3面积为S3，…则S2017等于（）A. 24030B. 24031C. 24032D. 240336．正方形OABC的边长为2，其中OA、OC分别在x轴和y轴上，如图①所示，直线l经过A、C两点．(1)若点P是直线l上的一点，当△OP A的面积是3时，请求出点P的坐标；(2)如图②，坐标系xOy内有一点D(－1，2)，点E是直线l上的一个动点．①请求出|BE＋DE|的最小值和此时点E的坐标；②若将点D沿x轴翻折到x轴下方，直接写出|BE－DE|的最大值，并写出此时点E的坐标．7．一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象由直线y=3x向下平移得到，且过点A(1，2)．(1)求一次函数的解析式；(2)求直线y=kx＋b与x轴的交点B的坐标；(3)设坐标原点为O，一条直线过点B，且与两条坐标轴围成的三角形的面积是12，这条直线与y轴交于点C，求直线AC对应的一次函数的解析式．8．如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P（1，b）(1)求b，m的值(2)垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别相交于C，D，若线段CD长为2，求a的值9．如图，在平面直角坐标系中，已知直线2y x =+和6y x =-+与x 轴分别相交于点A 和点B ，设两直线相交于点C ，点D 为AB 的中点，点E 是线段AC 上一个动点（不与点A 和C 重合），连结DE ，并过点D 作DF DE ⊥交BC 于点F ． （1）判断ABC 的形状，并说明理由．（2）当点E 在线段AC 上运动时，四边形CEDF 的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．（3）当点E 的横坐标为12-时，在x 轴上找到一点P 使得PEF 的周长最小，请直接写出点P 的坐标．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（5，0），点B 的坐标为（3，2），直线111l y k x =：经过原点和点B ，直线222l y k x b =+：经过点A 和点B .（1）求直线1l ， 2l 的函数关系式；（2）根据函数图像回答：不等式120y y ⋅＜的解集为 ；（3）若点P 是x 轴上的一动点，经过点P 作直线m ∥y 轴，交直线1l 于点C ，交直线2l 于点D ，分别经过点C ，D 向y 轴作垂线，垂足分别为点E ， F ，得长方形CDFE .①若设点P 的横坐标为m ，则点C 的坐标为（m ， ），点D 的坐标为（m ， ）；（用含字母m 的式子表示）②若长方形CDFE 的周长为26，求m 的值.。
浅述初中数学差异教学的研究与实施——以“一次函数概念”为例
浅述初中数学差异教学的研究与实施——以“一次函数概念”为例发布时间：2021-08-03T15:09:48.477Z 来源：《教学与研究》2021年4月10期作者：欧国强[导读] 一次函数是初中生最先接触到的函数概念，是学生后续学好其他函数的基础欧国强中山市第一中学广东中山 528400摘要：一次函数是初中生最先接触到的函数概念，是学生后续学好其他函数的基础，学生在进入到初二以后，学习难度进一步加大，学生对数学的理解水平会出现差异分化，因此，根据学生的水平差异制定不同的课堂教学方法显得尤为重要。
差异教学绝不仅仅是把学生简单地分开，也不仅仅是讲多讲少、讲快讲慢的区别，而是要从教学目标、教学实施过程、作业布置、评价方式等采取不同教学设计。
文章以八年级下册“一次函数概念”的教学为例，探讨差异教学的研究和实施。
关健词：一次函数；差异教学；实施与研究引言一次函数的内容较多，也为后期其他函数的学习提供了学习思路和框架，而函数这个载体，又需要结合前期的很多知识。
一次函数中既有最基本的知识要求，又有难度较大的综合题，因此，对于不同水平的学生差异教学就能较好地解决这个问题。
下文笔者结合自己的实践经历，以“一次函数”为例浅谈差异教学对初中数学教学的重要意义。
一、研究意义1.函数理解是数学理解中重要且困难的内容之一国外对函数的理解相当重视，如美国、法国等在数学课程标准中对函数内容提出了具体的要求。
而我国无论是以前的教学大纲还是现在的课程标准都鲜明地体现了函数理解的重要性与困难性，甚至是目前正在修订的高中数学课程标准中也可看出函数理解是学习数形结合、转化与化归思想的基础，是培养学生核心素养的重要内容（如图1）。
且各国课标在函数的学习中都要求学生能够利用所学的特殊函数模型去解决一些实际问题，可见通过函数的理解能够逐渐培养学生数学建模的核心素养。
图1：鲍建生核心素养的评价建议报告2.函数概念是中学数学的重要概念著名数学家F·克莱茵（F·Klein，1849——1925）称函数为数学的“灵魂”，认为函数概念应该成为中学数学的“基石”，纵观近、现代数学的发展可知，函数是描述运动、变化的基本概念。
一次函数的定义、图象特点和性质
