《矩形的定义及性质》(课堂PPT)
《矩形的定义及性质说课稿》课件
在解决与矩形相关的问题时，我们需要灵活运用矩形的性质。例如，我们可以利用矩形的对角线性质来求解一些与矩形对角线相关的问题；我们可以利用矩形的对称性质来求解一些与矩形对称相关的问题等。
灵活运用矩形的性质
矩形面积和周长计算技巧
#O5
#2022
面积计算公式及推导过程
矩形的面积可以通过将其划分为多个相同的小正方形来计算，每个小正方形的面积为1，因此矩形的面积为长乘以宽。
对角线相等的平行四边形是矩形
根据矩形的性质，矩形的对角线相等。因此，如果一个平行四边形的对角线相等，那么这个平行四边形就是矩形。
利用平行四边形性质判定
一个四边形如果既是平行四边形又是菱形，则这个四边形就是矩形。因为菱形的对角线互相垂直平分，而平行四边形的对角线互相平分，所以如果一个四边形同时满足这两个条件，那么它就是矩形。
家具
矩形性质探讨
#O2
#2022
对边相等且平行性质
在矩形中，两组对边的长度分别相等，即如果ABCD是一个矩形，那么AB=CD，BC=AD。 矩形的对边相等 矩形的两组对边分别平行，即AB//CD，BC//AD。这一性质使得矩形在平面几何中具有独特的地位和作用。 矩形的对边平行
四个内角均为直角特性
生活中常见矩形实例
家庭和建筑物中的门窗通常是矩形形状，因为它们具有稳定性和易于制造的特点。
门窗
书籍和纸张通常也是矩形形状，这种形状便于阅读和书写。
书籍和纸张
大多数电子设备（如电视、电脑显示器、手机等）的屏幕也是矩形形状，这种设计符合人眼视觉习惯和审美需求。
电子设备屏幕
许多家具（如桌子、椅子、床等）也是矩形形状，这种形状既实用又美观。
翻折
数学：1.3《矩形的判定》课件(苏科版九年级上)
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；
可是叙述统治了我的写作，篇幅超过了四十万字。写作就是这样奇妙，从狭窄开始往往写出宽广，从宽广开始反而写出狭窄。这和人生一模一样，从一条宽广大路出发的人常常走投无路，从一条羊肠小道出发的人却能够直到遥远的天边。所以耶稣说你们要走窄门。他告诫我们，因为引到 灭亡，那门是宽的，路是大的，去的人也多；引到永生，那门是窄的，路是小的，找着的人也少。我想无论写作还是人生，正确出发都是走进窄门。不要被宽阔的大门所迷惑，那里面的路没有多长。”这段话对无论是作文还是做人都有指导意义。 请以“宽与窄”为话题，写一篇文章。 要求：所写内容必须在话题范围之内，题中引用的材料在文章中可用可不用；立意自定，文体自选，题目自拟，不少于800字，不得抄袭。 写作导引： 生活中充满辩法，当你选择人生之路时，有时看上去很宽的路，在你走了一段之后会发现，这条原来认为宽的路并不一定是阳光大道。 相反有时表面看上去是一条窄路，走起来比较艰难，但下决心走了之后，发现越走越好走。人生路漫漫，不可能一帆风顺。遇到失败和挫折，就相当于是在窄路中行进，继续走下去，就会有一个美好的前程。要正确认识人生，认识逆境，认识失败与挫折。 宽与窄它可作多方面的比喻和 联想。这给学生提供了较为宽广的写作空间。宽与窄，可以写实的路，但更多的是虚的。宽和窄也不是一成不变的，在一定的条件、环境下可以相互转化。宽和窄还可引申表面宽而实质窄，反之也可以，因此要透过表面抓住实质；还可以从比较的角度来构思，因为宽与窄是相对而言的。 比如，鲁迅到南京学洋务，在当时认为是没有出息的，是“窄”，但鲁迅走出了“宽”；又比如，在当时学医就是“宽”，但鲁迅弃医从文，又选择了“窄”，而这“窄”却使鲁迅成为一代文学大家。 18.材料作文：抓住问题的关键 阅读下面的文字，按要求作文。 有一天，动物园的管 理员们发现袋鼠从笼子里跑出来了，于是开会讨论，他们一致认为是笼子的高度过低，所以他们决定将笼子的高度由原来的十公尺加高到二十公尺。结果第二天，他们发现袋鼠还是跑到外面来，所以他们又决定再将高度加高到三十公尺。没想到隔了一天又看到袋鼠跑到外面来了，于是管 理员们大为紧张，决定一不做二不休，将笼子的高度加高到一百公尺。 一天，长颈鹿和几只袋鼠闲聊。“你们看，这些人会不会再继续加高你们的笼子？”长颈鹿问。“很难说。”袋鼠说，“如果他们再继续忘记关门的话！” 根据上面的材料，自定立意，自拟标题，结合材料写一篇有 针对性的文章，不得抄袭，不少于800字。 写作导引： 寓言故事的主旨一般是讽刺性的。这则寓言故事通过管理员一味加高笼子而不知关好笼子门的故事，讽刺了只知道有问题，却不能抓住问题核心和根源去解决的错误做法。根据这个主旨，我们可以从材料中提炼出材料的内涵：抓住 问题的关键。然后围绕这个主旨展开论述，提出观点：处理问题的正确方法是抓关键；抓住关键，轻松解决问题；找准原因，对症下药；从源头解决问题；扼住问题的咽喉；从实际出发等。 19.命题作文：品位 阅读下面的文字，按要求作文。 有人说：品位是一张标签。告诉人们你是谁， 你要什么以及你有着怎样的生活方式。有人说：品位是一张通行。它引领你呼吸时尚的空气，触摸流行的脉搏，融入与你气味相投的社交圈。 你对品位如何理解，它引发了你哪些联想或思考呢？请根据你的领会和思考，以“品位”为题写一篇文章。要求：自定立意，自选文体，不少于 800字。 写作导引： 何为“品位”？新版《现代汉语词典》解释为：“物品的质量。”延伸到评价人的层面上，意思是人骨子里所特有的东西。它是一种积淀，是一种习惯，形成了一种自然。品位体现为人潇洒的风度，有见地的思想，优雅的谈吐，得体的衣着，高尚的内心，丰富的情 感，渊博的学识，非凡的鉴赏，谦逊的举止。 有了上述理解，文章的立意就明确了，你既可以肯定它，论述品位的好处，品位的重大作用，因为好品位都在影响和指导着人行为的方方面面；也可以否定它，分析品位的弊端、品位的危害，如你的品位决定了你是什么样的人，决定了你的 社会地位与自我形象，盲目而不切实际地追求品位，无异于东施效颦；要想获得别人的认可，你必须具有与他们一致的品位。既可以写自己的品位，也可以写别人的品位对自己的影响。可以立意为“背起品位的行囊”，分点阐释：品位像喜欢耳提面命、嘱咐叮咛的慈母，让人在潜移默化 中汲取人生的第一信条——抉择；品位像谆谆告诫、循循善诱的贤父，时刻在身边指导你——生活中要拿得起放得下，热爱生活，珍惜生活，不随波逐流。最后总结：有了品位的行囊，才能汲取精华，剔除糟粕，增值自我，充实人生。也可以由品位想到生命的品位，并由此谈及生命的价 值，写出一定的深度。也可以反面立意如“制造品位”，抓住典型，为某位为官者制造品位，显现自己的高雅。既合题意，又合文意，用一两组精心设计的镜头充分暴露为官者的丑陋嘴脸，使文章内容充实，讽之有据。有了这样“真实的虚构”，作者的情感自然也在其中展露无遗。 20. 话题作文：文化现象的反思 阅读下面的文字，按要求作文。 1.每当情人节、圣诞节来临之际，各大媒体争相报道的是火暴的场面：商场、酒店、KTV人满为患，用“爆棚”形容远不过分；情人节玫瑰花香飘满天，花价也随节日不断攀升。然而，一项面对青少年的关于中国传统节日的调 查显示,竟然有相当多的人不知道中国的七夕节、端午节、元宵节。 2.从“端午祭”申遗到将中医改为韩医申遗，从号称“汉字是古代韩国人发明的”到汉字申遗，韩国人的“胃口”越来越大，中国再也不能沉默了，他们说汉字是中国的，不是韩国的，表示要维护汉字的“所有权”。 我们应该如何看待以上现象呢？请以“文化现象的反思”为话题，写一篇文章。要求：文题自拟，所写内容必须在材料涉及的范围之内，不得抄袭，文体不限（诗歌除外），不少于800字。 写作导引： 这道作文题给了两则材料。细究这两则材料所针对的集中对象是“文化现象”。第一 则着重谈了“洋节”与中国传统节日在现实生活中所受关注的巨大反差。第二则着重谈中国人反感韩国拿中国文化申遗，要维护汉字的“所有权”。节日是文化传承的重要载体。洋节为什么越来越火暴？洋节的文化现象说明了什么？我们该怎样对待传统文化？我们应该怎样看待这种文化 现象？ 在写作中，首先是要对“传统文化”的内涵有一定的理解，不可想当然，要针对这种文化现象反思，写作的时候只要围绕其中的一点展开就行。其次是要辩地看待文化现象，既要看清其积极有益的一面，也要看清其不足消极的一面。