空间立体几何建系练习题 2

空间立体几何建系设点专题引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算

1、如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。

(1)求证：BM∥平面PAD；

(2)在侧面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD；

(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。

3. 已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE

= 2a，AB = a，F为CD的中点.

（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；

（Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角余弦值；

（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.

4. 如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA//PB，PB=AB=2MA，

（Ⅰ）证明：AC//平面PMD；

（Ⅱ）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；

（Ⅲ）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小。

5. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=o ，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上

的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥。 （I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （II ）求1CC 到平面1A AB 的距离； （III ）求二面角1A A B C --的大小。

6. （湖南卷理科第18题）已知两个正四棱锥P －ABCD 与 Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；

（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到平面QAD 的距离．

7. （全国卷Ⅱ理科第19题）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ＝BC ，D 、E 分别为11BB AC ，的中点．

（1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线； （2）设12AA AC AB ==，求二面角11A AD C --的大小．

8. 如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆是以AC 为斜边的等腰直角三角形，

,,E F O 分别为PA ， PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．

（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ；

（II ）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并

求点M 到OA ，OB 的距离．

9. 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

（1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

10. 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形.

已知ο

60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB .

（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；

（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小.

E

A

B

C

F

E 1 A 1

B 1

C 1

D 1

D

高三立几建系设点专向练习

1. 在正方体A —C 1中，E 、F 分别为D 1C 1与AB 的中点，则A 1B 1与截面A 1ECF 所成的角的正弦值为（ ） A ．sin

36 B ．sin 33

C ．sin 2

6 D ．都不对

2. 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为（ ） A ．

2

2 B ．

515 C ．46

D ．

3

6

3.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线BD 与B 1C 的距离。

4.四棱椎P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PCD ∆为正三角形， 平面,ABCD PCD 平面⊥PB PD E AC 为,⊥中点. （1）求证：PB ∥ 平面AEC ； （2）求二面角E —AC —D 的大小.

A

B

C

D

E

F

P

o

x

z

y

5.如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，

60ABC ∠=o ，E F ，分别是BC PC ，的中点．

（1）证明：AE PD ⊥；

（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为6

2

，求二面角E AF C --的余弦值．

6.如图，ABCD 是边长为a 的菱形，且∠BAD =60°， △P AD 为正三角形，且面P AD ⊥面ABCD （1）求cos 〈，〉的值；

（2）若E 为AB 的中点，F 为PD 的中点，求||的值； （3）求二面角P —BC —D 的大小

7.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PC ⊥AD ．底面ABCD 为梯形，//AB DC ，AB BC ⊥．PA AB BC ==，点E 在棱PB 上，且2PE EB =． （1）求证：平面PAB ⊥平面PCB ； （2）求证：PD ∥平面EAC ；

（3）（理）求平面AEC 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值．