084. 一次函数的定义、图象特点和性质班级姓名知识要点：1.定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数.形如的函数，叫做一次函数.正比例函数是特殊的一次函数2.一次函数的图象：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，图象称为直线y=kx+b．由于确定一条直线，画一次函数的图象只需要找到适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点，直线与x轴的交点 .画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.画函数y=2x+3的图像时取点，画函数y=-3x的图像时取点3.一次函数y=kx+b（k≠0）的性质（1）k的正、负决定直线的倾斜方向，也决定函数的增减性；（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；（4）由于k、b的符号不同，直线所经过的象限也不同；4.直线的平行、相交（1）同一平面坐标系内，不重合的两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：当时，两直线平行；当时，两直线相交。
5.点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在函数y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式y=kx+b的一对对应值，那么以P（x0，y0）为坐标的点必在函数y=kx+b的图象上．训练题：1.下列函数中是一次函数的是（）A.122-=x yB.x y 1-= C.31+=x y D.1232-+=x x y 2．关于x 的函数()n x m y -+-=21，当 时，此函数是一次函数，当 时，此函数为正比例函数．3.对于函数y ＝5x+6，y 的值随x 值的减小而_ _. 对于函数1223y x =-, y 的值随x 值的_____而增大.4.如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（ ） A ．0k >，0b >B ．0k >，0b <C ．0k <，0b >D ．0k <，0b <5.已知函数y=(1-m)x+m-2,当m 时，y 随x 的增大而增大。
一次函数视角下的特殊三角形存在性问题解题策略探究
一次函数视角下的特殊三角形存在性问题解题策略探究【摘要】一次函数视角下的特殊三角形存在问题的探究，借助几何画板画图操作活动，正确分析问题、转化化归，模型意识反思，对数形结合思想、方程思想、分类讨论思想的感悟，利用几何法和代数法求解问题。
【关键词】运算意识；几何作图；模型意识；一次函数；特殊三角形一次函数视角下的特殊三角形存在性问题是在变化的过程中，研究背景图形，根据条件探索某种状态是否存在，把函数信息坐标或表达式转化为几何信息。
分析不变特征，确定分类标准，探寻特殊状态运动的结果，画出符合题意的图形求解。
知识储备：用待定系数法求解一次函数的解析式，联立方程组求解两个一次函数图象的交点，求解三个顶点为定点的三角形的面积，用铅锤法求解有顶点是动点的三角形的面积。
解题困惑：对一次函数视角下的特殊三角形存在性问题，如直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、全等三角形等的存在性问题，学生解题过程存在一些困难，无法画图，进行正确的分类讨论，易出现漏解、错解。
策略探究：假设特殊三角形存在→推理论证→得出相应结论。
类型：两定一动及一定两动，思路：代数法→算理意识，几何法→构图识图，函数法→待定系数法。
一、直角三角形的构造→直角顶点的分类讨论方法策略：分别对三角形三个顶点为直角顶点的情況进行分类讨论，需要同时利用全等、勾股定理等相关知识计算，从而求出对应的点坐标。
【数学活动1】一次函数图象与坐标轴交于点A、B，在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，求符合条件的C点坐标。
思路探析：找点→两条垂线一个圆，求点→解析式法、距离公式与勾股定理、斜率法（圆上的点），增（舍）点→斜率不存在或等于零，需结合图形检查是否遗漏。
画图探寻：满足条件的坐标轴上的 C 点共有 3 个，如图所示：两垂线→→①若∠BAC=90°，则AB⊥AC，所以以A为垂足作线段AB的垂线，交x轴于C1，则△C1AB是以AB为直角边的直角三角形。
一次函数与几何综合一