在议论说理时，用词要准确，造句要合乎实际 情况，不能为了明自己的观点，就武断片面地将上述文化现象简单地全盘肯定或者全盘否定。我们可以有以下反思：①中西节日碰撞是文化交流的一种必然，面对节日的碰撞，我们需要“兼收并蓄”，在继承民族文化传统的同时，大量参与世界文化交流，从而形成民族文化新的繁荣和发 展；②人文的失落和沦陷是整个民族的失落和沦陷，是整个社会的异变和悲哀，一个没有文化底蕴做支撑的民族，要想实现经济腾飞的奇迹，并保持长久发展是不可能的。我们应该珍视自己的民族文化；③这种“崇洋媚外”的表现是不是反映了我们民族文化或者民族文化引导的缺失？洋 节充满青春活力，节日休闲狂欢更是青年人的首选，而传统节日留给人的印象不是很好，不是走亲访友，吃喝玩乐，就是烧香拜神。节日送礼，是很多参加工作的人都感到头痛的一件事情，传统节日一到，人们就不得不张罗节日送礼的事情，甚至有借钱送礼现象发生，传统节日往往被人 戏称为“灾难日”；④对于民族文化，以珍视的态度来对待远比“中秋”“端午”申遗更有价值，民族文化是民族文明的载体，是民族之精华，是五千年文化的积淀。我们的民族需要自己的文化来支撑；⑤保护民族文化遗产，传承中华文明已经迫在眉睫，中华民族不能患上“民族文化缺 钙症”。 高考作文考前审题立意强化训练及参考答案 ? ? 一、阅读下面的材料，根据要求作文（60分） ? 拳王阿里33岁那年与挑战者弗雷泽进行第3次较量。在进行到第14回合时，阿里已筋疲力尽，几乎再无丝毫力气迎战第15回合了。然而他拼命坚持着，因为他心里知道，对方肯定和 自己一样，如果在精神上压倒对方，就有胜出的可能。于是他竭力保持坚毅的表情和永不低头的气势，双目如电，令弗雷泽不寒而栗，以为阿里还存有旺盛的体力，阿里的教练发现弗雷泽已有放弃的念头，便使眼色暗示阿里。阿里精神一振，更加顽强地坚持着，果然在关键时刻，对手认 输了。卫冕成功的阿里还未走到擂台中央，便眼前一黑，双腿无力地跪倒在地上。弗雷泽见此情景，如遭雷击，并为此抱憾终生。 ? 根据以上材料，自拟文题，写一篇800字以上的议。 ? 训练要求： ? 1.这则材料应该给出的话题是： ? 3.你的作文题目是： ? 4.你的论点或主旨是： ? 5.请写出能体现你的中心主旨的一句名言、歌词等或自编一句有哲理的话，不超过30字。 ? 6.请你联系所学过的课文，写出一二则相关课内论据。语言要简洁。 ? 7.请你联系并提炼你的现实生活，或亲身经历或耳闻目睹的社会现象，写出一二则生活论据。 ? 8.请你联系所读过的各类 课外书报，提炼整理出一二则论据。 ? 9.请为你的论点写出一段说理性文字。100字以内。 ? 10. 提醒： “坚持就是胜利”，这是最简单的着想，同时也容易人云亦云；偏题甚或跑题的：“取胜，应该让实力说话”，“假象也有可取之处”，“成功不只靠实力，其他因素也起重要作 用”，这是没有整体感受、偏离了材料的中心意思而造成的。 ? 二、阅读下面的文字，展开联想，结合自己生活的实际感受谈谈你的看法，写一篇作文。 ? 要求：1 除诗歌，小说，戏剧外，体裁自定，表达方式，如记叙，说明，描写，抒情，议论，可采用一种，也可采用几种。2 内容 真实具体，要结合自己的亲身经历，写出真情实感。3，800字左右。 ? 管理专家在课堂上说：“我们来做个实验。”他拿出一个大广口瓶，然后把一大的堆拳头大的石头，一块一块放进去，问：“瓶子满了吗？”学生齐答“满了！”专家拾来小石子，又一颗一颗塞进瓶内，
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自学释疑、拓展提升
知识点二：直角三角形斜边上的中线的性质
自学问题：
对直角三角形斜边上中线的性质的证明中如何添加辅助线的问题； 解答题的书写格式问题.
学生典型问题展示：
展示《18.2.1矩形（1）课前自测》中第6题的正确率，以及做错的学生的错题选项.学案上知 识点三学生中存在问题图片展示.
自学释疑、拓展提升
矩形
八年级下册（RJ）
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知识点三：矩形的性质的综合应用
问题解决： 例3.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，M、N在对角线AC上，且AM=CN，E、F分别是 AD、BC的中点． （1） 求证：△ABM≌△CDN； （2） 点G是对角线AC上的点，∠EGF=900 ， 求 AG的长．
19.2特殊的平行四边形(矩形的定义及性质)
我们已经学习了平行四边形的定义、 性质和判定定理。大家回忆一下！
定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 定理1：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形 推论： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 定理2：
有一组对边平行且相等的四边形是平行四 定理3： 边形。 QQ：907948768 飞鱼工作室制作
且相等
邻角互补
平分
中心对称 图形
对边平行 四个角是 矩形 且相等 直角
A D O B C A
对角线互相 中心对称图 平分且相等 形，也是轴 对称图形
D O
B
C
作业
习题19.2
1 ，4，9题
预习矩形的判定定理
B C
A
D
探 究
我们根据平行四边形的性质来探究矩形的性质。
A O D
B
C
性质定理1：矩形的四个角都是直角
性质定理2：矩形的对角线相等
探 究
如图，在矩形ABCD中， AC，BD相交于点O.根据 矩形的性质，我们知道， AO = CO = BO = DO = 1 1 2 AC = 2 BD，又AO为 △ABD的中线，因此，我 们得到直角三角形的一个 性质： 推论：
B
C O
OA = AB = 4 cm 矩形的对角线长AC = BD = 2OA = 8 cm
这节课我们学习了矩形的性质，矩形都有哪 些性质？
性质定理1：矩形的四个角都是直角 性质定理2：矩形的对角线相等 推论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
对比记忆
边 角 对角线 对称性
平行 对边平行 对角相等， 对角线互相 四边形
北师大版初中数学九年级上(初三数学上)课件PPT配套教案-第1章 特殊平行四边形矩形(基础阶段)
北师大版初中数学九年级上（初三数学上）课件PPT配套教案第1章特殊平行四边形矩形（基础阶段）第1部分矩形【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．【思路点拨】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由（1）知∠PNM=2∠CBN，∴∠PAN=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN=2，设AP=x，则PD=6﹣x，在Rt△PDN中PD2+DN2=PN2，∴（6﹣x）2+22=x2，解得：x=所以AP=．【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN是解决问题的关键．举一反三：【高清课堂 417081 矩形例7】【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________ ．【答案】；提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.类型二、矩形的判定2、（2016•济宁一模）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．【思路点拨】（1）因为AF∥BC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，故有BD=DC；（2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又因为AD=CF，故可有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【答案与解析】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE（1分）∵E是AD的中点，∴AE=DE．