上海初二数学压轴题

1、 如图，Rt △OAC 是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O 为坐标原点，点

A 在x 轴上，OC =

，30CAO ∠=︒ ，将Rt △OAC 折叠，使OC 边落在AC 上，点

O 与点D 重合，折痕为CE .

（1） 求折痕CE 所在的直线的解析式； （2） 求点D 的坐标；

（3） 设点M 为直线CE 上的一点，过点M 作AC 的平行线，交y 轴于点N ，是否存

在这样的点M ，使得以M 、N 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

2、 已知，在菱形ABCD 中，4,60AB B =∠=︒，点P 是射线BC 上的一个动点，

60PAQ ∠=︒，PQ 交射线CD 于点Q ，设点P 到点B 的距离为x ，PQ y =.

（1） 求证：△APQ 是等边三角形；

（2） 求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3） 如果PD ⊥AQ ，求BP 的值.

3、在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，

OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．（1）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；

（2）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；

（3）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值.

4、如图，直线

3

3

4

y x

=-+与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿着过点B的

某直线折叠，使点A落在y轴的负半轴上的点D处，折痕与x轴交于点C.

（1）求点A，B，C，D的坐标；

（2）在平面直角坐标中是否存在一点P，使以点A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. （3）将直线AB绕着原点O旋转90°，得到新的直线，请直接写出所得到的新的直线的解析式.

5、 已知，一次函数7y x =-+与正比例函数4

3

y x =

的图像交于点A ，且与x 轴交于点B.（如图1）

（1） 求点A 和点B 的坐标；

（2） 过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿

O-C-A 的路线向点A 运动；点R 从点B 出发，以相同速度向点O 移动，在移动过程中，过点R 作直线l ⊥x 轴，交线段BA 或线段AO 于点Q .当点P 到达点

A 时，点P 和点R 都停止运动.在运动过程中,设动点P 运动的时间为t 秒(t>0). ① 当t 为何值时,以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？

② 在①的条件下，是否存在以A 、P 、Q 、M 为顶点的四边形是等腰梯形？若

存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

6、如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为（0，4），点B是x轴上一点，以AB为边，

在AB的一侧作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点E，过点C向x轴作垂线，垂足为F，点G是OF的中点，联结EG.

(1)如果点B的坐标为（1，0），求点C的坐标；

(2)当点B在x轴正半轴上时，如果点B的坐标为（a，0），△BEG的面积为S，写出

S关于a的函数解析式及定义域；

(3)当△BEG的面积为3

2

时，求线段EG的长.

7、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AB=8，BC=14，点E、F分别在

边AB、CD上，EF∥AD，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF=90°，PE=PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE=x，MN=y.

（1）求边AD的长；

（2）如图1，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式并写出定义域；

（3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积.

8、如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线BD上一个动点，且满足P A=PC.

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）如果AB=6，∠ABC=60°，设BP=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）在第(2)题的条件下，延长AP交射线BC于点E.当△EPC是直角三角形时，求BP的长.

9、正方形ABCD边长为6，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），点F、G分别在边

BC、AD上（点F与点B、C不重合），直线FG与DE相交于点H.

（1）如图1，若∠GHD=90°，求证：GF=DE；

（2）在（1）的条件下，平移直线FG，使点G与点A重合，如图2.联结DF、EF，设CF=x，△DEF的面积为y，用含x的代数式表示y；

（3）如图3，若∠GHD=45°，且BE=2AE，请你直接写出FG的长.

10、如图1，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一动点（点P与点B不

重合），AB=AD=10，BC=24，∠C=45°，45°＜∠B＜90°.设BP=x，四边形APCD 的面积为y.

（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（2）联结PD，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求四边形APCD的面积.

11、在矩形ABCD中，AB=1，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC分别交

射线AD与射线CB于点E和点F，联结CE、AF.

（1）如图1，求证：四边形AFCE是菱形；

（2）当点E、F分别在边AD和BC上时，如果设AD=x，菱形AFCE的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）如果△ODE是等腰三角形，求AD的长度.