解析几何第四版吕林根课后习题答案

第三章 平面与空间直线

§ 平面的方程

1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：

（1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点

)1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面；

（3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ∆平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x

（2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为：

一般方程为：0745910=-++z y x 。

（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ∆所在的平面

∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-⨯--=⨯AC AB

均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：

042:=+-+z y x π.

解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为：

14

24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-，

∴ 所求平面的参数式方程为：

3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：

0=++CZ BY AX .

证明： 不妨设0≠A ，

则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A

C A B --，

从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：

，}1,0,{},0,1,{A

C

A B --

共面⇔ ⇔

0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标.

解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-⨯+⨯-z 从而18=z .

5. 求下列平面的一般方程.

⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;

⑶与平面0325=+-+z y x 垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点()()1,2,4,2,1,321--M -M ,求通过1M 且垂直于21,M M 的平面; ⑸原点O 在所求平面上的正射影为()6,9,2-P ;

⑹求过点()1,5,31-M 和()2,1,42M 且垂直于平面0138=-+-z y x 的平面.

解:平行于x 轴的平面方程为00

1

011

112

=--+-z y x .即01=-z .

同理可知平行于y 轴,z 轴的平面的方程分别为01,01=-+=-y x z . ⑵设该平面的截距式方程为

132=+-+-c z y x ,把点()4,2,3-M 代入得19

24-=c 故一般方程为02419812=+++z y x .

⑶若所求平面经过x 轴，则()0,0,0为平面内一个点,

{}2,1,5-和{}0,0,1为所求平面的方位矢量,

∴点法式方程为00

1

215

000

=----z y x ∴一般方程为02=+z y .

同理经过y 轴,z 轴的平面的一般方程分别为05,052=-=+y x z x . ⑷{}2121.3,1,1M M --=M M →

垂直于平面π,

∴该平面的法向量{

}3,1,1--=→

n ,平面∂通过点()2,1,31-M , 因此平面π的点位式方程为()()()02313=--+--z y x . 化简得023=+--z y x . (5) {}.6,9,2-=→

op

∴ .11

6

cos ,119cos ,112cos -===

∂γβ 则该平面的法式方程为:.01111

6

119112=--+z y x

既 .0121692=--+z y x

（6）平面0138=-+-z y x 的法向量为{}3,8,1-=→

n ，{}1,6,121=M M ，点从()2,1,4

写出平面的点位式方程为01

6

1

381

214

=----z y x ，则,261

6

38-=-=

A

74282426,141

131,21

113-=++⨯-===

==

D C B ，

则一般方程,0=+++D Cz By Ax 即：.037713=---z y x 6．将下列平面的一般方程化为法式方程。 解：.3-=D Θ

∴将已知的一般方程乘上.30

1=

λ得法式方程

.030

330530

230

=-

+

-

z y x

()∴-

=∴=.2

1.12λD Θ将已知的一般方程乘上.2

1-=λ得法式方程

.02

12121=-

+

-y x

()∴-=∴=.1.2.3λD Θ将已知的一般方程乘上.1-=λ得法式方程.02=--x

().9

1.0.4±=∴=λD Θ即9

1=λ或9

1-=λ

将已知的一般方程乘上91=

λ或.91-=λ得法式方程为09

7

9494=+-z y x 或.09

7

9494=-+-

z y x 7．求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。

解：().71.35.1=-=λD 化为法式方程为057

67372=-++z y x 原点指向平面π的单位

法矢量为,76,73,72⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧=u 它的方向余弦为.7

6cos ,73cos ,72cos ===γβα原点o 到平

面π的距离为.5=-=D P λ