（2分）∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．（3分）∴AF=DC，∵AF=BD∴BD=CD，∴D是BC的中点；（4分）（2）四边形AFBD是矩形，（5分）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，（6分）∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，（7分）∴四边形AFBD是矩形．【总结升华】本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质．要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD∵D为BC的中点，∴CD＝BD∴CD∥AE，CD＝AE∴四边形ADCE是平行四边形∵AB＝AC∴AC＝DE∴平行四边形ADCE是矩形.3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．【思路点拨】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．【答案与解析】证明：在ABCD中，AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，∴∠BAE＋∠ABE＝12∠BAD＋12∠ABC＝90°．∴∠HEF＝∠AEB＝90°．同理：∠H＝∠F＝90°．∴四边形EFGH是矩形．【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13【答案】C；【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝12BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝12AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．【答案】解：连接OP．∵四边形ABCD是平行四边形．∴ AO＝CO，BO＝DO，∵∠APC＝∠BPD＝90°，∴ OP＝12AC，OP＝12BD，∴ AC＝BD．∴四边形ABCD是矩形．第2部分菱形【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）知识要点】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF ⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．【答案】50；解：在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB ，∠BCO=∠DCO ，∴在△BCO 和△DCO 中，，∴△BCO ≌△DCO （SAS ），∴∠CBO=∠CDO=50°．【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 例1】【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )． A.21 B.4 C.1 D.2【答案】C ；提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1. 类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE ∥AC ，DF ∥BC 知四边形DECF 是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【答案与解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下：∵ DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF是平行四边形．∵ CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵ DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴ CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵ EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵ E、F分别为AB、CD的中点∴ DF＝12DC，BE＝12AB∴ DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴ DE∥BF(2)证明：∵ AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵ F为边CD的中点．∴ BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．第3部分正方形【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（正方形）知识要点】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、（2016•台湾）如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD 上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．75【思路点拨】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．【答案】C．【解析】解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．故选C．【总结升华】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问题的关键．举一反三：【变式1】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．【答案】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC＝DC ，∠BCD＝90°∵E 为BC 延长线上的点，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠D CE ．在△BCF 和△DCE 中，BC DC BCF DCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF≌△DCE（SAS ），∴BF＝DE ．【高清课堂 特殊的平行四边形（正方形） 例1】【变式2】（2015•咸宁模拟）如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45°【答案】B ；提示：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD ，∠BAF=45°，∵△ADE 是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE ，∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°）=15°，∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；故选：B．2、如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB＝30°，求EF的长．