全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(一)

. 22.(本小题满分14分)已知常数列,点是直角的直角顶点,顶点在定直线
：上移动,斜边所在直线恒过定点. (Ⅰ)求顶点的轨迹的方程； (Ⅱ)设是轨迹上的任一点,是过点法线(即与过点的切线垂直的直 线),且,
,证明：直线、与直线的夹角相等. 解：(Ⅰ)设,,依题意,∴,即 ①.
又与共线,∴ ②. 由①②消去,得. (Ⅱ)由双曲线பைடு நூலகம்对称性,不妨设是双曲线上位于轴上方的点,由,
∴, , , ,. ∴的分布列为
的数学期望为. (Ⅱ)∵,∴,.则
,, 由,得,即的取值范围是. 19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱中,侧面底面,侧棱与底面 成的角,.底面是边长为的正三角形, 其重心为点.是线段上的一点,且. (Ⅰ)求证：侧面； (Ⅱ)求平面与底面所成的锐二面角的大小. 解：(Ⅰ)延长交于点,则,即为的中点.∵为的重心, ∴、、三点共线,且,∴,故侧面. (Ⅱ)作于,∴面.∵侧棱与底面成的角,. ∴,,.作于,连,则,∴为 所求二面角的平面角.又,,∴,在 中,,故所求锐二面角的大小为. 20.(本小题满分12分)设,. (Ⅰ)当时,求函数的单调区间； (Ⅱ)求证：当时,对任意正实数成立. (Ⅰ)解：当时,,由,得.∵当时, ；当时,,∴的单调增区间是,；单调增区间是. (Ⅱ)证明：令,则.当时,由, ；当时,；当时,,∴在上的最小值 是,故当时,对任意正实数成立. 21.(本小题满分12分)已知为正实数,数列由,确定. (Ⅰ)对于一切的,证明：； (Ⅱ)若是满足的正实数,且,证明：. 解：(Ⅰ)用数学归纳法证明：当时,,,成立. 假设时结论成立,即,则,即. ∴,∴时结论也成立,综上,对一切的,成立. (Ⅱ), ∴.当时,,与矛盾,故. ∴
过四次传球后,球又回到手中的传法种数是( ).
A.
B.
C.
D.
12.设为整数(十进制)的各位数上的数字的平方之和,比如,
记,,则等于( ).
A.
B.
C.
D.
第(Ⅱ)卷
(非选择题 共90分)
二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线
上)
13.已知,,且,则实数.
14.已知,且,那么二项式的展开式中常数项为.
答B C C D B C C D A D B B 案
二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,)
13.0 14.
15.
16. .
三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程
或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在中,角、、的对边分别为、、,已知,且、 、成
等比数列.
(Ⅰ)求的值；
等比数列.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若,求的值.
18.(本小题满分12分)四个纪念币、、、,投掷时正面向上的概率如下 表所示.
纪念币
概率 这四个纪念币同时投掷一次,设表示出现正面向上的个数. (Ⅰ)求的分布列及数学期望； (Ⅱ)在概率中,若的值最大,求的取值范围；
19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱中,侧面底面,侧棱与底面成的 角,.底面是边长为的正三角形, 其重心为点.是线段上的一点,且.
得,∴.故过点的切线的斜率,而, ∴,∴,.设是与直线的夹角,则 . 设是与直线的夹角, ,则. ∴,又,∴,故直线、与直线的夹角相等.
(Ⅱ)若,求的值.
解：(Ⅰ)依题意,,由正弦定理及,得.
.
(Ⅱ)由,得,即.由,得(舍负)
∴,由余弦定理,得,∴,故.
18.(本小题满分12分)四个纪念币、、、,投掷时正面向上的概率如下
表所示.
纪念币
概率
这四个纪念币同时投掷一次,设表示出现正面向上的个数. (Ⅰ)求的分布列及数学期望； (Ⅱ)在概率中,若的值最大,求的取值范围； 解：(Ⅰ)是个正面向上,个背面向上的概率.其中的可能取值为.
(Ⅰ)求顶点的轨迹的方程； (Ⅱ)设是轨迹上的任一点,是过点法线(即与过点的切线垂直的直 线),且,,证明：直线、与直线的夹角相等.
全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(一)
数学(理科) 参考答案
一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.)
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号
全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(一) 数学(理科)
一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个
选项中,只有一项符合要求)
1.数列是首项为,公差为的等差数列,数列是首项为,公差为的等差数列.
若,则的值为( ).
A.
B.
C.
D.
2.函数的最小正周期为( ).
A.
B.
C.
D.
15.过双曲线：的左顶点作斜率为的直线,若与双曲线的两条渐近线分别
交于点、,且,则双曲线的离心率.
16.在这个连号中抽奖,若抽出的号码中,出现仅出现两个偶数数字则中
奖,那么抽取一个号码能中奖的概率是.
三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程
或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在中,角、、的对边分别为、、,已知,且、 、成
(Ⅰ)求证：侧面； (Ⅱ)求平面与底面所成的锐二面角的大小.
20.(本小题满分12分)设,. (Ⅰ)当时,求函数的单调区间； (Ⅱ)求证：当时,对任意正实数成立.
21.(本小题满分12分)已知为正实数,数列由,确定. (Ⅰ)对于一切的,证明：； (Ⅱ)若是满足的正实数,且,证明：.
22.(本小题满分14分)已知常数列,点是直角的直角顶点,顶点在定直 线：上移动,斜边所在直线恒过定点.
3.已知,则( ).
A.
B.
C.
D.
4.两个集合与之差记为“”,定义为.如果集合
,集合,那么( ).
A.
B.
C.
D.
5.设,,则等于( ).
A.
B.
C. 或
D.
不存在
6.已知球面上的四点、、、,、、的长分别为、、,且这三条线段两两
垂直,则这个球面的表面积为( ).
A.
B.
C.
D.
7.正方体中,若为棱的中点,则直线与平面所成角的正切值为( ).
A.
B.
C.
D.
8.已知椭圆的两焦点分别为、,点满足,则( ).
A.
B.
C.
D.
9.直线与圆交于、两点,若满足,则(为坐标原点)等于( ).
A.
B.
C.
D.
10.已知方程的两根为,且,则的取值范围是( ).
A.
B.
C.
D.
11.五个人站在图中、、、、五个位置上互相传球,规定每次
只能传给相邻的人,如不能直接传给等.若开始时球在手中,则经