一次函数与几何综合(一)标模块一一次函数与线段长例1(2017江岸区八下期末)如图，直线l: y=2x+4.(1)①直接写出直线l关于y轴对称的直线l i的解析式：；②直接写出直线l向右平移2个单位得到的直线12的解析式： ;(2)在(1)的基础上，点M是x轴上一点，过点M作x轴的垂线交直线l i于点Q、交直线l2于点P,若PM = 2PQ,求M 点的坐标.例2(2017斫口区八下期末)图1中两条经过原点O的射线组成的图形E表示y关于x的函数关系式.(1)直接写出图形E表示的函数解析式；(2)如图2,过直线y=3上一点P(m, 3)作x轴的垂线交图形E于点C,交直线y=- x- 1于点D.①若m>0,试比较PC与PD的大小，并证明你的结论；②若CD <3,求m的取值范围.图图2挑战压轴题(2017黄陂区八下期末第24题)如图，直线l i经过点P(2, 2),分别交x轴、y轴于点A(4, 0)、B.(1)求直线l i的解析式；(2)点C为x轴负半轴上一点，过点C的直线l2：y=mx+ n交线段AB于点D.①如图1,当点D恰与点P重合时，点Q(t, 0)为x轴上一动点，过点Q作QM，x轴，分别交直线11、12于点M、N,若m= - , MN = 2MQ,求t 的值；2②如图2,若BC=CD,试判断m、n之间的数量关系并说明理由.模块二一次函数与特殊三角形知识导航1.等腰直角三角形一三垂直全等如图，△ ABC中，AB = AC, / BAC=90°,可构造如图所示的三垂直全等模型，“△ ACD^A BAE"，从而可以转化为水平线段长度与点坐标的基本计算.若已知等腰直角三角形三个顶点坐标中的两个便可通过此方法求第三顶点坐标.2.等腰三角形的存在性一两圆一中垂已知A、B为定点，C为动点，△ ABC为等腰三角形，则分下列情况：(1)若CA = CB,则点C在AB中垂线上(不与AB共线).(2)若AC = AB,则点C在以A为圆心，AB为半径的圆上(不与点B重合).(3)若BA=BC,则点C在以B为圆心，AB为半径的圆上(不与点A重合).3.直角三角形的存在性一两垂一圆已知A、B为定点，C为动点，△ ABC为直角三角形，则分下列情况：(1)若/ CAB = 90°,则点C在过点A且垂直AB的直线上(不与点A重合).(2)若/ CBA = 90°,则点C在过点B且垂直AB的直线上(不与点B重合).(3)若/ ACB = 90°,则点C在以AB为直径的圆上(不与点A、B重合).八下会把特殊三角形的顶点放在一次函数背景下讨论、计算.例3如图，在直角坐标系中，矩形OABC的两边在坐标轴上，其中点B的坐标为(4, 3),过点A的直线AD 的解析式为y=2x+3,点P是直线AD上一动点，点Q是线段BC(包才B, C两点)上一动点.若AP = AQ 且AP^AQ,求点P的坐标及直线AQ的解析式；练习如图1,在平面直角坐标系中，A(a, 0), B(0, b),且b= "a -4+”5 +16a 2(1)求直线AB的解析式；(2)如图2,若点M为直线y=mx在第一象限上一点，且^ ABM是等腰直角三角形，求m.图1 图2例4在平面直角坐标系中，直线y=kx— k经过一定点P.(1)直接写出P点坐标；(2)在y轴上有一点A(0, 2),当k = 2时，将直线y=kx—k向上平移2个单位得到直线1,在直线l上找点C,使得△ ACO为等腰三角形，求点C的坐标.练习3 ........................................... 如图，在平面直角坐标中，一次函数y= — x+ 2的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，在x轴上是3否存在点P,使^ PAB为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.3 ............... ............................ 例5如图，在平面直角坐标系中，直线y=- ^r-x+ 6与x轴、y轴分别交于B、A点，已知点C从点A出3发沿AO以每秒1cm的速度向点O运动，同时点D从点B出发沿BA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒(0<t<6),过点D作DELOB于点E.连接DC,当t为何值时，△ DEC为直角三角形？模块三一次函数与特殊四边形例61如图，已知函数y=- -x+ b的图象与x轴、y轴分别交于点A, B,与函数y=x的图象交于点E,点E的3横坐标为3.⑴求点A的坐标.1(2)在x轴上有一点F(a, 0),过点F作x轴的垂线，分别交函数y=—-x+b和y=x的图象于点C、D.若3以点B, O, C, D为顶点的四边形为平行四边形，求a的值.练习如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b交x轴于点A,交y轴于点B,线段AB的中点E的坐标为(2, 1).⑴求k、b的值；(2)P为直线AB上一点，PC^x轴于点C, PD^y轴于点D,若四边形PCOD为正方形，求点P的坐标.例7(2017东湖高新区八下期末)平面直角坐标系中，直线y=ax+b与x轴分别交于点B、C,且a、b满足a= *6-b + J b — 6 +3,不论k为何值，直线l: y=kx—2k都经过x轴上一定点A.(1)a =, b =, 点A 的坐标为;(2)如图1,当k= 1时，将线段BC沿某个方向平移，使点B、C对应的点M、N恰好在直线l和直线y= 2x—4上.