【思路点拨】要证明△ABE≌△DAF，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，只要证一条边对应相等即可．要求EF的长，需要求出AF和AE的长．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△DAF≌△ABE．（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠AGB＝30°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°，∵∠1＋∠4＝∠DAB＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝180°－（∠1＋∠3）＝90°，∴DF⊥AG，∴DF＝11 2AD=∴A F＝3∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝1，∴EF＝31-【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．举一反三：【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF 和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°，∵AB＝2BC，即BC＝BN＝12 AB∴BN＝12BE，即N为BE的中点，∴EN＝NB＝BC，∴△FNE≌△ECB，∴FN＝EC．类型二、正方形的判定3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G．∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴ DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵ DF＝DE．∴四边形CEDF是正方形．【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．举一反三：【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．【答案】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠CO B＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三线合一”的性质），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系xoy中，边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限．(1)当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB 的平分线上；【答案与解析】解：(1)当∠BAO＝45°时，∠PAO＝90°，在Rt△AOB中，OA＝22AB＝22a，在Rt△APB中，PA＝22AB＝22a．∴点P的坐标为22,22a a⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．(2)如图过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA＝∠PNB＝∠NPM＝∠BPA＝90°，∵∠BPN＋∠BPM＝∠APM＋∠BPM＝90°∴∠APM＝∠BPN，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴ PM＝PN，又∵ PN⊥ON，PM⊥OM于是，点P在∠AOB的平分线上.【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.第4部分全章复习与巩固【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：高底平行四边形⨯=S4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形⨯S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥AB 交DE 的延长线于点F ．（1）求证：DE=EF ；（2）连结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：∠B=∠A+∠DGC ．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF 为平行四边形，可得DF=BC ，再证明DE=12BC ，进而得到EF=12CB ，即可证出DE=EF ； （2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G ，再证明∠B=∠DCB ，∠A=∠DCA ，然后再推出∠1=∠DCB=∠B ，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B ．【答案与解析】证明：（1）∵DE ∥BC ，CF ∥AB ，∴四边形DBCF 为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF ⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCA MA MCAMD CMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠A MD ＝2∠MCD ，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形，∴MD＝MN ＝MA ＝MC ，∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6，又∵ 在Rt △ADC 中，226810AC +=．∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ．在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+，即222(8)4x x -=+，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．举一反三：。
【精选】矩形的定义性质说课课件2
矩
形
的
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
定 义
性质定理1 矩形的四个角都是直角
及
性质定理2 矩形的对角线相等★
性 质
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半★
矩
角
边
对角线 对称性
例1
形 性
四个角都 对边平行 互相平分 是轴对称
练习
质 是直角 且相等 且相等
图形
小结
已知：矩形ABCD 求证：AC = BD
2. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四
条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是 [ D ]
配 A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形
套 C．对角线互垂直平分的四边形 D．对角线垂直的四边形
练 3. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两
习 条对角线所夹锐角的度数为
题
∴OA = OD（
）
设
计
∵ ∠AOD=120°
1
OA = 2 AC OD = 1 BD
2
A
D
1
∴ ∠1=30°
O
又∵ ∠ABC=90°（ ?
