工程力学 第七章 截面的几何性质

正交轴，截面对z、y轴惯性矩Iz、Iy和惯性积Iyz已知。现 将z、y轴绕O点旋转α角（以逆时针方向为正）得到另一对正 交轴z1、y1轴，下面求截面对z1、y1轴惯性矩和惯性积
、
、
。
（I − 13） 同理可得
（I − 14）
（I − 15） 式（I − 13）、（I − 14）称为惯性矩的转轴公式，式（I − 15） 称为惯性积的转轴公式。
式中：Izc、Iyc——组合截面对其形心轴的 惯性矩；
Izci、Iyci——各简单图形对各自形心轴 的惯性矩；
ai、bi——各简单图形的形心轴到 组合截面形心的距离；
Ai——各简单图形的面积。
小结：
1、形心、静矩、惯性矩概念 2、组合截面的静矩计算公式以及组合截面形 心 3、平行移轴定理
4、组合截面对形心轴惯性矩的计算
课后作业：复习本节课所教内容。
dA ρ y y O 图I − 2 z z z dA C z1 y1 y1 a b O
图I − 3 z1 y z y
课时授课计划
授课日期 2011.10.23
班 别 1044-3
题目
第七章 截面的几何性质
目
了解重心、形心、静矩、惯性矩的概念
的
会求பைடு நூலகம்静矩、惯性矩及几何形心
要
了解平行移轴定理
求
重 静矩、惯性矩
点
难 平行移轴定理
点
教具
课本
教 学 方 法 课堂教学
第七章 截面的几何性质
报 第一节 静矩与形心
书 第二节 惯性矩、极惯性矩 和惯性积
图I − 3所示为一任意截面，z、y为通过截面形心的一对正 交轴，z1、y1为与z、y平行的坐标轴，截面形心C在坐标系 z1O y1中的坐标为（b，a），已知截面对z、y轴惯性矩和惯性 积为Iz、Iy、Iyz，下面求截面对z1、y1轴惯性矩和惯性积 Iz1、Iy1、Iy1z1。
同理可得
（I − 10）
负或零。单位为：m3、cm3、mm3。
二、形心
工程上许多物体可以看作是匀质物体， 即物体的单位体积重为常量，这类物体的重 心往往取决于物体的几何形状，而与物体的 重量无关。
由物体的几何形状和尺寸决定的物体的 几何中心称作物体形心。
对匀质物体来说，形心和重心是重合 的。
截面的形状和尺寸以及放置方式都是影 响杆件承载能力的重要因素，而这些影响因 素又是通过截面的某些几何性质来反映的， 所以，我们要研究杆件的强度、刚度和稳定 性问题，就必须研究截面的几何性质及其计 算。
第二节 惯性矩、极惯性矩和惯 性积
一、惯性矩的概念
如图所示，微面积dA到y轴和z轴的距离 分别为z和y，我们把对y2dA称作微面积dA对z
轴的惯性矩，把z2dA称作微面积dA对y轴的惯 性矩；把y2dA（或z2dA）的总和称作截面A对z 轴（y轴）的惯性矩。用Iz(或Iy)表示。
， （6-5）
惯性矩Iz、Iy恒为正值，不会等于零。惯
简单证明之：
其中 为图形对形心轴 的静矩，其值应等于零，则得：
。 上式称作平行移轴定理，它表明： （1）截面对任一坐标轴的惯性矩等于截面对 该轴的形心轴的惯性矩加上截面面积和两轴 之间距离的平方的乘积。 （2）由于a2和b2恒为正值，面积也为正值，
因此截面对一些相互平行的坐标轴的惯性矩 中，经过截面形心的惯性矩是的最小。
性矩的单位为：m4、cm4、mm4。
在工程中有时为了便于使用，也可以将 惯性矩的计算公式写成一下形式：
（6-6） 或
，
式中：A——截面面积；
——称作截面的惯性半径。
如图I − 2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建 立直角坐标系zOy。现在图形内取微面积dA，dA的形心在坐 标系zOy中的坐标为y和z，到坐标原点的距离为ρ。现定 义y2dA和z2dA为微面积dA对z轴和y轴的惯性矩，ρ2dA为微面 积dA对坐标原点的极惯性矩，而以下三个积分
