第十五章 创新题目

2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编
创新题
一、选择题（共9题）
1．（北京卷）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，
在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆
数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数（假设：单位时间
内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相
等），则
（A ）123x x x >> （B ）132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >> 解：依题意，有x 1＝50＋x 3－55＝x 3－5，∴x 1<x 3，同理，x 2＝30＋x 1－20＝x 1＋10∴x 1<x 2，同理，x 3＝30＋x 2－35＝x 2－5∴x 3<x 2故选C
2． （福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱.给出下列三个命题：
①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;
②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2；
③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖.
其中真命题的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”：
2121||.AB x x y y =-+- ①若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为(x 0，y 0)，x 0在x 1、x 2之间，y 0在y 1、y 2之间，则01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-=2121||.x x y y AB -+-= ③在ABC ∆中，
01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+->01200120|()()||()()|x x x x y y y y -+-+-+-
=2121||.x x y y AB -+-= ∴命题① ③成立，而命题②在ABC ∆中，若90,o C ∠=则222;AC CB AB +=明显不成立，选B.
3．（广东卷）对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=
A.(4,0)
B. (2,0)
C. (0,2)
D. (0,4)-
解析：由)0,5(),()2,1(=⊗q p 得⎩
⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-210252q p q p q p , 所以)0,2()2,1()2,1(),()2,1(=-⊕=⊕q p ,故选B.
4．（辽宁卷）设○
+是R 上的一个运算,A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○
+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是
(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集
解析： A 中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中1÷2＝0.5不是整数，
即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件；D 2=不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C 。

【点评】本题考查了阅读和理解能力，同时考查了做选择题的一般技巧排除法。

5．（山东卷）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为
（A ）0 （B ）6 （C ）12 （D ）18
解：当x ＝0时，z ＝0，当x ＝1，y ＝2时，z ＝6，当x ＝1，y ＝3时，z ＝12，故所有元素之和为18，选D
6．(陕西卷)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )
A.4,6,1,7
B.7,6,1,4
C.6,4,1,7
D.1,6,4,7
解析：当接收方收到密文14，9，23，28时，
则214292323428a b b c c d d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩，解得641
7
a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，解密得到的明文为C ．
7．(上海卷)如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列命题：
①若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且
仅有1个； ②若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）
的点有且仅有2个；
③若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有
且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是 （ ）
（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3．
解：选（D ） ① 正确，此点为点O ； ② 正确，注意到,p q 为常数，由,p q 中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q （或p ）； ③ 正确，四个交点为与直线1l 相距为p 的两条平行线和与直线2l 相距为q 的两条平行线的交点；
8．(上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。

在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是
（A ）48 （B ） 18 （C ） 24 （D ）36
解析：若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若 “这两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”；∴ “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，选A.
二、填空题（共2题）
9． (上海卷)如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ,若,p q 分
1
l 2l O M （p ，q ）
别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是____________.
解析：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；
10．（四川卷）非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a 、b G ∈，都有a b G +∈；
（2）存在c G ∈，使得对一切a G ∈，都有a c c a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”。

现给出下列集合和运算：
①G ={非负整数}，⊕为整数的加法。

②G ={偶数}，⊕为整数的乘法。

③G ={平面向量}，⊕为平面向量的加法。

④G ={二次三项式}，⊕为多项式的加法。

⑤G ={虚数}，⊕为复数的乘法。

其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是 （写出所有“融洽集”的序号） 解析：非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈；
（2）存在e G ∈，使得对一切a G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”；现给出下列集合和运算：
①{},G =⊕非负整数为整数的加法,满足任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈，且令0e =，有00a a a ⊕=⊕=，所以①符合要求；
②{},G =⊕偶数为整数的乘法,若存在a e a e a ⊕=⨯=，则1e =，矛盾，
∴ ②不符合要求；
③{},G =⊕平面向量为平面向量的加法,取0e =，满足要求，∴ ③符合要求；
④{},G =⊕二次三项式为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以④不符合要求；
⑤{},G =⊕虚数为复数的乘法，两个虚数相乘得到的可能是实数，∴ ⑤不符合要求， 这样G 关于运算⊕为“融洽集”的有①③。