等比数列前n项和的求和公式【精选】

倒序相加法
Sn

na1 a1 (1

q
n
)
1 q

a1 anq 1 q
q 1; q 1.
错位相减法
应用
会知三求二； 实际生活中：等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要 的数学模型。例如：存款、贷款、购物分期付款、保险、资产折 旧 等问题都与其有关。
作业：
1、等比数列an的前n项和为Sn ，已知S1 ，S3 ，S2成等差数列， （1）求an 公比q；
了······
算一算
这笔交易
是猪八戒占大便宜， 还是孙悟空有谋略,在欺负他呢
我们知道：
猪八戒收到的资金：
100 30 3000(万元)
需返还孙悟空的资金：
？ 1 2 22 23 229
倒序相加法
Sn a1 (a1 d ) (a1 (n 2)d ) (a1 (n 1)d ) (1) Sn (a1 (n 1)d ) (a1 (n 2)d ) (a1 d ) a1 (2)
Sn

na1 a1 (1

q
n
)
1 q

a1 anq 1 q
q 1; q 1.
猪
解决猪八戒的思考
八 戒
那
猪八戒收到的资金：
是
100 30 3000(万元)
需返还孙悟空的资金：
1 2 22 23 229
吃
又 被 猴 子
大 亏 了 ！
S30

1(1 230 ) 1 2
师兄弟都成亿万富翁啦！ 我也要成立一个“高老
庄集团”
猴哥， 能不能 帮帮 我······
No problem！我每天给你投资 100万元，连续一个月（30天）， 但有一个条件：第一天返还1元， 第二天返还2元，第三天返还4 元······后一天是前一天的2倍，30 天后互不相欠.
这猴子是不是
又在耍我 第一天出1元入100万，第二 天出2元入100万，第三天出 4元入100万，······，哇，发
解 : 由于Sn 2an 1，
当n 1时，有a1 2a1 1 , 即a1 1 ;
当n 2时，有a1 a2 2a2 1, 即a2 2 ;
故
q a2 2 2 ,
a1 1
因此
an a1q n1 1 2n1 2n1 .
小试牛刀
求下列数列前n项的和. （1） 3 , 11 , 111 , 2 17 ,

230
1
耍 了 ！
1073 741823 10.7亿 3000万元
知识运用
例1：求百度文库列等比数列前8项的和. （1） 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
（2)
a1

81
,
a11

1 729
,
q

0.
知识运用
例2：已知等比数列 an的前n项和为 Sn 2an 1 , 求 an.
4 8 16 32
（2）1 1 , 3 1 , 5 1 , 7 1 , 2 4 8 16
等差、等比数列对比
数列 通项公式
等差数列
an a1 (n 1)d
等比数列
an a1qn1 ( a1, q 0 )
前n项 和公式
推导方法
Sn

n(a1 2
an )
n(n 1) na1 2 d
（2）若a1 a3 3 , 求Sn .
2、P61：第1和5题.
（1）+（2）得
2Sn (a1an) (a1 an ) (a1an )
n个
n(a1 an )
即得
Sn

n(a1 2
an )

na1

n(n 1) 2
d
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
an a1qn1
前n项和公式
( a1, q 0 )