B ）
C
∴BD = 2AB=2×4=8cm
返回
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是
A．对角线相等 B．四个角都相等 C．是轴对称图形 D．对角线垂直
[ D]
教材分析 （四）学习任务分析
本节先通过图形的对比引出矩形的概 念，学生利用观察、动手操作，教师演示 来理解矩形的性质，进而得到较好的教学 效果。
学情分析 （五）学生情况分析
本小节是在学过平行四边形等有关知识以 及一些简单的说理内容之后来学习的，已为学 习矩形奠定了基础。
[矩形的定义和性质]矩形的定义
![[矩形的定义和性质]矩形的定义](https://img.taocdn.com/s3/m/f5576247b207e87101f69e3143323968011cf428.png)
[矩形的定义和性质]矩形的定义矩形的定义一:矩形知识点总结同学们在学习矩形时，要求对其性质、判定以及计算公式有相应的了解。
以下是矩形知识点总结，欢迎阅读。
矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
(矩形包括长方形和正方形)矩形的判定1.一个角是直角的平行四边形是矩形2.对角线相等的平行四边形是矩形3.有三个内角是直角的四边形是矩形4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形说明：长方形和正方形都是矩形。
平行四边形的定义在矩形上仍然适用。
矩形的计算公式面积： S=ab(注:a为长,b为宽)周长： C=2(a+b)(注:a为长,b为宽)矩形外接圆矩形外接圆半径 R=对角线的一半矩形的性质1.矩形的4个内角都是直角;2.矩形的对角线相等且互相平分;3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;4.矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线)，它至少有两条对称轴。
5.矩形具有平行四边形的所有性质6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形矩形的实际应用例1：已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm.求这个平行四边形的面积。
分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形(如图个4-37)，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积为例2：已知：ABCD中，M为BC中点，∠MAD=∠MDA.求证：四边形 ABCD是矩形.分析：根据定义去证明一个角是直角，由△ABM≌DCM(SSS)即可实现。
例:3：已知：ABCD的四个内角平分线相交于点E，F，G，H.求证：EG=FH.分析：要证的EG，FH为四边形EFGH的对角线，因此只需证明四边形EFGH 为矩形，而题目可分解出基本图形：如图4-39(b)，因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明.例4：已知：在△ABC中，∠C= 90°， CD为中线，延长CD到点E，使得DE=CD.连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形.知识总结：矩形具有平行四边形的所有性质。
初中数学八年级下册 矩形的性质 微课 公开课PPT课件
即矩形的对角线长为8cm.
例１.如图，已知：矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
∠AOB=120°，AD=4cm，求矩形对角线的长。
解法二：
∵ 四边形ABCD是矩形, ∴AC与BD相等且互相平分,
D
C
∴ OA=OD, ∵ ∠AOB=120°,
O
A
B
∴∠AOD=60°,
∴ △AOD是等边三角形,
∴ OA=OD=AD=4cm,
矩形的性质
平行四边形的性质
1.平行四边形对边平行; 2.平行四边形的对边相等； 3.平行四边形的对角相等； 4.平行四边形相邻的内角互为补角; 5.平行四边形对角线互相平分。
D
C 一个角是直角 D
C
A
B
A
B
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 特殊性
2.矩形的表示方法：矩形ABCD
2.矩形的性质：
性质2：矩形的对角线相等。
3.推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
课外作业： 课本88页练习第2,3题
•谢 谢
2
（或AO=OB=OC）
例１.如图，已知：矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=120°， AD=4cm，求矩形对角线的长。
解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD
D
C
O
∴ OA=OB
A
B
∵ ∠AOB=120°
∴ ∠OAB =∠OBA=30 °
在Rt△ABD中，BD=2AD=2x4= 8（cm）
动手操作
• 画一个矩形，度量它的四条边长，两 条对角线长以及四个角的度数，你能得 出矩形特有的性质吗？
1.矩形的四个角都是直角， 2.矩形的对角线相等。
北师大版初中九年级上册数学课件 《矩形的性质与判定》特殊平行四边形PPT课件(第3课时)
例3：如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为 邻边作平行四边形ABDE,连接AD, EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.
MN MK2 NK2 2x2 8x2 2 3x,
MN 2 3x 2 3. DN x
当堂练习
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在
EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，
则S1，S2的大小关系是( )
A．S1>S2
B B．S1＝S2
C．S1<S2D．3S1＝2S2
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. 分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边 的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB， DF=A1B.
2
解：DF∥AB，DF=A12B．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF=A12B
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是 AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且 AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说 明理由．
4.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC 于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD， 求证：四边形ADCN是矩形．
浙教八年级下册数学第五章第1节《矩形的性质与判定》复习课件(浙教版)
（1）求证：DE＝BF；
（2）若四边形 BEDF是 菱形，则四边形 AGBD是什么特殊 四边形？并证明 你的结论．
A
2.如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?
墙
3.2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价a％后售价为148元，下面所列方程正确的是( )A.200(1+a％)2=148; B.200(1-a％)2=148; C.200(1-2a％)=148; D.200(1+a2％)=148;
当a=3,则PA+PB=____
拓展题:
①则AD=____ BC=____
1
2
②
当a=1 时，则PA+PB=____,
③
2、如图，P是矩形ABCD内一点， PA＝3，PD＝4，PC＝5， 则PB＝ 。
E
F
提示：过点P作其中一边的垂线，利用勾股定理来解。
1.如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
A
D
B
C
P
Q
分类讨论思想
A
B
P
D
C
已知△ABP的一边AB=
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使三角形的三边为
八年级数学下册教学课件《矩形的判定》
H
(3)将直角尺靠窗框的一个角,如图③,调整窗框的边框,当直角尺的两
条直角边与窗框无缝隙时, 如图④, 说明窗框合格, 这时窗框是 矩形 ,
根据的数学道理是 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 ．
概念可以判定矩形,比照平行四边形的判定,那矩形性质的逆命题是
不是也可以用于矩形的判定呢? 我们来看下.
探索新知
∴四边形 ABCD 是矩形
对应训练
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DF，
DE分别是△BDC,△ADC的角平分线. 求证：四边形DECF是
矩形. 证明:∵ ∠ACB=90°，D是AB的中点，
A
∴AD=CD=BD.
E
D
∵DE是△ADC的角平分线， ∴DE⊥AC.