请你判断四边形BMNC的形状，并说明理由；(3)如图2,当k的取值发生变化时，直线l: y=kx—2k绕着点A旋转，当它与直线y=ax+b相交的夹角为450时，求出相应的k的值.图1 图2拓展1平面直角坐标系中，直线li： y= —/x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线12：y=kx+2k与x轴父于点C,与直线l i交于点P.(1)当k=1时，求点P的坐标；(2)如图1,点D为PA的中点，过点D作DE^x轴于点巳交直线12于点F,若DF=2DE,求k的值.(3)如图2,点P在第二象限内，PM^x轴于M,以PM为边向左作正方形PMNQ, NQ的延长线交直线11 于点R,若PR= PC,求点P的坐标.课后作业A基础巩固1.已知点A的坐标是(2, 2),若点P在x轴上，且^ APO是等腰三角形，则点P的坐标为 .1 2.如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t(t>0),使它与直线y=x和直线y=-2x+2分别交于点D、E(E在D的上方)，且4 PDE为等腰直角三角形.若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，直线y=kx+b与坐标轴分别交于点A, B,且A(—4, 0), &AOB =4.(1)求直线y= kx+ b的解析式；(2)若点P为直线y=kx+b上一点，PC^x轴于C, PD^y轴于D,若四边形PCOD为正方形，求点P坐标.4 .如图，在平面直角坐标系中，直线 y=- — x+ 6与x 轴、y 轴分别交于A 、B 点，已知点C 从点A 出 3发沿AO 以每秒1cm 的速度向点O 运动，同时点D 从点B 出发沿BA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运 动时间为t 秒(0<t<6),过点D 作DELOB 于点E.(1)①直接写出/ ABO 的度数为②证明在C 、D 运动过程中，四边形 ACED 是平行四边形; 5 . (2017洪山区八下期末)3y=— —x+b 分别与x 轴、y 轴父于点 A 、B,且点A 坐标为(8, 0),点 4C 为AB 的中点.⑴写出点B 的坐标(2)如图1,点P 为直线AB 上的一个动点，过点 P 作x 轴的垂线，与直线 OC 交于点Q,设点P 的横坐标 为m,线段PQ 的长度为d,求d 与m 的函数解析式(请直接写出自变量 m 的取值范围)；数学故事为什么2187是个幸运的数字尽管不符合常规理解的“幸运”含义，2187这个数字仍有一系列让人吃惊的特征.在纪念马丁 加德纳 100周年诞辰之际，我们来回顾他在 1997年为《数学信使》(MathematicalIntelligencer)写的一篇文章.在这篇文章中，他问他想象中的好友欧文约书亚矩阵博士(Dr. Irving JoshuaMatrix)关于数字2187的问题.欧文 约书亚 矩阵博士是“世界最著名的数字命理学家”，也是在《科学美国人》(Scientific American )"数学游戏”(Mathematical Games)专栏中经常出现的角色；而 2187,则是加德 纳儿时在美国俄克拉荷马州(Okla)塔尔萨(Tulsa)老家的门牌号码.矩阵博士立刻列举了一系列关于 2187的事实，这让加德纳感到非常兴奋： 2187,是3的7次方，它的.三进制写法是 10000000; 9999减去2187等于7812,恰好与其顺序相反；21乘以87等于1827, 27乘以81又刚好等于2187.“每个数字都有数不 尽的独特的特征，”矩阵博士点评说，同时补充道， 2187也是一个幸运数.幸运数是素数的远亲，素数是只能被1和它本身整除的正整数.尽管这两者在很多方面都不同，但它们都可以利用被称为“筛法”的方法得到.希腊数学家埃拉托斯特尼 (Eratosthenes)设计了一种在正整数序列中寻找素数的方法一一著名的埃拉托斯特尼筛法：首先删除所有除2以外2的倍数，然后删除3的倍数，然后是5, 7, 11等等.这样不断删除到无穷大，就可以得到所有素数.波兰裔美国数学家斯塔尼斯拉夫 乌拉姆(Stanislaw Ulam)在20世纪50年代中期开发出了另一种筛法：同样是从正整数序列开始，先将数列 中的第 2n 个数 （偶数 ）删除，只留下奇数；这样剩下的数列中第二项是 3，因此将新数列的第 3n 个数删除；(2)当 t = 时，四边形ACED 是菱形.如图，在平面直角坐标系中，直线(3)如图2,当点P 在线段 AB 上，在第一象限内有一点 N,使得四边形 OBNP 为菱形，求出N 点坐标.B 综合训练再剩下的新数列中的第三项为7，因此将新数列的第7n 个数删除；再剩下的新数列中的第四项为9，因此将新数列的第9n 个数删除；这样继续下去，最终有一些数永远地逃离了被删除的命运而留下来，这就是为什么乌拉姆把它们称作“幸运数”．幸运数和素数有一些由奇妙的筛法得到的数字的共同特征．比如说，在小于100 的数中，有25 个素数和23 个幸运数，其中有八对孪生素数（之差为 2 的两个素数）以及七对孪生幸运数．关于素数，尚未解决的最有名的问题之一就是哥德巴赫猜想——任一大于2 的偶数，都可表示成两个素数之和．同样另一个未解决的问题是一个相似的命题——任一大于2 的偶数，都可表示成两个幸运数之和．关于2187，还有另一个有趣的事实——如下所示，等号右边的数字之和等于左边与2187 相加的排列不同的数字之和．2187 + 1234=34212187+12345= 145322187 + 123456= 1256432187 + 1234567= 12367542187+ 12345678=123478652187+ 123456789= 123458976。
