初中数学培优教材勾股定理专题(附答案-全面、精选)

初中数学勾股定理培优教材一、探索勾股定理

【知识点1】勾股定理

定理内容：在RT

△中，

勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角

典型题型

1、对勾股定理的理解

（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（）

A、c²- a²=b²

B、c²- b²=a²

C、a²- c²=b²

D、a²+b²= c²

（2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）

A、BC²- AB²=AC²

B、BC²- AC²=AB²

C、AB²+AC²= BC²

D、AC²+BC²= AB²

2、应用勾股定理求边长

（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.

（4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．

3、利用勾股定理求面积

（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。

（6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为。

（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x=,y=。

（8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（）

A、6

B、8

C、10

D、12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S

12

、、

S S S S S S

341234

、，则+++=_____________。

【知识点2】勾股定理的验证

推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。（等积法）

拼图法推导一般步骤：拼出图形---找出图形面积的表达式---恒等变形—推出勾股定理。

（10）用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图拼法。

问题：你能用两种方法表示下

图的面积吗？对比两种不同的表

示方法，你发现了什么？

（11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按下图拼法，

论证勾股定理：

2

2

2c

b

a=

+

3、运用勾股定理进行

计算（重难点）

（12）如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米

处,旗杆折断前有多高？

25

7

（13）两棵之间的距离为8m ，两棵树的高度分别为8m 、2m ，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？

【基础检测】

1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝13，BC ＝5，则AC 的长为（ ）

A.5

B.12

C.13

D.18 2、已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b

a cm ，

10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（

）

A . 24cm 2 B. 36cm 2 C. 48cm 2 D. 60cm 2 3、若△ABC 中，∠C=90°，

（1）若a = 5，b =12，则c = ； （2）若a =6，c =10，则b = ；

（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = 。 4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 。（π不取近似值）

5、一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3 : 4，求两直角边的长。

6、一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m ，梯子的顶端下滑2m 后，底端向外滑动了多少米？

【培优突破】

1、折叠问题

（1）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm 、BC=8cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ）

A 、4cm

B 、5cm

C 、6cm

D 、10cm

（2） 如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求线段EC 的值

2、运用勾股定理解决生活中的实际问题

（3）如图，为了测得小水坑两边A 点和B 点之间的距离，一个观测者在C 点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC=20m ，BC=16m,则A 、B 两点之间的距离是对少?

3、分类讨论（已知直角△的两边，求第三边）

（4）在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高AD=12，则BC 的值为（ ）

A 、25

B 、7

C 、25或7

D 、不能确定 （5）已知3, 4，a 是一个三角形的三边长，若三角形为直角三角形，则2

a 的值是多少？

（6）在直角△ABC 中，AB=15， AC=20，BC 边上的高AD=12，则BC 的值为多少？

4、利用方程解题

（7）如图，△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 上的一点，已知BD=7，AB=20，AD=15， 求AC 的长.

（8）如图，已知△ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上一点，且AD ⊥AC ，求BD 的长。