∴∠DEC=90°. 同理得∠CFD=90°. C
D F
②
③
④
G
H
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料,如图①,使AB＝CD , EF＝GH ; (2)摆放成如图②所示的四边形,则这时窗框的形状是 平行四边形 , 根据的数学道理是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ;
情境导入
工人师傅做铝合金窗框,分下面三个步骤进行：
A
B
①C E
D F
②
③
④
G
A
m
hm
Bn
nC
课后作业
解：能拼成三种平行四边形. （1）如图①的矩形，其对角线长为m. （2）如图②的平行四边形. 其两条对角线长分别为n, 4h2 n2 （3）如图③的平行四边形， 其对角线长分别为h， 4n2 h2
Байду номын сангаас
m n
h ① mn
《矩形的性质与判定》ppt课件
（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形 的特殊性质吗？
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5
结论 矩形的性质定理1：
矩形的四个角都是直角. 矩形的性质定理2：
矩形的对角线相等.
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6
第三环节：层层递进，推理论证
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90° 对角线AC与DB相交于点O。
第一章 特殊平行四边形
第2节 矩形的性质与判定
桃山中学 王广清
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1
第一环节：创设情景，导入新课
问题1:平行四边形具有哪些性质？
问题2：利用一个活动的平行四边形教具演 示,使平行四边形的一个内角变化，请同 学们注意观察：
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2
（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？ （2）在运动过程中四边形不变的是什么？ （3）在运动过程中四边形改变的是什么？ （4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的
9
问题3：矩形具有而一般平行四边形不具有的
性质是 (
）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
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10
第五环节：建构新知，发展问题
问题1：（1） 矩形的两条对角线可以把矩形 分成几个直角三角形？（2）在直角三角 形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？ （3）你能发现它有什么特殊的性质吗？ （4）你能借助于矩形加以证明吗？
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15
自我检测。
（1）下列说法错误的是（ ）． A.矩形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等。 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
人教版初二数学《矩形》课件
人教版初二数学《矩形》课件一、教学内容本节课我们将学习人教版八年级数学下册第十七章第一节《矩形》的内容。
具体包括：矩形的定义、性质、判定方法以及矩形在实际中的应用。
本章分为两大部分：第一部分是矩形的定义和性质，这部分主要讨论矩形的内涵及四个角的特点、四条边的关系；第二部分是矩形的判定，通过具体的例子让学生掌握判断矩形的方法。
二、教学目标1. 知识与技能：让学生理解并掌握矩形的定义、性质和判定方法，能运用矩形知识解决实际问题。
2. 过程与方法：通过实践情景引入、例题讲解、随堂练习，培养学生观察、分析、解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的学习兴趣，培养学生的团队协作精神。
三、教学难点与重点教学重点：矩形的定义、性质、判定方法。
教学难点：矩形的判定方法，尤其是对特殊矩形的识别。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔、直尺、圆规。
学具：直尺、圆规、量角器、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示生活中常见的矩形物品，如书本、窗户、桌面等，引导学生观察矩形的特征，引出矩形的定义。
2. 矩形的定义与性质（15分钟）介绍矩形的定义，分析矩形的性质，如四个角为直角、对边相等、对角线相等等。
3. 矩形的判定方法（15分钟）通过例题讲解，让学生掌握矩形的判定方法。
包括：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形等。
4. 例题讲解（10分钟）讲解两道例题，一道是判断矩形，另一道是利用矩形性质解决问题。
5. 随堂练习（10分钟）学生独立完成练习题，巩固所学知识。
6. 小组讨论与分享（5分钟）学生分小组讨论矩形在实际生活中的应用，分享学习心得。
六、板书设计1. 矩形的定义2. 矩形的性质3. 矩形的判定方法4. 例题解析5. 课堂练习七、作业设计1. 作业题目：判断下列图形中哪些是矩形，并说明理由。
答案：图形①、③、⑤是矩形。
2. 作业题目：利用矩形的性质，计算下列图形的面积。
矩形及其性质PPT课件(北师大版)
1.2
矩形的性质与判定
第1课时 矩形及其性质
学习目标
1 课时讲授 2 课时流程
矩形的定义 矩形的边角性质 矩形的对角线性质 直角三角形斜边上中线的性质
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．视察这些特 殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
知1－练
感悟新知
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB=CD，∠ B+∠C = 180° . ∵ BE=CF，∴ BE+EF=CF+EF，即BF=CE. 又∵ AF=DE， ∴△ ABF ≌△ DCE. ∴∠ B= ∠ C=90° . ∴ ABCD 是矩形.
知1－练
感悟新知
方法
知1－讲
解题秘方：紧扣条件“N 为DE 的中点”和结 论“MN ⊥ DE”，建立等腰三角 形“三线合一”模型，结合直角 三角形斜边上中线的性质求解.
感悟新知
知3－练
解法提醒: 1. 若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中线；若又
有直角，往往需要用到直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半的性质. 2. 在直角三角形中，若遇斜边的中点，则常作斜边的中线 ，从而利用直角三角形斜边上的中线的性质把问题转化 为等腰三角形的问题，利用等腰三角形的性质解决.
(3)你认为矩形还具有哪些特殊
的性质？与同伴交流.