一次函数与等腰三角形存在性问题
每日一题 079一次函数与等腰三角形武穴市百汇学校徐国纲解题技巧如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．如图，已知线段AB作等腰三角形，则符合要求的点都在以A、B为圆心，AB长为半径的圆和AB的垂直平分线上，这就是传说中的“两圆一线”.解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：表示三边长，分类列方程，解方程并检验．例题解析例❶ 如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．图1-1【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD．①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D 在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6, 0)（如图1-2）．②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5, 0) （如图1-3）．③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）．可求325:48PEl y x=-+，∴25(,0)6P．图1-2 图1-3 图1-4上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P ，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算．代数法先设点P 的坐标为(x , 0)，其中x ＞0，然后表达△DOP 的三边长（的平方）． DO 2＝52，OP 2＝x 2，PD 2＝(x －3)2+42．①当DO ＝DP 时，52＝(x －3)2+42．解得x ＝6，或x ＝0．当x ＝0时既不符合点P 在x 轴的正半轴上，也不存在△DOP ．②当OD ＝OP 时，52＝x 2．解得x ＝±5．当x ＝－5时等腰三角形DOP 是存在的，但是点P 此时不在x 轴的正半轴上（如图1-5）．③当PO ＝PD 时，x 2＝(x －3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x 轴和OD 的垂直平分线）有且只有一个交点．代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验．图1-5例❷ 如图2-1，直线3y x =+与y 、x 轴相交于点A 、C ，动点P 以1个单位/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从点C 出发，沿CO 向点O 移动，当P 、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P 、Q 两点移动的过程中，当△PCQ 为等腰三角形时，求t 的值．图2-1【解析】在P 、Q 两点移动的过程中，△PCQ 的6个元素（3个角和3条边）中，唯一不变的就是∠PCQ 的大小，夹∠PCQ 的两条边CQ ＝t ，CP ＝6－t .因此△PQC 符合“边角边”的解题条件，我们只需要在∠PCQ 的边上取点P 或Q 画圆．图2-2 图2-3 图2-4①如图2-2，当CP ＝CQ 时，t ＝6－t ，解得3t =(秒).②如图2-3，当QP ＝QC 时，过点Q 作QM ⊥AC 于M ，则CM 1622t PC -==. 在Rt △QMC 中，∵30PCQ =︒∠，∴2CQ =，62tt -=，解得3t =-(秒). ③如图2-4，当PQ ＝PC 时，过点P 作PN ⊥BC 于N ，则1122CN CQ t ==. 在Rt △PNC 中，∵30PCQ =︒∠，∴2CP =，62tt -=，解得9t =-秒).例❸ 如图3-1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P(0, m)是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．当△APD 是等腰三角形时，求m 的值．图3-1【解析】点P(0, m)在运动的过程中，△APD 的三个角都在变化，因此不符合几何法“边角边”的解题条件，我们用代数法来解．