第七章 非平稳时间序列模型

引言：前面我们讨论的是平稳时间序列的建模和预测方法，即所讨论的时间序列都是宽平稳的。一个宽平稳的时间序列的均值和方差都是常数，并且它的协方差有时间上的不变性。

但是许多经济领域产生的时间序列都是非平稳的。对协方差过程，非平稳时间序列会出现各种情形，如它们具有非常数的均值μt ，或非常数的二阶矩，如非常方差σt 2，或同时具有这两种情形的非平稳序列。

第七章非平稳时间序列模型

第七章非平稳时间序列模型

第一节非平稳时间序列模型的种类

第二节非平稳性的检验

第三节求和自回归滑动平均模型(ARIMA)

第一节非平稳时间序列模型的种类

一、均值非平稳过程

二、方差和自协方差非平稳过程

一、均值非平稳过程

均值非平稳过程指随机过程的均值随均值函数的变化而变化。

我们可以引进两种非常有用的均值非平稳过程：确定趋势模型和随机趋势模型。

（一）确定趋势模型

当非平稳过程均值函数可由一个特定的时间趋势表示时，一个标准的回归模型曲线可用来描述这种现象。

.

,::,,1010模型来描述前面介绍的可以用程是一个零均值的平稳过其中趋势模型表示如下则原序列可用确定的有服从线性趋势若均值例如ARMA y y t x t t t

t t t ++=+=ααααμμ

t

t t y t t x t t +++=++=22102210:

,ααααααμ原序列可用下式表示对二次均值函数此外，均值函数还可能是指数函数、正弦—余弦波函数等，这些模型都可以通过标准的回归分析处理。

处理方法是先拟合出μt 的具体形式，然后对残差序列y t ={x t －μt }按平稳过程进行分析和建模。

（二）随机趋势模型

随机趋势模型又称齐次非平稳ARMA模型。为理解齐次非平稳ARMA模型，可先对ARMA模型的性质作一回顾。

.1)(1)(:)()(:

),(221221为白噪声序列其中模型如下假设有一个t q

q p

t

t a B

B B B B B B B a B x B q p ARMA θθθθϕϕϕϕθϕ----=----== .

,,0)(.

0)(:,就是非平稳的么那的根不都在单位圆外如果根都在单位圆外的则必须有为满足平稳性t x B B ==ϕϕ

t

t d d a B x B B B B B d B )()1)((:)

1)(()(:

,,0)(θϖϖϕϕ=--==于是原模型可写为则可令而其它根都在单位圆外个根落在单位圆上恰有现假设.

)()()(:,)1(.

,

运算后可变为平稳序列差分次程经过若干次可见一个齐次非平稳过则令称为齐次性的阶为齐次非平稳过程这时我们就称d a B w B x B w d x t

t t d

t t θϖ=-=

可见我们所能分析处理的仅是一些特殊的非平稳序列，即齐次非平稳序列。

由于齐次非平稳序列模型恰有d个特征根在单位圆上，即有d个单位根，因此齐次非平稳序列又称单位根过程。

二、方差和自协方差非平稳过程

一个均值平稳过程不一定是方差和自协方差平稳过程，同时一个均值非平稳过程也可能是方差和自协方差非平稳过程。不是所有的非平稳问题都可以用差分方法解决，还有期望平稳和方差非平稳序列，为了克服这个问题，我们需要适当进行方差平稳化变换。

⎪⎩⎪⎨⎧≠-==0

10ln :

,)

(λλλλλt t t x x x 表示如下稳一般用幂变换使方差平这个变换最早由BOX 和COX 于1964年提出，因此称作BOX —COX 变换。其中λ为变换参数。

第二节非平稳性的检验

一、通过时间序列的趋势图来判断

二、通过自相关函数(ACF)判断

三、特征根检验法

四、用非参数检验方法判断序列的平稳性

五、随机游走的单位根检验

一、通过时间序列的趋势图来判断

这种方法通过观察时间序列的趋势图来判断时间序列是否存在趋势性或周期性。优点：简便、直观。对于那些明显为非平稳的时间序列，可以采用这种方法。

缺点：对于一般的时间序列是否平稳，不易用这种方法判断出来。

二、通过自相关函数(ACF)判断

平稳时间序列的自相关函数(ACF)要么是截尾的，要么是拖尾的。因此我们可以根据这个特性

来判断时间序列是否为平稳序列。

若时间序列具有上升或下降的趋势，那么对于

所有短时滞来说，自相关系数大且为正，而

且随着时滞k的增加而缓慢地下降。

若序列无趋势，但是具有季节性，那末对

于按月采集的数据，时滞12，24，36……的自相关系数达到最大(如果数据是按季度采集，则最大自相关系数出现

在4，8，12，……)，并且随着时滞的

增加变得较小。

若序列是有趋势的，且具有季节性，其自

相关函数特性类似于有趋势序列，但它

们是摆动的，对于按月数据，在时滞12，24，36，……等处具有峰态；如果时间

序列数据是按季节的，则峰出现在时滞4，8，12，……等处。

三、特征根检验法（P146）

.

1;,1:,,,:则该序列就是非平稳的如果的则可以认为序列是平稳即件都满足平稳性条若所有的特征根特征根组成的特征方程的求由该适应模型的参数然后先拟合序列的适应模型基本思想≥<λλλ

根据拟合出的时序模型参数检验(P146)

基本思想：时间序列模型的平稳性条件不仅可以用特征根来表示，也可以用模型的自回归参数表示，因此要检验一个序列是否平稳，可以先拟合适应的模型，然后再根据求出的自回归参数来检验序列是否平稳。检验方法：参见课本146