证明圆的切线经典例题

证明圆的切线方法及例题

证明圆的切线常用的方法有：

一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.

例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.

求证：EF与⊙O相切.

证明：连结OE，AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC.

又∵AB=BC，

∴∠3=∠4.

∴BD=DE，∠1=∠2.

又∵OB=OE，OF=OF，

∴△BOF≌△EOF（SAS）.

∴∠OBF=∠OEF.

∵BF与⊙O相切，

∴OB⊥BF.

∴∠OEF=900.

∴EF与⊙O相切.

说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切.

证明一：作直径AE，连结EC.

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAB=∠DAC.

∵PA=PD，

∴∠2=∠1+∠DAC.

∵∠2=∠B+∠DAB，

∴∠1=∠B.

又∵∠B=∠E，

∴∠1=∠E

∵AE是⊙O的直径，

∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.

∴∠1+∠EAC=900.

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切.

证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.

∵AD是∠BAC的平分线，

∴BE=CE，

∴OE⊥BC.

∴∠E+∠BDE=900.

∵OA=OE，

∴∠E=∠1.

⌒⌒

⌒⌒

∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA.

又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切

说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：DM与⊙O相切.

证明一：连结OD.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

∵OB=OD，

∴∠1=∠B.

∴∠1=∠C.

∴OD∥AC.

∵DM⊥AC，

∴DM⊥OD.

∴DM与⊙O相切

证明二：连结OD，AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC.

又∵AB=AC,

∴∠1=∠2.

∵DM⊥AC，

∴∠2+∠4=900

∵OA=OD，

∴∠1=∠3.

∴∠3+∠4=900.

即OD⊥DM.

∴DM是⊙O的切线

说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.

例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB 的延长线上.

求证：DC是⊙O的切线

证明：连结OC、BC.

∵OA=OC，

∴∠A=∠1=∠300.

∴∠BOC=∠A+∠1=600.

又∵OC=OB，

∴△OBC是等边三角形.

∴OB=BC.

∵OB=BD，

∴OB=BC=BD.

∴OC⊥CD.

∴DC是⊙O的切线.

说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.

D

C

D

例5 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP. 求证：PC 是⊙O 的切线. 证明：连结OC

∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD ·OP ，

OC

OP

OD OC

. 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.

说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的

例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F. 求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.

分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.

证明：取FG 中点O ，连结OC.

∵ABCD 是正方形，

∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △ ∵O 是FG 的中点， ∴O 是Rt △CFG 的外心. ∵OC=OG ， ∴∠3=∠G ，

∵AD ∥BC ， ∴∠G=∠4.

∵AD=CD ，DE=DE ，

∠ADE=∠CDE=450， ∴△ADE ≌△CDE （SAS ） ∴∠4=∠1，∠1=∠3. ∵∠2+∠3=900, ∴∠1+∠2=900.

即CE ⊥OC.

∴CE 与△CFG 的外接圆相切

二、若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”

例7 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切.

证明一：连结DE ，作DF ⊥AC ，F 是垂足. ∵AB 是⊙D 的切线， ∴DE ⊥AB. ∵DF ⊥AC ， ∴∠DEB=∠DFC=900. ∵AB=AC ，

∴∠B=∠C.

又∵BD=CD ，

∴△BDE ≌△CDF （AAS ） ∴DF=DE.