感悟新知
方法
矩形的性质： (1)矩形的四个角都是直角． (2)矩形具有平行四边形的所有性质． (3)矩形是轴对称图形，如图所示，
邻边不相等的矩形有两条对称轴．
知1－讲
感悟新知
知识点 3 矩形的对角线性质
矩形的性质课件
（六）教学设计---归纳小结
1、矩形定义： 2、矩形的性质： 3、推论： 4、思想方法：
【设计意图】通过知识和思想方法两方面让学生思考并总 结，提高学生化归能力和语言表达能力，锻炼学生数学思 维，培养数学思想的意识．
（六）教学设计---当堂检测
【设计意图】通过当堂检测达到巩固知识的目的，并通过 师评、互评自评的方式及时反馈，加深对矩形性质的理解 和掌握．
（六）教学设计
1.唤醒经验-----回忆、类比 2.探究新知-----小组合作 3.巩固新知-----强化练习 4.归纳小结-----化归、表达 5.当堂检测-----多元评价 6.分层作业-----落实“双减政策”，让不同的学生得 到不同的发展
（六）教学设计---唤醒经验
平行四边形有哪些性质？
N M
O
B
C
不积跬步，无以至千里， 不积小流，无以成江海， 同学们只要大家 拥有转化的思想,插上类比的翅膀， 一定能在数学的世界里飞得更高更远！
二、教学阐释
（一）教材解读
《矩形的性质》是初中数学八年级下册第19章 第一节的内容，本节课的内容是在学生学习了平 行四边形的性质与判定以及小学学过的长方形的 基础上来学习的，它是平行四边形的延伸，为矩 形判定的学习做铺垫，也为菱形、正方形的学习 打下基础。学生通过举出生活中的长方形的例子、 思考、归纳、抽象得出矩形的定义和性质，这样 的安排使学生易于接受抽象的定理，并能在整个 的教学过程中真正享受到探索的乐趣。
3、已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，
则两条对角线所夹锐角的度数为
（ D）
（A）50° （B）60° （C）70° （D）80°
【中考链接】
4、在RtΔABC中，∠BAC = 90°, 且AB = 4, AC = 3，
《矩形的定义及性质》课件
矩形的定义
平行四边形叫做矩形 有一个角是直角 矩形 . 有一个角是直角的平行四边形
矩形是特殊的平行四边形.
探究1
矩形的对称性：
中心对称图形
O
轴对称图形
探究3
如图，当□ABCD的一个角变为直角，我们知道， 此时，四边形变为一个矩形。它的两条对角线有什 么关系？
猜测： 矩形的两条对角线相等。
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90 °，BO是AC上的中线. 求证: BO =
直角 的平行四边形是矩形. 有一个角是______
二、矩形的性质 1.矩形除了具有平行四边形所有的性质外，还有： （ 1）矩
直角 ； 相等 形的四个角都是______ （２）矩形的对角线_______.
2.直角三角形的重要性质：
一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边的______.
两组对边 分别平行 平行 四边形 一个角是 直角 矩形
∴
矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8㎝
根据矩形的两条对角线相等且互相平分， 你有什么发现直角三角形斜边上的中线与斜边 有怎样的关系？ A
D
OC=
1 BD 2
B A
O C
直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半。
D
C B
矩形的对称性：
O
轴对称图形
一、矩形的定义
直角 的平行四边形是矩形. 有一个角是______
边
平行四
边形的 判定
两组对边分别相等的四边形； 一组对边平行且相等的四边形；
对角线 对角线互相平分的四边形；
角
两组对角分别相等的四边形；
矩形
1.理解矩形的定义. 2. 经历探究矩形性质的过程，通过直 观操作和简单推理发展推理论证能力， 培养主动探究习惯． 3. 掌握矩形的性质并能利用它解决简 单的实际问题．
1.2《矩形的性质与判定第1课时》北师大版数学九年级上册教学课件
第1课时
学习目标
矩 形
1.理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系.
的
2.经历矩形性质定理和直角三角形性质定理的探索过程，进
定
一步发展合情推理能力.
义
3.能够用综合法证明矩形的性质定理和直角三角形性质定理，
及
进一步发展演绎推理能力.
性
4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
矩形是特殊的平行四边形.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
想一想 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性 质，你能列举出来吗？ 平 行 四 边 形
A
矩
形
O
D
B
对边相等； AB=CD； AD=BC
对角相等； ∠A=∠C； ∠B=∠D
C 对角线互相平分；OA=OC；OB=OD
分析：由矩形的性质可得，AC=BD，
AO=CO= 1 AC，BO=DO= 1 BD，
2
2
又由∠AOD=120°，所以∠AOB=60°，
从而可得△AOB是等边三角形.
再由等边三角形的性质可得AO=BO=2.5，
分析：由矩形的性质可得，AC=BD，
AO=CO=1
2
AC
，BO=DO=
1 2
BD，∠BAD=90°，
从而△AOD是等腰三角形；
又由∠AOD=120°，所以∠ADB=30°，
再由30°角所对的直角边是斜边的一半可
得BD=2AB=5.
A
2.5
D
120°30°
Oபைடு நூலகம்
5
B
C
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
全国优质课一等奖初中数学八年级下册《矩形的性质》公开课精美(课件)
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
即矩形的四个角都是直角.
B
C
命题2:矩形的对角线相等
已知：如图，四边形ABCD是矩形，
求证：AC = BD.
A
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB.
∴△ABC≌对角线相等.
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
命题1：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴ ∠A=90°.
又 矩形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A=∠C ， ∠B = ∠D，
A
D
∠A +∠B = 180°.
O
B
C
由此我们得到直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
练习
1.矩形具有而一般平行四边形不一定具 有的性质是（ C ）
A.对边相等 C.对角互补
B.对角相等 D.对角线互相平分
2.直角三角形中，两直角边长分别为12和 5，则斜边的中线长是（ D ）
A.26 C.8.5
B.13 D.6.5
练习
1.矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几 条对称轴？
解：矩形是轴对称图形；有两条对称轴.