二、组合截面对形心轴惯性矩 的计算
组合截面对某一坐标轴的惯性矩等于各 简单截面对同一坐标轴的惯性矩的和。
由于组合截面的形心轴一般不是各简单截 面的形心轴，因此可以应用平行移轴定理先 计算出各简单截面对组合截面形心轴的惯性 矩，然后求出它们的和，即为该组合截面对 其形心轴的惯性矩。以上关系可由下式表示
定义式：
，
（6-1）
若已知截面的形心C（zC，yC），则静矩可用下式计算：
，
（6-2） 该式表明： 1）截面对某轴的静矩等于截面面积A与截面 形心到该轴的距离的乘积。 2）若某轴经过形心，则截面对该轴的静矩一 定等于零，；反之，若截面对某轴的静矩等 于零，则该轴一定通过截面的形心。
静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，
（I − 11） 式（I − 10）、（I − 11）称为惯性矩的平行移轴公式。 下面求截面对y1、z1轴的惯性积
。根据定义
由于z、y轴是截面的形心轴，所以Sz = Sy = 0，即
（I − 12） 式（I − 12）称为惯性积的平行移轴公式。
2、惯性矩、惯性积的转轴公式 图（I − 4）所示为一任意截面，z、y为过任一点O的一对
（I − 7） 分别定义为该截面对于z轴和y轴的惯性矩以及对坐标原点的 极惯性矩。
由图（I − 2）可见，
，所以有
（I − 8） 即任意截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的 两任意正交坐标轴的惯性矩之和。
另外，微面积dA与它到两轴距离的乘积zydA称为微面积 dA对y、z轴的惯性积，而积分
设 第三节 惯性矩的平行移轴
定理
计
教学过程： 复习： 1、复习材料在轴向拉伸和压缩时的力学性质的概 念。
新 课：
第七章 截面的几何性质 第一节 静矩与形心
一、静矩
如图所示平面图形，可以将它看作是某 杆件的横截面，其面积为A，其上任一微面积 为dA。若选取如图所示平面计较直角坐标系 yoz，dA到y轴和z轴的距离分别为z和y，我们 把对ydA称作微面积dA对z轴的静矩，把zdA称 作微面积dA对y轴的静矩；把dA对z轴（或y 轴）的静矩总和称作截面A对z轴（y轴）的静 矩。用Sz(或Sy)表示。
第三节 惯性矩的平行移轴定理 一、平行移轴定理
同一个截面对不同的坐标轴的惯性矩是 不相同的。但截面对任一坐标轴的惯性矩与 经过截面形心、且与该坐标轴平行的坐标轴 之间存在一些关系。
下图所示截面形心为C，过形心的坐标轴 为
。坐标轴z和y是与
轴平行的坐标轴，a和b是z轴和
轴、y轴和 间的距离，若已知截面对形心轴 的惯性矩Izc和Iyc，则截面对z和y轴的 惯性矩Iz和Iy，则可由下试求出
（I − 9） 定义为该截面对于y、z轴的惯性积。
从上述定义可见，同一截面对于不同坐标轴的惯性矩和 惯性积一般是不同的。惯性矩的数值恒为正值，而惯性积则 可能为正，可能为负，也可能等于零。惯性矩和惯性积的常 用单位是m4或mm4。
二、惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴 公式
1、惯性矩、惯性积的平行移轴公式
三、组合截面的静矩计算公式
由几个简单截面组合而成的截面称为组 合截面。 组合界面的静矩等于各简单截面对同一坐标 轴静矩的代数和：
（6-3）
四、组合截面形心
由公式（6-2）可知
，
，若将公式（6-3）代入该式，则有
由此可推出组合截面形心坐标的计算公式 为：
式中
（6-4）
分别表示各简单图形的面积及形心坐标值。