因为PC//DB ，M 是BC 的中点，所以BD ＝CP ＝2－m ．所以D(2, 4－m)．于是我们可以表达出△APD 的三边长（的平方）：22(4)AD m =-，224AP m =+，2222(42)PD m =+-．①当AP ＝AD 时，22(4)4m m -=+．解得32m =（如图3-2）． ②当P A ＝PD 时，22242(42)m m +=+-． 解得43m =（如图3-3）或4m =（不合题意，舍去）． ③当DA ＝DP 时，222(4)2(42)m m -=+-．解得23m=（如图3-4）或2m=（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为32，43或23．图3-2 图3-3 图3-4其实①、②两种情况，可以用几何说理的方法，计算更简单：①如图3-2，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以12PC MBCM BA==．因此12PC=，32m=．②如图3-3，当P A＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此42m m-=．解得43m=．小结：1、等腰三角形的存在性问题，又可以细分为两个定点一个动点，或一个定点一个定角，或只有一个定点，甚至三个点都是动点等几种类型；2、当条件中有定线段时，可以利用“两圆一线”来画图，再计算；在有定角时，可以借助特殊三角形三边比的特征或相似来建立方程；对于既无定线又无定角的问题，可以用代数法来解，即先表达三边，再分类列方程求解，要注意根据题目条件进行检验.对于不同类型的等腰三角形，我们可以灵活选用几何法或代数法，有时候将两种方法结合起来使用，可以使得解题又快又好；3、在进行有关等腰三角形的计算时，常用到勾股定理、三线合一、特殊角的三角函数、相似、一元二次方程等知识；在这个过程中，贯穿了分类讨论、数形结合、方程等数学思想方法.。
一次函数的图像及性质
一次函数的图象及性质1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴ 次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数和一次函数图像及性质3、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：即横坐标或纵坐标为0的点.4、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.例1：已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，求函数表达式．例2、直线与x 轴交于点A （-4，0），与y 轴交于点B ，若点B 到x 轴的距离为2，求直线的解析式。
例1:已知一次函数)1()14(+-+=m x m y 。
（1）m 为何值时，y 随x 的增大而减小？（2）m 为何值时，此直线与y 轴交点在x 轴下方？ （3）m 为何值时，此直线不经过第三象限？（4）若1=m ，求这个一次函数与两个坐标轴的交点。
一次函数压轴题[含答案解析]
![一次函数压轴题[含答案解析]](https://img.taocdn.com/s3/m/8c758c92c77da26925c5b0e5.png)
1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。
分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；（2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；（3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，∴∠OAB=∠QBC，又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，∴△ABO≌△BCQ，∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，∴C（﹣3，1），由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2；（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC=AD，AB⊥CB，∴BC=BD，∴△BCH≌△BDF，∴BF=BH=2，∴OF=OB=1，∴DG=OB，∴△BOE≌△DGE，∴BE=DE；（3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点，∴P（﹣，），由y=x+2知M（﹣6，0），∴BM=5，则S△BCM=．假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，则BN•=×，∴BN=，ON=，∵BN＜BM，∴点N在线段BM上，∴N（﹣，0）．点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．3．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（x，y）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。
