离散数学习题答案

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离散数学习题答案

习题一及答案:(P14-15) 14、将下列命题符号化:

(5)李辛与李末是兄弟

解:设p :李辛与李末是兄弟,则命题符号化的结果是p (6)王强与刘威都学过法语

解:设p :王强学过法语;q :刘威学过法语;则命题符号化的结果是p q ∧

(9)只有天下大雨,他才乘班车上班

解:设p :天下大雨;q :他乘班车上班;则命题符号化的结果是q p →

(11)下雪路滑,他迟到了

解:设p :下雪;q :路滑;r :他迟到了;则命题符号化的结果是()p q r ∧→

15、设p :2+3=5.

q :大熊猫产在中国. r :太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值:

(4)()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→ 解:p=1,q=1,r=0,

()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔,

(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔

|

()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔

19、用真值表判断下列公式的类型: (2)()p p q →⌝→⌝

解:列出公式的真值表,如下所示:

20、求下列公式的成真赋值: (4)()p q q ⌝∨→

解:因为该公式是一个蕴含式,所以首先分析它的成假赋值,成假赋值的条件是:

()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨

⇔⎩⇒0

0p q ⇔⎧⎨⇔⎩

所以公式的成真赋值有:01,10,11。

习题二及答案:(P38)

5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值: (2)()()p q q r ⌝→∧∧

解:原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧

()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨,此即公式的主析取范式, 所以成真赋值为011,111。

*6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值: …

(2)()()p q p r ∧∨⌝∨

解:原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔,此即公式的主合取范式, 所以成假赋值为100。

7、求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式: (1)()p q r ∧∨

解:原式()(()())p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧

()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧ 13567m m m m m ⇔∨∨∨∨,此即主析取范式。

主析取范式中没出现的极小项为0m ,2m ,4m ,所以主合取范式中含有三个极大项0M ,2M ,

4M ,故原式的主合取范式024M M M ⇔∧∧。

9、用真值表法求下面公式的主析取范式: (1)()()p q p r ∨∨⌝∧ 解:公式的真值表如下:

&

由真值表可以看出成真赋值的情况有7种,此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式,故主析取范式1234567m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨

习题三及答案:(P52-54)

11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提:,,,p q q r r s p ⌝∨⌝∨→ 结论:s 证明:

① p 前提引入 ② p q ⌝∨ 前提引入

~

③q ①②析取三段论

④q r

⌝∨前提引入

⑤r ③④析取三段论

⑥r s

→前提引入

⑦s ⑤⑥假言推理

15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理:(2)前提:()(),()

p q r s s t u

∨→∧∨→

结论:p u

证明:用附加前提证明法。

}

①p 附加前提引入

②p q

∨①附加

③()()

∨→∧前提引入

p q r s

④r s

∧②③假言推理

⑤s ④化简

∨⑤附加

⑥s t

⑦()

∨→前提引入

s t u

⑧u ⑥⑦假言推理

故推理正确。

16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理:

,

(1)前提:p q

∧⌝

⌝∨,r s

→⌝,r q

结论:p

证明:用归谬法

①p 结论的否定引入

②p q

→⌝前提引入

③q

⌝①②假言推理

④r q

⌝∨前提引入

⑤r

⌝③④析取三段论

⑥r s

∧⌝前提引入

⑦r ⑥化简

%

⑧r r ∧⌝ ⑤⑦合取

由于0r r ∧⌝⇒,所以推理正确。

17、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明:

只要A 曾到过受害者房间并且11点以前没离开,A 就是谋杀嫌犯。A 曾到过受害者房间。如果A 在11点以前离开,看门人会看见他。看门人没有看见他。所以,A 是谋杀嫌犯。

解:设p :A 到过受害者房间,q :A 在11点以前离开,r :A 是谋杀嫌犯,s :看门人看见过A 。

则前提:()p q r ∧⌝→,p ,q s →,s ⌝ 结论:r 证明:

① q s → 前提引入 ② s ⌝ 前提引入 …

③ q ⌝ ①②拒取式 ④ p 前提引入 ⑤ p q ∧⌝ ③④合取引入 ⑥ ()p q r ∧⌝→ 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理

习题四及答案:(P65-67)

5、在一阶逻辑中将下列命题符号化: (2)有的火车比有的汽车快。 (

解:设F(x):x 是火车,G(y):y 是汽车,H(x,y):x 比y 快;则命题符号化的结果是:

(()()(,))x y F x G y H x y ∃∃∧∧

(3)不存在比所有火车都快的汽车。 解:方法一:

设F(x):x 是汽车,G(y):y 是火车,H(x,y):x 比y 快;则命题符号化的结果是:

(()(()(,)))x F x y G y H x y ⌝∃∧∀→或(()(()(,)))x F x y G y H x y ∀→∃∧⌝

方法二:

设F(x):x 是火车,G(y):y 是汽车,H(x,y):x 比y 快;则命题符号化的结果是:

(()(()(,)))x G x y F y H x y ⌝∃∧∀→或(()(()(,)))x y G x F y H x y ⌝∃∀∧→

9、给定解释I 如下: (

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