离散数学复习

离散数学复习题B

一. 有两个小题

1．分别说明联结词Ø、∧、∨、→和«在自然语言中表示什么含义。

解：“Ø”表示“…不成立”，“不…”。

“∧”表示“并且”、“不但…而且...”、“既…又...”等。

“∨”表示“或者”，是可兼取的或。

“®”表示如果… ，则…；只要… ，就…；只有… , 才…；仅当… 。“«”表示“当且仅当”、“充分且必要”。

2

解：

二. 1.指出下面的命题公式中哪些是永真式(只写题号即可)。

(1). (P∧(P→Q))→Q (2). P→(P∨Q)

(3). (P∧Q)→Q (4). (P∨Q)→P

解:(1),(2),(3)为永真式。

2.然后对上面的永真式任选其中一个给予证明(方法不限)。

证明 (3). (P∧Q)→Q

设前件(P∧Q)为真，则得Q为真。所以(P∧Q)→Q是永真式。

3.上面哪个不是永真式（找出一个即可），请说明它为什么不是永真式。

解：(4). (P∨Q)→P 不是永真式。

因为如果前件P∨Q为真，后件P不一定为真。所以(P∨Q)→P 不是永真式。

三.用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。要求按照推理的格式书写推理过程。

"x(B(x)®ØC(x)), $xA(x), "x(ØA(x)ÚC(x)) Þ $xØB(x)

解：⑴ $xA(x) P

⑵ A(a) ES ⑴

⑶ "x(ØA(x)ÚC(x)) P

⑷ØA(a)ÚC(a) US ⑶

⑸ C(a) T⑵⑷ I

⑹ "x(B(x)®ØC(x)) P

⑺B(a)®ØC(a) US ⑹

⑻ØB(a) T ⑸⑺ I

⑼ $xØB((x) EG ⑻

四．令全集E={1,2},A={1}, P(A)表示集合A的幂集。

（注意：要求有计算过程，不能直接写出计算结果！）

1. 指出 P(E)和P(A)各有多少个元素。即求|P(E)|和|P(A)|。

解：因为P(E)＝{Φ,{1},{2}, {1,2}} 所以P(E)有4个元素。即|P(E)|＝4。

P(A)＝{Φ,{1}} 所以P(A)有2个元素。即|P(A)|＝2。

2. 计算 P(E)－P(A)

解： P(E)－P(A)＝{Φ,{1},{2},{1,2}－{Φ,{1}}

＝{{2}, {1,2}}

3．计算～AÅE

解：因为～A＝E－A={1,2}-{1}={2}

～AÅE＝{2} Å{1,2}＝({2}È{1,2})－({2}Ç{1,2})＝{1,2}－{2}＝{1}

五.给定集合A={1,2,3},定义A上的关系如下：

R= A×A(完全关系（全域关系）)

S={<1,2>,<2,3>,<3,1>}

T={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>}

M={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}

1.写出关系S的矩阵；再画出上述各个关系的有向图。

解：关系S的矩阵如下：

下面是几个关系的有向图：

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

100

001

010

M

S

3.上述四个关系中，哪些是等价关系？哪些是偏序关系？ 对等价关系，写出此等价关系的各个等价类。 解：T 和R 是等价关系。 M 是偏序关系。

A/T={{1,2},{3}} A/R={{1,2,3}} 4.求复合关系SoT

解：SoT ＝{<1,1>,<1,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>}

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1

3

2 M

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1

3

2 S