考点09 一次函数的应用-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(原卷版)
考点09 一次函数的应用一次函数的实际应用在中考中更多的是以简答题的形式出题，选择题、填空题多考察一次函数图象的理解和信息提取，并且多考行程类实际应用题。
简答题在出题时也多和方程、不等式结合，考察对象的方案设计和决策等。
在考生复习此考点时，需要多注意一次函数图象具体意义的，熟练掌握根据已知条件确定一次函数的表达式的方法，并能根据一次函数的性质解决简单的实际问题。
一、一次函数图象信息类问题二、利用一次函数进行方案设计与决策三、一次函数与几何的结合问题考向一：一次函数图象信息类问题一．一次函数图象与性质的应用解题要点：1.明确题目中图象的横、纵坐标表示的意义；2.理解并能准确应用图象中的拐点的意义；3.理解函数图象的变化趋势、倾斜程度各表示什么意义；二．分段函数图象问题解题要点：1.读懂每段图象的意义，从图象中获取信息，2.注意图象中的一些特殊点的实际意义；1．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的是（ ）A．两车同时到达乙地B．轿车行驶1.3小时时进行了提速C．货车出发3小时后，轿车追上货车D．两车在前80千米的速度相等2．已知张老师家、超市、书店在同一条直线上．下面的图象反应的过程是：张老师晚饭后从家里散步到超市，在超市停留了一会儿后又去书店看书，看会儿书觉得有点晚了，就快步走回家．图中x表示张老师离开家的时间，y表示张老师离开家的距离．根据图象提供的信息，下列说法错误的是（ ）A．张老师家离超市1.5kmB．张老师在书店停留了30minC．张老师从家里到超市的平均速度与从超市到书店的平均速度是相等的D．张老师从书店到家的平均速度是10km/h3．公路旁依次有A，B，C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往C村（到了C村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s（km）和骑行时间t（h）之间的函数关系，下列结论：①A，B两村相距12km；②小明每小时比小红多骑行8km；③出发1.5h后两人相遇；④图中a＝1.65．其中正确的是（ ）A．②④B．①③④C．①②③D．①②③④4．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1，y2与x的函数关系图象如图所示：（1）根据图象，求出y1，y2关于x的函数关系式．（2）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式．（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油．求A加油站到甲地的距离．考向二：利用一次函数进行方案设计与决策一次函数与方程（组）、不等式的实际应用解题要点：1.利用图象交点的意义及图象关系将实际问题转化为一次函数问题2.在解题中要分清图象所对应的实际问题中的参量，同时要注意自变量的取值范围3.利用一次函数的性质进行方案设计与决策，一般先求出函数表达式，结合不等式求出自变量的取值范围，然后再利用函数的增减性或函数图象进行决策。
一次函数视角下的特殊三角形存在性问题解题策略探究
LiberalArtsGuidance2024年第14期（总第518期）文理导航No.14,2024Serial No.518次函数视角下的特殊三角形存在性问题解题策略探究【摘要】一次函数视角下的特殊三角形存在问题的探究,借助几何画板画图操作活动,正确分析问题、转化化归,模型意识反思,对数形结合思想、方程思想、分类讨论思想的感悟,利用几何法和代数法求解问题。
【关键词】运算意识;几何作图;模型意识;一次函数;特殊三角形一次函数视角下的特殊三角形存在性问题是在变化的过程中,研究背景图形,根据条件探索某种状态是否存在,把函数信息坐标或表达式转化为几何信息。
分析不变特征,确定分类标准,探寻特殊状态运动的结果,画出符合题意的图形求解。
知识储备:用待定系数法求解一次函数的解析式,联立方程组求解两个一次函数图象的交点,求解三个顶点为定点的三角形的面积,用铅锤法求解有顶点是动点的三角形的面积。
解题困惑:对一次函数视角下的特殊三角形存在性问题,如直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、全等三角形等的存在性问题,学生解题过程存在一些困难,无法画图,进行正确的分类讨论,易出现漏解、错解。
