因动点产生的相似三角形问题)

1.2 因动点产生的等腰三角形问题

例1 2011年湖州市中考第24题

如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．

（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；

（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．

图1 图2

思路点拨

1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备．

2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．

3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ．

满分解答

（1）因为PC //DB ，所以

1CP PM MC

BD DM MB

===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．

（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．

①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得3

2

m =（如图3）．

②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得4

3

m =（如图4）或4m =（不合题意，

舍去）．

③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得2

3

m =（如图5）或2m =（不合题意，

舍去）．

综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或2

3

．

图3 图4 图5

（3）点H 所经过的路径长为

5

4

π． 考点伸展

第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：

①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12

PC MB CM BA ==．因此12PC =，3

2m =．

②如图4，当P A ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43

m =．

第（2）题的思路是这样的：

如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．

图6 图7

例2 2011年盐城市中考第28题

如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数4

3

y x =

的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．

（1）求点A 和点B 的坐标； （2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．

①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．

2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．

3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况．

满分解答

（1）解方程组7,

4,3y x y x =-+⎧⎪⎨

=⎪⎩

得3,

4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)． 令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．

（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8A P R A C P P O R

C O R A S S S S =--=△△

△梯形，

得111

3+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．

因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．

图2 图3 图

4

②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．

如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =，所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．

如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．

因此∠AQP ＝45°保持不变，∠P AQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1． 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．

在△APQ 中， 3cos 5A ∠=

为定值，7AP t =-，5520333

AQ OA OQ OA OR t =-=-=-． 如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733

t t -=-，得41

8t =．

如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在P A 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．

如7，当P A ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP

∠=．因此2c o s A Q A P A =⋅∠．解方程52032(7)335

t t -=-⨯，得226

43t =． 综上所述，t ＝1或

418或5或22643

时，△APQ 是等腰三角形．

图5 图6 图7

考点伸展

当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =⋅∠来求解．

例3 2010年南通市中考第27题

如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动

点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．

（1）求y 关于x 的函数关系式；

（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？