误 区 诊断
误区 运用矩形性质解题时没有考虑全面而漏解
矩形的一内角平分线把矩形的一边分成3cm和 5cm的两部分，则此矩形的周长为（ ）
A.16cm B.22cm C.26cm D22cm或26cm
错解：A B C
正解：D
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矩形的性质1：
矩形的四个角都相等， 都是900。探究3如图，当□BCD的一个角变为直角，我们知道，
此时，四边形变为一个矩形。它的两条对角线有什 么关系？
猜测： 矩形的两条对角线相等。
证一证
已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。
求证：AC=BD。
A
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90° 又∵AB = DC ， BC = CB
此时，四边形变为一个矩形。其它三个角又将会是 什么样的角呢？
猜想： 矩形的四个角都是直角。
已知：如图，四边形ABCD是矩形 A
D
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
B
C
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠A=90°
又∵矩形ABCD是平行四边形 ∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D ∠A +∠B = 180° ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 即矩形的四个角都是直角
角 矩形的四个角都是直角
∴AD = BC ，CD = AB
A B C D 900 ∴AD ∥BC ，CD ∥AB
∴AC= BD
对角线
矩形 的两条对角线相等 ∴AO= CO ，OD = OB
矩形的 两条对角线互相平分
例1: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长.
A
D
(2)若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝___1_0___㎝，
BD＝____5___㎝. B ┓
C
平行四边形的判定定理
平行四 边形的 判定
两组对边分别平行的四边形；
边
两组对边分别相等的四边形；
一组对边平行且相等的四边形；
对角线 对角线互相平分的四边形；
角 两组对角分别相等的四边形；
1.理解矩形的定义.
2. 经历探究矩形性质的过程，通过直 观操作和简单推理发展推理论证能力， 培养主动探究习惯．
求证：EG=FH，EG∥FH
A
G
D
F
E
B
H
C
24
已知：如图，在矩形ABCD中，对 角线AC、BD相交于点O，E为矩 ABCD外一点，且AE⊥CE，
求证：BE⊥DE E
A
D
O
B
C
25
三、反馈练习
1.如图，在矩形ABCD中，对角 线AC、BD相交于点O，若OA=2，
A
则BD的长为( )
A.4 B .3 C .2 D.1
B
2.已知矩形的一条对角线与一边 A
的夹角是40° ，则两条对角线所
成锐角的度数为( )
A.50 ° B.60 ° C.70 °
B
D.80 °
3.直角三角形中，两直角边分别是
12和5，则斜边上的中线长是(
)
A.34 B.26 C.8.5 D.6.5
B
D OC
D OA C D
C
4、下面性质中，矩形不一定具有的是（ D ）
A．对角线相等
B．四个角都相等
C．是轴对称图形
D．对角线垂直
5. 矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB，则∠BAE等于（A ）
A．30°
B．45°
C．60° D．120°
6.已知△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线
(1)若BD=3㎝，则AC＝ ____6___ ㎝
求证:
BO =
1 2
AC
证明: 延长BO至D,使
A
OD=BO, 连结AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90 °
B
∴□ABCD是矩形
∴AC=BD
∴BO=1 BD=1 AC
2
2
D
O C
A
D
O
矩形的两组对边分别平行
边
矩形的两组对边分别相等
B
C
数学语言
∵四边形ABCD是矩形
矩形与平行四 边形有什么关
系？
平行四边形 有一个角 是直角
由此可以知 道矩形有些 什么性质？
矩形
★矩形具有平行四边形的一切性质！
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有 平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
A
D
B
猜想
命题
C
证明
定理
探究1
矩形的对称性：
O
中心对称图形 轴对称图形
探究2
如图，当□ABCD的一个角变为直角，我们知道，
两组对边 分别平行
平行 四边形
一个角是 直角
矩形
拼一拼
请利用六根火柴首尾连接摆成平行四边形.
(1) 能摆成多少个不同的平行四边形？ (2) 在所有这些平行四边形中，有没有面积最大的一个
平行四边形呢？
A B
D C
矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形是特殊的平行四边形.
矩形是平行四边形的特殊类型
3. 掌握矩形的性质并能利用它解决简 单的实际问题．
预习效果反馈
一、矩形的定义
有一个角是_直__角___的平行四边形是矩形.
二、矩形的性质
1.矩形除了具有平行四边形所有的性质外，还有：（1）矩
形的四个角都是_直__角___；（２）矩形的对角线__相__等___.
2.直角三角形的重要性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的_一___半__.
解：∵ 四边形ABCD是矩形
A
D
∴AC与BD相等且互相平分
o
∴ OA=OB
∵ ∠AOB=60°
B
C
∴ △AOB是等边三角形
∴ OA=AB=4㎝
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8㎝
比比看,看谁想的快?
已知：如图，矩形ABCD的两条 对角线相交于点O，且AC=2AB
求证：△AOB是等边三角形。
19.2.1特殊的平行四边形
（矩形的定义及性质）
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
D
如果
A
D
B
C
四边形ABCD
平行四 边形的 性质：
AB∥CD AD∥BC
边
对角线
角
B
C
□ ABCD
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形的对角相等； 平行四边形的邻角互补；
O
B
C
∴△ABC≌△DCB ∴AC = BD 即矩形的对角线相等
矩形的性质2： 矩形的对角线相等。
探究4
矩形的两条对角线相等且互相平分，变形为直角
三角形，你有什么发现？
A
D
1
OC= 2 BD B
O C
A 归纳 直角三角形的性质：
D
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
C
B
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90 °，BO是AC上的中线.
A
D
O
B
C
21
已知：如图，矩形ABCD中，点F 是BC上的一点，且DF=BC， AE⊥DF于点E，
求证：BF=EF
A D
E BF
C
22
已知：如图，BD、CE是△ABC的两条 高，M是BC的中点，求证：ME=MD
A
E D
B
M
C
23
已知：如图，在 ABCD中，AE⊥BD， CF⊥BD，垂足分别为E、F，G、H分别 是AD、BC的中点，