策略探究:假设特殊三角形存在→推理论证→得出相应结论。
类型:两定一动及一定两动,思路:代数法→算理意识,几何法→构图识图,函数法→待定系数法。
一、直角三角形的构造→直角顶点的分类讨论方法策略:分别对三角形三个顶点为直角顶点的情况进行分类讨论,需要同时利用全等、勾股定理等相关知识计算,从而求出对应的点坐标。
【数学活动1】一次函数图象与坐标轴交于点A 、B ,在坐标轴上找一点C ,使得△ABC 为直角三角形,求符合条件的C 点坐标。
思路探析:找点→两条垂线一个圆,求点→解析式法、距离公式与勾股定理、斜率法(圆上的点),增(舍)点→斜率不存在或等于零,需结合图形检查是否遗漏。
画图探寻:满足条件的坐标轴上的C 点共有3个,如图所示:两垂线→→①若∠BAC =90°,则AB ⊥AC ,所以以A 为垂足作线段AB 的垂线,交x 轴于C 1,则△C 1AB 是以AB 为直角边的直角三角形。
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一次函数特殊三角形存
在性
集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
特殊三角形存在性 知识点睛
1. 存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存
在的题目，主要考查运动的结果．
2. 存在性问题处理框架：
①研究背景图形．
②分析不变特征，确定分类标准．
③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解．
④结果验证．
3. 不变特征举例：
①等腰三角形
以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定点的位置． ②等腰直角三角形
根据直角顶点确定分类标准，然后借助两腰相等或者45°角确定点的位置． 精讲精练
1. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(-3，4)，P 是x 轴上的一
个动点，则当△AOP 是等腰三角形时，点P 的坐标为____________．
2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数323y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．将△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点O 落在AB 上的点D 处，折痕交x 轴于点E ．
（1）求点D 的坐标．
（2）x 轴上是否存在点P ，使得△PAD 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
3. 直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于点
A ，
B ，且43
OB OA =．点C 在第一象限，是直线y =kx -4上的一个动点，当
△AOC 的面积为6时，x 轴上是否存在
点P ，使△ACP 是等腰三角形？若存
在，求出点P 的坐标；若不存在，请
说明理由． 4. 如图，直线334
y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，在第一象限内是否存在点P ，使以A ，B ，P 为顶点的三y x D B
E A O
角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
5. 如图，直线33y x =--与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点C 在点A 左侧，是x 轴上一点，且满足AC =OA ，过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点D ，在第二象限内是否存在点P ，使得△PAD 是等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
6. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，Q 是直线x =3上的一个
动点，y 轴正半轴上是否存在点P ，使△APQ 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
知识点睛
1. 运动的结果
2. 坐标或表达式
精讲精练
1. (5,0)，(-5,0)，(-6，0)，(256-
，0) 2. （1）(-33
（2）存在(23，0)，(-6-230)， (0，0)，(-4，0)
3. 存在(8，0)，(-2，0)，(9，0)，(
436，0) 4. 存在(7，4)，(3，7)，(72，72
) 5. 存在33，3)，36，33+)，39-33+) 6. 存在(0，1)，(0，3)，(0，4)。